Ein Repository für den Kurs Lineare Algebra 1, WiSe 2020–21.
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9.4 KiB

Kritzelei aus Woche 4

SKA 3

  • 1. Unterschied zw. ℕ, ℕ₀ beachten.

  • 2. „minimales Beispiel“: A = {🍎}, B = Ø, C = Ø.

  • 3. x ∈ linker Seite ⟺ x ∈ rechter Seite; Dualität zw. Mengen und logischen Operationen.

  • 4. ja —> Aussagenlogischer Ansatz vs. „visueller“ Ansatz vs. „algebraischer“ Ansatz (DeM).

  • 5. =

  • 6. 3·4, ja

  • 7. erst Z in R „definieren“, dann ZxZ in RxR definieren, analog mit NxN ⊆ ZxZ

  • 8. Diagramm

  • 9. ja

  • 10. ∈: nein, ⊆: ja 

  • 11. Formale Semantik / algebraische Oeprationen

  • 12. nein, sondern sind klassische Komplemente

  • 13. Mengentheoretisch: Ja, weil Gph(ƒ) = Gph(g). Kategorientheoretisch: „Nein“.

  • 14. Fasern/Bildmengen für ƒ : X ⟶ Y

      ƒ Injektiv ⟺ alle Fasern von ƒ enthalten ≤ 1 Element
      ƒ Surjektiv ⟺ alle Faster von ƒ sind nicht leer ⟺ ƒ(X) = Y
    
  • 15. ƒ¯¹{y} ist die Schnittmenge aus Gph(ƒ) und dem Geraden {(x,y) | x ∈ ℝ}

      Injektiv ⟺ jede Schnittmenge von Gph(ƒ) mit vertikalen Geraden hat höchstens 1 Pkt
      Surjektiv ⟺ jede Schnittmenge von Gph(ƒ) mit vertikalen Geraden hat mindestens 1 Pkt
    
  • 16. dom(log) = (0,∞), ran(log) = ℝ

SKA 4

  • 1. Lösungsskizze:

      R := Gph(ƒ). Etwas ausführlicher:
    
      ƒ : X ⟶ Y sei eine Funktion
      R := {(x,y) ∈ X x Y | ƒ(x) = y} = Gph(ƒ)
      Dann ist R eine binäre Relation mit R ⊆ X x Y
    
  • 2. Lösungsskizze

      Sei ƒ : M ⟶ N definiert durch
      ƒ(m) = das n, so dass (m,n) ∈ R
      für alle m ∈ M.
    
      (i) ⟺ ƒ überall definiert;
      (ii) ⟺ ƒ wohldefiniert
    
  • 3. Beachte, dass die Relation auf P(X) ist und nicht auf X!

      Formales Argument
      ~~~~~~~~~~~~~~~~~
      Wir prüfen die Axiome einer OR:
      Refl.       Zz: Sei A ∈ P(X). Dann A ≤ A.
                  Offensichtlich gilt X \ A ⊆ X \ A.
                  Per Konstruktion gilt also A ≤ A.
      Antisymm.   Zz: Seien A, B ∈ P(X). Dann A ≤ B und B ≤ A ⟹ A=B.
                  Es gilt
                      A ≤ B und B ≤ A.
                      ⟹ X \ A ⊆ X \ B und X \ B ⊆ X \ A
                          per Konstruktion
                      ⟹ X \ A = X \ B
                          per Definition von Mengengleichheit
                      ⟹ X \ (X \ A) = X \ (X \ B)
                      ⟹ A = B
                          da A, B Teilmengen von X sind
      Trans.      Zz: Seien A, B, C ∈ P(X). Dann A ≤ B und B ≤ C ⟹ A ≤ C.
                  Es gilt
                      A ≤ B und B ≤ C.
                      ⟹ X \ A ⊆ X \ B und X \ B ⊆ X \ C
                          per Konstruktion
                      ⟹ X \ A ⊆ X \ C
                          da Mengeninklusion transitiv ist
                      ⟹ A ≤ C
                          per Konstruktion.
      Also genügt (P(X), ≤) den Axiomen einer OR.
    
  • 4. Beachte: Entfernung von P(C) nicht von C!!

      Lösung
      ~~~~~~~~
      Entferne Ø von P(C).
      Dann existiert kein „kleinstes Element“ (auch „Minimum“ genannt).
      Allerdings existieren genau 3 „minimale Elemente“ in (P(C)\{Ø}, ⊆), viz. {a}, {b}, {c}.
    
  • 5. Ja in beiden Fällen (im 2. Falle nehmen wir an, dass Alle Wörter mindestens 2 Buchstaben enthalten).

      Formales Argument:
      ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
      Sei ∑ die Menge von Buchstaben und W die Menge von Wörtern im Wörterbuch.
      Dann handelt es sich in beiden Fällen um eine Relation, die durch
    
          ~ := {(w1,w2) ∈ W⨉W | ƒ(w1) = ƒ(w2)}
    
      definiert wird, wobei ƒ eine Abbildung von W nach ∑ ist.
      (Im 1. Falle gilt ƒ(w) = erster Buchstabe in w;
      im 2. Falle gilt ƒ(w) = zweitletzter Buchstabe in w.)
    
      Schnelle Variante:
      ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
          (1) Für w1, w2 ∈ W gilt w1 ~ w2 ⟺ ƒ(w1) = ƒ(w2).
              D. h. ƒ ist eine „Reduktion“ von der ÄR (W, ~) auf (∑, =).
          (2) (∑, =) ist eine ÄR, d.h. Gleichheit ist eine Äquivalenzrelation auf ∑.
          (3) Aus (1) + (2) folgt, dass ~ eine ÄR ist.
    
      Ausführliche Variante:
      ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
          Wir prüfen die Axiome einer OR:
          Refl.       Zz: Sei w ∈ W. Dann w ~ w.
                      Es gilt ƒ(w) = ƒ(w), da „=“ reflexiv ist.
                      Per Konstruktion gilt also w ~ w.
          Symm.       Zz: Seien u, v ∈ W. Dann u ~ v ⟹ v ~ u.
                      Es gilt
                          u ~ v
                          ⟹ ƒ(u) = ƒ(v) per Konstruktion
                          ⟹ ƒ(v) = ƒ(u) da „=“ symmetrisch ist
                          ⟹ v ~ u per Konstruktion.
          Trans.      Zz: Seien u, v, w ∈ W. Dann u ~ v und v ~ w ⟹ u ~ w.
                      Es gilt
                          u ~ v und v ~ w
                          ⟹ ƒ(u) = ƒ(v) und ƒ(v) = ƒ(w) per Konstruktion
                          ⟹ ƒ(u) = ƒ(w) da „=“ transitiv ist
                          ⟹ u ~ w per Konstruktion.
    
          Also genügt (W, ~) den Axiomen einer ÄR.
    
  • 6. -

  • 7. -

  • 8. Schubfachprinzip mit 4 Kategorien und 5 Plätzen:

      Schnelles Argument:
      ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
      muss gelten, da sonst jede Farbe höchstens 1 Mal vorkommt,
      was höchstens 4 Plätze belegt, aber wir wählen 5 Karten.
    
  • 9. Schubfachprinzip mit 366 Kategorien und 7000 Plätzen:

      Schnelles Argument:
      ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
      Falls für jeden Tag max 17 Studierende diesen Geburtstag haben,
      dann würde es maximal
          (18-1)·366 = 6222
      Studierende geben.
      Aber es gibt 7000 (> 6222) Studierende.
      Widerspruch!
      Darum gibt es einen Tag, an dem (mind.) 18 Studierende den als ihren Geburtstag feiern.
    
      Formales Argument:
      ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
      Sei T die Menge von Tagen. Also |T|=366
      Sei S die Menge von Studierenden, |S|≥7000.
      Sei
          ƒ : S ⟶ T
      die Funktion, die jedem Studierenden seinen Geburtstag zuordnet.
      Setze
          G := {ƒ¯¹{d} | d ∈ T} \ {Ø}.
      und
          geb : G ⟶ T
      durch
          geb(A) = ƒ(a) für ein a ∈ A
      für jedes A ∈ G.
    
          Beobachtung 1:
          ~~~~~~~~~~~~~~
          Die Funktion, geb, ist wohldefiniert:
    
          Sei A ∈ G beliebig.
          Dann A = ƒ¯¹{d} für ein d ∈ T und A ≠ Ø
          Also gibt es ein a ∈ A
          und weiterhin gilt für a1, a2 ∈ A, dass ƒ(a1) = d = ƒ(a2).
          Darum ordnet geb der Menge A exakt einen Wert zu.
    
          Beobachtung 2:
          ~~~~~~~~~~~~~~
          Die Funktion, geb, ist injektiv:
    
          Seien A1, A2 ∈ G.
          Zz: ƒ(A1) = ƒ(A2) ⟹ A1 = A2.
          Per Konstruktion gelten
              A1 = ƒ¯¹{d1}, A1 ≠ Ø, und
              A2 = ƒ¯¹{d2}, A2 ≠ Ø
          für ein d1, d2 ∈ T.
          Wie oben gilt ƒ(A1) = d1 und ƒ(A2) = d2.
          Darum
              ƒ(A1) = ƒ(A2)
              ⟹ d1 = d2
              ⟹ ƒ¯¹{d1} = ƒ¯¹{d2}
              ⟹ A1 = A2.
    
          Beobachtung 3:
          ~~~~~~~~~~~~~~
          Es gilt S = ⋃{A | A ∈ G}.
          Warum?
          - Per Konstruktion gilt A ⊆ S für alle A ∈ G.
              Also gilt ⋃{A | A ∈ G} ⊆ S.
          - Sei s ∈ S belibig.
              Seien d := ƒ(s) und A₀ := ƒ¯¹{d}.
              Dann A₀ ≠ Ø, da s ∈ A₀, da ƒ(s) = d.
              Also gilt A₀ ∈ G per Konstruktion von G.
              Also s ∈ A₀ ⊆ ⋃{A | A ∈ G}.
              Darum gilt S ⊆ ⋃{A | A ∈ G}.
    
      Da die Funktion, geb, injektiv ist (Beobachtung 2),
      liefert das SCHUBFACHPRINZIP
          |G| ≤ |T| = 366.
      Da die Mengen in G offensichtlich paarweise disjunkt sind,
      und da S = ⋃{A | A ∈ G} (Beobachtung 3),
      gilt
          7000 ≤ |S|
               = ∑{|A| | A ∈ G}
               ≤ max{|A| | A ∈ G} · |G|
               ≤ max{|A| | A ∈ G} · 366.
      Also
          max{|A| | A ∈ G} ≥ 7000/366 > 19.
      Also existiert mindestens ein A₀ ∈ G mit |A₀| > 19 > 18.
      Per Konstruktion von G haben nun alle Studierende in A₀ den gleichen Geburtstag.
      Darum haben mindestens 18 Studierende denselben Geburtstag.
    
  • 10.

      Induktionsargument:
      ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
      IND-ANFANG:
      Für n = 1. Nichts zu zeigen, da ∏{E_i : 1≤i≤1} = E_1.
      Für n = 2.
          ... siehe Argument im Skript
          ... oder gilt einfach per Definition: siehe jedes Lehrbuch über Mengenlehre.
      Sei n > 2.
      IND-VORAUSSETZUNG:
          Angenommen, |∏{E_i : 1≤i<n}| = ∏{|E_i| : 1≤i<n}.
      IND-SCHRITT:
          Es gilt
          |∏{E_i : 1≤i≤n}|
              = |∏{E_i : 1≤i<n} ⨉ E_n| wegen bijektiver Äquivalenz
              = |∏{E_i : 1≤i≤n}|·|E_n| aus (allgemeinem) Fall n=2
              =(∏{|E_i| : 1≤i<n}·|E_n| per Induktionsvoraussetzung
              = ∏{|E_i| : 1≤i≤n},
      Darum gilt die Aussage per Induktion.
    
  • 11. Induktionsschritt (n —> n+1) geht nur, wenn n ≥ 2. Das heißt, der Fall 1 —> 2 wird übersprungen.