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110 KiB
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110 KiB
%% ******************************************************************************** |
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%% AUTHOR: Raj Dahya |
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%% CREATED: November 2020 |
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%% EDITED: — |
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%% TYPE: Notizen |
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%% TITLE: Zusatzaufgaben |
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%% DOI: — |
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%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik |
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%% INSTITUTE: Universität Leipzig |
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%% ******************************************************************************** |
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%% ******************************************************************************** |
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%% DOCUMENT STRUCTURE: |
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%% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ |
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%% |
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%% - root.tex; |
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%% | |
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%% ---- parameters.tex; |
|
%% | |
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%% ---- srclocal/index.tex; |
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%% | |
|
%% ---- src/setup-type.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- src/setup-packages.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- src/setup-parameters.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- src/setup-macros.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- src/setup-environments.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- src/setup-layout.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- srclocal/setup-localmacros.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- front/index.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- front/title.tex; |
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%% | |
|
%% ---- front/foreword.tex; |
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%% | |
|
%% ---- front/contents.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- body/index.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- body/linear-extensions.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- body/linear-systems.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- back/index.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- ########; |
|
%% |
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%% DOCUMENT-RANDOM-SEED: 5637845 |
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%% ******************************************************************************** |
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%% ******************************************************************************** |
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%% FILE: root.tex |
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%% ******************************************************************************** |
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%% ******************************************************************************** |
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%% FILE: parameters.tex |
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%% ******************************************************************************** |
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%% ******************************************************************************** |
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%% FILE: srclocal/index.tex |
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%% ******************************************************************************** |
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\makeatletter |
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%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: src/setup-type.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
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\documentclass[ |
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12pt, |
|
a4paper, |
|
oneside, |
|
openright, |
|
center, |
|
chapterbib, |
|
crosshair, |
|
fleqn, |
|
headcount, |
|
headline, |
|
indent, |
|
indentfirst=false, |
|
portrait, |
|
phonetic, |
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oldernstyle, |
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onecolumn, |
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sfbold, |
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upper, |
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]{scrbook} |
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%% ******************************************************************************** |
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%% FILE: src/setup-packages.tex |
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%% ******************************************************************************** |
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\PassOptionsToPackage{T2A,OT1}{fontenc} % T1,OT1,T2A,OT2 |
|
\PassOptionsToPackage{utf8}{inputenc} % utf8 |
|
\PassOptionsToPackage{british,english,ngerman,russian}{babel} |
|
\PassOptionsToPackage{ |
|
english, |
|
ngerman, |
|
russian, |
|
capitalise, |
|
}{cleveref} |
|
\PassOptionsToPackage{ |
|
bookmarks=true, |
|
bookmarksopen=false, |
|
bookmarksopenlevel=0, |
|
bookmarkstype=toc, |
|
colorlinks=false, |
|
raiselinks=true, |
|
hyperfigures=true, |
|
}{hyperref} |
|
\PassOptionsToPackage{ |
|
reset, |
|
left=1in, |
|
right=1in, |
|
top=20mm, |
|
bottom=20mm, |
|
heightrounded, |
|
}{geometry} |
|
\PassOptionsToPackage{ |
|
framemethod=TikZ, |
|
}{mdframed} |
|
\PassOptionsToPackage{normalem}{ulem} |
|
\PassOptionsToPackage{ |
|
amsmath, |
|
thmmarks, |
|
}{ntheorem} |
|
\PassOptionsToPackage{table}{xcolor} |
|
\PassOptionsToPackage{ |
|
all, |
|
color, |
|
curve, |
|
frame, |
|
import, |
|
knot, |
|
line, |
|
movie, |
|
rotate, |
|
textures, |
|
tile, |
|
tips, |
|
web, |
|
xdvi, |
|
}{xy} |
|
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\usepackage{amsfonts} |
|
\usepackage{amsmath} |
|
\usepackage{amssymb} |
|
\usepackage{ntheorem} % <— muss nach den ams* Packages vorkommen!! |
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\usepackage{array} |
|
\usepackage{babel} |
|
\usepackage{bbding} |
|
\usepackage{bbm} |
|
\usepackage{calc} |
|
\usepackage{sectsty} |
|
\usepackage{titlesec} |
|
\usepackage{fancyhdr} |
|
\usepackage{footmisc} |
|
\usepackage{geometry} |
|
\usepackage{graphicx} |
|
\usepackage{ifpdf} |
|
\usepackage{ifthen} |
|
\usepackage{ifnextok} |
|
\usepackage{longtable} |
|
\usepackage{multicol} |
|
\usepackage{multirow} |
|
\usepackage{nameref} |
|
\usepackage{nowtoaux} |
|
\usepackage{paralist} |
|
\usepackage{enumerate} %% nach [paralist] |
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\usepackage{pgf} |
|
\usepackage{pgfplots} |
|
\usepackage{proof} |
|
\usepackage{refcount} |
|
\usepackage{relsize} |
|
\usepackage{savesym} |
|
\usepackage{stmaryrd} |
|
\usepackage{subfigure} |
|
\usepackage{yfonts} %% <— Altgotische Fonts |
|
\usepackage{tikz} |
|
\usepackage{xy} |
|
\usepackage{undertilde} |
|
\usepackage{ulem} %% <– f\"ur besseren \underline-Befehl (\ul) |
|
\usepackage{xcolor} |
|
\usepackage{xspace} |
|
\usepackage{xstring} |
|
\usepackage{hyperref} |
|
\usepackage{cleveref} % must vor hyperref geladen werden. |
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|
|
\pgfplotsset{compat=newest} |
|
|
|
\usetikzlibrary{ |
|
angles, |
|
arrows, |
|
automata, |
|
calc, |
|
decorations, |
|
decorations.pathmorphing, |
|
decorations.pathreplacing, |
|
math, |
|
positioning, |
|
patterns, |
|
quotes, |
|
snakes, |
|
} |
|
|
|
%% \var ≈ alter Befehl |
|
%% \xvar ≈ wie das neue Package \var interpretieren soll. |
|
\savesymbol{Diamond} |
|
\savesymbol{emptyset} |
|
\savesymbol{ggg} |
|
\savesymbol{int} |
|
\savesymbol{lll} |
|
\savesymbol{RectangleBold} |
|
\savesymbol{langle} |
|
\savesymbol{rangle} |
|
\savesymbol{hookrightarrow} |
|
\savesymbol{hookleftarrow} |
|
\savesymbol{Asterisk} |
|
\usepackage{mathabx} |
|
\usepackage{wasysym} |
|
\let\varemptyset=\emptyset |
|
\restoresymbol{x}{Diamond} |
|
\restoresymbol{x}{emptyset} |
|
\restoresymbol{x}{ggg} |
|
\restoresymbol{x}{int} |
|
\restoresymbol{x}{lll} |
|
\restoresymbol{x}{RectangleBold} |
|
\restoresymbol{x}{langle} |
|
\restoresymbol{x}{rangle} |
|
\restoresymbol{x}{hookrightarrow} |
|
\restoresymbol{x}{hookleftarrow} |
|
\restoresymbol{x}{Asterisk} |
|
|
|
\ifpdf |
|
\usepackage{pdfcolmk} |
|
\fi |
|
|
|
\usepackage{mdframed} |
|
|
|
%% Force-Import aus MnSymbol |
|
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolA}{} |
|
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{m}{n}{ |
|
<-6> MnSymbolA5 |
|
<6-7> MnSymbolA6 |
|
<7-8> MnSymbolA7 |
|
<8-9> MnSymbolA8 |
|
<9-10> MnSymbolA9 |
|
<10-12> MnSymbolA10 |
|
<12-> MnSymbolA12 |
|
}{} |
|
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{b}{n}{ |
|
<-6> MnSymbolA-Bold5 |
|
<6-7> MnSymbolA-Bold6 |
|
<7-8> MnSymbolA-Bold7 |
|
<8-9> MnSymbolA-Bold8 |
|
<9-10> MnSymbolA-Bold9 |
|
<10-12> MnSymbolA-Bold10 |
|
<12-> MnSymbolA-Bold12 |
|
}{} |
|
\DeclareSymbolFont{MnSyA}{U}{MnSymbolA}{m}{n} |
|
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowright}{\mathrel}{MnSyA}{252} |
|
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{255} |
|
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowleft}{\mathrel}{MnSyA}{250} |
|
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{251} |
|
|
|
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolC}{} |
|
\DeclareSymbolFont{MnSyC}{U}{MnSymbolC}{m}{n} |
|
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolC}{m}{n}{ |
|
<-6> MnSymbolC5 |
|
<6-7> MnSymbolC6 |
|
<7-8> MnSymbolC7 |
|
<8-9> MnSymbolC8 |
|
<9-10> MnSymbolC9 |
|
<10-12> MnSymbolC10 |
|
<12-> MnSymbolC12% |
|
}{} |
|
\DeclareMathSymbol{\powerset}{\mathord}{MnSyC}{180} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: src/setup-parameters.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
\def\boolwahr{true} |
|
\def\boolfalsch{false} |
|
\def\boolleer{} |
|
|
|
\let\documenttwosided\boolfalsch |
|
\let\boolinappendix\boolfalsch |
|
\let\boolinmdframed\boolfalsch |
|
\let\eqtagset\boolfalsch |
|
\let\eqtaglabel\boolleer |
|
\let\eqtagsymb\boolleer |
|
|
|
\newcount\bufferctr |
|
\newcount\bufferreplace |
|
\newcounter{columnanzahl} |
|
|
|
\newlength\rtab |
|
\newlength\gesamtlinkerRand |
|
\newlength\gesamtrechterRand |
|
\newlength\ownspaceabovethm |
|
\newlength\ownspacebelowthm |
|
\setlength{\rtab}{0.025\textwidth} |
|
\setlength{\ownspaceabovethm}{0.5\baselineskip} |
|
\setlength{\ownspacebelowthm}{0.5\baselineskip} |
|
\setlength{\gesamtlinkerRand}{0pt} |
|
\setlength{\gesamtrechterRand}{0pt} |
|
|
|
\def\secnumberingpt{$\cdot$} |
|
\def\secnumberingseppt{.} |
|
\def\subsecnumberingseppt{} |
|
\def\thmnumberingpt{$\cdot$} |
|
\def\thmnumberingseppt{} |
|
\def\thmForceSepPt{.} |
|
|
|
\definecolor{leer}{gray}{1} |
|
\definecolor{hellgrau}{gray}{0.85} |
|
\definecolor{dunkelgrau}{gray}{0.5} |
|
\definecolor{maroon}{rgb}{0.6901961,0.1882353,0.3764706} |
|
\definecolor{dunkelgruen}{rgb}{0.015625,0.363281,0.109375} |
|
\definecolor{dunkelrot}{rgb}{0.5450980392,0,0} |
|
\definecolor{dunkelblau}{rgb}{0,0,0.5450980392} |
|
\definecolor{blau}{rgb}{0,0,1} |
|
\definecolor{newresult}{rgb}{0.6,0.6,0.6} |
|
\definecolor{improvedresult}{rgb}{0.9,0.9,0.9} |
|
\definecolor{hervorheben}{rgb}{0,0.9,0.7} |
|
\definecolor{starkesblau}{rgb}{0.1019607843,0.3176470588,0.8156862745} |
|
\definecolor{achtung}{rgb}{1,0.5,0.5} |
|
\definecolor{frage}{rgb}{0.5,1,0.5} |
|
\definecolor{schreibweise}{rgb}{0,0.7,0.9} |
|
\definecolor{axiom}{rgb}{0,0.3,0.3} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: src/setup-macros.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% TEX: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\let@name#1#2{\expandafter\let\csname #1\expandafter\endcsname\csname #2\endcsname\relax} |
|
\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{ccr}\selectfont} |
|
\DeclareTextFontCommand{\textcr}{\crfamily} |
|
|
|
\def\nichtzeigen#1{\phantom{#1}} |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% SPACING: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\ifthenelseleer#1#2#3{\ifthenelse{\equal{#1}{}}{#2}{#1#3}} |
|
\def\bedingtesspaceexpand#1#2#3{\ifthenelseleer{\csname #1\endcsname}{#3}{#2#3}} |
|
\def\voritemise{\leavevmode\nvraum{1}} |
|
\def\hraum{\null\hfill\null} |
|
\def\vraum{\null\vfill\null} |
|
\def\nvraum{\@ifnextchar\bgroup{\nvraum@c}{\nvraum@bes}} |
|
\def\nvraum@c#1{\vspace*{-#1\baselineskip}} |
|
\def\nvraum@bes{\vspace*{-\baselineskip}} |
|
\def\erlaubeplatz{\relax\ifmmode\else\@\xspace\fi} |
|
\def\entferneplatz{\relax\ifmmode\else\expandafter\@gobble\fi} |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% TAGS / BEZEICHNUNGEN / LABELLING: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\send@toaux#1{\@bsphack\protected@write\@auxout{}{\string#1}\@esphack} |
|
|
|
%% \rlabel{LABEL}[CTR]{CREF-SHORT}{CREF-LONG}{DISPLAYTEXT} |
|
\def\rlabel#1[#2]#3#4#5{#5\rlabel@aux{#1}[#2]{#3}{#4}{#5}} |
|
\def\rlabel@aux#1[#2]#3#4#5{% |
|
\send@toaux{\newlabel{#1}{{\@currentlabel}{\thepage}{{\unexpanded{#5}}}{#2.\csname the#2\endcsname}{}}}\relax% |
|
} |
|
|
|
%% \tag@rawscheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR]{LEFT-BRKT}{RIGHT-BRKT} [LABEL]{DISPLAYTEXT} |
|
\def\tag@rawscheme#1#2[#3]#4#5{\@ifnextchar[{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}}{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[*]}} |
|
\def\tag@rawscheme@#1#2[#3]#4#5[#6]{\@ifnextchar\bgroup{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]}{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]{}}} |
|
\def\tag@rawscheme@@#1#2[#3]#4#5[#6]#7{% |
|
\ifthenelse{\equal{#6}{*}}{% |
|
\ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\refstepcounter{#3}#4\csname the#3\endcsname#5}{#4#7#5}% |
|
}{% |
|
\refstepcounter{#3}#4% |
|
\ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{\csname the#3\endcsname}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{#7}}% |
|
#5% |
|
}% |
|
} |
|
%% \tag@scheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR] [LABEL]{DISPLAYTEXT} |
|
\def\tag@scheme#1#2[#3]{\tag@rawscheme{#1}{#2}[#3]{\upshape(}{\upshape)}} |
|
|
|
%% \eqtag[LABEL]{DISPLAYTEXT} |
|
\def\eqtag@post#1{\makebox[0pt][r]{#1}} |
|
\def\eqtag@pre{\tag@scheme{Eq}{Equation}[Xe]} |
|
\def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@}{\eqtag@[*]}} |
|
\def\eqtag@[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@@[#1]}{\eqtag@@[#1]{}}} |
|
\def\eqtag@@[#1]#2{\eqtag@post{\eqtag@pre[#1]{#2}}} |
|
|
|
\def\eqcref#1{\text{(\ref{#1})}} |
|
\def\ptcref#1{\ref{#1}} |
|
\def\punktlabel#1{\label{it:#1:\beweislabel}} |
|
\def\punktcref#1{\eqcref{it:#1:\beweislabel}} |
|
\def\crefit#1#2{\cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}} |
|
\def\Crefit#1#2{\Cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}} |
|
|
|
%% UNDER/OVERSET BEFEHLE |
|
\def\opfromto[#1]_#2^#3{\underset{#2}{\overset{#3}{#1}}} |
|
\def\textoverset#1#2{\overset{\text{#1}}{#2}} |
|
\def\textunderset#1#2{\underset{#2}{\text{#1}}} |
|
\def\crefoverset#1#2{\textoverset{\cref{#1}}{#2}} |
|
\def\Crefoverset#1#2{\textoverset{\Cref{#1}}{#2}} |
|
\def\crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\cref{#1}}} |
|
\def\Crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\Cref{#1}}} |
|
\def\eqcrefoverset#1#2{\textoverset{\eqcref{#1}}{#2}} |
|
\def\eqcrefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\eqcref{#1}}} |
|
\def\mathclap#1{#1} |
|
\def\oberunterset#1{\@ifnextchar^{\oberunterset@oben{#1}}{\oberunterset@unten{#1}}} |
|
\def\oberunterset@oben#1^#2_#3{\underset{\mathclap{#3}}{\overset{\mathclap{#2}}{#1}}} |
|
\def\oberunterset@unten#1_#2^#3{\underset{\mathclap{#2}}{\overset{\mathclap{#3}}{#1}}} |
|
\def\breitunderbrace#1_#2{\underbrace{#1}_{\mathclap{#2}}} |
|
\def\breitoverbrace#1^#2{\overbrace{#1}^{\mathclap{#2}}} |
|
\def\breitunderbracket#1_#2{\underbracket{#1}_{\mathclap{#2}}} |
|
\def\breitoverbracket#1^#2{\overbracket{#1}^{\mathclap{#2}}} |
|
|
|
\def\generatenestedsecnumbering#1#2#3{% |
|
\expandafter\gdef\csname thelong#3\endcsname{% |
|
\expandafter\csname the#2\endcsname% |
|
\secnumberingpt% |
|
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}% |
|
}% |
|
\expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{% |
|
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}% |
|
}% |
|
} |
|
\def\generatenestedthmnumbering#1#2#3{% |
|
\expandafter\gdef\csname the#3\endcsname{% |
|
\expandafter\csname the#2\endcsname% |
|
\thmnumberingpt% |
|
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}% |
|
}% |
|
\expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{% |
|
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}% |
|
}% |
|
} |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% ALLG. MACROS: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\+#1{\addtocounter{#1}{1}} |
|
\def\setcounternach#1#2{\setcounter{#1}{#2}\addtocounter{#1}{-1}} |
|
\def\textsubscript#1{${}_{\textup{#1}}$} |
|
\def\rome#1{\overline{\underline{#1}}} |
|
\def\textTODO{\text{[{\large\textcolor{red}{More work needed!}}]}} |
|
\def\hlineEIGENpt{\hdashline[0.5pt/5pt]} |
|
\def\clineEIGENpt#1{\cdashline{#1}[0.5pt/5pt]} |
|
|
|
\def\forcepunkt#1{#1\IfEndWith{#1}{.}{}{.}} |
|
\def\lateinabkuerzung#1#2{% |
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{\emph{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}} |
|
} |
|
\def\deutscheabkuerzung#1#2{% |
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}} |
|
} |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% MATHE |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\matrix#1{\left(\begin{array}{#1}} |
|
\def\endmatrix{\end{array}\right)} |
|
\def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}} |
|
\def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)} |
|
|
|
\def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{% |
|
\expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup} |
|
\expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}} |
|
\expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}} |
|
\expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8} |
|
} |
|
\multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}} |
|
\multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}} |
|
\multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{} |
|
\multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}} |
|
|
|
\def\cases[#1]#2{\left\{\begin{array}[#1]{#2}} |
|
\def\endcases{\end{array}\right.} |
|
|
|
\def\BeweisRichtung[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\@BeweisRichtung@c[#1]}{\@BeweisRichtung@bes[#1]}} |
|
\def\@BeweisRichtung@bes[#1]{{\bfseries(#1).~}} |
|
\def\@BeweisRichtung@c[#1]#2#3{{\bfseries(#2#1#3).~}} |
|
\def\erzeugeBeweisRichtungBefehle#1#2{ |
|
\expandafter\gdef\csname #1text\endcsname##1##2{\BeweisRichtung[#2]{##1}{##2}} |
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{% |
|
\@ifnextchar\bgroup{\csname #1@\endcsname}{\csname #1text\endcsname{}{}}% |
|
} |
|
\expandafter\gdef\csname #1@\endcsname##1##2{% |
|
\csname #1text\endcsname{\punktcref{##1}}{\punktcref{##2}}% |
|
} |
|
} |
|
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinRichtung}{$\Longrightarrow$} |
|
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{herRichtung}{$\Longleftarrow$} |
|
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinherRichtung}{$\Longleftrightarrow$} |
|
|
|
\def\cal#1{\mathcal{#1}} |
|
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle} |
|
\def\mathfrak#1{\mbox{\usefont{U}{euf}{m}{n}#1}} |
|
\def\kurs#1{\textit{#1}} |
|
\def\rectangleblack{\text{\RectangleBold}} |
|
\def\rectanglewhite{\text{\Rectangle}} |
|
\def\squareblack{\blacksquare} |
|
\def\squarewhite{\Box} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: src/setup-environments.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% ********************************************************************** |
|
%% CLEVEREF: ************************************************************ |
|
|
|
\def\crefname@full#1#2#3{\crefname{#1}{#2}{#3}\Crefname{#1}{#2}{#3}} |
|
\crefname@full{chapter}{Kapitel}{Kapitel} |
|
\crefname@full{section}{Abschnitt}{Abschnitte} |
|
\crefname@full{figure}{Fig.}{Fig.} |
|
\crefname@full{subfigure}{Fig.}{Fig.} |
|
|
|
\crefname@full{proof}{Beweis}{Beweise} |
|
\crefname@full{thm}{Theorem}{Theoreme} |
|
\crefname@full{satz}{Satz}{Sätze} |
|
\crefname@full{claim}{Behauptung}{Behauptungen} |
|
\crefname@full{lemm}{Lemma}{Lemmata} |
|
\crefname@full{cor}{Korollar}{Korollarien} |
|
\crefname@full{folg}{Folgerung}{Folgerungen} |
|
\crefname@full{prop}{Proposition}{Propositionen} |
|
\crefname@full{defn}{Definition}{Definitionen} |
|
\crefname@full{conv}{Konvention}{Konventionen} |
|
\crefname@full{fact}{Fakt}{Fakten} |
|
\crefname@full{rem}{Bemerkung}{Bemerkungen} |
|
\crefname@full{qstn}{Frage}{Fragen} |
|
\crefname@full{e.g.}{Beipsiel}{Beipsiele} |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% THEOREME: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\qedEIGEN#1{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#1}}{\qedEIGEN@bes{#1}}}%] |
|
\def\qedEIGEN@bes#1{% |
|
\parfillskip=0pt% % so \par doesnt push \square to left |
|
\widowpenalty=10000% % so we dont break the page before \square |
|
\displaywidowpenalty=10000% % ditto |
|
\finalhyphendemerits=0% % TeXbook exercise 14.32 |
|
\leavevmode% % \nobreak means lines not pages |
|
\unskip% % remove previous space or glue |
|
\nobreak% % don’t break lines |
|
\hfil% % ragged right if we spill over |
|
\penalty50% % discouragement to do so |
|
\hskip.2em% % ensure some space |
|
\null% % anchor following \hfill |
|
\hfill% % push \square to right |
|
#1% % the end-of-proof mark |
|
\par% |
|
} |
|
\def\qedEIGEN@c#1[#2]{% |
|
\parfillskip=0pt% % so \par doesnt push \square to left |
|
\widowpenalty=10000% % so we dont break the page before \square |
|
\displaywidowpenalty=10000% % ditto |
|
\finalhyphendemerits=0% % TeXbook exercise 14.32 |
|
\leavevmode% % \nobreak means lines not pages |
|
\unskip% % remove previous space or glue |
|
\nobreak% % don’t break lines |
|
\hfil% % ragged right if we spill over |
|
\penalty50% % discouragement to do so |
|
\hskip.2em% % ensure some space |
|
\null% % anchor following \hfill |
|
\hfill% % push \square to right |
|
{#1~{\smaller\bfseries\upshape (#2)}}% |
|
\par% |
|
} |
|
\def\qedVARIANT#1#2{ |
|
\expandafter\def\csname ennde#1Sign\endcsname{#2} |
|
\expandafter\def\csname ennde#1\endcsname{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#2}}{\qedEIGEN@bes{#2}}} %] |
|
} |
|
\qedVARIANT{OfProof}{$\squareblack$} |
|
\qedVARIANT{OfWork}{\rectangleblack} |
|
\qedVARIANT{OfSomething}{$\dashv$} |
|
\qedVARIANT{OnNeutral}{$\lozenge$} % \lozenge \bigcirc \blacklozenge |
|
\def\qedsymbol{\enndeOfProofSign} |
|
\def\proofSymbol{\enndeOfProofSign} |
|
|
|
\def\ra@pretheoremwork{ |
|
\setlength{\theorempreskipamount}{\ownspaceabovethm} |
|
} |
|
\def\rathmtransfer#1#2{ |
|
\expandafter\def\csname #2\endcsname{\csname #1\endcsname} |
|
\expandafter\def\csname end#2\endcsname{\csname end#1\endcsname} |
|
} |
|
|
|
\def\ranewthm#1#2#3[#4]{ |
|
%% FOR \BEGIN{THM} |
|
\theoremstyle{\current@theoremstyle} |
|
\theoremseparator{\current@theoremseparator} |
|
\theoremprework{\ra@pretheoremwork} |
|
\@ifundefined{#1@basic}{\newtheorem{#1@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@basic}[#4]{#2}} |
|
%% FOR \BEGIN{THM}[...] |
|
\theoremstyle{\current@theoremstyle} |
|
\theoremseparator{\thmForceSepPt} |
|
\theoremprework{\ra@pretheoremwork} |
|
\@ifundefined{#1@withName}{\newtheorem{#1@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@withName}[#4]{#2}} |
|
%% FOR \BEGIN{THM*} |
|
\theoremstyle{nonumberplain} |
|
\theoremseparator{\thmForceSepPt} |
|
\theoremprework{\ra@pretheoremwork} |
|
\@ifundefined{#1@star@basic}{\newtheorem{#1@star@basic}[Xdisplaynone]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@basic}[Xdisplaynone]{#2}} |
|
%% FOR \BEGIN{THM*}[...] |
|
\theoremstyle{nonumberplain} |
|
\theoremseparator{\thmForceSepPt} |
|
\theoremprework{\ra@pretheoremwork} |
|
\@ifundefined{#1@star@withName}{\newtheorem{#1@star@withName}[Xdisplaynone]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@withName}[Xdisplaynone]{#2}} |
|
%% GENERATE ENVIRONMENTS: |
|
\umbauenenv{#1}{#3}[#4] |
|
\umbauenenv{#1@star}{#3}[Xdisplaynone] |
|
%% TRANSFER *-DEFINITION |
|
\rathmtransfer{#1@star}{#1*} |
|
} |
|
|
|
\def\umbauenenv#1#2[#3]{% |
|
%% \BEGIN{THM}... |
|
\expandafter\def\csname #1\endcsname{\relax% |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@\endcsname}{\csname #1@\endcsname[*]}% |
|
} |
|
%% \BEGIN{THM}[ANFANG]... |
|
\expandafter\def\csname #1@\endcsname[##1]{\relax% |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@@\endcsname[##1]}{\csname #1@@\endcsname[##1][*]}% |
|
} |
|
%% \BEGIN{THM}[ANFANG][SCHLUSS] |
|
\expandafter\def\csname #1@@\endcsname[##1][##2]{% |
|
\ifx*##1% |
|
\def\enndeOfBlock{\csname end#1@basic\endcsname} |
|
\csname #1@basic\endcsname% |
|
\else% |
|
\def\enndeOfBlock{\csname end#1@withName\endcsname} |
|
\csname #1@withName\endcsname[##1]% |
|
\fi% |
|
\def\makelabel####1{% |
|
\gdef\beweislabel{####1}% |
|
\label{\beweislabel}% |
|
}% |
|
\ifx*##2% |
|
\def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}} |
|
\else% |
|
\def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}[##2]} |
|
\fi |
|
} |
|
%% \END{THM} |
|
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{\enndeSymbol\enndeOfBlock} |
|
} |
|
|
|
%% NEWTHEOREM EINSTELLUNGSOPTIONEN: |
|
%% F\"UR \theoremstyle |
|
%% plain Emulates original LATEX defin, except uses param \theorem...skipamount. |
|
%% break Header followed by line break. |
|
%% change Header, Number and Text are interchanged, without a line break. |
|
%% changebreak =change, but with a line break after Header. |
|
%% margin Number in left margin, without a line break. |
|
%% marginbreak =margin, but with a line break after the header. |
|
%% nonumberplain =plain, without number. |
|
%% nonumberbreak =break, without number. |
|
%% empty No number, no name. Only the optional argument is typeset. |
|
%% \theoremclass \theoremnumbering |
|
%% \theorempreskip \theorempostkip \theoremindent |
|
%% \theoremprework \theorempostwork |
|
|
|
\def\current@theoremstyle{plain} |
|
\def\current@theoremseparator{\thmnumberingseppt} |
|
\theoremstyle{\current@theoremstyle} |
|
\theoremseparator{\current@theoremseparator} |
|
\theoremsymbol{} |
|
|
|
\newtheorem{X}{X}[chapter] % for most theorems |
|
\newtheorem{Xe}{Xe}[chapter] % for equations |
|
\newtheorem*{Xdisplaynone}{Xdisplaynone}[chapter] % a dummy counter, that will never be displayed. |
|
\newtheorem{Xsp}{Xsp}[chapter] % for special theorems |
|
\generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{X} |
|
\generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{Xe} |
|
\generatenestedthmnumbering{Roman}{chapter}{Xsp} |
|
\let\theXsp\theshortXsp |
|
|
|
\theoremheaderfont{\upshape\bfseries} |
|
\theorembodyfont{\slshape} |
|
|
|
\ranewthm{thm}{Theorem}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{satz}{Satz}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{claim}{Behauptung}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{lemm}{Lemma}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{cor}{Korollar}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{folg}{Folgerung}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{prop}{Proposition}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
|
|
\theorembodyfont{\upshape} |
|
|
|
\ranewthm{defn}{Definition}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{conv}{Konvention}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{obs}{Beobachtung}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{e.g.}{Beipsiel}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{fact}{Fakt}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{rem}{Bemerkung}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{qstn}{Frage}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{exer}{Aufgabe}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{soln}{Lösung}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
|
|
\theoremheaderfont{\itshape\bfseries} |
|
\theorembodyfont{\upshape} |
|
|
|
\ranewthm{proof@tmp}{Beweis}{\enndeOfProofSign}[Xdisplaynone] |
|
\rathmtransfer{proof@tmp*}{proof} |
|
|
|
\def\behauptungbeleg@claim{% |
|
\iflanguage{british}{Claim}{% |
|
\iflanguage{english}{Claim}{% |
|
\iflanguage{ngerman}{Behauptung}{% |
|
\iflanguage{russian}{Утверждение}{% |
|
Claim% |
|
}}}}% |
|
} |
|
\def\behauptungbeleg@pf@kurz{% |
|
\iflanguage{british}{Pf}{% |
|
\iflanguage{english}{Pf}{% |
|
\iflanguage{ngerman}{Bew}{% |
|
\iflanguage{russian}{Доказательство}{% |
|
Pf% |
|
}}}}% |
|
} |
|
\def\behauptungbeleg{\@ifnextchar\bgroup{\behauptungbeleg@c}{\behauptungbeleg@bes}} |
|
\def\behauptungbeleg@c#1{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim\erlaubeplatz #1.}]} |
|
\def\behauptungbeleg@bes{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim.}]} |
|
\def\belegbehauptung{\item[{\bfseries\itshape\behauptungbeleg@pf@kurz.}]} |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% ALTE UMGEBUNGEN: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\newcolumntype{\RECHTS}[1]{>{\raggedleft}p{#1}} |
|
\newcolumntype{\LINKS}[1]{>{\raggedright}p{#1}} |
|
\newcolumntype{m}{>{$}l<{$}} |
|
\newcolumntype{C}{>{$}c<{$}} |
|
\newcolumntype{L}{>{$}l<{$}} |
|
\newcolumntype{R}{>{$}r<{$}} |
|
\newcolumntype{0}{@{\hspace{0pt}}} |
|
\newcolumntype{\LINKSRAND}{@{\hspace{\@totalleftmargin}}} |
|
\newcolumntype{h}{@{\extracolsep{\fill}}} |
|
\newcolumntype{i}{>{\itshape}} |
|
\newcolumntype{t}{@{\hspace{\tabcolsep}}} |
|
\newcolumntype{q}{@{\hspace{1em}}} |
|
\newcolumntype{n}{@{\hspace{-\tabcolsep}}} |
|
\newcolumntype{M}[2]{% |
|
>{\begin{minipage}{#2}\begin{math}}% |
|
{#1}% |
|
<{\end{math}\end{minipage}}% |
|
} |
|
\newcolumntype{T}[2]{% |
|
>{\begin{minipage}{#2}}% |
|
{#1}% |
|
<{\end{minipage}}% |
|
} |
|
\setlength{\LTpre}{\baselineskip} |
|
\setlength{\LTpost}{0pt} |
|
\def\center{\centering} |
|
\def\endcenter{} |
|
|
|
\def\punkteumgebung@genbefehl#1#2#3{ |
|
\punkteumgebung@genbefehl@{#1}{#2}{#3}{}{} |
|
\punkteumgebung@genbefehl@{multi#1}{#2}{#3}{ |
|
\setlength{\columnsep}{10pt}% |
|
\setlength{\columnseprule}{0pt}% |
|
\begin{multicols}{\thecolumnanzahl}% |
|
}{\end{multicols}\nvraum{1}} |
|
} |
|
\def\punkteumgebung@genbefehl@#1#2#3#4#5{ |
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{ |
|
\@ifnextchar\bgroup{\csname #1@c\endcsname}{\csname #1@bes\endcsname} |
|
}%] |
|
\expandafter\def\csname #1@c\endcsname##1{ |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@c@\endcsname{##1}}{\csname #1@c@\endcsname{##1}[\z@]} |
|
}%] |
|
\expandafter\def\csname #1@c@\endcsname##1[##2]{ |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2]}{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2][\z@]} |
|
}%] |
|
\expandafter\def\csname #1@c@@\endcsname##1[##2][##3]{ |
|
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand |
|
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand |
|
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{##2} |
|
\addtolength{\gesamtrechterRand}{##3} |
|
\advance\linewidth -##2% |
|
\advance\linewidth -##3% |
|
\advance\@totalleftmargin ##2% |
|
\parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth% |
|
#4 |
|
\begin{#2}[\upshape ##1]% |
|
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax% |
|
\setlength{\topsep}{\z@}\relax% |
|
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax% |
|
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax% |
|
\setlength{\itemsep}{#3}\relax% |
|
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax% |
|
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax% |
|
} |
|
\expandafter\def\csname #1@bes\endcsname{ |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@bes@\endcsname}{\csname #1@bes@\endcsname[\z@]} |
|
}%] |
|
\expandafter\def\csname #1@bes@\endcsname[##1]{ |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@bes@@\endcsname[##1]}{\csname #1@bes@@\endcsname[##1][\z@]} |
|
}%] |
|
\expandafter\def\csname #1@bes@@\endcsname[##1][##2]{ |
|
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand |
|
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand |
|
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{##1} |
|
\addtolength{\gesamtrechterRand}{##2} |
|
\advance\linewidth -##1% |
|
\advance\linewidth -##2% |
|
\advance\@totalleftmargin ##1% |
|
\parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth% |
|
#4 |
|
\begin{#2}% |
|
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax% |
|
\setlength{\topsep}{\z@}\relax% |
|
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax% |
|
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax% |
|
\setlength{\itemsep}{#3}\relax% |
|
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax% |
|
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax% |
|
} |
|
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{% |
|
\end{#2}#5 |
|
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand} |
|
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand} |
|
} |
|
} |
|
|
|
\def\ritempunkt{{\Large\textbullet}} % \textbullet, $\sqbullet$, $\blacktriangleright$ |
|
\setdefaultitem{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt} |
|
\punkteumgebung@genbefehl{itemise}{compactitem}{\parskip}{}{} |
|
\punkteumgebung@genbefehl{kompaktitem}{compactitem}{\z@}{}{} |
|
\punkteumgebung@genbefehl{enumerate}{compactenum}{\parskip}{}{} |
|
\punkteumgebung@genbefehl{kompaktenum}{compactenum}{\z@}{}{} |
|
|
|
\let\ALTthebibliography\thebibliography |
|
\renewenvironment{thebibliography}[1]{% |
|
\begin{ALTthebibliography}{#1} |
|
\addcontentsline{toc}{part}{\bibname} |
|
}{% |
|
\end{ALTthebibliography} |
|
} |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% NEUE UMGEBUNGEN: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\matrix#1{\left(\begin{array}[mc]{#1}} |
|
\def\endmatrix{\end{array}\right)} |
|
\def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}} |
|
\def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)} |
|
\def\vector{\begin{matrix}{c}} |
|
\def\endvector{\end{matrix}} |
|
\def\svector{\begin{smatrix}} |
|
\def\endsvector{\end{smatrix}} |
|
|
|
\def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{% |
|
\expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup} |
|
\expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}} |
|
\expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}} |
|
\expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8} |
|
} |
|
\multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}} |
|
\multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}} |
|
\multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{} |
|
\multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}} |
|
|
|
\def\underbracenodisplay#1{% |
|
\mathop{\vtop{\m@th\ialign{##\crcr |
|
$\hfil\displaystyle{#1}\hfil$\crcr |
|
\noalign{\kern3\p@\nointerlineskip}% |
|
\upbracefill\crcr\noalign{\kern3\p@}}}}\limits% |
|
} |
|
|
|
\def\mathe[#1]#2{% |
|
\ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\begin{escapeeinzug}} |
|
\noindent% |
|
\let\eqtagset\boolfalsch |
|
\let\eqtaglabel\boolleer |
|
\let\eqtagsymb\boolleer |
|
\let\alteqtag\eqtag |
|
\def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@loc@}{\eqtag@loc@[*]}}% |
|
\def\eqtag@loc@[##1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@loc@@[##1]}{\eqtag@loc@@[##1]{}}}% |
|
\def\eqtag@loc@@[##1]##2{% |
|
\gdef\eqtagset{\boolwahr} |
|
\gdef\eqtaglabel{##1} |
|
\gdef\eqtagsymb{##2} |
|
}% |
|
\def\verticalalign{}% |
|
\IfBeginWith{#1}{t}{\def\verticalalign{t}}{}% |
|
\IfBeginWith{#1}{m}{\def\verticalalign{c}}{}% |
|
\IfBeginWith{#1}{b}{\def\verticalalign{b}}{}% |
|
\def\horizontalalign{\null\hfill\null}% |
|
\IfEndWith{#1}{l}{}{\null\hfill\null}% |
|
\IfEndWith{#1}{r}{\def\horizontalalign{}}{}% |
|
\begin{math} |
|
\begin{array}[\verticalalign]{0#2}% |
|
} |
|
\def\endmathe{% |
|
\end{array} |
|
\end{math}\horizontalalign% |
|
\let\eqtag\alteqtag |
|
\ifthenelse{\equal{\eqtagset}{\boolwahr}}{\eqtag[\eqtaglabel]{\eqtagsymb}}{} |
|
\ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\end{escapeeinzug}}% |
|
} |
|
|
|
\def\longmathe[#1]#2{\relax |
|
\let\altarraystretch\arraystretch |
|
\renewcommand\arraystretch{1.2}\relax |
|
\begin{longtable}[#1]{\LINKSRAND #2} |
|
} |
|
\def\endlongmathe{ |
|
\end{longtable} |
|
\renewcommand\arraystretch{\altarraystretch} |
|
} |
|
|
|
\def\einzug{\@ifnextchar[{\indents@}{\indents@[\z@]}}%] |
|
\def\indents@[#1]{\@ifnextchar[{\indents@@[#1]}{\indents@@[#1][\z@]}}%] |
|
\def\indents@@[#1][#2]{% |
|
\begin{list}{}{\relax |
|
\setlength{\topsep}{\z@}\relax |
|
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax |
|
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax |
|
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax |
|
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax |
|
\setlength{\leftmargin}{#1}\relax |
|
\setlength{\rightmargin}{#2}\relax |
|
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand |
|
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand |
|
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{#1} |
|
\addtolength{\gesamtrechterRand}{#2} |
|
}\relax |
|
\item[]\relax |
|
} |
|
\def\endeinzug{% |
|
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand} |
|
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand} |
|
\end{list}% |
|
} |
|
|
|
\def\escapeeinzug{\begin{einzug}[-\gesamtlinkerRand][-\gesamtrechterRand]} |
|
\def\endescapeeinzug{\end{einzug}} |
|
|
|
\def\programmiercode{ |
|
\modulolinenumbers[1] |
|
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]% |
|
\begin{linenumbers}% |
|
\fontfamily{cmtt}\fontseries{m}\fontshape{u}\selectfont% |
|
\setlength{\parskip}{1\baselineskip}% |
|
\setlength{\parindent}{0pt}% |
|
} |
|
\def\endprogrammiercode{ |
|
\end{linenumbers} |
|
\end{einzug} |
|
} |
|
|
|
\def\schattiertebox@genbefehl#1#2#3{ |
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{% |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@args\endcsname}{\csname #1@args\endcsname[#3]}%]% |
|
} |
|
\expandafter\def\csname #1@args\endcsname[##1]{% |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@args@l\endcsname[##1]}{\csname #1@args@n\endcsname[##1]}%]% |
|
} |
|
\expandafter\def\csname #1@args@l\endcsname[##1][##2]{% |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@args@l@r\endcsname[##1][##2]}{\csname #1@args@l@n\endcsname[##1][##2]}%]% |
|
} |
|
\expandafter\def\csname #1@args@n\endcsname[##1]{% |
|
\let\boolinmdframed\boolwahr |
|
\begin{mdframed}[#2leftmargin=0,rightmargin=0,outermargin=0,innermargin=0,##1] |
|
} |
|
\expandafter\def\csname #1@args@l@n\endcsname[##1][##2]{% |
|
\let\boolinmdframed\boolwahr |
|
\begin{mdframed}[#2leftmargin=##2/2,rightmargin=##2/2,outermargin=##2/2,innermargin=##2/2,##1] |
|
} |
|
\expandafter\def\csname #1@args@l@r\endcsname[##1][##2][##3]{% |
|
\let\boolinmdframed\boolwahr |
|
\begin{mdframed}[#2leftmargin=##2,rightmargin=##3,outermargin=##2,innermargin=##3,##1] |
|
} |
|
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{% |
|
\end{mdframed} |
|
\let\boolinmdframed\boolfalsch |
|
} |
|
} |
|
\schattiertebox@genbefehl{schattiertebox}{ |
|
splittopskip=0,% |
|
splitbottomskip=0,% |
|
frametitleaboveskip=0,% |
|
frametitlebelowskip=0,% |
|
skipabove=1\baselineskip,% |
|
skipbelow=1\baselineskip,% |
|
linewidth=2pt,% |
|
linecolor=black,% |
|
roundcorner=4pt,% |
|
}{ |
|
backgroundcolor=leer,% |
|
nobreak=true,% |
|
} |
|
|
|
\schattiertebox@genbefehl{schattierteboxdunn}{ |
|
splittopskip=0,% |
|
splitbottomskip=0,% |
|
frametitleaboveskip=0,% |
|
frametitlebelowskip=0,% |
|
skipabove=1\baselineskip,% |
|
skipbelow=1\baselineskip,% |
|
linewidth=1pt,% |
|
linecolor=black,% |
|
roundcorner=2pt,% |
|
}{ |
|
backgroundcolor=leer,% |
|
nobreak=true,% |
|
} |
|
|
|
\def\algorithm{\schattiertebox[backgroundcolor=hellgrau,nobreak=false]} |
|
\def\endalgorithm{\endschattiertebox} |
|
|
|
\def\tikzsetzenode#1{% |
|
\tikz[remember picture,baseline,overlay]{\node #1;}% |
|
} |
|
\def\tikzsetzepfeil#1{% |
|
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,>=latex]% |
|
\draw #1;% |
|
\end{tikzpicture}% |
|
} |
|
\def\tikzsetzeoverlay#1{% |
|
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,>=latex]% |
|
#1% |
|
\end{tikzpicture}% |
|
} |
|
\def\tikzsetzekreise[#1]#2#3{% |
|
\tikzsetzepfeil{% |
|
[rounded corners,#1]% |
|
([shift={(-\tabcolsep,0.75\baselineskip)}]#2)% |
|
rectangle% |
|
([shift={(\tabcolsep,-0.5\baselineskip)}]#3) |
|
}% |
|
} |
|
|
|
\tikzset{ |
|
>=stealth, |
|
auto, |
|
thick, |
|
main node/.style={ |
|
circle,draw,font=\sffamily\Large\bfseries,minimum size=0pt |
|
}, |
|
} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: src/setup-layout.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
\pagestyle{fancyplain} |
|
|
|
\@ifundefined{setcitestyle}{% |
|
%% do nothing |
|
}{% |
|
\setcitestyle{numeric-comp,open={[},close={]}} |
|
} |
|
\def\crefpairconjunction{ und } |
|
\def\crefmiddleconjunction{, } |
|
\def\creflastconjunction{, und } |
|
|
|
\raggedbottom %% <- pushes footers up |
|
\sloppy |
|
\def\headrulewidth{0pt} |
|
\def\footrulewidth{0pt} |
|
\setlength{\columnsep}{20pt} |
|
\setlength{\columnseprule}{1pt} |
|
\setlength{\headheight}{11pt} |
|
\setlength{\partopsep}{0pt} |
|
\setlength{\topsep}{\baselineskip} |
|
\setlength{\topskip}{0.5\baselineskip} |
|
\setlength{\footskip}{-1\baselineskip} |
|
\setlength{\maxdepth}{0pt} |
|
\renewcommand{\baselinestretch}{1} |
|
\renewcommand{\arraystretch}{1} |
|
\setcounter{LTchunksize}{\infty} |
|
\setlength{\abovedisplayskip}{0pt} |
|
\setlength{\parskip}{1\baselineskip} |
|
\def\firstparagraph{\noindent} |
|
\def\continueparagraph{\noindent} |
|
|
|
\hypersetup{ |
|
hidelinks=true, |
|
} |
|
|
|
\@addtoreset{chapter}{part} %% nötig für Hyperref. |
|
|
|
\def\partfont{\documentfont\fontseries{bx}\Huge\selectfont} |
|
\def\chapterfont{\documentfont\fontseries{bx}\huge\selectfont} |
|
\def\sectionfont{\documentfont\fontseries{bx}\Large\selectfont} |
|
\def\subsectionfont{\documentfont\fontseries{bx}\large\selectfont} |
|
|
|
\def\thepart{\Roman{part}} |
|
\generatenestedsecnumbering{arabic}{part}{chapter} |
|
\generatenestedsecnumbering{arabic}{chapter}{section} |
|
\generatenestedsecnumbering{arabic}{section}{subsection} |
|
\generatenestedsecnumbering{arabic}{subsection}{subsubsection} |
|
\def\theunitnamepart{\thepart} |
|
\def\theunitnamechapter{\theshortchapter} |
|
\def\theunitnamesection{\thelongsection} |
|
\def\theunitnamesubsection{\thelongsubsection} |
|
\def\theunitnamesubsubsection{\thelongsubsubsection} |
|
|
|
\def\partname{Teil\erlaubeplatz} |
|
\def\chaptername{Kapitel\erlaubeplatz} |
|
\def\sectionname{\S\erlaubeplatz} |
|
\def\subsectionname{} |
|
\def\subsubsectionname{} |
|
|
|
\let\appendix@orig\appendix |
|
\def\appendix{% |
|
\appendix@orig% |
|
\let\boolinappendix\boolwahr |
|
\addcontentsline{toc}{part}{\appendixname}% |
|
\addtocontents{toc}{\protect\setcounter{tocdepth}{0}} |
|
\def\sectionname{Appendix}% |
|
\def\theunitnamesection{\Alph{section}}% |
|
} |
|
\def\notappendix{% |
|
\let\boolinappendix\boolfalse |
|
\addtocontents{toc}{\protect\setcounter{tocdepth}{1 }} |
|
\def\sectionname{}% |
|
\def\theunitnamesection{\arabic{section}}% |
|
} |
|
|
|
%% \titlespacing{<sectionclassname>} |
|
%% {linker einzug}{platz oberhalb}{platz unterhalb}[rechter einzug] |
|
|
|
\titlespacing{\section}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip} |
|
\titlespacing{\subsection}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip} |
|
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip} |
|
\titlespacing{\paragraph}{0pt}{0pt}{1em} |
|
|
|
\titleformat{\part}[display] |
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\Huge\centering} |
|
{% |
|
\ifthenelse{\equal{\partname}{}}{% |
|
\theunitnamepart% |
|
}{% |
|
\MakeUppercase{\partname}~\theunitnamepart% |
|
}% |
|
}{0pt}{% |
|
}[\thispagestyle{empty}] |
|
\titleformat{\chapter}[frame] |
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\Large} |
|
{% |
|
\bedingtesspaceexpand{chaptername}{~}{\theunitnamechapter}% |
|
}{0.5em}{% |
|
}[\thispagestyle{empty}]%\titlerule%[2pt]% |
|
\titleformat{\section}[hang] |
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large} |
|
{% |
|
\bedingtesspaceexpand{sectionname}{~}{\theunitnamesection}% |
|
}{0.5em} |
|
{% |
|
} |
|
[% |
|
\nvraum{0.25}% |
|
] |
|
\titleformat{\subsection}[hang] |
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large} |
|
{% |
|
\bedingtesspaceexpand{subsectionname}{~}{\theunitnamesubsection}% |
|
}{0.5em} |
|
{% |
|
} |
|
[% |
|
\nvraum{0.25}% |
|
] |
|
\titleformat{\subsubsection}[hang] |
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large} |
|
{% |
|
\bedingtesspaceexpand{subsubsectionname}{~}{\theunitnamesubsubsection}% |
|
}{0.5em} |
|
{% |
|
} |
|
[% |
|
\nvraum{0.25}% |
|
] |
|
|
|
\def\rafootnotectr{20} |
|
\def\incrftnotectr#1{% |
|
\addtocounter{#1}{1}% |
|
\ifnum\value{#1}>\rafootnotectr\relax |
|
\setcounter{#1}{0}% |
|
\fi% |
|
} |
|
\def\footnoteref[#1]{\protected@xdef\@thefnmark{\ref{#1}}\@footnotemark} |
|
\let\altfootnotetext\footnotetext |
|
\def\footnotetext[#1]#2{\incrftnotectr{footnote}\altfootnotetext[\value{footnote}]{\label{#1}#2}} |
|
\let\altfootnotemark\footnotemark |
|
%% Undesirable solution, as the text is not hyperlinked. |
|
\def\footnotemark[#1]{\text{\textsuperscript{\getrefnumber{#1}}}} |
|
|
|
\DefineFNsymbols*{custom}{abcdefghijklmnopqrstuvwxyz} |
|
\setfnsymbol{custom} |
|
\def\footnotelayout{\documentfont\scriptsize} |
|
\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}} |
|
|
|
\def\kopfzeileleer{ |
|
\lhead[]{} |
|
\chead[]{} |
|
\rhead[]{} |
|
\lfoot[]{} |
|
\cfoot[]{} |
|
\rfoot[]{} |
|
} |
|
\def\kopfzeiledefault{ |
|
\lhead[]{} |
|
\lhead[]{} |
|
\chead[]{} |
|
\rhead[]{} |
|
\lfoot[]{} |
|
\cfoot{\footnotesize\thepage} |
|
\rfoot[]{} |
|
} |
|
|
|
\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{pcr}\selectfont} |
|
\def\headingfont{\fontfamily{cmss}\selectfont} |
|
\def\documentfancyfont{% |
|
\gdef\headingfont{\crfamily}% |
|
\fontfamily{ccr}\fontseries{m}\selectfont% |
|
} |
|
\def\documentfont{% |
|
\gdef\headingfont{\fontfamily{cmss}\selectfont}% |
|
\fontfamily{cmss}\fontseries{m}\selectfont% |
|
\renewcommand{\sfdefault}{phv}% |
|
\renewcommand{\ttdefault}{pcr}% |
|
\renewcommand{\rmdefault}{cmr}% <— funktionieren nicht mit {ptm} |
|
\renewcommand{\bfdefault}{bx}% |
|
\renewcommand{\itdefault}{it}% |
|
\renewcommand{\sldefault}{sl}% |
|
\renewcommand{\scdefault}{sc}% |
|
\renewcommand{\updefault}{n}% |
|
} |
|
|
|
\allowdisplaybreaks |
|
\let\altcleardoublepage\cleardoublepage |
|
\let\cleardoublepage\clearpage |
|
|
|
\def\startdocumentlayoutoptions{ |
|
\selectlanguage{ngerman} |
|
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip} |
|
\setlength{\parindent}{0pt} |
|
\kopfzeiledefault |
|
\documentfont |
|
\normalsize |
|
} |
|
|
|
\def\highlightTerm#1{\emph{#1}} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: srclocal/setup-localmacros.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% MATHE: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\cal#1{\mathcal{#1}} |
|
\def\reell{\mathbb{R}} |
|
\def\kmplx{\mathbb{C}} |
|
\def\Torus{\mathbb{T}} |
|
\def\rtnl{\mathbb{Q}} |
|
\def\intgr{\mathbb{Z}} |
|
|
|
\def\ntrl{\mathbb{N}} |
|
\def\ntrlpos{\mathbb{N}} |
|
\def\ntrlzero{\mathbb{N}_{0}} |
|
\def\reellNonNeg{\reell_{+}} |
|
|
|
\def\imageinh{\imath} |
|
\def\ReTeil{\mathop{\mathfrak{R}\text{\upshape e}}} |
|
\def\ImTeil{\mathop{\mathfrak{I}\text{\upshape m}}} |
|
|
|
\def\leer{\emptyset} |
|
\def\restr#1{\vert_{#1}} |
|
\def\ohne{\mathbin{\setminus}} |
|
\def\Pot{\mathop{\mathcal{P}}} |
|
\def\einser{\mathbf{1}} |
|
\def\supp{\mathop{\mathrm{supp}}} |
|
|
|
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle} |
|
\def\lsim{\mathop{\sim}} |
|
\def\lneg{\mathop{\neg}} |
|
\def\land{\mathop{\wedge}} |
|
\def\lor{\mathop{\vee}} |
|
|
|
\def\eps{\varepsilon} |
|
\let\altphi\phi |
|
\let\altvarphi\varphi |
|
\def\phi{\altvarphi} |
|
\def\varphi{\altphi} |
|
|
|
\def\vectorspacespan{\mathop{\text{\upshape Lin}}} |
|
\def\dim{\mathop{\text{\upshape dim}}} |
|
\def\rank{\mathop{\text{\upshape Rang}}} |
|
\def\onematrix{\text{\upshape\bfseries I}} |
|
\def\zeromatrix{\text{\upshape\bfseries 0}} |
|
\def\zerovector{\text{\upshape\bfseries 0}} |
|
|
|
\def\graph{\mathop{\text{\upshape Gph}}} |
|
\def\domain{\mathop{\text{\upshape dom}}} |
|
\def\range{\mathop{\text{\upshape Bild}}} |
|
\def\ker{\mathop{\text{\upshape Kern}}} |
|
\def\functionspace{\mathop{\text{\upshape Abb}}} |
|
\def\id{\text{\upshape id}} |
|
\def\modfn{\mathop{\text{\upshape mod}}} |
|
\def\divides{\mathbin{\mid}} |
|
\def\ndivides{\mathbin{\nmid}} |
|
\def\ggT{\mathop{\text{\upshape ggT}}} |
|
\def\choose#1#2{\begin{smatrix}#1\\#2\\\end{smatrix}} |
|
|
|
\makeatother |
|
|
|
\begin{document} |
|
\startdocumentlayoutoptions |
|
|
|
%% FRONTMATTER: |
|
\thispagestyle{plain} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: front/index.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: front/title.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
\begin{titlepage} |
|
\null |
|
|
|
\vraum |
|
|
|
\noindent\rule{\linewidth}{2pt} |
|
|
|
{\hraum\LARGE Lineare Algebra I\hraum}\\ |
|
{\hraum\LARGE $\oast$\,\rule[0.175\baselineskip]{0.65\linewidth}{1pt}\,$\oast$ \hraum}\\ |
|
{\hraum\Large Zusatzaufgaben aus der Übungsgruppe\hraum} |
|
|
|
\noindent\rule{\linewidth}{2pt} |
|
|
|
\vraum |
|
|
|
\noindent |
|
\hraum{\footnotesize Raj Dahya}\hraum\\ |
|
\hraum{\small \itshape Fakultät für Mathematik und Informatik}\hraum\\ |
|
\hraum{\small \itshape Universität Leipzig.}\hraum\\ |
|
\hraum{\small Wintersemester 2020/2021 }\hraum |
|
\end{titlepage} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: front/foreword.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
\chapter*{Vorwort} |
|
|
|
Dieses Dokument enthält zusätzliche Aufgaben und Themen, |
|
die in den Übungsgruppen erörtert wurden. |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: front/contents.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
\kopfzeiledefault |
|
\footnotesize |
|
\setcounter{tocdepth}{1} |
|
\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis} |
|
|
|
\tableofcontents |
|
|
|
%% HAUPTTEXT: |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: body/index.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
\def\chaptername{} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: body/linear-extensions.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
\chapter[Lineare Ausdehnung]{Lineare Ausdehnung} |
|
\label{ch:lin-ext} |
|
|
|
In der Übungsgruppe in Woche 12 (am 3.2.2021) diskutierten wir |
|
verzwickte Situationen und Fragentypen, die zum Thema linearer Ausdehnung vorkommen können. |
|
Wir hatten das größtenteils theoretisch ausgelegt. |
|
Hier wollen wir ein paar Aufgaben komplett durchrechnen. |
|
|
|
\textbf{Beachte!} Hier geht es niemals darum, |
|
eine lineare Ausdehnung \emph{explizit darzustellen}, |
|
sondern vielmehr |
|
(1) \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} als zentrales Resultat anzuwenden, |
|
(2) eine Basis aus den Inputvektoren zu generieren |
|
(ggf. durch Entfernung von „linear abhängigen“ Vektoren, ggf. durch Basiserweiterung, ggf. durch beides!) |
|
(3) die Input und Outputvektoren in der partielldefinierten Funktion |
|
zu untersuchen, und \uline{rein aufgrund dessen} ein Urteil zu treffen, |
|
ob |
|
(3a) eine lineare Ausdehnung überhaupt möglich ist, |
|
(3b) eine injektive/nicht injektive lineare Ausdehnung möglich ist, |
|
(3c) eine surjektive/nicht surjektive lineare Ausdehnung möglich ist, |
|
(3d) eine Isomorphismus (=Bijektion)/nicht-Isomorphismus als lineare Ausdehnung möglich ist. |
|
|
|
Nun, im Falle von Funktionen ${\phi:U\to V}$, wobei $U,V$ Vektorräume mit $\dim(U)=\dim(V)$, |
|
sind wegen \cite[Korollar~6.1.11]{sinn2020} die Nebenfragen (3a)–(3c) alle äquivalent. |
|
Im Falle $\dim(U)\neq\dim(V)$ machen wir von folgender Beobachtung Gebrauch: |
|
|
|
\begin{obs*} |
|
Seien $U$, $V$ (endlich dimensionale) Vektorräume über einem Körper $K$ |
|
und sei ${\phi:U\to V}$ linear. |
|
Da $\range(\phi)\subseteq V$ gilt offensichtlich $\dim(\range(\phi))\leq\dim(V)$. |
|
Und wenn wir eine Basis ${\{u_{1},u_{2}\ldots,u_{n}\}\subseteq U}$ |
|
für $U$ fixieren, mit $n=\dim(U)$, |
|
so gilt wegen Linearität |
|
${\range(\phi)=\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\ldots,\phi(u_{n})\}}$. |
|
Das heißt, $\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\ldots,\phi(u_{n})\}$ |
|
ist ein Erzeugendensystem für $\range(\phi)$. |
|
Folglich gilt $\dim(\range(\phi))\leq n=\dim(U)$. |
|
Da per Definition $\rank(\phi)=\dim(\range(\phi))$, |
|
haben wir gezeigt, |
|
dass |
|
${\rank(\phi)\leq\dim(V)}$ |
|
und ${\rank(\phi)\leq\dim(U)}$ |
|
\uline{stets gelten}. |
|
Kürzer formuliert: |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
\eqtag[eq:lin-abb-leq:ch:lin-ext] |
|
\rank(\phi) &\leq &\min\{\dim(U),\dim(V)\}\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
gilt immer für alle lineare Abbildungen ${\phi:U\to V}$ |
|
und alle Vektorräume $U, V$. |
|
\end{obs*} |
|
|
|
Aus dieser Beobachtung können wir über (3b–3d) folgende Urteile generell treffen, wenn $\dim(U)\neq\dim(V)$: |
|
|
|
\begin{kompaktitem} |
|
\item |
|
Falls $\dim(U)>\dim(V)$ kann es bei offensichtlich höchstens nicht-injektive lineare Ausdehnungen geben, |
|
weil für ${\phi:U\to V}$ linear gilt $\rank(\phi)\leq\dim(V)<\dim(U)$, |
|
sodass laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} $\phi$ niemals injektiv sein kann. |
|
\item[] |
|
Darum lautet die Antwort zu (3b/3d) \emph{Gibt es injektive/bijektive...?} immer nein. |
|
Die Fragen (3b/3d) \emph{Gibt es nicht-injektive/nicht-bijektive...?} sind dann äquivalent zu (3a). |
|
\item |
|
Falls $\dim(U)<\dim(V)$ kann es bei (3c) offensichtlich höchstens nicht-surjektive lineare Ausdehnungen geben, |
|
weil für ${\phi:U\to V}$ linear gilt $\rank(\phi)\leq\dim(U)<\dim(V)$, |
|
sodass laut \cite[Korollar~6.3.15(2)]{sinn2020} $\phi$ niemals surjektiv sein kann. |
|
\item[] |
|
Darum lautet die Antwort zu (3c/3d) \emph{Gibt es surjektive/bijektive...?} immer nein. |
|
Die Fragen (3b/3d) \emph{Gibt es nicht-surjektive/nicht-bijektive...?} sind dann äquivalent zu (3a). |
|
\end{kompaktitem} |
|
|
|
Daher können wir die Fragentypen in den Aufgaben immer teilweise sofort beantworten |
|
und zum Teil vereinfachen, |
|
je nachdem, ob $\dim(U)=\dim(V)$, oder $\dim(U)<\dim(V)$, oder $\dim(U)>\dim(V)$ |
|
gelten. |
|
|
|
%% AUFGABE 1 |
|
\clearpage |
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
\def\sectionname{Aufgabe} |
|
\section[Aufgabe 1]{} |
|
\label{sec:1} |
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{4}$ und $V:=\reell^{2}$ |
|
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{ccc} |
|
u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, |
|
&u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, |
|
&u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector},\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{ccc} |
|
v_{1} = \begin{svector} 5\\ 8\\\end{svector}, |
|
&v_{2} = \begin{svector} -9\\ 11\\\end{svector}, |
|
&v_{3} = \begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector}.\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
\begin{qstn} |
|
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, |
|
so dass |
|
|
|
\setcounter{columnanzahl}{3} |
|
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] |
|
\item |
|
$\phi(u_{1})=v_{1}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{2})=v_{2}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{3})=v_{3}$ |
|
\end{multikompaktenum} |
|
|
|
\uline{alle} erfüllt sind? |
|
\end{qstn} |
|
|
|
\begin{soln*} |
|
Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig sind\footnote{ |
|
ich lasse hier die Beweise weg, |
|
aber man sollte die zeigen, |
|
z.\,B. durch das Gaußverfahren. |
|
} |
|
und dass $u_{3}\in\vectorspacespan\{u_{1},_{2}\}$, |
|
da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$. |
|
Wir beachten auch, dass |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccl} |
|
10v_{2}-10v_{1} &= &\begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector} &= &v_{3}\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
gilt. |
|
Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i) + ii)} reduzieren: |
|
existiert eine lineare Abbildung, die {i) + ii)} erfüllt, |
|
dann wird wegen Linearität Bedingung iii) automatisch mit erfüllt. |
|
Existiert keine lineare Abbildung, die {i) + ii)} erfüllt, |
|
dann existiert natürlich auch keine, die i)--iii) erfüllt. |
|
|
|
Wir \uline{erweitern} nun die lineare unabhängige Menge |
|
$\{u_{1},u_{2}\}$ |
|
zu einer Basis |
|
$\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ |
|
von $U$. |
|
Wähle außerdem beliebige Vektoren, $v'_{3},v'_{4}\in V$. |
|
Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis von $U$ |
|
ist und $v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\in V$, |
|
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} |
|
eine lineare Ausdehnung, |
|
${\phi:U\to V}$, |
|
so dass |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{cccc} |
|
\phi(u_{1})=v_{1}, |
|
&\phi(u_{2})=v_{2}, |
|
&\phi(u'_{3})=v'_{3}, |
|
&\phi(u'_{4})=v'_{4}, |
|
\end{mathe} |
|
|
|
gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt. |
|
Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}! |
|
\end{soln*} |
|
|
|
\begin{qstn} |
|
Gibt es eine |
|
|
|
\setcounter{columnanzahl}{3} |
|
\begin{multikompaktenum} |
|
\item[] b) injektive |
|
\item[] b') nicht-injektive |
|
\item[] c) surjektive |
|
\item[] c') nicht-surjektive |
|
\item[] d) bijektive\footnote{ |
|
also einen »Isomorphismus« |
|
} |
|
\item[] d') nicht-bijektive |
|
\end{multikompaktenum} |
|
|
|
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, |
|
so dass i)--iii) erfüllt sind? |
|
\end{qstn} |
|
|
|
\begin{soln*} |
|
Da $\dim(U)>\dim(V)$, |
|
kann es generell keine injektiven linearen Abbildungen |
|
von $U$ nach $V$ geben. |
|
Also lauten die Antworten auf \textbf{b)}, \textbf{d)} \fbox{Nein}, |
|
und da mindestens eine lineare Ausdehnung existiert, |
|
lautet die Antwort auf \textbf{b')} und \textbf{d')} \fbox{Ja}. |
|
|
|
Es bleiben nur noch \textbf{c)} und \textbf{c')} zu bestimmen. |
|
Sei ${\phi:U\to V}$ eine lineare Ausdehnung von i)--iii). |
|
Dann wegen Bedingungen {i) + ii)} und Linearität gilt |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccccl} |
|
\range(\phi) |
|
&\supseteq |
|
&\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\} |
|
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2}\} |
|
&= &V.\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
Die letzte Gleichung gilt, weil $\{v_{1},v_{2}\}$ |
|
linear unabhängig ist,\footnote{ |
|
ich lasse wieder den Beweis weg, |
|
aber man sollte das machen |
|
} |
|
und somit eine Basis von dem $2$-dimensionalen Raum, $V$, ist. |
|
Darum ist $\range(\phi)$ surjektiv. |
|
Da $\phi$ beliebig war, |
|
haben wir tatsächlich gezeigt, |
|
dass alle lineare Ausdehnungen von i)--iii) surjektiv sind. |
|
Darum lautet die Antwort auf \textbf{c)} \fbox{Ja} und auf \textbf{c')} \fbox{Nein}. |
|
\end{soln*} |
|
|
|
%% AUFGABE 2 |
|
\clearpage |
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
\def\sectionname{Aufgabe} |
|
\section[Aufgabe 2]{} |
|
\label{sec:2} |
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{4}$ und $V:=\reell^{2}$ |
|
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{cccc} |
|
u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, |
|
&u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, |
|
&u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}, |
|
&u_{4} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 2\\ 2\\\end{svector},\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{cccc} |
|
v_{1} = \begin{svector} 5\\ 8\\\end{svector}, |
|
&v_{2} = \begin{svector} 25\\ 40\\\end{svector}, |
|
&v_{3} = \begin{svector} 200\\ 320\\\end{svector}, |
|
&v_{4} = \begin{svector} 30\\ 48\\\end{svector}.\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
\begin{qstn} |
|
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, |
|
so dass |
|
|
|
\setcounter{columnanzahl}{2} |
|
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] |
|
\item |
|
$\phi(u_{1})=v_{1}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{2})=v_{2}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{3})=v_{3}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{4})=v_{4}$ |
|
\end{multikompaktenum} |
|
|
|
\uline{alle} erfüllt sind? |
|
\end{qstn} |
|
|
|
\begin{soln*} |
|
Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig sind |
|
und dass $u_{3},u_{4}\in\vectorspacespan\{u_{1},_{2}\}$, |
|
da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$ und ${u_{4}=u_{1}+u_{2}}$. |
|
Wir beachten auch, dass |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccl} |
|
10v_{2}-10v_{1} &= &\begin{svector} 200\\ 320\\\end{svector} &= &v_{3},\\ |
|
v_{1}+v_{2} &= &\begin{svector} 30\\ 48\\\end{svector} &= &v_{4}\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
gelten. |
|
Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i) + ii)} reduzieren, |
|
weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {iii) + iv)} |
|
für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt werden. |
|
|
|
Wir \uline{erweitern} nun die lineare unabhängige Menge |
|
$\{u_{1},u_{2}\}$ |
|
zu einer Basis |
|
$\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ |
|
von $U$. |
|
Wähle außerdem beliebige Vektoren, $v'_{3},v'_{4}\in V$. |
|
Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis von $U$ |
|
ist und $v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\in V$, |
|
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} |
|
eine lineare Ausdehnung, |
|
${\phi:U\to V}$, |
|
so dass |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{cccc} |
|
\phi(u_{1})=v_{1}, |
|
&\phi(u_{2})=v_{2}, |
|
&\phi(u'_{3})=v'_{3}, |
|
&\phi(u'_{4})=v'_{4}, |
|
\end{mathe} |
|
|
|
gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt. |
|
Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}! |
|
\end{soln*} |
|
|
|
\begin{qstn} |
|
Gibt es eine |
|
|
|
\setcounter{columnanzahl}{3} |
|
\begin{multikompaktenum} |
|
\item[] b) injektive |
|
\item[] b') nicht-injektive |
|
\item[] c) surjektive |
|
\item[] c') nicht-surjektive |
|
\item[] d) bijektive |
|
\item[] d') nicht-bijektive |
|
\end{multikompaktenum} |
|
|
|
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, |
|
so dass i)--iv) erfüllt sind? |
|
\end{qstn} |
|
|
|
\begin{soln*} |
|
Da $\dim(U)>\dim(V)$, |
|
kann es generell keine injektiven linearen Abbildungen |
|
von $U$ nach $V$ geben. |
|
Also lauten die Antworten auf \textbf{b)}, \textbf{d)} \fbox{Nein}, |
|
und da mindestens eine lineare Ausdehnung existiert, |
|
lautet die Antwort auf \textbf{b')} und \textbf{d')} \fbox{Ja}. |
|
|
|
Es bleiben nur noch \textbf{c)} und \textbf{c')} zu bestimmen. |
|
Beachte, dass in der Konstruktion von $\phi$ im o.\,s. Beweis |
|
wir $v'_{3},v'_{4}$ beliebig auswählen konnten. |
|
|
|
Zu \textbf{c)} wähle bspw. $v'_{3}:=\begin{svector} 1\\ 0\\\end{svector}$ |
|
und $v'_{4}:=\zerovector$ |
|
und sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung |
|
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. |
|
Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis für $U$ ist, |
|
gilt wegen Linearität von $\phi_{1}$ |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
\range(\phi_{1}) |
|
&= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\})\\ |
|
&= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2}),\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}\\ |
|
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}\\ |
|
&\supseteq &\vectorspacespan\{v_{1},v'_{3}\}\\ |
|
&= &V\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
Die letzte Gleichung gilt, |
|
weil \uline{per Wahl} $\{v_{1},v'_{3}\}$ linear unabhängig ist |
|
und somit eine Basis des $2$-dimenionalen Vektorraums, $V$ ist. |
|
Da $\range(\phi_{1})\supseteq V$, ist $\phi_{1}$ surjektiv. |
|
Die Antwort auf \textbf{c)} lautet also \fbox{Ja}. |
|
|
|
Zu \textbf{c')} wähle $v'_{3},v'_{4}:=\zerovector$ |
|
und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung |
|
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. |
|
Wie oben gilt |
|
$% |
|
\rank(\phi_{2}) |
|
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{2})) |
|
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}) |
|
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1}\}) |
|
\leq 1 |
|
$, |
|
da \uline{per Wahl} $v_{2},v_{3},v_{4}\in\vectorspacespan\{v_{1}\}$ |
|
und $v_{1}\neq\zerovector$. |
|
Also, $\rank(\phi_{2})<2=\dim(V)$. |
|
Folglich ist $\phi_{2}$ |
|
laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} |
|
nicht-surjektiv. |
|
Die Antwort auf \textbf{c')} lautet also \fbox{Ja}. |
|
\end{soln*} |
|
|
|
%% AUFGABE 3 |
|
\clearpage |
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
\def\sectionname{Aufgabe} |
|
\section[Aufgabe 3]{} |
|
\label{sec:3} |
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$ |
|
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{ccc} |
|
u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector}, |
|
&u_{2} = \begin{svector} 0\\ 2\\\end{svector}, |
|
&u_{3} = \begin{svector} 1\\ 3\\\end{svector}\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{ccc} |
|
v_{1} = \begin{svector} -9\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector}, |
|
&v_{2} = \begin{svector} 4\\ 0\\ 0\\ 2\\\end{svector}, |
|
&v_{3} = \begin{svector} 5\\ 1\\ 0\\ 3\\\end{svector}.\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
\begin{qstn} |
|
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, |
|
so dass |
|
|
|
\setcounter{columnanzahl}{3} |
|
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] |
|
\item |
|
$\phi(u_{1})=v_{1}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{2})=v_{2}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{3})=v_{3}$ |
|
\end{multikompaktenum} |
|
|
|
\uline{alle} erfüllt sind? |
|
\end{qstn} |
|
|
|
\begin{soln*} |
|
Beachte, dass $u_{3}=u_{1}+u_{2}$, aber |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccl} |
|
v_{1}+v_{2} |
|
&= &\begin{svector} -5\\ 0\\ 0\\ 3\\\end{svector} |
|
&\neq &v_{3}.\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
Angenommen, es gebe eine lineare Ausdehnung ${\phi:U\to V}$, |
|
die i)--iii) erfüllt. |
|
Dann muss |
|
$v_{3}=\phi(u_{3})=\phi(u_{1}+u_{2})=\phi(u_{1})+\phi(u_{2})=v_{1}+v_{2}$ |
|
gelten. Laut der o.\,s. Gleichung kann dies aber nicht gelten. |
|
Darum lautet die Antwort \fbox{Nein}. |
|
Es gibt keine lineare Ausdehnung. |
|
\end{soln*} |
|
|
|
%% AUFGABE 4 |
|
\clearpage |
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
\def\sectionname{Aufgabe} |
|
\section[Aufgabe 4]{} |
|
\label{sec:4} |
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$ |
|
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{ccc} |
|
u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector}, |
|
&u_{2} = \begin{svector} 2\\ 3\\\end{svector}, |
|
&u_{3} = \begin{svector} 0\\ 1\\\end{svector}\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{ccc} |
|
v_{1} = \begin{svector} 8\\ 0\\ 0\\ 4\\\end{svector}, |
|
&v_{2} = \begin{svector} 18\\ 0\\ 0\\ 9\\\end{svector}, |
|
&v_{3} = \begin{svector} 2\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector}.\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
\begin{qstn} |
|
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, |
|
so dass |
|
|
|
\setcounter{columnanzahl}{3} |
|
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] |
|
\item |
|
$\phi(u_{1})=v_{1}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{2})=v_{2}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{3})=v_{3}$ |
|
\end{multikompaktenum} |
|
|
|
\uline{alle} erfüllt sind? |
|
\end{qstn} |
|
|
|
\begin{soln*} |
|
Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{3}\}$ linear unabhängig ist |
|
und dass $u_{2}\in\vectorspacespan\{u_{1}\}$, |
|
da ${u_{2}=2u_{1}+u_{3}}$. |
|
Wir beachten auch, dass |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccl} |
|
2v_{1}+u_{3} &= &\begin{svector} 18\\ 0\\ 0\\ 9\\\end{svector} &= &v_{2}\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
gilt. |
|
Darum können wir die Frage auf Bedingung {i) + iii)} reduzieren, |
|
weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {ii)} |
|
für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt wird. |
|
|
|
Wegen linearer Unabhängigkeit ist $\{u_{1},u_{3}\}$ |
|
bereits eine Basis des $2$-dimensionalen Raums, $U$. |
|
Deswegen brauchen wir in dieser Aufgabe keine Erweiterung zu machen. |
|
Da $\{u_{1},u_{3}\}$ eine Basis für $U$ |
|
und $\{v_{1},v_{3}\}\subseteq V$, |
|
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} |
|
eine lineare Abbildung, |
|
${\phi:U\to V}$, |
|
so dass |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{cc} |
|
\phi(u_{1})=v_{1}, &\phi(u_{3})=v_{3}, |
|
\end{mathe} |
|
|
|
gelten. Insbesondere sind Bedingung {i) + iii)} erfüllt. |
|
Also lautet wie oben argumentiert, |
|
die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}! |
|
\end{soln*} |
|
|
|
\begin{qstn} |
|
Gibt es eine |
|
|
|
\setcounter{columnanzahl}{3} |
|
\begin{multikompaktenum} |
|
\item[] b) injektive |
|
\item[] b') nicht-injektive |
|
\item[] c) surjektive |
|
\item[] c') nicht-surjektive |
|
\item[] d) bijektive |
|
\item[] d') nicht-bijektive |
|
\end{multikompaktenum} |
|
|
|
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, |
|
so dass i)--iii) erfüllt sind? |
|
\end{qstn} |
|
|
|
\begin{soln*} |
|
Da $\dim(U)<\dim(V)$, |
|
kann es generell keine surjektive linearen Abbildungen |
|
von $U$ nach $V$ geben. |
|
Also lauten die Antworten auf \textbf{c)}, \textbf{d)} \fbox{Nein}, |
|
und da mindestens eine lineare Ausdehnung existiert, |
|
lautet die Antwort auf \textbf{c')} und \textbf{d')} \fbox{Ja}. |
|
|
|
Es bleiben nur noch \textbf{b)} und \textbf{b')} zu bestimmen. |
|
Sei $\phi$ eine lineare Ausdehnung, die i)--iii) erfüllt. |
|
Dann wegen Linearität von $\phi$ |
|
und da $\{u_{1},u_{3}\}$ eine Basis von $U$ ist, |
|
gilt |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccccl} |
|
\range(\phi) |
|
&= &\phi(\vectorspacespan\{u_{1},u_{3}\}) |
|
&= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{3})\} |
|
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{3}\} |
|
\end{mathe} |
|
|
|
und damit |
|
$% |
|
\rank(\phi) |
|
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi)) |
|
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{3}\}) |
|
=\dim(\vectorspacespan\{v_{3}\}) |
|
=1 |
|
$, |
|
da $v_{1}\in\vectorspacespan\{v_{3}\}$ |
|
und $v_{3}\neq\zerovector$. |
|
Also, $\rank(\phi)<2=\dim(U)$. |
|
Folglich ist $\phi$ |
|
laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} |
|
nicht injektiv. |
|
Da hier $\phi$ beliebig gewählt wurde, |
|
sind alle linearen Ausdehnungen von i)--iii) |
|
immer nicht-injektiv. |
|
Darum lautet die Antwort auf \textbf{b)} \fbox{Nein} |
|
und auf \textbf{b')} \fbox{Ja}. |
|
\end{soln*} |
|
|
|
%% AUFGABE 5 |
|
\clearpage |
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
\def\sectionname{Aufgabe} |
|
\section[Aufgabe 5]{} |
|
\label{sec:5} |
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$ |
|
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{ccc} |
|
u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector}, |
|
&u_{2} = \begin{svector} 2\\ 2\\\end{svector}, |
|
&u_{3} = \begin{svector} 3\\ 3\\\end{svector}\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{ccc} |
|
v_{1} = \begin{svector} 8\\ 0\\ 0\\ 4\\\end{svector}, |
|
&v_{2} = \begin{svector} 16\\ 0\\ 0\\ 8\\\end{svector}, |
|
&v_{3} = \begin{svector} 24\\ 0\\ 0\\ 12\\\end{svector}.\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
\begin{qstn} |
|
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, |
|
so dass |
|
|
|
\setcounter{columnanzahl}{3} |
|
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] |
|
\item |
|
$\phi(u_{1})=v_{1}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{2})=v_{2}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{3})=v_{3}$ |
|
\end{multikompaktenum} |
|
|
|
\uline{alle} erfüllt sind? |
|
\end{qstn} |
|
|
|
\begin{soln*} |
|
Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1}\}$ linear unabhängig ist |
|
und dass $u_{2},u_{3}\in\vectorspacespan\{u_{1}\}$, |
|
da $u_{2}=2u_{1}$ und $u_{3}=3u_{1}$. |
|
Wir beachten auch, dass |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccl} |
|
2v_{1} &= &\begin{svector} 16\\ 0\\ 0\\ 8\\\end{svector} &= &v_{2},\\ |
|
3v_{1} &= &\begin{svector} 24\\ 0\\ 0\\ 12\\\end{svector} &= &v_{3}\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
gelten. |
|
Darum können wir die Frage auf Bedingung {i)} reduzieren, |
|
weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {ii) + iii)} |
|
für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt werden. |
|
|
|
Erweitere $\{u_{1}\}$ zu einer Basis $\{u_{1},u'_{2}\}$ |
|
des $2$-dimensionalen Raums, $U$, |
|
und wähle einen Vektor $v'_{2}\in V$. |
|
Da $\{u_{1},u'_{2}\}$ eine Basis für $U$ |
|
und $\{v_{1},v'_{2}\}\subseteq V$, |
|
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} |
|
eine lineare Abbildung, |
|
${\phi:U\to V}$, |
|
so dass |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{cc} |
|
\phi(u_{1})=v_{1}, &\phi(u'_{2})=v'_{2}, |
|
\end{mathe} |
|
|
|
gelten. Insbesondere sind Bedingung {i)} erfüllt. |
|
Also lautet wie oben argumentiert, |
|
die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}! |
|
\end{soln*} |
|
|
|
\begin{qstn} |
|
Gibt es eine |
|
|
|
\setcounter{columnanzahl}{3} |
|
\begin{multikompaktenum} |
|
\item[] b) injektive |
|
\item[] b') nicht-injektive |
|
\item[] c) surjektive |
|
\item[] c') nicht-surjektive |
|
\item[] d) bijektive |
|
\item[] d') nicht-bijektive |
|
\end{multikompaktenum} |
|
|
|
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, |
|
so dass i)--iii) erfüllt sind? |
|
\end{qstn} |
|
|
|
\begin{soln*} |
|
Da $\dim(U)<\dim(V)$, |
|
kann es generell keine surjektive linearen Abbildungen |
|
von $U$ nach $V$ geben. |
|
Also lauten die Antworten auf \textbf{c)}, \textbf{d)} \fbox{Nein}, |
|
und da mindestens eine lineare Ausdehnung existiert, |
|
lautet die Antwort auf \textbf{c')} und \textbf{d')} \fbox{Ja}. |
|
|
|
Es bleiben nur noch \textbf{b)} und \textbf{b')} zu bestimmen. |
|
Beachte, dass in der Konstruktion von $\phi$ im o.\,s. Beweis |
|
wir $v'_{2}$ beliebig auswählen konnten. |
|
|
|
Zu \textbf{b)} wähle $v'_{2}:=\begin{svector} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}$ |
|
und sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung |
|
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. |
|
Da $\{u_{1},u'_{2}\}$ eine Basis für $U$ ist, |
|
gilt wegen Linearität von $\phi_{1}$ |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccccl} |
|
\range(\phi_{1}) |
|
&= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u'_{2}\}) |
|
&= &\vectorspacespan\{\phi_{1}(u_{1}),\phi_{1}(u'_{2})\} |
|
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\}, |
|
\end{mathe} |
|
|
|
und damit |
|
$% |
|
\rank(\phi_{1}) |
|
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{1})) |
|
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\}) |
|
=2 |
|
$, |
|
da \uline{per Wahl} $\{v_{1},v'_{2}\}$ linear unabhängig ist. |
|
Also, $\rank(\phi_{1})\geq 2=\dim(U)$. |
|
Folglich ist $\phi_{1}$ |
|
laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} |
|
injektiv. |
|
Die Antwort auf \textbf{b)} lautet also \fbox{Ja}. |
|
|
|
Zu \textbf{b')} wähle $v'_{2}:=\zerovector$ |
|
und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung |
|
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. |
|
Wie oben gilt |
|
$% |
|
\rank(\phi_{2}) |
|
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{2})) |
|
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\}) |
|
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1}\}) |
|
\leq 1 |
|
$, |
|
da \uline{per Wahl} $v'_{2}\in\vectorspacespan\{v_{1}\}$. |
|
Also, $\rank(\phi_{2})<2=\dim(U)$. |
|
Folglich ist $\phi_{2}$ |
|
laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} |
|
nicht-injektiv. |
|
Die Antwort auf \textbf{b')} lautet also \fbox{Ja}. |
|
\end{soln*} |
|
|
|
%% AUFGABE 6 |
|
\clearpage |
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
\def\sectionname{Aufgabe} |
|
\section[Aufgabe 6]{} |
|
\label{sec:6} |
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U=V:=\reell^{4}$ |
|
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V$ |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{cccc} |
|
u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, |
|
&u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, |
|
&u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}, |
|
&u_{4} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 2\\ 2\\\end{svector},\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{cccc} |
|
v_{1} = \begin{svector} 0\\ 3\\ 0\\ 0\\\end{svector}, |
|
&v_{2} = \begin{svector} 1\\ 3\\ 0\\ 0\\\end{svector}, |
|
&v_{3} = \begin{svector} 10\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}, |
|
&v_{4} = \begin{svector} 1\\ 6\\ 0\\ 0\\\end{svector}.\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
\begin{qstn} |
|
\makelabel{qstn:6:ch:lin-ext} |
|
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, |
|
so dass |
|
|
|
\setcounter{columnanzahl}{2} |
|
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] |
|
\item |
|
$\phi(u_{1})=v_{1}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{2})=v_{2}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{3})=v_{3}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{4})=v_{4}$ |
|
\end{multikompaktenum} |
|
|
|
\uline{alle} erfüllt sind? |
|
\end{qstn} |
|
|
|
\begin{soln*} |
|
Zunächst beobachte, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig ist, |
|
und dass $u_{3},u_{4}\in\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\}$, |
|
da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$ und ${u_{4}=u_{1}+u_{2}}$. |
|
Beachte auch, dass sich diese Verhältnisse in den Outputvektoren wiederspiegeln: |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccl} |
|
10v_{2}-10v_{1} |
|
&= &\begin{svector} 10\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector} &= &v_{3},\\ |
|
v_{1}+v_{2} |
|
&= &\begin{svector} 1\\ 6\\ 0\\ 0\\\end{svector} &= &v_{4}.\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i) + ii)} reduzieren, |
|
weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {iii) + iv)} |
|
für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt werden. |
|
|
|
\uline{Erweitere} nun die linear unabhängige Menge |
|
$\{u_{1},u_{2}\}$ |
|
zu einer Basis |
|
$\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ |
|
von $U$. |
|
Wähle außerdem beliebige Vektoren, $v'_{3},v'_{4}\in V$. |
|
Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis von $U$ |
|
ist und $v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\in V$, |
|
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} |
|
eine lineare Ausdehnung, |
|
${\phi:U\to V}$, |
|
so dass |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{cccc} |
|
\phi(u_{1})=v_{1}, |
|
&\phi(u_{2})=v_{2}, |
|
&\phi(u'_{3})=v'_{3}, |
|
&\phi(u'_{4})=v'_{4}, |
|
\end{mathe} |
|
|
|
gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt. |
|
Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}! |
|
\end{soln*} |
|
|
|
\begin{qstn} |
|
Gibt es eine |
|
|
|
\setcounter{columnanzahl}{3} |
|
\begin{multikompaktenum} |
|
\item[] b) injektive |
|
\item[] b') nicht-injektive |
|
\item[] c) surjektive |
|
\item[] c') nicht-surjektive |
|
\item[] d) bijektive |
|
\item[] d') nicht-bijektive |
|
\end{multikompaktenum} |
|
|
|
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, |
|
so dass i)--iv) erfüllt sind? |
|
\end{qstn} |
|
|
|
\begin{soln*} |
|
Da $\dim(U)=\dim(V)$, |
|
sind \textbf{b)}, \textbf{c)}, \textbf{d)} äquivalent |
|
und genauso sind \textbf{b')}, \textbf{c')}, \textbf{d)} äquivalent, |
|
da für lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Räumen gleicher Dimensionen |
|
Injektivität, Surjektivität, und Bijektivität |
|
äquivalent sind. |
|
Darum reicht es aus, nur \textbf{c)} und \textbf{c')} zu behandeln. |
|
|
|
Zu \textbf{c)}, da $\{v_{1},v_{2}\}\subseteq V$ linear unabhängig sind, |
|
wähle $v'_{3},v'_{4}\in V$ so, |
|
dass $\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}$ eine Basis |
|
des $4$-dimensionalen Raums, $V$, bildet. |
|
Sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung |
|
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. |
|
Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis für $U$ ist, |
|
gilt wegen Linearität von $\phi_{1}$ |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
\range(\phi_{1}) |
|
&= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\})\\ |
|
&= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2}),\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}\\ |
|
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
und damit $\range(\phi_{1})=V$, |
|
da \uline{per Wahl} $\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}$ eine Basis von $V$ ist. |
|
Folglich ist $\phi_{1}$ surjektiv. |
|
Die Antwort auf \textbf{c)} (und \textbf{b)} und \textbf{d)}), lautet also \fbox{Ja}. |
|
|
|
Zu \textbf{c')} wähle $v'_{3},v'_{4}:=\zerovector$ |
|
und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung |
|
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. |
|
Wie oben gilt |
|
$% |
|
\rank(\phi_{2}) |
|
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{2})) |
|
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}) |
|
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2}\}) |
|
\leq 2 |
|
$, |
|
da \uline{per Wahl} $v'_{3},v'_{4}\in\vectorspacespan\{v_{1},v_{2}\}$. |
|
Also, $\rank(\phi_{2})<4=\dim(V)$. |
|
Folglich ist $\phi_{2}$ |
|
laut \cite[Korollar~6.3.15(2)]{sinn2020} |
|
nicht-surjektiv. |
|
Die Antwort auf \textbf{c')} (und \textbf{b')} und \textbf{d')}) lautet also \fbox{Ja}. |
|
\end{soln*} |
|
|
|
%% AUFGABE 7 |
|
\clearpage |
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
\def\sectionname{Aufgabe} |
|
\section[Aufgabe 7]{} |
|
\label{sec:7} |
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U=V:=\reell^{4}$ |
|
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V$ |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{cccc} |
|
u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, |
|
&u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, |
|
&u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}, |
|
&u_{4} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 2\\ 2\\\end{svector},\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{cccc} |
|
v_{1} = \begin{svector} 0\\ 3\\ 0\\ 0\\\end{svector}, |
|
&v_{2} = \begin{svector} 0\\ 6\\ 0\\ 0\\\end{svector}, |
|
&v_{3} = \begin{svector} 0\\ 30\\ 0\\ 0\\\end{svector}, |
|
&v_{4} = \begin{svector} 0\\ 9\\ 0\\ 0\\\end{svector}.\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
\begin{qstn} |
|
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, |
|
so dass |
|
|
|
\setcounter{columnanzahl}{2} |
|
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] |
|
\item |
|
$\phi(u_{1})=v_{1}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{2})=v_{2}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{3})=v_{3}$ |
|
\item |
|
$\phi(u_{4})=v_{4}$ |
|
\end{multikompaktenum} |
|
|
|
\uline{alle} erfüllt sind? |
|
\end{qstn} |
|
|
|
\begin{soln*} |
|
Zunächst beobachte, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig ist, |
|
und dass $u_{3},u_{4}\in\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\}$, |
|
da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$ und ${u_{4}=u_{1}+u_{2}}$. |
|
Beachte auch, dass sich diese Verhältnisse in den Outputvektoren wiederspiegeln: |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccl} |
|
10v_{2}-10v_{1} |
|
&= &\begin{svector} 0\\ 30\\ 0\\ 0\\\end{svector} &= &v_{3},\\ |
|
v_{1}+v_{2} |
|
&= &\begin{svector} 0\\ 9\\ 0\\ 0\\\end{svector} &= &v_{4}.\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
Der Rest dieser Aufgabe lässt sich nun genauso wie |
|
bei \Cref{qstn:6:ch:lin-ext} erledigen. |
|
Die Antwort hier lautet also wieder: \fbox{Ja}, |
|
es gibt eine lineare Ausdehnung, die i)--iv) erfüllt. |
|
\end{soln*} |
|
|
|
\begin{qstn} |
|
Gibt es eine |
|
|
|
\setcounter{columnanzahl}{3} |
|
\begin{multikompaktenum} |
|
\item[] b) injektive |
|
\item[] b') nicht-injektive |
|
\item[] c) surjektive |
|
\item[] c') nicht-surjektive |
|
\item[] d) bijektive |
|
\item[] d') nicht-bijektive |
|
\end{multikompaktenum} |
|
|
|
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, |
|
so dass i)--iv) erfüllt sind? |
|
\end{qstn} |
|
|
|
\begin{soln*} |
|
Da $\dim(U)=\dim(V)$, |
|
sind \textbf{b)}, \textbf{c)}, \textbf{d)} äquivalent |
|
und genauso sind \textbf{b')}, \textbf{c')}, \textbf{d)} äquivalent, |
|
da für lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Räumen gleicher Dimensionen |
|
Injektivität, Surjektivität, und Bijektivität |
|
äquivalent sind. |
|
Darum reicht es aus, nur \textbf{b)} und \textbf{b')} zu behandeln. |
|
|
|
Sei nun ${\phi:U\to V}$ eine beliebige lineare Abbildung, |
|
die i)--iv) erfüllt (laut der letzten Aufgabe existiert mindestens eine). |
|
Da $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig ist, |
|
können wir dies zu einer Basis |
|
$\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ |
|
von $U$ erweitern. |
|
Da $\phi$ eine Ausdehnung und linear ist, |
|
gilt |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
\range(\phi) |
|
&= &\phi(\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\})\\ |
|
&= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2}),\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}\\ |
|
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}.\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
Darum gilt |
|
$% |
|
\rank(\phi) |
|
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi)) |
|
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}) |
|