linalg2020/notes/berechnungen_wk4.md
2020-11-20 19:54:18 +01:00

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# Kritzelei aus Woche 4 #
## SKA 3 ##
- **1.** Unterschied zw. , ℕ₀ beachten.
- **2.** „minimales Beispiel“: A = {🍎}, B = Ø, C = Ø.
- **3.** x ∈ linker Seite ⟺ x ∈ rechter Seite; Dualität zw. Mengen und logischen Operationen.
- **4.** ja —> Aussagenlogischer Ansatz vs. „visueller“ Ansatz vs. „algebraischer“ Ansatz (DeM).
- **5.** =
- **6.** 3·4, ja
- **7.** erst Z in R „definieren“, dann ZxZ in RxR definieren, analog mit NxN ⊆ ZxZ
- **8.** Diagramm
- **9.** ja
- **10.** ∈: nein, ⊆: ja 
- **11.** Formale Semantik / algebraische Oeprationen
- **12.** nein, sondern sind klassische Komplemente
- **13.** Mengentheoretisch: Ja, weil Gph(ƒ) = Gph(g). Kategorientheoretisch: „Nein“.
- **14.** Fasern/Bildmengen für ƒ : X ⟶ Y
ƒ Injektiv ⟺ alle Fasern von ƒ enthalten ≤ 1 Element
ƒ Surjektiv ⟺ alle Faster von ƒ sind nicht leer ⟺ ƒ(X) = Y
- **15.** ƒ¯¹{y} ist die Schnittmenge aus Gph(ƒ) und dem Geraden {(x,y) | x ∈ }
Injektiv ⟺ jede Schnittmenge von Gph(ƒ) mit vertikalen Geraden hat höchstens 1 Pkt
Surjektiv ⟺ jede Schnittmenge von Gph(ƒ) mit vertikalen Geraden hat mindestens 1 Pkt
- **16.** dom(log) = (0,∞), ran(log) =
## SKA 4 ##
- **1.** Lösungsskizze:
R := Gph(ƒ). Etwas ausführlicher:
ƒ : X ⟶ Y sei eine Funktion
R := {(x,y) ∈ X x Y | ƒ(x) = y} = Gph(ƒ)
Dann ist R eine binäre Relation mit R ⊆ X x Y
- **2.** Lösungsskizze
Sei ƒ : M ⟶ N definiert durch
ƒ(m) = das n, so dass (m,n) ∈ R
für alle m ∈ M.
(i) ⟺ ƒ überall definiert;
(ii) ⟺ ƒ wohldefiniert
- **3.** Beachte, dass die Relation auf P(X) ist und _nicht_ auf X!
Formales Argument
~~~~~~~~~~~~~~~~~
Wir prüfen die Axiome einer OR:
Refl. Zz: Sei A ∈ P(X). Dann A ≤ A.
Offensichtlich gilt X \ A ⊆ X \ A.
Per Konstruktion gilt also A ≤ A.
Antisymm. Zz: Seien A, B ∈ P(X). Dann A ≤ B und B ≤ A ⟹ A=B.
Es gilt
A ≤ B und B ≤ A.
⟹ X \ A ⊆ X \ B und X \ B ⊆ X \ A
per Konstruktion
⟹ X \ A = X \ B
per Definition von Mengengleichheit
⟹ X \ (X \ A) = X \ (X \ B)
⟹ A = B
da A, B Teilmengen von X sind
Trans. Zz: Seien A, B, C ∈ P(X). Dann A ≤ B und B ≤ C ⟹ A ≤ C.
Es gilt
A ≤ B und B ≤ C.
⟹ X \ A ⊆ X \ B und X \ B ⊆ X \ C
per Konstruktion
⟹ X \ A ⊆ X \ C
da Mengeninklusion transitiv ist
⟹ A ≤ C
per Konstruktion.
Also genügt (P(X), ≤) den Axiomen einer OR.
- **4.** Beachte: Entfernung von P(C) nicht von C!!
Lösung
~~~~~~~~
Entferne Ø von P(C).
Dann existiert kein „kleinstes Element“ (auch „Minimum“ genannt).
Allerdings existieren genau 3 „minimale Elemente“ in (P(C)\{Ø}, ⊆), viz. {a}, {b}, {c}.
- **5.** Ja in beiden Fällen (im 2. Falle nehmen wir an, dass Alle Wörter mindestens 2 Buchstaben enthalten).
Formales Argument:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Sei ∑ die Menge von Buchstaben und W die Menge von Wörtern im Wörterbuch.
Dann handelt es sich in beiden Fällen um eine Relation, die durch
~ := {(w1,w2) ∈ W⨉W | ƒ(w1) = ƒ(w2)}
definiert wird, wobei ƒ eine Abbildung von W nach ∑ ist.
(Im 1. Falle gilt ƒ(w) = erster Buchstabe in w;
im 2. Falle gilt ƒ(w) = zweitletzter Buchstabe in w.)
Schnelle Variante:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(1) Für w1, w2 ∈ W gilt w1 ~ w2 ⟺ ƒ(w1) = ƒ(w2).
D. h. ƒ ist eine „Reduktion“ von der ÄR (W, ~) auf (∑, =).
(2) (∑, =) ist eine ÄR, d.h. Gleichheit ist eine Äquivalenzrelation auf ∑.
(3) Aus (1) + (2) folgt, dass ~ eine ÄR ist.
Ausführliche Variante:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Wir prüfen die Axiome einer OR:
Refl. Zz: Sei w ∈ W. Dann w ~ w.
Es gilt ƒ(w) = ƒ(w), da „=“ reflexiv ist.
Per Konstruktion gilt also w ~ w.
Symm. Zz: Seien u, v ∈ W. Dann u ~ v ⟹ v ~ u.
Es gilt
u ~ v
⟹ ƒ(u) = ƒ(v) per Konstruktion
⟹ ƒ(v) = ƒ(u) da „=“ symmetrisch ist
⟹ v ~ u per Konstruktion.
Trans. Zz: Seien u, v, w ∈ W. Dann u ~ v und v ~ w ⟹ u ~ w.
Es gilt
u ~ v und v ~ w
⟹ ƒ(u) = ƒ(v) und ƒ(v) = ƒ(w) per Konstruktion
⟹ ƒ(u) = ƒ(w) da „=“ transitiv ist
⟹ u ~ w per Konstruktion.
Also genügt (W, ~) den Axiomen einer ÄR.
- **6.** -
- **7.** -
- **8.** Schubfachprinzip mit 4 Kategorien und 5 Plätzen:
Schnelles Argument:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
muss gelten, da sonst jede Farbe höchstens 1 Mal vorkommt,
was höchstens 4 Plätze belegt, aber wir wählen 5 Karten.
- **9.** Schubfachprinzip mit 366 Kategorien und 7000 Plätzen:
Schnelles Argument:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Falls für jeden Tag max 17 Studierende diesen Geburtstag haben,
dann würde es maximal
(18-1)·366 = 6222
Studierende geben.
Aber es gibt 7000 (> 6222) Studierende.
Widerspruch!
Darum gibt es einen Tag, an dem (mind.) 18 Studierende den als ihren Geburtstag feiern.
Formales Argument:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Sei T die Menge von Tagen. Also |T|=366
Sei S die Menge von Studierenden, |S|≥7000.
Sei
ƒ : S ⟶ T
die Funktion, die jedem Studierenden seinen Geburtstag zuordnet.
Setze
G := {ƒ¯¹{d} | d ∈ T} \ {Ø}.
und
geb : G ⟶ T
durch
geb(A) = ƒ(a) für ein a ∈ A
für jedes A ∈ G.
Beobachtung 1:
~~~~~~~~~~~~~~
Die Funktion, geb, ist wohldefiniert:
Sei A ∈ G beliebig.
Dann A = ƒ¯¹{d} für ein d ∈ T und A ≠ Ø
Also gibt es ein a ∈ A
und weiterhin gilt für a1, a2 ∈ A, dass ƒ(a1) = d = ƒ(a2).
Darum ordnet geb der Menge A exakt einen Wert zu.
Beobachtung 2:
~~~~~~~~~~~~~~
Die Funktion, geb, ist injektiv:
Seien A1, A2 ∈ G.
Zz: ƒ(A1) = ƒ(A2) ⟹ A1 = A2.
Per Konstruktion gelten
A1 = ƒ¯¹{d1}, A1 ≠ Ø, und
A2 = ƒ¯¹{d2}, A2 ≠ Ø
für ein d1, d2 ∈ T.
Wie oben gilt ƒ(A1) = d1 und ƒ(A2) = d2.
Darum
ƒ(A1) = ƒ(A2)
⟹ d1 = d2
⟹ ƒ¯¹{d1} = ƒ¯¹{d2}
⟹ A1 = A2.
Beobachtung 3:
~~~~~~~~~~~~~~
Es gilt S = {A | A ∈ G}.
Warum?
- Per Konstruktion gilt A ⊆ S für alle A ∈ G.
Also gilt {A | A ∈ G} ⊆ S.
- Sei s ∈ S belibig.
Seien d := ƒ(s) und A₀ := ƒ¯¹{d}.
Dann A₀ ≠ Ø, da s ∈ A₀, da ƒ(s) = d.
Also gilt A₀ ∈ G per Konstruktion von G.
Also s ∈ A₀ ⊆ {A | A ∈ G}.
Darum gilt S ⊆ {A | A ∈ G}.
Da die Funktion, geb, injektiv ist (Beobachtung 2),
liefert das SCHUBFACHPRINZIP
|G| ≤ |T| = 366.
Da die Mengen in G offensichtlich paarweise disjunkt sind,
und da S = {A | A ∈ G} (Beobachtung 3),
gilt
7000 ≤ |S|
= ∑{|A| | A ∈ G}
≤ max{|A| | A ∈ G} · |G|
≤ max{|A| | A ∈ G} · 366.
Also
max{|A| | A ∈ G} ≥ 7000/366 > 19.
Also existiert mindestens ein A₀ ∈ G mit |A₀| > 19 > 18.
Per Konstruktion von G haben nun alle Studierende in A₀ den gleichen Geburtstag.
Darum haben mindestens 18 Studierende denselben Geburtstag.
- **10.**
Induktionsargument:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
IND-ANFANG:
Für n = 1. Nichts zu zeigen, da ∏{E_i : 1≤i≤1} = E_1.
Für n = 2.
... siehe Argument im Skript
... oder gilt einfach per Definition: siehe jedes Lehrbuch über Mengenlehre.
Sei n > 2.
IND-VORAUSSETZUNG:
Angenommen, |∏{E_i : 1≤i<n}| = ∏{|E_i| : 1i<n}.
IND-SCHRITT:
Es gilt
|∏{E_i : 1in}|
= |∏{E_i : 1i<n} E_n| wegen bijektiver Äquivalenz
= |∏{E_i : 1in}|·|E_n| aus (allgemeinem) Fall n=2
=(∏{|E_i| : 1i<n}·|E_n| per Induktionsvoraussetzung
= ∏{|E_i| : 1in},
Darum gilt die Aussage per Induktion.
- **11.** Induktionsschritt (n > n+1) geht nur, wenn n ≥ 2.
Das heißt, der Fall 1 —> 2 wird übersprungen.