https://stackedit.io/editor # SKA 7 # ## SKA 7-1 ## Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (1)**]. **Behauptung.** Seien $n\in\mathbb{N}$ und $K$ ein Körper. Dann bildet $K^{n}$, versehen mit _punktweise Addition_ und vermöge $\alpha\cdot(x_{i})_{i=1}^{n}=(\alpha x_{i})_{i=1}^{n}$ definierte Skalarmultiplikation einen Vektorraum., **Beweis.** 1. **Zz**: $(K^{n},+)$ mit punktweise Addition ist eine kommutative Gruppe. **Ansatz I.** $(K^{n},+,\mathbf{0})$ ist lediglich die Produktgruppe aus $n$ Kopien von $(K,+,0_{K})$, also sofort eine kommutative Gruppe. **Ansatz II.** Wir gehen die Axiome durch: - **Zz:** $(K^{n},+)$ ist assoziativ: .. - **Zz:** $(K^{n},+)$ ist kommutativ: Seien $\mathbf{u}=(u_{i})_{i=1}^{n},\mathbf{v}=(v_{i})_{i=1}^{n}\in K^{n}$. Zu zeigen ist, dass $(u_{i})_{i}+(v_{i})_{i}=(v_{i})_{i}+(u_{i})_{i}$. $$(u_{i})_{i}+(v_{i})_{i} =^{\text{Defn}} (u_{i}+v_{i})_{i} =^{\ast} (v_{i}+u_{i})_{i} =^{\text{Defn}} (v_{i})_{i}+(u_{i})_{i} $$ Die Gleichung in ($\ast$) gilt, weil $(K,+)$ kommutativ ist. - **Zz:** $(K^{n},+)$ hat ein Neutralelement .. - **Zz:** $(K^{n},+)$ hat Inverse .. 2. **Zz**: Skalarmultiplikation ist assoziativ. - .. 3. **Zz**: Skalarmultiplikation ist distributiv. Seien $\alpha,\beta\in K$ und $\mathbf{u}=(u_{i})_{i}\in K^{n}$. Zu zeigen: $\begin{array}{rcl} \alpha\cdot(\beta\cdot\mathbf{u}) &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot\mathbf{u}\\ \end{array}$ Es gilt $\begin{array}{rcl} \alpha\cdot(\beta\cdot\mathbf{u}) &= &\alpha\cdot(\beta\cdot(u_{i})_{i})\\ &= &\alpha\cdot(\beta\cdot u_{i})_{i}\\ &= &(\alpha\cdot(\beta\cdot u_{i}))_{i}\\ &=^{\ast} &((\alpha\cdot\beta)\cdot u_{i}))_{i}\\ &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot (u_{i}))_{i}\\ &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot \mathbf{u}\\ \end{array}$ Gleichung ($\ast$) gilt weil $(K,\cdot)$ assoziativ ist. 4. **Zz**: $1\cdot\mathbf{u}=\mathbf{u}$ für alle $\mathbf{u}\in K^{n}$ - .. Also ist $K^{n}$ ein Vektorraum. **QED** ## SKA 7-2 ## Einem jeden Element $$\left(\begin{matrix} x_{1,1} &x_{1,2} &x_{1,3}\\ x_{2,1} &x_{2,2} &x_{2,3} \end{matrix}\right)$$ aus $M_{2\times 3}(\mathbb{R})$ können wir das Element $$\left(\begin{matrix} x_{1,1}\\ x_{1,2}\\ x_{1,3}\\ x_{2,1}\\ x_{2,2}\\ x_{2,3}\\ \end{matrix}\right)$$ zuordnen. Dies ist eine bijektive, lineare Abbildung $M_{2\times 3}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{6}$ und (am wichtigsten!) preserviert Addition und Skalarmultiplikation. ## SKA 7-3 ## Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (4)**]. **Ansatz I:** Direkt. **Ansatz II:** Ist äquivalent (»isomorphisch«) zu $\mathbb{R}^{3}$. Aber allgemein (für nicht endliche Mengen, $X$) muss man die Axiome durchgehen. $f\in\mathop{Abb}(\{a,b,c\},\mathbb{R}) \mapsto v_{f}:=\left(\begin{matrix}f(a)\\f(b)\\f(c)\end{matrix}\right)\in\mathbb{R}^{3}$ Man muss extra zeigen: $v_{f+g}=v_{f}+v_{g}$ und $v_{\alpha\cdot f}=\alpha\cdot v_{f}$ für alle $f,g\in\mathop{Abb}(\{a,b,c\},\mathbb{R})$ und $\alpha\in\mathbb{R}$. ## SKA 7-4 ## Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (2)+(4)**]. Hinweis: Ein Tuple, $a$, mit Werten in $K$ und Indizes über $\mathbb{N}$ ist eine Kurzhand für eine Funktion ${a:\mathbb{N}\to K}$. Das gilt eigentlich für alle (unendlichen) Mengen. (Im endlichen Falle hat man verschiede Alternativen, um Tupeln zu realisieren.) ## SKA 7-5 ## Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (5)**]. Ansatz I: direkt. Ansatz II: arbeite mit Basen. ## SKA 7-6 ## . ## SKA 7-7 + 12 ## Seien $m,n\in\mathbb{N}$ und $A\in M_{m\times n}(K)$ eine Matrix und $b\in K^{m}$. Und wir betrachten das LGS $Ax = b$. Homogener Lösungsraum: $V:=\{x\in K^{n}\mid Ax=\mathbf{0}\}$. Zu zeigen: $V$ ist ein Untervektorraum. - **Zz**: $V\neq\emptyset$. Das gilt weil $\mathbf{0}\in V$, weil $A\mathbf{0}=\mathbf{0}$. - Seien $u,v\in V$ und $\alpha\in K$. **Zz:** $\alpha u+v\in V$. Es gilt $A(\alpha u+v)=\alpha Au+Av=\alpha\cdot\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}$, weil $u,v\in V$. Also gilt $\alpha u+v\in V$ per Konstruktion. Lösungsraum: $W:=\{x\in K^{n}\mid Ax=b\}$. Zu zeigen: $W$ ist ein affiner Unterraum. - Wenn $Ax=b$ keine Lösung hat, dann gilt $W=\emptyset$ und damit ist $W$ per Definition affin. - Wenn $Ax=b$ eine Lösung hat... Fixiere eine Lösung $x_{0}\in K^{n}$. Darum gilt $\begin{array}{rcl} W &= &\{x\in K^{n}\mid x=u+x_{0},\, Au=\mathbf{0}\}\\ &= &\{x\in K^{n}\mid x=u+x_{0},\, u\in V\}\\ &= &x_{0}+V\\ \end{array}$ Also ist $W$ die Summe aus einem Vektor und einem linearen Unterraum (siehe A7-7). Darum ist $W$ affin. ## SKA 7-8 ## . ## SKA 7-9 ## Vgl. [Skript, **Lemma 5.1.6**]. **Behauptung.** Seien $V$ ein Vektorraum über $K$ und $U_{i}\subseteq V$ Untervektorräume. Dann ist $U:=\bigcap_{i\in I}U_{i}\subseteq V$ wiederum ein Untervektorraum. **Beweis.** Wir gehen die Axiome durch: (NL) Beachte, dass $0\in U_{i}$ für alle $i\in I$. Darum $0\in\bigcap_{i\in I}U_{i}=U$. Insbesondere ist $U$ nicht leer. (LK) Seien $\alpha,\beta\in K$ und $u,v\in U$. **Zz:** $\alpha u+\beta v\in U$. Sei $i\in I$. Dann $u,v\in U_{i}$. Da $U_{i}$ ein UVR ist, gilt $\alpha u+\beta v\in U_{i}$. Da das für alle $i\in I$ gilt, gilt $\alpha u+\beta v\in \bigcap_{i\in I}U_{i}=U$. Darum ist $U$ ein UVR. **QED** ## SKA 7-10 ## . ## SKA 7-11 ## . ## SKA 7-13 ## . ## SKA 7-14 ## . ## SKA 7-15 ## . ## SKA 7-16 ## ``` 1 5 3 0 2 4 0 0 2 4 0 0 1 # # | 0 0 0 1 | 0 0 0 0 | 0 ==> alle Lösungen sind der Form (0, 0, t), wobei t frei ==> linear abhängig ```