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Berechnung von a^{b}\mod c
Ein Beispiel:
Berechne 13^{1003}\mod 5.
Es gilt 13^{1003}\mod 5=3^{1003}\mod 5
Jetzt berechnen wir tabellarisch die multiplikative Untergruppe \langle 3\rangle:
n |
3^{n} |
|---|---|
0 |
3^0=\boxed{1} |
1 |
3^{1}=\boxed{3} |
2 |
3^{2}=9\equiv \boxed{4} |
3 |
3^{3}=3^2\cdot 3\equiv 4\cdot 3 =12\equiv \boxed{2} |
4 |
3^{\boxed{4}}=3^3\cdot 3\equiv 2\cdot 3 =6\equiv \boxed{1} |
Darum gilt für alle k,r\in\mathbb{N}:
3^{4k+r}=3^{4k}\cdot 3^{r}=(3^{4})^{k}\cdot 3^{r}\equiv 1^{k}\cdot 3^{r}=1\cdot 3^{r}=3^{r}
modulo 5. Das heißt, es reicht aus (in diesem konkreten Fall) den Exponenten modulo 4 zu berechnen, und dann 3^{\text{Rest}} zu berechnen:
1003=4\cdot 250 + \boxed{3}
Also gilt 3^{1003}\equiv 3^{3}\equiv 2\mod 5.
Beachte!
Wenn n\in\mathbb{P} (wie oben), dann für k\in\{1,2,\ldots,n-1\} gilt k^{e}\not\equiv 0. Warum? (1) da n prim ist, ist jedes 1\leq a <n invertierbar (bzgl. Multiplikation) in \intgr/n\intgr. Sei a das Inverse von k. Dann gilt a^{e}\cdot k^{e} = (ak)^{e}\equiv 1^{e}=1, sodass k^{e} bzgl. Multiplikation invertierbar ist und damit insbesondere niemals gleich 0 sein kann (modulo n).
Aber, wenn n\notin\mathbb{P}, dann kann es durchaus sein, dass ein k\in\{1,2,\ldots,n-1\} existiert, so dass k^{e}\equiv 0\mod n für ein e\in\ntrl. Zum Beispiel n=81 und k=3. Dann k^{4}\equiv 0\mod n.