linalg2020/protocol/woche8

Woche 8 (KW 51, 14.—20.12.)

Ablauf

• ( ) allgemeine Ankündigungen
  • Antwort auf Frage vom Prof über Argumentation (Berechnungen vs. Worte)
  • octave (gratis MatLab) für einen einfachen Umgang mit Matrizen am Rechner, bes. über ℂ.
  • Klausur?
• ( ) ÜB7
  • evtl. A7-2 kurz zeigen (Gaußverfahren --> wie man Rang und lin. unabh. Vektoren aus Resultat abliest).
• ( ) ÜB8 / Hinweise
  • Aufgabe 8-1.
    • Beachte: U₁ = {u₁}^⊥ für eine passende Wahl von u₁ ∈ ℝ⁴.
    • Berechne Basisergänzungen {u₁} ---> reicht aus, auf (u₁ | e₁ | e₂ | e₃ | e₄) das Gaußverfahren anzuwenden, um die linear unabhängigen Vektoren zu bestimmen.
    • Wende Gram-Schmidt an, um jeweils eine ONB (Orthonomalbasis), {u₁, q₁, q₂, q₃} daraus zu bestimmen.
    • Dann ist {q₁, q₂, q₃} eine Basis für U₁
    • Gleicher Vorgang für U₂ --> führt zu einer Basis {r₁, r₂, r₃}.
    • U₁∩U₂ = {u₁}^⊥∩{u₂}^⊥ = {u₁,u₂}^⊥ ---> wiederhole das o. s. aber mit (u₁ | u₂ | e₁ | e₂ | e₃ | e₄).
    • U₁+U₂ = Lin{q₁, q₂, q₃} + Lin{r₁, r₂, r₃} = Lin{q₁, q₂, q₃, r₁, r₂, r₃} ---> wende Gaußverfahren auf (q₁ | q₂ | q₃ | r₁ | r₂ | r₃) an, um auf eine linear unabhängig Menge zu reduzieren.
  • Aufgabe 8-2.
    • [Skript, Bsp. 5.2.5 (7)]
      • (†) Insbes. gilt dim(ℝ[x]_d) = d+1
      • (††) {1, x, x^2, ..., x^d} eine Basis
    • [Skript, Korollar 5.4.4]
      • (*) Angenommen, man zeigt, dass A:={1, (x-1), (x-1)^2, ..., (x-1)^d} sei lin. unabhängig.
      • Da |A|=d+1=dim(ℝ[x]_d) ist A eine Basis.
    • ---> darum reicht es aus, (*) zu zeigen. Dabei können wir (††) ausnutzen.
  • Aufgabe 8-3. Alles genau das, was man erwartet. Bei (c) beachte, dass im Vektorraum, W, die Zahl ι kein Skalar ist.
• ( ) SKA 8
  • 4,7,8,10
  • Th. 5,9,11
• ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)