1690 lines
65 KiB
TeX
1690 lines
65 KiB
TeX
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%% AUTHOR: Raj Dahya
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%% CREATED: November 2020
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%% EDITED: —
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%% TYPE: Notizen
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%% TITLE: Zusatzaufgaben
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%% DOI: —
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%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik
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%% INSTITUTE: Universität Leipzig
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%% DOCUMENT STRUCTURE:
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%% - root.tex;
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%% DOCUMENT-RANDOM-SEED: 5637845
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%% FILE: root.tex
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%% FILE: parameters.tex
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\begin{document}
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\startdocumentlayoutoptions
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%% FRONTMATTER:
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\thispagestyle{plain}
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%% FILE: front/index.tex
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%% FILE: front/title.tex
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\begin{titlepage}
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\null
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\vraum
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\noindent\rule{\linewidth}{2pt}
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||
{\hraum\LARGE Lineare Algebra I\hraum}\\
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{\hraum\LARGE $\oast$\,\rule[0.175\baselineskip]{0.65\linewidth}{1pt}\,$\oast$ \hraum}\\
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||
{\hraum\Large Zusatzaufgaben aus der Übungsgruppe\hraum}
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||
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||
\noindent\rule{\linewidth}{2pt}
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||
\vraum
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||
\noindent
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\hraum{\footnotesize Raj Dahya}\hraum\\
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\hraum{\small \itshape Fakultät für Mathematik und Informatik}\hraum\\
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||
\hraum{\small \itshape Universität Leipzig.}\hraum\\
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||
\hraum{\small Wintersemester 2020/2021 }\hraum
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||
\end{titlepage}
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: front/foreword.tex
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%% ********************************************************************************
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\chapter*{Vorwort}
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||
Dieses Dokument enthält zusätzliche Aufgaben und Themen,
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die in den Übungsgruppen erörtert wurden.
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%% FILE: front/contents.tex
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\kopfzeiledefault
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\footnotesize
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\setcounter{tocdepth}{1}
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\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis}
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\tableofcontents
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%% HAUPTTEXT:
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%% FILE: body/index.tex
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\def\chaptername{}
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%% FILE: body/linear-extensions.tex
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||
\chapter[Lineare Ausdehnung]{Lineare Ausdehnung}
|
||
\label{ch:lin-ext}
|
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|
||
In der Übungsgruppe in Woche 12 (am 3.2.2021) diskutierten wir
|
||
verzwickte Situationen und Fragentypen, die zum Thema linearer Ausdehnung vorkommen können.
|
||
Wir hatten das größtenteils theoretisch ausgelegt.
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||
Hier wollen wir ein paar Aufgaben komplett durchrechnen.
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||
\textbf{Beachte!} Hier geht es niemals darum,
|
||
eine lineare Ausdehnung \emph{exmplizit darzustellen},
|
||
sondern vielmehr
|
||
(1) \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} als zentrales Resultat anzuwenden,
|
||
(2) eine Basis aus den Inputvektoren zu generieren
|
||
(ggf. durch Entfernung von „linear abhängigen“ Vektoren, ggf. durch Basiserweiterung, ggf. durch beides!)
|
||
(3) die Input und Outputvektoren in der partielldefinierten Funktion
|
||
zu untersuchen, und \uline{rein aufgrund dessen} ein Urteil zu treffen,
|
||
ob
|
||
(3a) eine lineare Ausdehnung überhaupt möglich ist,
|
||
(3b) eine injektive/nicht injektive lineare Ausdehnung möglich ist,
|
||
(3c) eine surjektive/nicht surjektive lineare Ausdehnung möglich ist,
|
||
(3d) eine Isomorphismus (=Bijektion)/nicht-Isomorphismus als lineare Ausdehnung möglich ist.
|
||
|
||
Nun, im Falle von Funktionen ${\phi:U\to V}$, wobei $U,V$ Vektorräume mit $\dim(U)=\dim(V)$,
|
||
sind wegen \cite[Korollar~6.1.11]{sinn2020} die Nebenfragen (3a)–(3c) alle äquivalent.
|
||
Im Falle $\dim(U)\neq\dim(V)$ machen wir von folgender Beobachtung Gebrauch:
|
||
|
||
\begin{obs*}
|
||
Seien $U$, $V$ (endlich dimensionale) Vektorräume über einem Körper $K$
|
||
und sei ${\phi:U\to V}$ linear.
|
||
Da $\range(\phi)\subseteq V$ gilt offensichtlich $\dim(\range(\phi))\leq\dim(V)$.
|
||
Und wenn wir eine Basis ${\{u_{1},u_{2}\ldots,u_{n}\}\subseteq U}$
|
||
für $U$ fixieren, mit $n=\dim(U)$,
|
||
so gilt wegen Linearität
|
||
${\range(\phi)=\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\ldots,\phi(u_{n})\}}$.
|
||
Das heißt, $\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\ldots,\phi(u_{n})\}$
|
||
ist ein Erzeugendensystem für $\range(\phi)$.
|
||
Folglich gilt $\dim(\range(\phi))\leq n=\dim(U)$.
|
||
Da per Definition $\rank(\phi)=\dim(\range(\phi))$,
|
||
haben wir gezeigt,
|
||
dass
|
||
${\rank(\phi)\leq\dim(V)}$
|
||
und ${\rank(\phi)\leq\dim(U)}$
|
||
\uline{stets gelten}.
|
||
Kürzer formuliert:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:lin-abb-leq:ch:lin-ext]
|
||
\rank(\phi) &\leq &\min\{\dim(U),\dim(V)\}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gilt immer für alle lineare Abbildungen ${\phi:U\to V}$
|
||
und alle Vektorräume $U, V$.
|
||
\end{obs*}
|
||
|
||
Aus dieser Beobachtung können wir über (3b–3d) folgende Urteile generell treffen, wenn $\dim(U)\neq\dim(V)$:
|
||
|
||
\begin{kompaktitem}
|
||
\item
|
||
Falls $\dim(U)>\dim(V)$ kann es bei offensichtlich höchstens nicht-injektive lineare Ausdehnungen geben,
|
||
weil für ${\phi:U\to V}$ linear gilt $\rank(\phi)\leq\dim(V)<\dim(U)$,
|
||
sodass laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} $\phi$ niemals injektiv sein kann.
|
||
\item[]
|
||
Darum lautet die Antwort zu (3b/3d) \emph{Gibt es injektive/bijektive...?} immer nein.
|
||
Die Fragen (3b/3d) \emph{Gibt es nicht-injektive/nicht-bijektive...?} sind dann äquivalent zu (3a).
|
||
\item
|
||
Falls $\dim(U)<\dim(V)$ kann es bei (3c) offensichtlich höchstens nicht-surjektive lineare Ausdehnungen geben,
|
||
weil für ${\phi:U\to V}$ linear gilt $\rank(\phi)\leq\dim(U)<\dim(V)$,
|
||
sodass laut \cite[Korollar~6.3.15(2)]{sinn2020} $\phi$ niemals surjektiv sein kann.
|
||
\item[]
|
||
Darum lautet die Antwort zu (3c/3d) \emph{Gibt es surjektive/bijektive...?} immer nein.
|
||
Die Fragen (3b/3d) \emph{Gibt es nicht-surjektive/nicht-bijektive...?} sind dann äquivalent zu (3a).
|
||
\end{kompaktitem}
|
||
|
||
Daher können wir die Fragentypen in den Aufgaben immer teilweise sofort beantworten
|
||
und zum Teil vereinfachen,
|
||
je nachdem, ob $\dim(U)=\dim(V)$, oder $\dim(U)<\dim(V)$, oder $\dim(U)>\dim(V)$
|
||
gelten.
|
||
|
||
%% AUFGABE 1
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 1]{}
|
||
\label{sec:1}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{4}$ und $V:=\reell^{2}$
|
||
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector},\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
v_{1} = \begin{svector} 5\\ 8\\\end{svector},
|
||
&v_{2} = \begin{svector} -9\\ 11\\\end{svector},
|
||
&v_{3} = \begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{1})=v_{1}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{2})=v_{2}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{3})=v_{3}$
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
\uline{alle} erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig sind\footnote{
|
||
ich lasse hier die Beweise weg,
|
||
aber man sollte die zeigen,
|
||
z.\,B. durch das Gaußverfahren.
|
||
}
|
||
und dass $u_{3}\in\vectorspacespan\{u_{1},_{2}\}$,
|
||
da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$.
|
||
Wir beachten auch, dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
10v_{2}-10v_{1} &= &\begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector} &= &v_{3}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gilt.
|
||
Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i) + ii)} reduzieren:
|
||
existiert eine lineare Abbildung, die {i) + ii)} erfüllt,
|
||
dann wird wegen Linearität Bedingung iii) automatisch mit erfüllt.
|
||
Existiert keine lineare Abbildung, die {i) + ii)} erfüllt,
|
||
dann existiert natürlich auch keine, die i)--iii) erfüllt.
|
||
|
||
Wir \uline{erweitern} nun die lineare unabhängige Menge
|
||
$\{u_{1},u_{2}\}$
|
||
zu einer Basis
|
||
$\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$
|
||
von $U$.
|
||
Wähle außerdem beliebige Vektoren, $v'_{3},v'_{4}\in V$.
|
||
Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis von $U$
|
||
ist und $v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\in V$,
|
||
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
|
||
eine lineare Ausdehnung,
|
||
${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
\phi(u_{1})=v_{1},
|
||
&\phi(u_{2})=v_{2},
|
||
&\phi(u'_{3})=v'_{3},
|
||
&\phi(u'_{4})=v'_{4},
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt.
|
||
Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}!
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}
|
||
\item[] b) injektive
|
||
\item[] b') nicht-injektive
|
||
\item[] c) surjektive
|
||
\item[] c') nicht-surjektive
|
||
\item[] d) bijektive\footnote{
|
||
also einen »Isomorphismus«
|
||
}
|
||
\item[] d') nicht-bijektive
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass i)--iii) erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Da $\dim(U)>\dim(V)$,
|
||
kann es generell keine injektiven linearen Abbildungen
|
||
von $U$ nach $V$ geben.
|
||
Also lauten die Antworten auf \textbf{b)}, \textbf{d)} \fbox{Nein},
|
||
und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert,
|
||
lautet die Antwort auf \textbf{b')} und \textbf{d')} \fbox{Ja}.
|
||
|
||
Es bleiben nur noch \textbf{c)} und \textbf{c')} zu bestimmen.
|
||
Sei ${\phi:U\to V}$ eine lineare Ausdehnung von i)--iii).
|
||
Dann wegen Bedingungen {i) + ii)} und Linearität gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||
\range(\phi)
|
||
&\supseteq
|
||
&\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\}
|
||
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2}\}
|
||
&= &V.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Die letzte Gleichung gilt, weil $\{v_{1},v_{2}\}$
|
||
linear unabhängig ist,\footnote{
|
||
ich lasse wieder den Beweis weg,
|
||
aber man sollte das machen
|
||
}
|
||
und somit eine Basis von dem $2$-dimensionalen Raum, $V$, ist.
|
||
Darum ist $\range(\phi)$ surjektiv.
|
||
Da $\phi$ beliebig war,
|
||
haben wir tatsächlich gezeigt,
|
||
dass alle lineare Ausdehnungen von i)--iii) surjektiv sind.
|
||
Darum lautet die Antwort auf \textbf{c)} \fbox{Ja} und auf \textbf{c')} \fbox{Nein}.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
%% AUFGABE 2
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 2]{}
|
||
\label{sec:2}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{4}$ und $V:=\reell^{2}$
|
||
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector},
|
||
&u_{4} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 2\\ 2\\\end{svector},\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
v_{1} = \begin{svector} 5\\ 8\\\end{svector},
|
||
&v_{2} = \begin{svector} 25\\ 40\\\end{svector},
|
||
&v_{3} = \begin{svector} 200\\ 320\\\end{svector},
|
||
&v_{4} = \begin{svector} 30\\ 48\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{2}
|
||
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{1})=v_{1}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{2})=v_{2}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{3})=v_{3}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{4})=v_{4}$
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
\uline{alle} erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig sind
|
||
und dass $u_{3},u_{4}\in\vectorspacespan\{u_{1},_{2}\}$,
|
||
da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$ und ${u_{4}=u_{1}+u_{2}}$.
|
||
Wir beachten auch, dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
10v_{2}-10v_{1} &= &\begin{svector} 200\\ 320\\\end{svector} &= &v_{3},\\
|
||
v_{1}+v_{2} &= &\begin{svector} 30\\ 48\\\end{svector} &= &v_{4}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gelten.
|
||
Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i) + ii)} reduzieren,
|
||
weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {iii) + iv)}
|
||
für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt werden.
|
||
|
||
Wir \uline{erweitern} nun die lineare unabhängige Menge
|
||
$\{u_{1},u_{2}\}$
|
||
zu einer Basis
|
||
$\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$
|
||
von $U$.
|
||
Wähle außerdem beliebige Vektoren, $v'_{3},v'_{4}\in V$.
|
||
Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis von $U$
|
||
ist und $v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\in V$,
|
||
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
|
||
eine lineare Ausdehnung,
|
||
${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
\phi(u_{1})=v_{1},
|
||
&\phi(u_{2})=v_{2},
|
||
&\phi(u'_{3})=v'_{3},
|
||
&\phi(u'_{4})=v'_{4},
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt.
|
||
Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}!
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}
|
||
\item[] b) injektive
|
||
\item[] b') nicht-injektive
|
||
\item[] c) surjektive
|
||
\item[] c') nicht-surjektive
|
||
\item[] d) bijektive
|
||
\item[] d') nicht-bijektive
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass i)--iv) erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Da $\dim(U)>\dim(V)$,
|
||
kann es generell keine injektiven linearen Abbildungen
|
||
von $U$ nach $V$ geben.
|
||
Also lauten die Antworten auf \textbf{b)}, \textbf{d)} \fbox{Nein},
|
||
und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert,
|
||
lautet die Antwort auf \textbf{b')} und \textbf{d')} \fbox{Ja}.
|
||
|
||
Es bleiben nur noch \textbf{c)} und \textbf{c')} zu bestimmen.
|
||
Beachte, dass in der Konstruktion von $\phi$ im o.\,s. Beweis
|
||
wir $v'_{3},v'_{4}$ beliebig auswählen konnten.
|
||
|
||
Zu \textbf{c)} wähle bspw. $v'_{3}:=\begin{svector} 1\\ 0\\\end{svector}$
|
||
und $v'_{4}:=\zerovector$
|
||
und sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung
|
||
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion.
|
||
Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis für $U$ ist,
|
||
gilt wegen Linearität von $\phi_{1}$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\range(\phi_{1})
|
||
&= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\})\\
|
||
&= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2}),\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}\\
|
||
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}\\
|
||
&\supseteq &\vectorspacespan\{v_{1},v'_{3}\}\\
|
||
&= &V\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Die letzte Gleichung gilt,
|
||
weil \uline{per Wahl} $\{v_{1},v'_{3}\}$ linear unabhängig ist
|
||
und somit eine Basis des $2$-dimenionalen Vektorraums, $V$ ist.
|
||
Da $\range(\phi_{1})\supseteq V$, ist $\phi_{1}$ surjektiv.
|
||
Die Antwort auf \textbf{c)} lautet also \fbox{Ja}.
|
||
|
||
Zu \textbf{c')} wähle $v'_{3},v'_{4}:=\zerovector$
|
||
und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung
|
||
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion.
|
||
Wie oben gilt
|
||
$%
|
||
\rank(\phi_{2})
|
||
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{2}))
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\})
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1}\})
|
||
\leq 1
|
||
$,
|
||
da \uline{per Wahl} $v_{2},v_{3},v_{4}\in\vectorspacespan\{v_{1}\}$
|
||
und $v_{1}\neq\zerovector$.
|
||
Also, $\rank(\phi_{2})<2=\dim(V)$.
|
||
Folglich ist $\phi_{2}$
|
||
laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020}
|
||
nicht-surjektiv.
|
||
Die Antwort auf \textbf{c')} lautet also \fbox{Ja}.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
%% AUFGABE 3
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 3]{}
|
||
\label{sec:3}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$
|
||
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{2} = \begin{svector} 0\\ 2\\\end{svector},
|
||
&u_{3} = \begin{svector} 1\\ 3\\\end{svector}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
v_{1} = \begin{svector} -9\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector},
|
||
&v_{2} = \begin{svector} 4\\ 0\\ 0\\ 2\\\end{svector},
|
||
&v_{3} = \begin{svector} 5\\ 1\\ 0\\ 3\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{1})=v_{1}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{2})=v_{2}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{3})=v_{3}$
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
\uline{alle} erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Beachte, dass $u_{3}=u_{1}+u_{2}$, aber
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
v_{1}+v_{2}
|
||
&= &\begin{svector} -5\\ 0\\ 0\\ 3\\\end{svector}
|
||
&\neq &v_{3}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Angenommen, es gebe eine lineare Ausdehnung ${\phi:U\to V}$,
|
||
die i)--iii) erfüllt.
|
||
Dann muss
|
||
$v_{3}=\phi(u_{3})=\phi(u_{1}+u_{2})=\phi(u_{1})+\phi(u_{2})=v_{1}+v_{2}$
|
||
gelten. Laut der o.\,s. Gleichung kann dies aber nicht gelten.
|
||
Darum lautet die Antwort \fbox{Nein}.
|
||
Es gibt keine lineare Ausdehnung.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
%% AUFGABE 4
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 4]{}
|
||
\label{sec:4}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$
|
||
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{2} = \begin{svector} 2\\ 3\\\end{svector},
|
||
&u_{3} = \begin{svector} 0\\ 1\\\end{svector}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
v_{1} = \begin{svector} 8\\ 0\\ 0\\ 4\\\end{svector},
|
||
&v_{2} = \begin{svector} 18\\ 0\\ 0\\ 9\\\end{svector},
|
||
&v_{3} = \begin{svector} 2\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{1})=v_{1}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{2})=v_{2}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{3})=v_{3}$
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
\uline{alle} erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{3}\}$ linear unabhängig ist
|
||
und dass $u_{2}\in\vectorspacespan\{u_{1}\}$,
|
||
da ${u_{2}=2u_{1}+u_{3}}$.
|
||
Wir beachten auch, dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
2v_{1}+u_{3} &= &\begin{svector} 18\\ 0\\ 0\\ 9\\\end{svector} &= &v_{2}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gilt.
|
||
Darum können wir die Frage auf Bedingung {i) + iii)} reduzieren,
|
||
weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {ii)}
|
||
für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt wird.
|
||
|
||
Wegen linearer Unabhängigkeit ist $\{u_{1},u_{3}\}$
|
||
bereits eine Basis des $2$-dimensionalen Raums, $U$.
|
||
Deswegen brauchen wir in dieser Aufgabe keine Erweiterung zu machen.
|
||
Da $\{u_{1},u_{3}\}$ eine Basis für $U$
|
||
und $\{v_{1},v_{3}\}\subseteq V$,
|
||
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
|
||
eine lineare Abbildung,
|
||
${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cc}
|
||
\phi(u_{1})=v_{1}, &\phi(u_{3})=v_{3},
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gelten. Insbesondere sind Bedingung {i) + iii)} erfüllt.
|
||
Also lautet wie oben argumentiert,
|
||
die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}!
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}
|
||
\item[] b) injektive
|
||
\item[] b') nicht-injektive
|
||
\item[] c) surjektive
|
||
\item[] c') nicht-surjektive
|
||
\item[] d) bijektive
|
||
\item[] d') nicht-bijektive
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass i)--iii) erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Da $\dim(U)<\dim(V)$,
|
||
kann es generell keine surjektive linearen Abbildungen
|
||
von $U$ nach $V$ geben.
|
||
Also lauten die Antworten auf \textbf{c)}, \textbf{d)} \fbox{Nein},
|
||
und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert,
|
||
lautet die Antwort auf \textbf{c')} und \textbf{d')} \fbox{Ja}.
|
||
|
||
Es bleiben nur noch \textbf{b)} und \textbf{b')} zu bestimmen.
|
||
Sei $\phi$ eine lineare Ausdehnung, die i)--iii) erfüllt.
|
||
Dann wegen Linearität von $\phi$
|
||
und da $\{u_{1},u_{3}\}$ eine Basis von $U$ ist,
|
||
gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||
\range(\phi)
|
||
&= &\phi(\vectorspacespan\{u_{1},u_{3}\})
|
||
&= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{3})\}
|
||
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{3}\}
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
und damit
|
||
$%
|
||
\rank(\phi)
|
||
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi))
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{3}\})
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{3}\})
|
||
=1
|
||
$,
|
||
da $v_{1}\in\vectorspacespan\{v_{3}\}$
|
||
und $v_{3}\neq\zerovector$.
|
||
Also, $\rank(\phi)<2=\dim(U)$.
|
||
Folglich ist $\phi$
|
||
laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020}
|
||
nicht injektiv.
|
||
Da hier $\phi$ beliebig gewählt wurde,
|
||
sind alle linearen Ausdehnungen von i)--iii)
|
||
immer nicht-injektiv.
|
||
Darum lautet die Antwort auf \textbf{b)} \fbox{Nein}
|
||
und auf \textbf{b')} \fbox{Ja}.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
%% AUFGABE 5
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 5]{}
|
||
\label{sec:5}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$
|
||
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{2} = \begin{svector} 2\\ 2\\\end{svector},
|
||
&u_{3} = \begin{svector} 3\\ 3\\\end{svector}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
v_{1} = \begin{svector} 8\\ 0\\ 0\\ 4\\\end{svector},
|
||
&v_{2} = \begin{svector} 16\\ 0\\ 0\\ 8\\\end{svector},
|
||
&v_{3} = \begin{svector} 24\\ 0\\ 0\\ 12\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{1})=v_{1}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{2})=v_{2}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{3})=v_{3}$
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
\uline{alle} erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1}\}$ linear unabhängig ist
|
||
und dass $u_{2},u_{3}\in\vectorspacespan\{u_{1}\}$,
|
||
da $u_{2}=2u_{1}$ und $u_{3}=3u_{1}$.
|
||
Wir beachten auch, dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
2v_{1} &= &\begin{svector} 16\\ 0\\ 0\\ 8\\\end{svector} &= &v_{2},\\
|
||
3v_{1} &= &\begin{svector} 24\\ 0\\ 0\\ 12\\\end{svector} &= &v_{3}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gelten.
|
||
Darum können wir die Frage auf Bedingung {i)} reduzieren,
|
||
weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {ii) + iii)}
|
||
für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt werden.
|
||
|
||
Erweitere $\{u_{1}\}$ zu einer Basis $\{u_{1},u'_{2}\}$
|
||
des $2$-dimensionalen Raums, $U$,
|
||
und wähle einen Vektor $v'_{2}\in V$.
|
||
Da $\{u_{1},u'_{2}\}$ eine Basis für $U$
|
||
und $\{v_{1},v'_{2}\}\subseteq V$,
|
||
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
|
||
eine lineare Abbildung,
|
||
${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cc}
|
||
\phi(u_{1})=v_{1}, &\phi(u'_{2})=v'_{2},
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gelten. Insbesondere sind Bedingung {i)} erfüllt.
|
||
Also lautet wie oben argumentiert,
|
||
die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}!
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}
|
||
\item[] b) injektive
|
||
\item[] b') nicht-injektive
|
||
\item[] c) surjektive
|
||
\item[] c') nicht-surjektive
|
||
\item[] d) bijektive
|
||
\item[] d') nicht-bijektive
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass i)--iii) erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Da $\dim(U)<\dim(V)$,
|
||
kann es generell keine surjektive linearen Abbildungen
|
||
von $U$ nach $V$ geben.
|
||
Also lauten die Antworten auf \textbf{c)}, \textbf{d)} \fbox{Nein},
|
||
und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert,
|
||
lautet die Antwort auf \textbf{c')} und \textbf{d')} \fbox{Ja}.
|
||
|
||
Es bleiben nur noch \textbf{b)} und \textbf{b')} zu bestimmen.
|
||
Beachte, dass in der Konstruktion von $\phi$ im o.\,s. Beweis
|
||
wir $v'_{2}$ beliebig auswählen konnten.
|
||
|
||
Zu \textbf{b)} wähle $v'_{2}:=\begin{svector} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}$
|
||
und sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung
|
||
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion.
|
||
Da $\{u_{1},u'_{2}\}$ eine Basis für $U$ ist,
|
||
gilt wegen Linearität von $\phi_{1}$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||
\range(\phi_{1})
|
||
&= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u'_{2}\})
|
||
&= &\vectorspacespan\{\phi_{1}(u_{1}),\phi_{1}(u'_{2})\}
|
||
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\},
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
und damit
|
||
$%
|
||
\rank(\phi_{1})
|
||
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{1}))
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\})
|
||
=2
|
||
$,
|
||
da \uline{per Wahl} $\{v_{1},v'_{2}\}$ linear unabhängig ist.
|
||
Also, $\rank(\phi_{1})\geq 2=\dim(U)$.
|
||
Folglich ist $\phi_{1}$
|
||
laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020}
|
||
injektiv.
|
||
Die Antwort auf \textbf{b)} lautet also \fbox{Ja}.
|
||
|
||
Zu \textbf{b')} wähle $v'_{2}:=\zerovector$
|
||
und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung
|
||
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion.
|
||
Wie oben gilt
|
||
$%
|
||
\rank(\phi_{2})
|
||
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{2}))
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\})
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1}\})
|
||
\leq 1
|
||
$,
|
||
da \uline{per Wahl} $v'_{2}\in\vectorspacespan\{v_{1}\}$.
|
||
Also, $\rank(\phi_{2})<2=\dim(U)$.
|
||
Folglich ist $\phi_{2}$
|
||
laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020}
|
||
nicht-injektiv.
|
||
Die Antwort auf \textbf{b')} lautet also \fbox{Ja}.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
%% AUFGABE 6
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 6]{}
|
||
\label{sec:6}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U=V:=\reell^{4}$
|
||
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector},
|
||
&u_{4} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 2\\ 2\\\end{svector},\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
v_{1} = \begin{svector} 0\\ 3\\ 0\\ 0\\\end{svector},
|
||
&v_{2} = \begin{svector} 1\\ 3\\ 0\\ 0\\\end{svector},
|
||
&v_{3} = \begin{svector} 10\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector},
|
||
&v_{4} = \begin{svector} 1\\ 6\\ 0\\ 0\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
\makelabel{qstn:6:ch:lin-ext}
|
||
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{2}
|
||
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{1})=v_{1}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{2})=v_{2}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{3})=v_{3}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{4})=v_{4}$
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
\uline{alle} erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Zunächst beobachte, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig ist,
|
||
und dass $u_{3},u_{4}\in\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\}$,
|
||
da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$ und ${u_{4}=u_{1}+u_{2}}$.
|
||
Beachte auch, dass sich diese Verhältnisse in den Outputvektoren wiederspiegeln:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
10v_{2}-10v_{1}
|
||
&= &\begin{svector} 10\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector} &= &v_{3},\\
|
||
v_{1}+v_{2}
|
||
&= &\begin{svector} 1\\ 6\\ 0\\ 0\\\end{svector} &= &v_{4}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i) + ii)} reduzieren,
|
||
weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {iii) + iv)}
|
||
für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt werden.
|
||
|
||
\uline{Erweitere} nun die linear unabhängige Menge
|
||
$\{u_{1},u_{2}\}$
|
||
zu einer Basis
|
||
$\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$
|
||
von $U$.
|
||
Wähle außerdem beliebige Vektoren, $v'_{3},v'_{4}\in V$.
|
||
Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis von $U$
|
||
ist und $v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\in V$,
|
||
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
|
||
eine lineare Ausdehnung,
|
||
${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
\phi(u_{1})=v_{1},
|
||
&\phi(u_{2})=v_{2},
|
||
&\phi(u'_{3})=v'_{3},
|
||
&\phi(u'_{4})=v'_{4},
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt.
|
||
Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}!
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}
|
||
\item[] b) injektive
|
||
\item[] b') nicht-injektive
|
||
\item[] c) surjektive
|
||
\item[] c') nicht-surjektive
|
||
\item[] d) bijektive
|
||
\item[] d') nicht-bijektive
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass i)--iv) erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Da $\dim(U)=\dim(V)$,
|
||
sind \textbf{b)}, \textbf{c)}, \textbf{d)} äquivalent
|
||
und genauso sind \textbf{b')}, \textbf{c')}, \textbf{d)} äquivalent,
|
||
da für lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Räumen gleicher Dimensionen
|
||
Injektivität, Surjektivität, und Bijektivität
|
||
äquivalent sind.
|
||
Darum reicht es aus, nur \textbf{c)} und \textbf{c')} zu behandeln.
|
||
|
||
Zu \textbf{c)}, da $\{v_{1},v_{2}\}\subseteq V$ linear unabhängig sind,
|
||
wähle $v'_{3},v'_{4}\in V$ so,
|
||
dass $\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}$ eine Basis
|
||
des $4$-dimensionalen Raums, $V$, bildet.
|
||
Sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung
|
||
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion.
|
||
Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis für $U$ ist,
|
||
gilt wegen Linearität von $\phi_{1}$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\range(\phi_{1})
|
||
&= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\})\\
|
||
&= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2}),\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}\\
|
||
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
und damit $\range(\phi_{1})=V$,
|
||
da \uline{per Wahl} $\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}$ eine Basis von $V$ ist.
|
||
Folglich ist $\phi_{1}$ surjektiv.
|
||
Die Antwort auf \textbf{c)} (und \textbf{b)} und \textbf{d)}), lautet also \fbox{Ja}.
|
||
|
||
Zu \textbf{c')} wähle $v'_{3},v'_{4}:=\zerovector$
|
||
und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung
|
||
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion.
|
||
Wie oben gilt
|
||
$%
|
||
\rank(\phi_{2})
|
||
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{2}))
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\})
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2}\})
|
||
\leq 2
|
||
$,
|
||
da \uline{per Wahl} $v'_{3},v'_{4}\in\vectorspacespan\{v_{1},v_{2}\}$.
|
||
Also, $\rank(\phi_{2})<4=\dim(V)$.
|
||
Folglich ist $\phi_{2}$
|
||
laut \cite[Korollar~6.3.15(2)]{sinn2020}
|
||
nicht-surjektiv.
|
||
Die Antwort auf \textbf{c')} (und \textbf{b')} und \textbf{d')}) lautet also \fbox{Ja}.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
%% AUFGABE 7
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 7]{}
|
||
\label{sec:7}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U=V:=\reell^{4}$
|
||
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector},
|
||
&u_{4} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 2\\ 2\\\end{svector},\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
v_{1} = \begin{svector} 0\\ 3\\ 0\\ 0\\\end{svector},
|
||
&v_{2} = \begin{svector} 0\\ 6\\ 0\\ 0\\\end{svector},
|
||
&v_{3} = \begin{svector} 0\\ 30\\ 0\\ 0\\\end{svector},
|
||
&v_{4} = \begin{svector} 0\\ 9\\ 0\\ 0\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{2}
|
||
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{1})=v_{1}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{2})=v_{2}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{3})=v_{3}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{4})=v_{4}$
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
\uline{alle} erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Zunächst beobachte, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig ist,
|
||
und dass $u_{3},u_{4}\in\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\}$,
|
||
da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$ und ${u_{4}=u_{1}+u_{2}}$.
|
||
Beachte auch, dass sich diese Verhältnisse in den Outputvektoren wiederspiegeln:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
10v_{2}-10v_{1}
|
||
&= &\begin{svector} 0\\ 30\\ 0\\ 0\\\end{svector} &= &v_{3},\\
|
||
v_{1}+v_{2}
|
||
&= &\begin{svector} 0\\ 9\\ 0\\ 0\\\end{svector} &= &v_{4}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Der Rest dieser Aufgabe lässt sich nun genauso wie
|
||
bei \Cref{qstn:6:ch:lin-ext} erledigen.
|
||
Die Antwort hier lautet also wieder: \fbox{Ja},
|
||
es gibt eine lineare Ausdehnung, die i)--iv) erfüllt.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}
|
||
\item[] b) injektive
|
||
\item[] b') nicht-injektive
|
||
\item[] c) surjektive
|
||
\item[] c') nicht-surjektive
|
||
\item[] d) bijektive
|
||
\item[] d') nicht-bijektive
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass i)--iv) erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Da $\dim(U)=\dim(V)$,
|
||
sind \textbf{b)}, \textbf{c)}, \textbf{d)} äquivalent
|
||
und genauso sind \textbf{b')}, \textbf{c')}, \textbf{d)} äquivalent,
|
||
da für lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Räumen gleicher Dimensionen
|
||
Injektivität, Surjektivität, und Bijektivität
|
||
äquivalent sind.
|
||
Darum reicht es aus, nur \textbf{b)} und \textbf{b')} zu behandeln.
|
||
|
||
Sei nun ${\phi:U\to V}$ eine beliebige lineare Abbildung,
|
||
die i)--iv) erfüllt (laut der letzten Aufgabe existiert mindestens eine).
|
||
Da $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig ist,
|
||
können wir dies zu einer Basis
|
||
$\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$
|
||
von $U$ erweitern.
|
||
Da $\phi$ eine Ausdehnung und linear ist,
|
||
gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\range(\phi)
|
||
&= &\phi(\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\})\\
|
||
&= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2}),\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}\\
|
||
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Darum gilt
|
||
$%
|
||
\rank(\phi)
|
||
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi))
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\})
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\})
|
||
\leq 3
|
||
$,
|
||
da $v_{2}\in\vectorspacespan\{v_{1}\}$.
|
||
Also, $\rank(\phi)<4=\dim(V)$.
|
||
Folglich ist $\phi$
|
||
laut \cite[Korollar~6.3.15(2)]{sinn2020}
|
||
nicht-surjektiv.
|
||
Da $\phi$ beliebig war,
|
||
haben wir tatsächlich gezeigt,
|
||
dass alle lineare Ausdehnungen von i)--iv) nicht-surjektiv sind.
|
||
Darum lautet die Antwort auf
|
||
\textbf{c)} (und \textbf{b)} und \textbf{d)}) \fbox{Nein}
|
||
und auf \textbf{c')} (und \textbf{b')} und \textbf{d')}) \fbox{Ja}.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
%% AUFGABE 8
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 8]{}
|
||
\label{sec:8}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachten wir die $\reell$-Vektorräume $U=V:=\reell^{3}$
|
||
und die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{3} = \begin{svector} 30\\ 2\\ 0\\\end{svector},
|
||
&u_{4} = \begin{svector} 0\\ 2\\ 0\\\end{svector},\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
v_{1} = \begin{svector} 0\\ 3\\ 0\\\end{svector},
|
||
&v_{2} = \begin{svector} 1\\ 3\\ 0\\\end{svector},
|
||
&v_{3} = \begin{svector} 11\\ 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&v_{4} = \begin{svector} 1\\ 1\\ 1\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
\makelabel{ex:8:ch:lin-ext}
|
||
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{2}
|
||
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{1})=v_{1}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{2})=v_{2}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{3})=v_{3}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{4})=v_{4}$
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
\uline{alle} erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Zunächst beobachte, dass $\{u_{1},u_{2},u_{4}\}$ linear unabhängig ist,
|
||
und dass $u_{3}\in\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u_{4}\}$,
|
||
da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}+u_{4}}$.
|
||
Beachte auch, dass sich dieses Verhältnis in den Outputvektoren wiederspiegelt:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
10v_{2}-10v_{1}+v_{4}
|
||
&= &\begin{svector} 11\\ 1\\ 1\\\end{svector} &= &v_{3}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i)--iii)} reduzieren,
|
||
weil wegen des o.\,s. Verhältnisses {iv)}
|
||
für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt wird.
|
||
|
||
Hier müssen wir nun im Gegensatz zu den anderen Aufgaben \uline{nichts hinzufügen}!
|
||
Da $\{u_{1},u_{2},u_{3}\}$ linear unabhängig ist,
|
||
bildet dies bereits eine Basis des $3$-dimenionalen Raums $U$.
|
||
Da $\{u_{1},u_{2},u_{3}\}$ eine Basis von $U$ ist
|
||
und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$,
|
||
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
|
||
eine lineare Ausdehnung,
|
||
${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
\phi(u_{1})=v_{1},
|
||
&\phi(u_{2})=v_{2},
|
||
&\phi(u_{3})=v_{3}
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i)--iii)} erfüllt.
|
||
Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: \fbox{Ja}!
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}
|
||
\item[] b) injektive
|
||
\item[] b') nicht-injektive
|
||
\item[] c) surjektive
|
||
\item[] c') nicht-surjektive
|
||
\item[] d) bijektive
|
||
\item[] d') nicht-bijektive
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass i)--iv) erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Da $\dim(U)=\dim(V)$,
|
||
sind \textbf{b)}, \textbf{c)}, \textbf{d)} äquivalent
|
||
und genauso sind \textbf{b')}, \textbf{c')}, \textbf{d)} äquivalent,
|
||
da für lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Räumen gleicher Dimensionen
|
||
Injektivität, Surjektivität, und Bijektivität
|
||
äquivalent sind.
|
||
Darum reicht es aus, nur \textbf{c)} und \textbf{c')} zu behandeln.
|
||
|
||
Sei nun ${\phi:U\to V}$ eine beliebige lineare Abbildung,
|
||
die i)--iv) erfüllt (laut der letzten Aufgabe existiert mindestens eine).
|
||
Da $\phi$ eine Ausdehnung und linear ist
|
||
und da $\{u_{1},u_{2},u_{3}\}$ eine Basis von $U$ ist,
|
||
gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\range(\phi)
|
||
&= &\phi(\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u_{3}\})\\
|
||
&= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2}),\phi(u_{3})\}\\
|
||
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Nun ist $\{v_{1},v_{2},v_{3}\}\subseteq V$ linear unabhängig
|
||
und bildet somit eine Basis des $3$-dimenionalen Vektorraums, $V$.
|
||
Darum gilt $\range(\phi)\supseteq V$,
|
||
sodass $\phi$ surjektiv ist.
|
||
Da $\phi$ beliebig war,
|
||
haben wir tatsächlich gezeigt,
|
||
dass alle lineare Ausdehnungen von i)--iv) surjektiv sind.
|
||
Darum lautet die Antwort auf
|
||
\textbf{c)} (und \textbf{b)} und \textbf{d)}) \fbox{Ja}
|
||
und auf \textbf{c')} (und \textbf{b')} und \textbf{d')}) \fbox{Nein}.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\begin{rem}
|
||
Laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
|
||
die für \Cref{ex:8:ch:lin-ext} konstruierte lineare Abbildung, $\phi$,
|
||
eindeutig.
|
||
Da wir keine freie Wahl trafen, gibt es also \uline{exakt eine}
|
||
lineare Abbildung, die i)--iv) erfüllt.
|
||
Darum ist die letzte Frage eigentlich
|
||
»Ist \uline{die} lineare Ausdehnung injektiv/nicht-injektiv/...?«.
|
||
\end{rem}
|
||
|
||
\begin{rem}
|
||
Wir hätten die o.\,s. Aufgabe so aufstellen können,
|
||
dass $\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ linear abhängig wäre.
|
||
Dann hätte die lineare Ausdehnung den Rang $<3$.
|
||
Die Antworten auf \textbf{c)}, \textbf{b)}, \textbf{d)}) würden dann »Nein« lauten,
|
||
und auf \textbf{c')}, \textbf{b')}, \textbf{d')} »Ja«.
|
||
\end{rem}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/linear-systems.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\chapter[Lineare Gleichungssysteme]{Lineare Gleichungssysteme}
|
||
\label{ch:lgs}
|
||
|
||
%% AUFGABE 1
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 1]{}
|
||
\label{sec:9}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{exer*}
|
||
Bestimmen Sie eine Basis des Lösungsraums von dem Gleichungssystem,
|
||
${A\mathbf{x}=\zerovector}$,
|
||
wobei $A$ die Matrix $\begin{smatrix}
|
||
2 &-4 &0 &6 &2\\
|
||
3 &-6 &1 &13 &2\\
|
||
-7 &14 &-1 &-32 &-9\\
|
||
\end{smatrix}$
|
||
über dem Körper $\reell$ ist.
|
||
\end{exer*}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Um die \uline{allgemeine Form} der Lösungen
|
||
zu ${A\mathbf{x}=\zerovector}$ zu bestimmen,
|
||
reduzieren wir zunächst $A$ auf Zeilenstufenform
|
||
und normalisieren:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
A &\xrightarrow{\substack{
|
||
Z_{2} \mapsfrom 2\cdot Z_{2} - 3\cdot Z_{1}\\
|
||
Z_{3} \mapsfrom 2\cdot Z_{3} + 7\cdot Z_{1}\\
|
||
}} &
|
||
\begin{matrix}{rrrrr}
|
||
2 &-4 &0 &6 &2\\
|
||
0 &0 &2 &8 &-2\\
|
||
0 &0 &-2 &-22 &-4\\
|
||
\end{matrix}
|
||
\\
|
||
&\xrightarrow{\substack{
|
||
Z_{3} \mapsfrom Z_{3} + Z_{2}\\
|
||
}} &
|
||
\begin{matrix}{rrrrr}
|
||
2 &-4 &0 &6 &2\\
|
||
0 &0 &2 &8 &-2\\
|
||
0 &0 &0 &-14 &-6\\
|
||
\end{matrix}
|
||
\\
|
||
&\xrightarrow{\substack{
|
||
Z_{1} \mapsfrom 7\cdot Z_{1} + 3\cdot Z_{3}\\
|
||
Z_{2} \mapsfrom 7\cdot Z_{2} + 4\cdot Z_{3}\\
|
||
}} &
|
||
\begin{matrix}{rrrrr}
|
||
14 &-28 &0 &0 &-4\\
|
||
0 &0 &14 &0 &-38\\
|
||
0 &0 &0 &-14 &-6\\
|
||
\end{matrix}
|
||
\\
|
||
&\xrightarrow{\substack{
|
||
Z_{1} \mapsfrom Z_{1}:2\\
|
||
Z_{2} \mapsfrom Z_{2}:2\\
|
||
Z_{3} \mapsfrom Z_{3}:-2\\
|
||
}} &
|
||
\begin{matrix}{ccccc}
|
||
\boxed{7} &-14 &0 &0 &-2\\
|
||
0 &0 &\boxed{7} &0 &-19\\
|
||
0 &0 &0 &\boxed{7} &3\\
|
||
\end{matrix}
|
||
.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Aus der Zeilenstufenform ergibt sich,
|
||
in
|
||
${A\mathbf{x}=\zerovector}$
|
||
die Variablen $x_{2}, x_{5}$ frei sind
|
||
und
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcr0lcr0l}
|
||
\eqtag[eq:1:ex:1:ch:lgs]
|
||
x_{4} &= & && &-(3/7)&x_{5}\\
|
||
x_{3} &= & && &(19/7)&x_{5}\\
|
||
x_{1} &= &2&x_{2} &+ &(2/7)&x_{5}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Eine Basis des Lösungsraums,
|
||
${\ker(A)=\{\mathbf{x}\in\reell^{5}\mid A\mathbf{x}=\zerovector\}}$,
|
||
lässt sich nach \cite[Satz~5.3.8]{sinn2020} finden,
|
||
indem wir die Lösungen berechnen,
|
||
für die genau eine der freien Unbekannten auf einen Wert ungleich $0$
|
||
und alle anderen auf $0$ gesetzt werden.\footnote{
|
||
Im \cite[Satz~5.3.8]{sinn2020} wird beschrieben, dass man $1$ verwendet,
|
||
aber man kann die Elemente einer Basis
|
||
mit beliebigen Werten ungleich $0$ multiplizieren,
|
||
ohne zu ändern,
|
||
dass die Menge eine Basis ist.
|
||
}
|
||
Hier gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcrcl}
|
||
x_{2}=1,\,x_{5}=0
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&\mathbf{x}
|
||
&\eqcrefoverset{eq:1:ex:1:ch:lgs}{=}
|
||
&\begin{svector} 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}\\
|
||
x_{2}=0,\,x_{5}=7
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&\mathbf{x}
|
||
&\eqcrefoverset{eq:1:ex:1:ch:lgs}{=}
|
||
&\begin{svector} 2\\ 0\\ 19\\ -3\\ 7\\\end{svector}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Darum ist \fbox{$\bigg\{\begin{svector} 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}, \begin{svector} 2\\ 0\\ 19\\ -3\\ 7\\\end{svector}\bigg\}$}
|
||
eine Basis des Lösungsraums.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\begin{rem*}
|
||
Es wird hier empfohlen zu verifizieren,
|
||
dass $A\mathbf{x}$ wirklich gleich $\zerovector$ für alle Basiselemente gilt,
|
||
um zu überprüfen, dass unsere Lösung \emph{nicht offensichtlich falsch} ist.
|
||
\end{rem*}
|
||
|
||
\begin{exer*}
|
||
Bestimmen Sie den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über $\reell$).
|
||
\end{exer*}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Bezeichne mit $a^{(j)}\in\reell^{3}$ für $j\in\{1,2,\ldots,5\}$
|
||
die Spalten von $A$.
|
||
Aus der o.\,s. Zeilenstufenform,
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\begin{matrix}{ccccc}
|
||
\boxed{7} &-14 &0 &0 &-2\\
|
||
0 &0 &\boxed{7} &0 &-19\\
|
||
0 &0 &0 &\boxed{7} &3\\
|
||
\end{matrix},
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
geht hervor, dass Spalten $1$, $3$, $4$ aus $A$ eine Basis
|
||
des Spaltenraums bilden.\footnote{
|
||
Die allgemeine Begründung ist wie folgt:
|
||
Aus der Zeilenstufenform folgt, dass Spalten $1$, $3$, $4$ aus $A$
|
||
linear unabhängig sind und dass die übrigen von diesen linear abhängig sind.
|
||
D.\,h. $\cal{A}:=\{a^{(1)},\,a^{(3)},\,a^{(4)}\}$ ist linear unabhängig
|
||
und $a^{(2)},a^{(5)}\in\vectorspacespan\cal{A}$.
|
||
Da $\range(A)=\vectorspacespan\{a^{(1)},\,a^{(2)},\,a^{(3)},\,a^{(4)},\,a^{(5)}\}$,
|
||
ist folglich $\cal{A}$ eine Basis für $\range(A)$.
|
||
}
|
||
Also ist
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\boxed{\bigg\{
|
||
\begin{vector} 2\\ 3\\ -7\\\end{vector},
|
||
\begin{vector} 0\\ 1\\ -1\\\end{vector},
|
||
\begin{vector} 6\\ 13\\ -32\\\end{vector}
|
||
\bigg\}}
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
eine Basis des Spaltenraums.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\textbf{Zur Kontrolle:} Aus der letzten Teilaufgabe erhielten wir
|
||
eine Basis des Lösungsraums der Länge $2$,
|
||
d.\,h. $\dim(\ker(A))=2$,
|
||
und hier wurde eine Basis des Spaltenraums der Länge $3$ gefunden,
|
||
d.\,h. $\dim(\range(A))=3$.
|
||
Wir sehen dass $\dim(\ker(A))+\dim(\range(A))=5=\dim(\reell^{5})$,
|
||
sodass die Dimensionsformel für lineare Abbildungen erfüllt ist.\footnote{
|
||
Das heißt nicht, dass unsere berechneten Basen deswegen richtig sind.
|
||
Dies ist lediglich zu kontrollieren,
|
||
dass unsere Berechnungen \emph{nicht offensichtlich falsch} sind.
|
||
}
|
||
|
||
\begin{rem*}
|
||
Falls in der letzten Aufgabe der Körper etwas anderes wäre,
|
||
so hätten wir die Zeilenstufenform erneut für diesen Körper berechnen müssen.
|
||
\end{rem*}
|
||
|
||
%% AUFGABE 2
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 2]{}
|
||
\label{sec:10}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{exer*}
|
||
Bestimmen Sie eine Basis des Lösungsraums von dem Gleichungssystem,
|
||
${A\mathbf{x}=\zerovector}$,
|
||
wobei $A$ die Matrix $\begin{smatrix}
|
||
2 &-4 &0 &6 &2\\
|
||
3 &-6 &1 &13 &2\\
|
||
-7 &14 &-1 &-32 &-9\\
|
||
\end{smatrix}$
|
||
über dem Körper $\mathbb{F}_{7}$ ist.
|
||
\end{exer*}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Um die \uline{allgemeine Form} der Lösungen
|
||
zu ${A\mathbf{x}=\zerovector}$ zu bestimmen,
|
||
reduzieren wir $A$ auf Zeilenstufenform
|
||
und normalisieren.
|
||
Bei/vor jedem Schritt ersetzen wir Werte durch kanonische Darstellungen von Zahlen modulo $7$.
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
A &= &
|
||
\begin{matrix}{rrrrr}
|
||
2 &3 &0 &6 &2\\
|
||
3 &1 &1 &6 &2\\
|
||
0 &0 &6 &3 &5\\
|
||
\end{matrix}
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Die Zeilenstufenform wird wie folgt berechnet:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
A &\xrightarrow{\substack{
|
||
Z_{2} \mapsfrom Z_{2}+2\cdot Z_{1}\\
|
||
}} &
|
||
\begin{matrix}{rrrrr}
|
||
2 &3 &0 &6 &2\\
|
||
0 &0 &1 &4 &6\\
|
||
0 &0 &6 &3 &5\\
|
||
\end{matrix}
|
||
\\
|
||
&\xrightarrow{\substack{
|
||
Z_{3} \mapsfrom Z_{3} + Z_{2}
|
||
}} &
|
||
\begin{matrix}{rrrrr}
|
||
2 &3 &0 &6 &2\\
|
||
0 &0 &1 &4 &6\\
|
||
0 &0 &0 &0 &4\\
|
||
\end{matrix}
|
||
\\
|
||
&\xrightarrow{\substack{
|
||
Z_{1} \mapsfrom 2\cdot Z_{1} - Z_{3}\\
|
||
Z_{2} \mapsfrom 2\cdot Z_{2} - 3\cdot Z_{3}\\
|
||
}} &
|
||
\begin{matrix}{rrrrr}
|
||
4 &6 &0 &5 &0\\
|
||
0 &0 &2 &1 &0\\
|
||
0 &0 &0 &0 &4\\
|
||
\end{matrix}
|
||
\\
|
||
&\xrightarrow{\substack{
|
||
Z_{1} \mapsfrom 2\cdot Z_{1}\\
|
||
Z_{2} \mapsfrom 4\cdot Z_{2}\\
|
||
Z_{3} \mapsfrom 2\cdot Z_{3}\\
|
||
}} &
|
||
\begin{matrix}{rrrrr}
|
||
\boxed{1} &5 &0 &3 &0\\
|
||
0 &0 &\boxed{1} &4 &0\\
|
||
0 &0 &0 &0 &\boxed{1}\\
|
||
\end{matrix}
|
||
.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
(Beachte, dass $2^{-1}=4$ und $4^{-1}=2$ in $\mathbb{F}_{7}$, weil $2\cdot 4=8\equiv 1\mod 7$.
|
||
Darum wurden im letzten Schritt die Zeilen jeweils mit $2$ oder $4$ multipliziert.)
|
||
|
||
Aus der Zeilenstufenform ergibt sich,
|
||
in
|
||
${A\mathbf{x}=\zerovector}$
|
||
die Variablen $x_{2},x_{4}$ frei sind
|
||
und
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcr0lcr0l}
|
||
x_{5} &= &0\\
|
||
x_{3} &= & && &-4&x_{4}\\
|
||
x_{1} &= &-5&x_{2} &- &3&x_{4}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Eine Basis des Lösungsraums,
|
||
${\ker(A)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{F}_{7}^{5}\mid A\mathbf{x}=\zerovector\}}$,
|
||
lässt sich nach \cite[Satz~5.3.8]{sinn2020} finden,
|
||
indem wir die Lösungen berechnen,
|
||
für die genau eine der freien Unbekannten auf einen Wert ungleich $0$
|
||
und alle anderen auf $0$ gesetzt werden.
|
||
Hier gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcrclcl}
|
||
x_{2}=1,\,x_{4}=0
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&\mathbf{x}
|
||
&= &\begin{svector} -5\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
|
||
&= &\begin{svector} 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}\\
|
||
x_{2}=0,\,x_{4}=1
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&\mathbf{x}
|
||
&= &\begin{svector} -3\\ 0\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector}
|
||
&= &\begin{svector} 4\\ 0\\ 3\\ 1\\ 0\\\end{svector}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Darum ist \fbox{$\bigg\{\begin{svector} 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}, \begin{svector} 4\\ 0\\ 3\\ 1\\ 0\\\end{svector}\bigg\}$}
|
||
eine Basis des Lösungsraums.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\begin{rem*}
|
||
Wiederum wird empfohlen, zu kontrollieren,
|
||
dass $A\mathbf{x}=\zerovector$ für alle Basiselemente gilt.
|
||
Beachte hier, dass wir modulo $7$ berechnen sollen.\footnote{
|
||
Falls man \textbf{octave} zum Berechnen benutzt, gibt man bspw.
|
||
{\ttfamily mod(A{\char42}[2, 1, 0, 0, 0].{\char13}, 7)}
|
||
für Moduloberechnungen ein. Und in \textbf{python} gibt man
|
||
{\ttfamily np.matmul(A, [2, 1, 0, 0, 0])\%7}
|
||
ein (solange man konventionsgemäß numpy mittels \texttt{import numpy as np;} importiert).
|
||
}
|
||
Bei den o.\,s. Lösungen kommen
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rclqcqrclcl}
|
||
A\cdot \begin{svector} 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
|
||
&= &\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
|
||
&\text{und}
|
||
&A\cdot \begin{svector} 4\\ 0\\ 3\\ 1\\ 0\\\end{svector}
|
||
&= &\begin{svector} 14\\ 28\\ -63\\\end{svector}
|
||
&= &\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
raus, sodass wir erleichtert sein können,
|
||
dass unsere Basiselemente richtig sind.
|
||
|
||
Ob die Größe der Basis stimmt, ist aber nicht damit überprüft.
|
||
Da müssen wir einfach prüfen, dass die Zeilenstufenform richtig berechnet wurde,
|
||
um die Anzahl der Stufen und freien Variablen zu bestätigen.
|
||
\end{rem*}
|
||
|
||
\begin{exer*}
|
||
Bestimmen Sie den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über $\mathbb{F}_{7}$).
|
||
\end{exer*}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Bezeichne mit $a^{(j)}\in\reell^{3}$ für $j\in\{1,2,\ldots,5\}$
|
||
die Spalten von $A$.
|
||
Aus der o.\,s. Zeilenstufenform,
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\begin{matrix}{ccccc}
|
||
\boxed{1} &5 &0 &3 &0\\
|
||
0 &0 &\boxed{1} &4 &0\\
|
||
0 &0 &0 &0 &\boxed{1}\\
|
||
\end{matrix},
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
geht hervor, dass Spalten $1$, $3$, $5$ aus $A$ eine Basis
|
||
des Spaltenraums bilden.
|
||
Also ist
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\boxed{\bigg\{
|
||
\begin{vector} 2\\ 3\\ -7\\\end{vector},
|
||
\begin{vector} 0\\ 1\\ -1\\\end{vector},
|
||
\begin{vector} 2\\ 2\\ -9\\\end{vector}
|
||
\bigg\}}
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
eine Basis des Spaltenraums.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\textbf{Zur Kontrolle:}
|
||
Aus der letzten Teilaufgabe erhielten wir $\dim(\ker(A))=2$,
|
||
und hier wurde nebenbei gezeigt, dass $\dim(\range(A))=3$.
|
||
Also gilt $\dim(\ker(A))+\dim(\range(A))=5=\dim(\reell^{5})$,
|
||
sodass die Dimensionsformel für lineare Abbildungen erfüllt ist.
|
||
|
||
\begin{rem*}
|
||
Die hier verwendete Matrix, $A$, war »die gleiche« wie in Aufgabe 1,
|
||
nur mit einem anderen Körper.
|
||
Wir sehen, dass wir die über $\reell$ berechnete Zeilenstufenform
|
||
in dieser Aufgabe nicht einfach so übernehmen durften.
|
||
D.\,h. wenn im 1. Teil einer Aufgabe man eine Basis des Lösungsraums von $A$ über $\reell$ bestimmen soll,
|
||
und dann im 2. Teil eine Basis des Spaltenraums von $A$ über $\reell$
|
||
und dann im 3. Teil eine Basis des Spaltenraums von $A$ über bspw. $\mathbb{F}_{7}$,
|
||
dann kann man im 1.+2. Teil dieselbe Zeilenstufenform gebrauchen,
|
||
aber im 3. Teil berechnet man die Zeilenstufenform am liebsten ganz von vorne in dem neuen Körper,
|
||
um einer Nummer sicher zu gehen.
|
||
\end{rem*}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: back/index.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\bibliographystyle{alpha}
|
||
\def\bibname{Literaturverzeichnis}
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||
\nocite{*}
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\bgroup
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||
\footnotesize
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%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: ########
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\begin{thebibliography}{Wal16}
|
||
|
||
\bibitem[Jec97]{jech1997}
|
||
Thomas Jech.
|
||
\newblock {\em {Set Theory}}.
|
||
\newblock Springer-Verlag, 1997.
|
||
|
||
\bibitem[Sin20]{sinn2020}
|
||
Rainer Sinn.
|
||
\newblock {Lineare Algebra I: Skript zur Veranstaltung Universit\"at Leipzig}.
|
||
\newblock Vorlesungsskript, 2020.
|
||
|
||
\bibitem[Wal16]{waldmann2016}
|
||
Stefan Waldmann.
|
||
\newblock {\em {Lineare Algebra 1: Die Grundlagen f\"ur Studierende der
|
||
Mathematik und Physik}}.
|
||
\newblock Springer Berlin Heidelberg, 2016.
|
||
|
||
\end{thebibliography}
|
||
\egroup
|
||
|
||
\end{document}
|