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Woche 8 (KW 51, 14.—20.12.)
Ablauf
- ( ) allgemeine Ankündigungen
- Antwort auf Frage vom Prof über Argumentation (Berechnungen vs. Worte)
- octave (gratis MatLab) für einen einfachen Umgang mit Matrizen am Rechner, bes. über ℂ.
- Klausur?
- ( ) ÜB7
- evtl. A7-2 kurz zeigen (Gaußverfahren --> wie man Rang und lin. unabh. Vektoren aus Resultat abliest).
- ( ) ÜB8 / Hinweise
- Aufgabe 8-1.
- Beachte: U₁ = {u₁}^⊥ für eine passende Wahl von u₁ ∈ ℝ⁴.
- Berechne Basisergänzungen {u₁} ---> reicht aus, auf (u₁ | e₁ | e₂ | e₃ | e₄) das Gaußverfahren anzuwenden, um die linear unabhängigen Vektoren zu bestimmen.
- Wende Gram-Schmidt an, um jeweils eine ONB (Orthonomalbasis), {u₁, q₁, q₂, q₃} daraus zu bestimmen.
- Dann ist {q₁, q₂, q₃} eine Basis für U₁
- Gleicher Vorgang für U₂ --> führt zu einer Basis {r₁, r₂, r₃}.
- U₁∩U₂ = {u₁}^⊥∩{u₂}^⊥ = {u₁,u₂}^⊥ ---> wiederhole das o. s. aber mit (u₁ | u₂ | e₁ | e₂ | e₃ | e₄).
- U₁+U₂ = Lin{q₁, q₂, q₃} + Lin{r₁, r₂, r₃} = Lin{q₁, q₂, q₃, r₁, r₂, r₃} ---> wende Gaußverfahren auf (q₁ | q₂ | q₃ | r₁ | r₂ | r₃) an, um auf eine linear unabhängig Menge zu reduzieren.
- Aufgabe 8-2.
- [Skript, Bsp. 5.2.5 (7)]
- (†) Insbes. gilt dim(ℝ_d) = d+1
- (††) {1, x, x^2, ..., x^d} eine Basis
- [Skript, Korollar 5.4.4]
- (*) Angenommen, man zeigt, dass A:={1, (x-1), (x-1)^2, ..., (x-1)^d} sei lin. unabhängig.
- Da |A|=d+1=dim(ℝ_d) ist A eine Basis.
- ---> darum reicht es aus, (*) zu zeigen. Dabei können wir (††) ausnutzen.
- [Skript, Bsp. 5.2.5 (7)]
- Aufgabe 8-3. Alles genau das, was man erwartet. Bei (c) beachte, dass im Vektorraum, W, die Zahl ι kein Skalar ist.
- Aufgabe 8-1.
- ( ) SKA 8
- 4,7,8,10
- Th. 5,9,11
- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)