Ein Repository für den Kurs Lineare Algebra 1, WiSe 2020–21.
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
linalg2020/docs/loesungen.tex

10889 lines
426 KiB

%% ********************************************************************************
%% AUTHOR: Raj Dahya
%% CREATED: November 2020
%% EDITED: —
%% TYPE: Notizen
%% TITLE: Lösungen zu diversen Aufgaben im Kurs
%% DOI: —
%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik
%% INSTITUTE: Universität Leipzig
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%% ********************************************************************************
%% DOCUMENT STRUCTURE:
%% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%%
%% - root.tex;
%% |
%% ---- parameters.tex;
%% |
%% ---- srclocal/index.tex;
%% |
%% ---- src/setup-type.tex;
%% |
%% ---- src/setup-packages.tex;
%% |
%% ---- src/setup-parameters.tex;
%% |
%% ---- src/setup-macros.tex;
%% |
%% ---- src/setup-environments.tex;
%% |
%% ---- src/setup-layout.tex;
%% |
%% ---- srclocal/setup-localmacros.tex;
%% |
%% ---- front/index.tex;
%% |
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%% |
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%% |
%% ---- front/contents.tex;
%% |
%% ---- body/index.tex;
%% |
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%% |
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%% |
%% ---- body/uebung/ueb3.tex;
%% |
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%% |
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%% |
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%% |
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%% |
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%% |
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%% |
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%% |
%% ---- body/uebung/ueb11.tex;
%% |
%% ---- body/ska/ska4.tex;
%% |
%% ---- body/ska/ska5.tex;
%% |
%% ---- body/ska/ska6.tex;
%% |
%% ---- body/quizzes/quiz1.tex;
%% |
%% ---- body/quizzes/quiz2.tex;
%% |
%% ---- body/quizzes/quiz3.tex;
%% |
%% ---- body/quizzes/quiz4.tex;
%% |
%% ---- body/quizzes/quiz5.tex;
%% |
%% ---- body/quizzes/quiz6.tex;
%% |
%% ---- body/quizzes/quiz7.tex;
%% |
%% ---- body/quizzes/quiz8.tex;
%% |
%% ---- body/quizzes/quiz9.tex;
%% |
%% ---- body/quizzes/quiz10.tex;
%% |
%% ---- body/quizzes/quiz11.tex;
%% |
%% ---- back/index.tex;
%% |
%% ---- ./back/quelle.bib;
%%
%% DOCUMENT-RANDOM-SEED: 5637845
%% ********************************************************************************
%% ********************************************************************************
%% FILE: root.tex
%% ********************************************************************************
%% ********************************************************************************
%% FILE: parameters.tex
%% ********************************************************************************
%% ********************************************************************************
%% FILE: srclocal/index.tex
%% ********************************************************************************
\makeatletter
%% ********************************************************************************
%% FILE: src/setup-type.tex
%% ********************************************************************************
\documentclass[
12pt,
a4paper,
oneside,
openright,
center,
chapterbib,
crosshair,
fleqn,
headcount,
headline,
indent,
indentfirst=false,
portrait,
phonetic,
oldernstyle,
onecolumn,
sfbold,
upper,
]{scrbook}
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%% FILE: src/setup-packages.tex
%% ********************************************************************************
\PassOptionsToPackage{T2A,OT1}{fontenc} % T1,OT1,T2A,OT2
\PassOptionsToPackage{utf8}{inputenc} % utf8
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\PassOptionsToPackage{
english,
ngerman,
russian,
capitalise,
}{cleveref}
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bookmarksopen=false,
bookmarksopenlevel=0,
bookmarkstype=toc,
colorlinks=false,
raiselinks=true,
hyperfigures=true,
}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{
reset,
left=1in,
right=1in,
top=20mm,
bottom=20mm,
heightrounded,
}{geometry}
\PassOptionsToPackage{
framemethod=TikZ,
}{mdframed}
\PassOptionsToPackage{normalem}{ulem}
\PassOptionsToPackage{
amsmath,
thmmarks,
}{ntheorem}
\PassOptionsToPackage{table}{xcolor}
\PassOptionsToPackage{
all,
color,
curve,
frame,
import,
knot,
line,
movie,
rotate,
textures,
tile,
tips,
web,
xdvi,
}{xy}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ntheorem} % <— muss nach den ams* Packages vorkommen!!
\usepackage{array}
\usepackage{babel}
\usepackage{bbding}
\usepackage{bbm}
\usepackage{calc}
\usepackage{sectsty}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{footmisc}
\usepackage{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{ifpdf}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{ifnextok}
\usepackage{longtable}
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\usepackage{multirow}
\usepackage{nameref}
\usepackage{nowtoaux}
\usepackage{paralist}
\usepackage{enumerate} %% nach [paralist]
\usepackage{pgf}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{proof}
\usepackage{refcount}
\usepackage{relsize}
\usepackage{savesym}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{yfonts} %% <— Altgotische Fonts
\usepackage{tikz}
\usepackage{xy}
\usepackage{undertilde}
\usepackage{ulem} %% <– f\"ur besseren \underline-Befehl (\ul)
\usepackage{xcolor}
\usepackage{xspace}
\usepackage{xstring}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{cleveref} % must vor hyperref geladen werden.
\pgfplotsset{compat=newest}
\usetikzlibrary{
angles,
arrows,
automata,
calc,
decorations,
decorations.pathmorphing,
decorations.pathreplacing,
math,
positioning,
patterns,
quotes,
snakes,
}
%% \var ≈ alter Befehl
%% \xvar ≈ wie das neue Package \var interpretieren soll.
\savesymbol{Diamond}
\savesymbol{emptyset}
\savesymbol{ggg}
\savesymbol{int}
\savesymbol{lll}
\savesymbol{RectangleBold}
\savesymbol{langle}
\savesymbol{rangle}
\savesymbol{hookrightarrow}
\savesymbol{hookleftarrow}
\savesymbol{Asterisk}
\usepackage{mathabx}
\usepackage{wasysym}
\let\varemptyset=\emptyset
\restoresymbol{x}{Diamond}
\restoresymbol{x}{emptyset}
\restoresymbol{x}{ggg}
\restoresymbol{x}{int}
\restoresymbol{x}{lll}
\restoresymbol{x}{RectangleBold}
\restoresymbol{x}{langle}
\restoresymbol{x}{rangle}
\restoresymbol{x}{hookrightarrow}
\restoresymbol{x}{hookleftarrow}
\restoresymbol{x}{Asterisk}
\ifpdf
\usepackage{pdfcolmk}
\fi
\usepackage{mdframed}
%% Force-Import aus MnSymbol
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolA}{}
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{m}{n}{
<-6> MnSymbolA5
<6-7> MnSymbolA6
<7-8> MnSymbolA7
<8-9> MnSymbolA8
<9-10> MnSymbolA9
<10-12> MnSymbolA10
<12-> MnSymbolA12
}{}
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{b}{n}{
<-6> MnSymbolA-Bold5
<6-7> MnSymbolA-Bold6
<7-8> MnSymbolA-Bold7
<8-9> MnSymbolA-Bold8
<9-10> MnSymbolA-Bold9
<10-12> MnSymbolA-Bold10
<12-> MnSymbolA-Bold12
}{}
\DeclareSymbolFont{MnSyA}{U}{MnSymbolA}{m}{n}
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowright}{\mathrel}{MnSyA}{252}
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{255}
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowleft}{\mathrel}{MnSyA}{250}
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{251}
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolC}{}
\DeclareSymbolFont{MnSyC}{U}{MnSymbolC}{m}{n}
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolC}{m}{n}{
<-6> MnSymbolC5
<6-7> MnSymbolC6
<7-8> MnSymbolC7
<8-9> MnSymbolC8
<9-10> MnSymbolC9
<10-12> MnSymbolC10
<12-> MnSymbolC12%
}{}
\DeclareMathSymbol{\powerset}{\mathord}{MnSyC}{180}
%% ********************************************************************************
%% FILE: src/setup-parameters.tex
%% ********************************************************************************
\def\boolwahr{true}
\def\boolfalsch{false}
\def\boolleer{}
\let\documenttwosided\boolfalsch
\let\boolinappendix\boolfalsch
\let\boolinmdframed\boolfalsch
\let\eqtagset\boolfalsch
\let\eqtaglabel\boolleer
\let\eqtagsymb\boolleer
\newcount\bufferctr
\newcount\bufferreplace
\newcounter{columnanzahl}
\newlength\rtab
\newlength\gesamtlinkerRand
\newlength\gesamtrechterRand
\newlength\ownspaceabovethm
\newlength\ownspacebelowthm
\setlength{\rtab}{0.025\textwidth}
\setlength{\ownspaceabovethm}{0.5\baselineskip}
\setlength{\ownspacebelowthm}{0.5\baselineskip}
\setlength{\gesamtlinkerRand}{0pt}
\setlength{\gesamtrechterRand}{0pt}
\def\secnumberingpt{$\cdot$}
\def\secnumberingseppt{.}
\def\subsecnumberingseppt{}
\def\thmnumberingpt{$\cdot$}
\def\thmnumberingseppt{}
\def\thmForceSepPt{.}
\definecolor{leer}{gray}{1}
\definecolor{hellgrau}{gray}{0.85}
\definecolor{dunkelgrau}{gray}{0.5}
\definecolor{maroon}{rgb}{0.6901961,0.1882353,0.3764706}
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\definecolor{blau}{rgb}{0,0,1}
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%% ********************************************************************************
%% FILE: src/setup-macros.tex
%% ********************************************************************************
%% ****************************************************************
%% TEX:
%% ****************************************************************
\def\let@name#1#2{\expandafter\let\csname #1\expandafter\endcsname\csname #2\endcsname\relax}
\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{ccr}\selectfont}
\DeclareTextFontCommand{\textcr}{\crfamily}
\def\nichtzeigen#1{\phantom{#1}}
%% ****************************************************************
%% SPACING:
%% ****************************************************************
\def\ifthenelseleer#1#2#3{\ifthenelse{\equal{#1}{}}{#2}{#1#3}}
\def\bedingtesspaceexpand#1#2#3{\ifthenelseleer{\csname #1\endcsname}{#3}{#2#3}}
\def\voritemise{\leavevmode\nvraum{1}}
\def\hraum{\null\hfill\null}
\def\vraum{\null\vfill\null}
\def\nvraum{\@ifnextchar\bgroup{\nvraum@c}{\nvraum@bes}}
\def\nvraum@c#1{\vspace*{-#1\baselineskip}}
\def\nvraum@bes{\vspace*{-\baselineskip}}
\def\erlaubeplatz{\relax\ifmmode\else\@\xspace\fi}
\def\entferneplatz{\relax\ifmmode\else\expandafter\@gobble\fi}
%% ****************************************************************
%% TAGS / BEZEICHNUNGEN / LABELLING:
%% ****************************************************************
\def\send@toaux#1{\@bsphack\protected@write\@auxout{}{\string#1}\@esphack}
%% \rlabel{LABEL}[CTR]{CREF-SHORT}{CREF-LONG}{DISPLAYTEXT}
\def\rlabel#1[#2]#3#4#5{#5\rlabel@aux{#1}[#2]{#3}{#4}{#5}}
\def\rlabel@aux#1[#2]#3#4#5{%
\send@toaux{\newlabel{#1}{{\@currentlabel}{\thepage}{{\unexpanded{#5}}}{#2.\csname the#2\endcsname}{}}}\relax%
}
%% \tag@rawscheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR]{LEFT-BRKT}{RIGHT-BRKT} [LABEL]{DISPLAYTEXT}
\def\tag@rawscheme#1#2[#3]#4#5{\@ifnextchar[{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}}{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[*]}}
\def\tag@rawscheme@#1#2[#3]#4#5[#6]{\@ifnextchar\bgroup{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]}{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]{}}}
\def\tag@rawscheme@@#1#2[#3]#4#5[#6]#7{%
\ifthenelse{\equal{#6}{*}}{%
\ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\refstepcounter{#3}#4\csname the#3\endcsname#5}{#4#7#5}%
}{%
\refstepcounter{#3}#4%
\ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{\csname the#3\endcsname}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{#7}}%
#5%
}%
}
%% \tag@scheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR] [LABEL]{DISPLAYTEXT}
\def\tag@scheme#1#2[#3]{\tag@rawscheme{#1}{#2}[#3]{\upshape(}{\upshape)}}
%% \eqtag[LABEL]{DISPLAYTEXT}
\def\eqtag@post#1{\makebox[0pt][r]{#1}}
\def\eqtag@pre{\tag@scheme{Eq}{Equation}[Xe]}
\def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@}{\eqtag@[*]}}
\def\eqtag@[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@@[#1]}{\eqtag@@[#1]{}}}
\def\eqtag@@[#1]#2{\eqtag@post{\eqtag@pre[#1]{#2}}}
\def\eqcref#1{\text{(\ref{#1})}}
\def\ptcref#1{\ref{#1}}
\def\punktlabel#1{\label{it:#1:\beweislabel}}
\def\punktcref#1{\eqcref{it:#1:\beweislabel}}
\def\crefit#1#2{\cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}}
\def\Crefit#1#2{\Cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}}
%% UNDER/OVERSET BEFEHLE
\def\opfromto[#1]_#2^#3{\underset{#2}{\overset{#3}{#1}}}
\def\textoverset#1#2{\overset{\text{#1}}{#2}}
\def\textunderset#1#2{\underset{#2}{\text{#1}}}
\def\crefoverset#1#2{\textoverset{\cref{#1}}{#2}}
\def\Crefoverset#1#2{\textoverset{\Cref{#1}}{#2}}
\def\crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\cref{#1}}}
\def\Crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\Cref{#1}}}
\def\eqcrefoverset#1#2{\textoverset{\eqcref{#1}}{#2}}
\def\eqcrefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\eqcref{#1}}}
\def\mathclap#1{#1}
\def\oberunterset#1{\@ifnextchar^{\oberunterset@oben{#1}}{\oberunterset@unten{#1}}}
\def\oberunterset@oben#1^#2_#3{\underset{\mathclap{#3}}{\overset{\mathclap{#2}}{#1}}}
\def\oberunterset@unten#1_#2^#3{\underset{\mathclap{#2}}{\overset{\mathclap{#3}}{#1}}}
\def\breitunderbrace#1_#2{\underbrace{#1}_{\mathclap{#2}}}
\def\breitoverbrace#1^#2{\overbrace{#1}^{\mathclap{#2}}}
\def\breitunderbracket#1_#2{\underbracket{#1}_{\mathclap{#2}}}
\def\breitoverbracket#1^#2{\overbracket{#1}^{\mathclap{#2}}}
\def\generatenestedsecnumbering#1#2#3{%
\expandafter\gdef\csname thelong#3\endcsname{%
\expandafter\csname the#2\endcsname%
\secnumberingpt%
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
}%
\expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{%
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
}%
}
\def\generatenestedthmnumbering#1#2#3{%
\expandafter\gdef\csname the#3\endcsname{%
\expandafter\csname the#2\endcsname%
\thmnumberingpt%
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
}%
\expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{%
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
}%
}
%% ****************************************************************
%% ALLG. MACROS:
%% ****************************************************************
\def\+#1{\addtocounter{#1}{1}}
\def\setcounternach#1#2{\setcounter{#1}{#2}\addtocounter{#1}{-1}}
\def\textsubscript#1{${}_{\textup{#1}}$}
\def\rome#1{\overline{\underline{#1}}}
\def\textTODO{\text{[{\large\textcolor{red}{More work needed!}}]}}
\def\hlineEIGENpt{\hdashline[0.5pt/5pt]}
\def\clineEIGENpt#1{\cdashline{#1}[0.5pt/5pt]}
\def\forcepunkt#1{#1\IfEndWith{#1}{.}{}{.}}
\def\lateinabkuerzung#1#2{%
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{\emph{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}}
}
\def\deutscheabkuerzung#1#2{%
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}}
}
%% ****************************************************************
%% MATHE
%% ****************************************************************
\def\matrix#1{\left(\begin{array}{#1}}
\def\endmatrix{\end{array}\right)}
\def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}}
\def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)}
\def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{%
\expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup}
\expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
\expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
\expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8}
}
\multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}}
\multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}}
\multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{}
\multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}}
\def\cases[#1]#2{\left\{\begin{array}[#1]{#2}}
\def\endcases{\end{array}\right.}
\def\BeweisRichtung[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\@BeweisRichtung@c[#1]}{\@BeweisRichtung@bes[#1]}}
\def\@BeweisRichtung@bes[#1]{{\bfseries(#1).~}}
\def\@BeweisRichtung@c[#1]#2#3{{\bfseries(#2#1#3).~}}
\def\erzeugeBeweisRichtungBefehle#1#2{
\expandafter\gdef\csname #1text\endcsname##1##2{\BeweisRichtung[#2]{##1}{##2}}
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{%
\@ifnextchar\bgroup{\csname #1@\endcsname}{\csname #1text\endcsname{}{}}%
}
\expandafter\gdef\csname #1@\endcsname##1##2{%
\csname #1text\endcsname{\punktcref{##1}}{\punktcref{##2}}%
}
}
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinRichtung}{$\Longrightarrow$}
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{herRichtung}{$\Longleftarrow$}
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinherRichtung}{$\Longleftrightarrow$}
\def\cal#1{\mathcal{#1}}
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle}
\def\mathfrak#1{\mbox{\usefont{U}{euf}{m}{n}#1}}
\def\kurs#1{\textit{#1}}
\def\rectangleblack{\text{\RectangleBold}}
\def\rectanglewhite{\text{\Rectangle}}
\def\squareblack{\blacksquare}
\def\squarewhite{\Box}
%% ********************************************************************************
%% FILE: src/setup-environments.tex
%% ********************************************************************************
%% **********************************************************************
%% CLEVEREF: ************************************************************
\def\crefname@full#1#2#3{\crefname{#1}{#2}{#3}\Crefname{#1}{#2}{#3}}
\crefname@full{chapter}{Kapitel}{Kapitel}
\crefname@full{section}{Abschnitt}{Abschnitte}
\crefname@full{figure}{Fig.}{Fig.}
\crefname@full{subfigure}{Fig.}{Fig.}
\crefname@full{proof}{Beweis}{Beweise}
\crefname@full{thm}{Theorem}{Theoreme}
\crefname@full{satz}{Satz}{Sätze}
\crefname@full{claim}{Behauptung}{Behauptungen}
\crefname@full{lemm}{Lemma}{Lemmata}
\crefname@full{cor}{Korollar}{Korollarien}
\crefname@full{folg}{Folgerung}{Folgerungen}
\crefname@full{prop}{Proposition}{Propositionen}
\crefname@full{defn}{Definition}{Definitionen}
\crefname@full{conv}{Konvention}{Konventionen}
\crefname@full{fact}{Fakt}{Fakten}
\crefname@full{rem}{Bemerkung}{Bemerkungen}
\crefname@full{qstn}{Frage}{Fragen}
\crefname@full{e.g.}{Beipsiel}{Beipsiele}
%% ****************************************************************
%% THEOREME:
%% ****************************************************************
\def\qedEIGEN#1{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#1}}{\qedEIGEN@bes{#1}}}%]
\def\qedEIGEN@bes#1{%
\parfillskip=0pt% % so \par doesnt push \square to left
\widowpenalty=10000% % so we dont break the page before \square
\displaywidowpenalty=10000% % ditto
\finalhyphendemerits=0% % TeXbook exercise 14.32
\leavevmode% % \nobreak means lines not pages
\unskip% % remove previous space or glue
\nobreak% % don’t break lines
\hfil% % ragged right if we spill over
\penalty50% % discouragement to do so
\hskip.2em% % ensure some space
\null% % anchor following \hfill
\hfill% % push \square to right
#1% % the end-of-proof mark
\par%
}
\def\qedEIGEN@c#1[#2]{%
\parfillskip=0pt% % so \par doesnt push \square to left
\widowpenalty=10000% % so we dont break the page before \square
\displaywidowpenalty=10000% % ditto
\finalhyphendemerits=0% % TeXbook exercise 14.32
\leavevmode% % \nobreak means lines not pages
\unskip% % remove previous space or glue
\nobreak% % don’t break lines
\hfil% % ragged right if we spill over
\penalty50% % discouragement to do so
\hskip.2em% % ensure some space
\null% % anchor following \hfill
\hfill% % push \square to right
{#1~{\smaller\bfseries\upshape (#2)}}%
\par%
}
\def\qedVARIANT#1#2{
\expandafter\def\csname ennde#1Sign\endcsname{#2}
\expandafter\def\csname ennde#1\endcsname{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#2}}{\qedEIGEN@bes{#2}}} %]
}
\qedVARIANT{OfProof}{$\squareblack$}
\qedVARIANT{OfWork}{\rectangleblack}
\qedVARIANT{OfSomething}{$\dashv$}
\qedVARIANT{OnNeutral}{$\lozenge$} % \lozenge \bigcirc \blacklozenge
\def\qedsymbol{\enndeOfProofSign}
\def\proofSymbol{\enndeOfProofSign}
\def\ra@pretheoremwork{
\setlength{\theorempreskipamount}{\ownspaceabovethm}
}
\def\rathmtransfer#1#2{
\expandafter\def\csname #2\endcsname{\csname #1\endcsname}
\expandafter\def\csname end#2\endcsname{\csname end#1\endcsname}
}
\def\ranewthm#1#2#3[#4]{
%% FOR \BEGIN{THM}
\theoremstyle{\current@theoremstyle}
\theoremseparator{\current@theoremseparator}
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
\@ifundefined{#1@basic}{\newtheorem{#1@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@basic}[#4]{#2}}
%% FOR \BEGIN{THM}[...]
\theoremstyle{\current@theoremstyle}
\theoremseparator{\thmForceSepPt}
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
\@ifundefined{#1@withName}{\newtheorem{#1@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@withName}[#4]{#2}}
%% FOR \BEGIN{THM*}
\theoremstyle{nonumberplain}
\theoremseparator{\thmForceSepPt}
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
\@ifundefined{#1@star@basic}{\newtheorem{#1@star@basic}[Xdisplaynone]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@basic}[Xdisplaynone]{#2}}
%% FOR \BEGIN{THM*}[...]
\theoremstyle{nonumberplain}
\theoremseparator{\thmForceSepPt}
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
\@ifundefined{#1@star@withName}{\newtheorem{#1@star@withName}[Xdisplaynone]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@withName}[Xdisplaynone]{#2}}
%% GENERATE ENVIRONMENTS:
\umbauenenv{#1}{#3}[#4]
\umbauenenv{#1@star}{#3}[Xdisplaynone]
%% TRANSFER *-DEFINITION
\rathmtransfer{#1@star}{#1*}
}
\def\umbauenenv#1#2[#3]{%
%% \BEGIN{THM}...
\expandafter\def\csname #1\endcsname{\relax%
\@ifnextchar[{\csname #1@\endcsname}{\csname #1@\endcsname[*]}%
}
%% \BEGIN{THM}[ANFANG]...
\expandafter\def\csname #1@\endcsname[##1]{\relax%
\@ifnextchar[{\csname #1@@\endcsname[##1]}{\csname #1@@\endcsname[##1][*]}%
}
%% \BEGIN{THM}[ANFANG][SCHLUSS]
\expandafter\def\csname #1@@\endcsname[##1][##2]{%
\ifx*##1%
\def\enndeOfBlock{\csname end#1@basic\endcsname}
\csname #1@basic\endcsname%
\else%
\def\enndeOfBlock{\csname end#1@withName\endcsname}
\csname #1@withName\endcsname[##1]%
\fi%
\def\makelabel####1{%
\gdef\beweislabel{####1}%
\label{\beweislabel}%
}%
\ifx*##2%
\def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}}
\else%
\def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}[##2]}
\fi
}
%% \END{THM}
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{\enndeSymbol\enndeOfBlock}
}
%% NEWTHEOREM EINSTELLUNGSOPTIONEN:
%% F\"UR \theoremstyle
%% plain Emulates original LATEX defin, except uses param \theorem...skipamount.
%% break Header followed by line break.
%% change Header, Number and Text are interchanged, without a line break.
%% changebreak =change, but with a line break after Header.
%% margin Number in left margin, without a line break.
%% marginbreak =margin, but with a line break after the header.
%% nonumberplain =plain, without number.
%% nonumberbreak =break, without number.
%% empty No number, no name. Only the optional argument is typeset.
%% \theoremclass \theoremnumbering
%% \theorempreskip \theorempostkip \theoremindent
%% \theoremprework \theorempostwork
\def\current@theoremstyle{plain}
\def\current@theoremseparator{\thmnumberingseppt}
\theoremstyle{\current@theoremstyle}
\theoremseparator{\current@theoremseparator}
\theoremsymbol{}
\newtheorem{X}{X}[chapter] % for most theorems
\newtheorem{Xe}{Xe}[chapter] % for equations
\newtheorem*{Xdisplaynone}{Xdisplaynone}[chapter] % a dummy counter, that will never be displayed.
\newtheorem{Xsp}{Xsp}[chapter] % for special theorems
\generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{X}
\generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{Xe}
\generatenestedthmnumbering{Roman}{chapter}{Xsp}
\let\theXsp\theshortXsp
\theoremheaderfont{\upshape\bfseries}
\theorembodyfont{\slshape}
\ranewthm{thm}{Theorem}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{satz}{Satz}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{claim}{Behauptung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{lemm}{Lemma}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{cor}{Korollar}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{folg}{Folgerung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{prop}{Proposition}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\theorembodyfont{\upshape}
\ranewthm{defn}{Definition}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{conv}{Konvention}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{obs}{Beobachtung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{e.g.}{Beipsiel}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{fact}{Fakt}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{rem}{Bemerkung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{qstn}{Frage}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{exer}{Aufgabe}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{soln}{Lösung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\theoremheaderfont{\itshape\bfseries}
\theorembodyfont{\upshape}
\ranewthm{proof@tmp}{Beweis}{\enndeOfProofSign}[Xdisplaynone]
\rathmtransfer{proof@tmp*}{proof}
\def\behauptungbeleg@claim{%
\iflanguage{british}{Claim}{%
\iflanguage{english}{Claim}{%
\iflanguage{ngerman}{Behauptung}{%
\iflanguage{russian}{Утверждение}{%
Claim%
}}}}%
}
\def\behauptungbeleg@pf@kurz{%
\iflanguage{british}{Pf}{%
\iflanguage{english}{Pf}{%
\iflanguage{ngerman}{Bew}{%
\iflanguage{russian}{Доказательство}{%
Pf%
}}}}%
}
\def\behauptungbeleg{\@ifnextchar\bgroup{\behauptungbeleg@c}{\behauptungbeleg@bes}}
\def\behauptungbeleg@c#1{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim\erlaubeplatz #1.}]}
\def\behauptungbeleg@bes{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim.}]}
\def\belegbehauptung{\item[{\bfseries\itshape\behauptungbeleg@pf@kurz.}]}
%% ****************************************************************
%% ALTE UMGEBUNGEN:
%% ****************************************************************
\newcolumntype{\RECHTS}[1]{>{\raggedleft}p{#1}}
\newcolumntype{\LINKS}[1]{>{\raggedright}p{#1}}
\newcolumntype{m}{>{$}l<{$}}
\newcolumntype{C}{>{$}c<{$}}
\newcolumntype{L}{>{$}l<{$}}
\newcolumntype{R}{>{$}r<{$}}
\newcolumntype{0}{@{\hspace{0pt}}}
\newcolumntype{\LINKSRAND}{@{\hspace{\@totalleftmargin}}}
\newcolumntype{h}{@{\extracolsep{\fill}}}
\newcolumntype{i}{>{\itshape}}
\newcolumntype{t}{@{\hspace{\tabcolsep}}}
\newcolumntype{q}{@{\hspace{1em}}}
\newcolumntype{n}{@{\hspace{-\tabcolsep}}}
\newcolumntype{M}[2]{%
>{\begin{minipage}{#2}\begin{math}}%
{#1}%
<{\end{math}\end{minipage}}%
}
\newcolumntype{T}[2]{%
>{\begin{minipage}{#2}}%
{#1}%
<{\end{minipage}}%
}
\setlength{\LTpre}{\baselineskip}
\setlength{\LTpost}{0pt}
\def\center{\centering}
\def\endcenter{}
\def\punkteumgebung@genbefehl#1#2#3{
\punkteumgebung@genbefehl@{#1}{#2}{#3}{}{}
\punkteumgebung@genbefehl@{multi#1}{#2}{#3}{
\setlength{\columnsep}{10pt}%
\setlength{\columnseprule}{0pt}%
\begin{multicols}{\thecolumnanzahl}%
}{\end{multicols}\nvraum{1}}
}
\def\punkteumgebung@genbefehl@#1#2#3#4#5{
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{
\@ifnextchar\bgroup{\csname #1@c\endcsname}{\csname #1@bes\endcsname}
}%]
\expandafter\def\csname #1@c\endcsname##1{
\@ifnextchar[{\csname #1@c@\endcsname{##1}}{\csname #1@c@\endcsname{##1}[\z@]}
}%]
\expandafter\def\csname #1@c@\endcsname##1[##2]{
\@ifnextchar[{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2]}{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2][\z@]}
}%]
\expandafter\def\csname #1@c@@\endcsname##1[##2][##3]{
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{##2}
\addtolength{\gesamtrechterRand}{##3}
\advance\linewidth -##2%
\advance\linewidth -##3%
\advance\@totalleftmargin ##2%
\parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth%
#4
\begin{#2}[\upshape ##1]%
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax%
\setlength{\topsep}{\z@}\relax%
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax%
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax%
\setlength{\itemsep}{#3}\relax%
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax%
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax%
}
\expandafter\def\csname #1@bes\endcsname{
\@ifnextchar[{\csname #1@bes@\endcsname}{\csname #1@bes@\endcsname[\z@]}
}%]
\expandafter\def\csname #1@bes@\endcsname[##1]{
\@ifnextchar[{\csname #1@bes@@\endcsname[##1]}{\csname #1@bes@@\endcsname[##1][\z@]}
}%]
\expandafter\def\csname #1@bes@@\endcsname[##1][##2]{
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{##1}
\addtolength{\gesamtrechterRand}{##2}
\advance\linewidth -##1%
\advance\linewidth -##2%
\advance\@totalleftmargin ##1%
\parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth%
#4
\begin{#2}%
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax%
\setlength{\topsep}{\z@}\relax%
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax%
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax%
\setlength{\itemsep}{#3}\relax%
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\setlength{\itemindent}{\z@}\relax%
}
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{%
\end{#2}#5
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand}
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand}
}
}
\def\ritempunkt{{\Large\textbullet}} % \textbullet, $\sqbullet$, $\blacktriangleright$
\setdefaultitem{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt}
\punkteumgebung@genbefehl{itemise}{compactitem}{\parskip}{}{}
\punkteumgebung@genbefehl{kompaktitem}{compactitem}{\z@}{}{}
\punkteumgebung@genbefehl{enumerate}{compactenum}{\parskip}{}{}
\punkteumgebung@genbefehl{kompaktenum}{compactenum}{\z@}{}{}
\let\ALTthebibliography\thebibliography
\renewenvironment{thebibliography}[1]{%
\begin{ALTthebibliography}{#1}
\addcontentsline{toc}{part}{\bibname}
}{%
\end{ALTthebibliography}
}
%% ****************************************************************
%% NEUE UMGEBUNGEN:
%% ****************************************************************
\def\matrix#1{\left(\begin{array}[mc]{#1}}
\def\endmatrix{\end{array}\right)}
\def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}}
\def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)}
\def\vector{\begin{matrix}{c}}
\def\endvector{\end{matrix}}
\def\svector{\begin{smatrix}}
\def\endsvector{\end{smatrix}}
\def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{%
\expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup}
\expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
\expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
\expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8}
}
\multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}}
\multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}}
\multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{}
\multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}}
\def\underbracenodisplay#1{%
\mathop{\vtop{\m@th\ialign{##\crcr
$\hfil\displaystyle{#1}\hfil$\crcr
\noalign{\kern3\p@\nointerlineskip}%
\upbracefill\crcr\noalign{\kern3\p@}}}}\limits%
}
\def\mathe[#1]#2{%
\ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\begin{escapeeinzug}}
\noindent%
\let\eqtagset\boolfalsch
\let\eqtaglabel\boolleer
\let\eqtagsymb\boolleer
\let\alteqtag\eqtag
\def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@loc@}{\eqtag@loc@[*]}}%
\def\eqtag@loc@[##1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@loc@@[##1]}{\eqtag@loc@@[##1]{}}}%
\def\eqtag@loc@@[##1]##2{%
\gdef\eqtagset{\boolwahr}
\gdef\eqtaglabel{##1}
\gdef\eqtagsymb{##2}
}%
\def\verticalalign{}%
\IfBeginWith{#1}{t}{\def\verticalalign{t}}{}%
\IfBeginWith{#1}{m}{\def\verticalalign{c}}{}%
\IfBeginWith{#1}{b}{\def\verticalalign{b}}{}%
\def\horizontalalign{\null\hfill\null}%
\IfEndWith{#1}{l}{}{\null\hfill\null}%
\IfEndWith{#1}{r}{\def\horizontalalign{}}{}%
\begin{math}
\begin{array}[\verticalalign]{0#2}%
}
\def\endmathe{%
\end{array}
\end{math}\horizontalalign%
\let\eqtag\alteqtag
\ifthenelse{\equal{\eqtagset}{\boolwahr}}{\eqtag[\eqtaglabel]{\eqtagsymb}}{}
\ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\end{escapeeinzug}}%
}
\def\longmathe[#1]#2{\relax
\let\altarraystretch\arraystretch
\renewcommand\arraystretch{1.2}\relax
\begin{longtable}[#1]{\LINKSRAND #2}
}
\def\endlongmathe{
\end{longtable}
\renewcommand\arraystretch{\altarraystretch}
}
\def\einzug{\@ifnextchar[{\indents@}{\indents@[\z@]}}%]
\def\indents@[#1]{\@ifnextchar[{\indents@@[#1]}{\indents@@[#1][\z@]}}%]
\def\indents@@[#1][#2]{%
\begin{list}{}{\relax
\setlength{\topsep}{\z@}\relax
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax
\setlength{\leftmargin}{#1}\relax
\setlength{\rightmargin}{#2}\relax
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{#1}
\addtolength{\gesamtrechterRand}{#2}
}\relax
\item[]\relax
}
\def\endeinzug{%
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand}
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand}
\end{list}%
}
\def\escapeeinzug{\begin{einzug}[-\gesamtlinkerRand][-\gesamtrechterRand]}
\def\endescapeeinzug{\end{einzug}}
\def\programmiercode{
\modulolinenumbers[1]
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]%
\begin{linenumbers}%
\fontfamily{cmtt}\fontseries{m}\fontshape{u}\selectfont%
\setlength{\parskip}{1\baselineskip}%
\setlength{\parindent}{0pt}%
}
\def\endprogrammiercode{
\end{linenumbers}
\end{einzug}
}
\def\schattiertebox@genbefehl#1#2#3{
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{%
\@ifnextchar[{\csname #1@args\endcsname}{\csname #1@args\endcsname[#3]}%]%
}
\expandafter\def\csname #1@args\endcsname[##1]{%
\@ifnextchar[{\csname #1@args@l\endcsname[##1]}{\csname #1@args@n\endcsname[##1]}%]%
}
\expandafter\def\csname #1@args@l\endcsname[##1][##2]{%
\@ifnextchar[{\csname #1@args@l@r\endcsname[##1][##2]}{\csname #1@args@l@n\endcsname[##1][##2]}%]%
}
\expandafter\def\csname #1@args@n\endcsname[##1]{%
\let\boolinmdframed\boolwahr
\begin{mdframed}[#2leftmargin=0,rightmargin=0,outermargin=0,innermargin=0,##1]
}
\expandafter\def\csname #1@args@l@n\endcsname[##1][##2]{%
\let\boolinmdframed\boolwahr
\begin{mdframed}[#2leftmargin=##2/2,rightmargin=##2/2,outermargin=##2/2,innermargin=##2/2,##1]
}
\expandafter\def\csname #1@args@l@r\endcsname[##1][##2][##3]{%
\let\boolinmdframed\boolwahr
\begin{mdframed}[#2leftmargin=##2,rightmargin=##3,outermargin=##2,innermargin=##3,##1]
}
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{%
\end{mdframed}
\let\boolinmdframed\boolfalsch
}
}
\schattiertebox@genbefehl{schattiertebox}{
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backgroundcolor=leer,%
nobreak=true,%
}
\schattiertebox@genbefehl{schattierteboxdunn}{
splittopskip=0,%
splitbottomskip=0,%
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linewidth=1pt,%
linecolor=black,%
roundcorner=2pt,%
}{
backgroundcolor=leer,%
nobreak=true,%
}
\def\algorithm{\schattiertebox[backgroundcolor=hellgrau,nobreak=false]}
\def\endalgorithm{\endschattiertebox}
\def\tikzsetzenode#1{%
\tikz[remember picture,baseline,overlay]{\node #1;}%
}
\def\tikzsetzepfeil#1{%
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,>=latex]%
\draw #1;%
\end{tikzpicture}%
}
\def\tikzsetzeoverlay#1{%
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,>=latex]%
#1%
\end{tikzpicture}%
}
\def\tikzsetzekreise[#1]#2#3{%
\tikzsetzepfeil{%
[rounded corners,#1]%
([shift={(-\tabcolsep,0.75\baselineskip)}]#2)%
rectangle%
([shift={(\tabcolsep,-0.5\baselineskip)}]#3)
}%
}
\tikzset{
>=stealth,
auto,
thick,
main node/.style={
circle,draw,font=\sffamily\Large\bfseries,minimum size=0pt
},
}
%% ********************************************************************************
%% FILE: src/setup-layout.tex
%% ********************************************************************************
\pagestyle{fancyplain}
\@ifundefined{setcitestyle}{%
%% do nothing
}{%
\setcitestyle{numeric-comp,open={[},close={]}}
}
\def\crefpairconjunction{ und }
\def\crefmiddleconjunction{, }
\def\creflastconjunction{, und }
\raggedbottom %% <- pushes footers up
\sloppy
\def\headrulewidth{0pt}
\def\footrulewidth{0pt}
\setlength{\columnsep}{20pt}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\headheight}{11pt}
\setlength{\partopsep}{0pt}
\setlength{\topsep}{\baselineskip}
\setlength{\topskip}{0.5\baselineskip}
\setlength{\footskip}{-1\baselineskip}
\setlength{\maxdepth}{0pt}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\setcounter{LTchunksize}{\infty}
\setlength{\abovedisplayskip}{0pt}
\setlength{\parskip}{1\baselineskip}
\def\firstparagraph{\noindent}
\def\continueparagraph{\noindent}
\hypersetup{
hidelinks=true,
}
\@addtoreset{chapter}{part} %% nötig für Hyperref.
\def\partfont{\documentfont\fontseries{bx}\Huge\selectfont}
\def\chapterfont{\documentfont\fontseries{bx}\huge\selectfont}
\def\sectionfont{\documentfont\fontseries{bx}\Large\selectfont}
\def\subsectionfont{\documentfont\fontseries{bx}\large\selectfont}
\def\thepart{\Roman{part}}
\generatenestedsecnumbering{arabic}{part}{chapter}
\generatenestedsecnumbering{arabic}{chapter}{section}
\generatenestedsecnumbering{arabic}{section}{subsection}
\generatenestedsecnumbering{arabic}{subsection}{subsubsection}
\def\theunitnamepart{\thepart}
\def\theunitnamechapter{\theshortchapter}
\def\theunitnamesection{\thelongsection}
\def\theunitnamesubsection{\thelongsubsection}
\def\theunitnamesubsubsection{\thelongsubsubsection}
\def\partname{Teil\erlaubeplatz}
\def\chaptername{Kapitel\erlaubeplatz}
\def\sectionname{\S\erlaubeplatz}
\def\subsectionname{}
\def\subsubsectionname{}
\let\appendix@orig\appendix
\def\appendix{%
\appendix@orig%
\let\boolinappendix\boolwahr
\addcontentsline{toc}{part}{\appendixname}%
\addtocontents{toc}{\protect\setcounter{tocdepth}{0}}
\def\sectionname{Appendix}%
\def\theunitnamesection{\Alph{section}}%
}
\def\notappendix{%
\let\boolinappendix\boolfalse
\addtocontents{toc}{\protect\setcounter{tocdepth}{1 }}
\def\sectionname{}%
\def\theunitnamesection{\arabic{section}}%
}
%% \titlespacing{<sectionclassname>}
%% {linker einzug}{platz oberhalb}{platz unterhalb}[rechter einzug]
\titlespacing{\section}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip}
\titlespacing{\paragraph}{0pt}{0pt}{1em}
\titleformat{\part}[display]
{\normalfont\headingfont\bfseries\Huge\centering}
{%
\ifthenelse{\equal{\partname}{}}{%
\theunitnamepart%
}{%
\MakeUppercase{\partname}~\theunitnamepart%
}%
}{0pt}{%
}[\thispagestyle{empty}]
\titleformat{\chapter}[frame]
{\normalfont\headingfont\bfseries\Large}
{%
\bedingtesspaceexpand{chaptername}{~}{\theunitnamechapter}%
}{0.5em}{%
}[\thispagestyle{empty}]%\titlerule%[2pt]%
\titleformat{\section}[hang]
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large}
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\bedingtesspaceexpand{sectionname}{~}{\theunitnamesection}%
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{%
}
[%
\nvraum{0.25}%
]
\titleformat{\subsection}[hang]
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large}
{%
\bedingtesspaceexpand{subsectionname}{~}{\theunitnamesubsection}%
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{%
}
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\titleformat{\subsubsection}[hang]
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large}
{%
\bedingtesspaceexpand{subsubsectionname}{~}{\theunitnamesubsubsection}%
}{0.5em}
{%
}
[%
\nvraum{0.25}%
]
\def\rafootnotectr{20}
\def\incrftnotectr#1{%
\addtocounter{#1}{1}%
\ifnum\value{#1}>\rafootnotectr\relax
\setcounter{#1}{0}%
\fi%
}
\def\footnoteref[#1]{\protected@xdef\@thefnmark{\ref{#1}}\@footnotemark}
\let\altfootnotetext\footnotetext
\def\footnotetext[#1]#2{\incrftnotectr{footnote}\altfootnotetext[\value{footnote}]{\label{#1}#2}}
\let\altfootnotemark\footnotemark
%% Undesirable solution, as the text is not hyperlinked.
\def\footnotemark[#1]{\text{\textsuperscript{\getrefnumber{#1}}}}
\DefineFNsymbols*{custom}{abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}
\setfnsymbol{custom}
\def\footnotelayout{\documentfont\scriptsize}
\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}
\def\kopfzeileleer{
\lhead[]{}
\chead[]{}
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[]{}
\rfoot[]{}
}
\def\kopfzeiledefault{
\lhead[]{}
\lhead[]{}
\chead[]{}
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot{\footnotesize\thepage}
\rfoot[]{}
}
\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{pcr}\selectfont}
\def\headingfont{\fontfamily{cmss}\selectfont}
\def\documentfancyfont{%
\gdef\headingfont{\crfamily}%
\fontfamily{ccr}\fontseries{m}\selectfont%
}
\def\documentfont{%
\gdef\headingfont{\fontfamily{cmss}\selectfont}%
\fontfamily{cmss}\fontseries{m}\selectfont%
\renewcommand{\sfdefault}{phv}%
\renewcommand{\ttdefault}{pcr}%
\renewcommand{\rmdefault}{cmr}% <— funktionieren nicht mit {ptm}
\renewcommand{\bfdefault}{bx}%
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}
\allowdisplaybreaks
\let\altcleardoublepage\cleardoublepage
\let\cleardoublepage\clearpage
\def\startdocumentlayoutoptions{
\selectlanguage{ngerman}
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}
\setlength{\parindent}{0pt}
\kopfzeiledefault
\documentfont
\normalsize
}
\def\highlightTerm#1{\emph{#1}}
%% ********************************************************************************
%% FILE: srclocal/setup-localmacros.tex
%% ********************************************************************************
%% ****************************************************************
%% MATHE:
%% ****************************************************************
\def\cal#1{\mathcal{#1}}
\def\reell{\mathbb{R}}
\def\kmplx{\mathbb{C}}
\def\Torus{\mathbb{T}}
\def\rtnl{\mathbb{Q}}
\def\intgr{\mathbb{Z}}
\def\ntrl{\mathbb{N}}
\def\ntrlpos{\mathbb{N}}
\def\ntrlzero{\mathbb{N}_{0}}
\def\reellNonNeg{\reell_{+}}
\def\imageinh{\imath}
\def\ReTeil{\mathop{\mathfrak{R}\text{\upshape e}}}
\def\ImTeil{\mathop{\mathfrak{I}\text{\upshape m}}}
\def\leer{\emptyset}
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\def\Pot{\mathop{\mathcal{P}}}
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\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle}
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\let\altphi\phi
\let\altvarphi\varphi
\def\phi{\altvarphi}
\def\varphi{\altphi}
\def\vectorspacespan{\mathop{\text{\upshape Lin}}}
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\def\onematrix{\text{\upshape\bfseries I}}
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\def\graph{\mathop{\text{\upshape Gph}}}
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\def\choose#1#2{\begin{smatrix}#1\\#2\\\end{smatrix}}
\makeatother
\begin{document}
\startdocumentlayoutoptions
%% FRONTMATTER:
\thispagestyle{plain}
%% ********************************************************************************
%% FILE: front/index.tex
%% ********************************************************************************
%% ********************************************************************************
%% FILE: front/title.tex
%% ********************************************************************************
\begin{titlepage}
\null
\vraum
\noindent\rule{\linewidth}{2pt}
{\hraum\LARGE Lineare Algebra I\hraum}\\
{\hraum\LARGE $\oast$\,\rule[0.175\baselineskip]{0.65\linewidth}{1pt}\,$\oast$ \hraum}\\
{\hraum\Large Lösungen zu diversen Aufgaben im Kurs\hraum}
\noindent\rule{\linewidth}{2pt}
\vraum
\noindent
\hraum{\footnotesize Raj Dahya}\hraum\\
\hraum{\small \itshape Fakultät für Mathematik und Informatik}\hraum\\
\hraum{\small \itshape Universität Leipzig.}\hraum\\
\hraum{\small Wintersemester 2020/2021 }\hraum
\end{titlepage}
%% ********************************************************************************
%% FILE: front/foreword.tex
%% ********************************************************************************
\chapter*{Vorwort}
Dieses Dokument enthält Lösungsansätze zu den Übungsserien, Selbstkontrollenaufgaben, und Quizzes.
(Diese werden natürlich \emph{nach} Abgabefristen hochgeladen.)
Der Zweck dieser Lösungen besteht darin, Ansätze zu präsentieren,
mit denen man seine eigenen Versuche vergleichen kann.
%% ********************************************************************************
%% FILE: front/contents.tex
%% ********************************************************************************
\kopfzeiledefault
\footnotesize
\setcounter{tocdepth}{1}
\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis}
\tableofcontents
%% HAUPTTEXT:
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/index.tex
%% ********************************************************************************
\setcounternach{part}{1}
\part{Übungsserien}
\def\chaptername{Übungsserie}
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/uebung/ueb1.tex
%% ********************************************************************************
\setcounternach{chapter}{1}
\chapter[Woche 1]{Woche 1}
\label{ueb:1}
\textbf{ACHTUNG.}
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
%% AUFGABE 1-1
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 1]{}
\label{ueb:1:ex:1}
\let\sectionname\altsectionname
Zu bestimmen ist die Lösungsmenge
\begin{mathe}[mc]{rcl}
L_{\alpha,\beta} &:= &\{
\mathbf{x}\in\reell^{n}
\mid A_{\alpha}\mathbf{x}=\mathbf{b}_{\beta}
\}\\
\end{mathe}
für $\alpha,\beta\in\reell$,
wobei $m=3$ und $n=4$, und
$A_{\alpha}\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}_{\beta}\in\reell^{m}$
durch
\begin{mathe}[mc]{rclqrcl}
A_{\alpha} &:= &\begin{matrix}{cccc}
1 &7 &2 &-1\\
1 &8 &6 &-3\\
2 &14 &\alpha &-2\\
\end{matrix}
&\mathbf{b}_{\beta} &:= &\begin{vector} 4\\ 0\\ \beta\\\end{vector}
\end{mathe}
gegeben sind.
Um die Lösungsmenge zu bestimmen führen wir das Gaußverfahren aus:
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
Ursprüngliches LGS $(A_{\alpha}|b_{\beta})$:
\begin{mathe}[mc]{c}
\begin{matrix}{cccc|c}
1 &7 &2 &-1 &4\\
1 &8 &6 &-3 &0\\
2 &14 &\alpha &-2 &\beta\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
Wende die Zeilentransformationen
{\footnotesize
\begin{mathe}[mc]{rcl}
Z_{2} &\leftsquigarrow &Z_{2}-Z_{1}\\
Z_{3} &\leftsquigarrow &Z_{3}-2\cdot Z_{1}\\
\end{mathe}}
an:
\begin{mathe}[mc]{c}
\begin{matrix}{cccc|c}
\boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\
0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\
0 &0 &\boxed{\alpha - 4} &0 &\beta - 8\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
\end{algorithm}
Die eingezeichneten Einträge markieren die ersten Einträge der Stufen.
Es gibt also $2$ oder $3$ Stufen, je nachdem, ob ${\alpha - 4=0}$.
Dies führt zu einem Fallunterschied:
\begin{enumerate}{\bfseries {Fall} 1.}
%% FALL 1
\item $\alpha-4=0$. Das heißt, $\alpha=4$.
In diesem Falle hat das augmentierte System genau $2$ Stufen
und sieht wie folgt aus:
\begin{mathe}[mc]{c}
\begin{matrix}{cccc|c}
\boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\
0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\
0 &0 &0 &0 &\beta - 8\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
Dies führt zu zwei weiteren Fällen, denn die $3$. Gleichung ist jetzt genau dann lösbar,
wenn $\beta-8=0$.
\begin{enumerate}{\bfseries {Fall 1}a.}
%% FALL 1a
\item $\beta-8\neq 0$. Das heißt, $\beta\neq 8$.
Dann ist die $3$. Gleichung und damit das LGS nicht lösbar.
Darum erhalten wir $\boxed{L_{\alpha,\beta}=\leer}$.
%% FALL 1b
\item $\beta-8=0$. Das heißt, $\beta=8$.
Dann ist die $3$. Gleichung trivialerweise erfüllt.
Das augmentierte System sieht wird zum
\begin{mathe}[mc]{c}
\begin{matrix}{cccc|c}
\boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\
0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\
0 &0 &0 &0 &0\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
und kann jetzt aufgelöst werden.
Wir arbeiten von unten nach oben:
\begin{algorithm}[2\rtab][\rtab]
Aus der ganzen Zeilenstufenform erschließt sich
\begin{mathe}[mc]{c}
x_{3},\, x_{4}\,\text{sind frei}\\
\end{mathe}
Aus der Stufenform von Gleichungen $2$ und $1$ erschließt sich
\begin{mathe}[mc]{rcl}
x_{2} &= &-4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\
x_{1} &= &4 - 7x_{2} - 2x_{3} + x_{4}\\
&= &4 - 7(-4 - 4x_{3} + 2x_{4}) - 2x_{3} + x_{4}\\
&= &32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\
\end{mathe}
Zusammengefasst erhalten wir die allgemeine Form der Lösung:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\mathbf{x} &= &\begin{svector} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\\\end{svector}\\
&= &\begin{svector} 32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\ -4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\ x_{3}\\ x_{4}\\\end{svector}\\
&= &\begin{svector} 32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\ -4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\ 0 + 1x_{3} + 0x_{4}\\ 0 + 0x_{3} + 1x_{4}\\\end{svector}\\
&= &\begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector}
+ \begin{svector} 26x_{3}\\ -4x_{3}\\ 1x_{3}\\ 0x_{3}\\\end{svector}
+ \begin{svector} -13x_{4}\\ 2x_{4}\\ 1x_{4}\\ 1x_{4}\\\end{svector}\\
&= &\begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector}
+ x_{3}\cdot\begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector}
+ x_{4}\cdot\begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector}\\
\end{mathe}
mit $x_{3}$, $x_{4}$ frei wählbar.
\end{algorithm}
Also erhalten wird in diesem Falle
$\boxed{
L_{\alpha,\beta}=\left\{
\begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector}
+ t_{1}\cdot\begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector}
+ t_{2}\cdot\begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector}
\mid t_{1}, t_{2}\in\reell
\right\}
}$,
oder etwas kompakter formuliert,
${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector} + \vectorspacespan\left\{\begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector}, \begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector}\right\}}$.
\end{enumerate}
%% FALL 2
\item $\alpha-4\neq 0$. Das heißt, $\alpha\neq 4$.
In diesem Falle hat das augmentierte System genau $3$ Stufen und diesmal ist nur $x_{4}$ frei.
Man beachte, dass dies im Grunde genau wie Fall 1b ist, nur dass wir zusätzlich Gleichung 3 beachten und $x_{3}$ bestimmen müssen.
\begin{algorithm}[2\rtab][\rtab]
Aus der Stufenform von Gleichungen $3$ ergibt sich
\begin{mathe}[mc]{rcl}
x_{3} &= &\frac{\beta-8}{\alpha-4}\\
\end{mathe}
Der Rest der Lösung des Gleichungssystems verhält sich genau wie im Fall 3b,
das heißt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\mathbf{x} &= &\begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector}
+ x_{3}\cdot\begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector}
+ x_{4}\cdot\begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector}\\
&= &\begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector}
+ \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector}
+ x_{4}\cdot\begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector},\\
\end{mathe}
wobei $x_{4}$ frei wählbar ist.
\end{algorithm}
Also erhalten wird in diesem Falle
$\boxed{
L_{\alpha,\beta}=\left\{
\begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector}
+ \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector}
+ t\cdot\begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector}
\mid t\in\reell
\right\}
}$,
oder etwas kompakter formuliert,
${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector} + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector} + \vectorspacespan\left\{\begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector}\right\}}$.
\end{enumerate}
Wir fassen die Lösung für alle Fälle zusammen:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
L_{\alpha,\beta} &= &\begin{cases}[m]{lcl}
\leer &: &\alpha=4,\,\beta\neq 8\\
\mathbf{u} + \vectorspacespan\{\mathbf{v},\mathbf{w}\} &: &\alpha=4,\,\beta=8\\
\mathbf{u} + \frac{\alpha-4}{\beta-8}\mathbf{v} + \vectorspacespan\{\mathbf{w}\} &: &\alpha\neq 4\\
\end{cases}
\end{mathe}
für alle $\alpha,\beta\in\reell$,
wobei
$\mathbf{u} = \begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector}$,
$\mathbf{v} = \begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector}$,
$\mathbf{w} = \begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector}$.
%% AUFGABE 1-2
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 2]{}
\label{ueb:1:ex:2}
\let\sectionname\altsectionname
\begin{schattierteboxdunn}
\begin{satz}
\makelabel{satz:main:ueb:1:ex:2}
Angewandt auf die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems
verändern
die elementaren Zeilenumformungen vom Typ (I), (II) und (III)
die Menge der Lösungen nicht.
\end{satz}
\end{schattierteboxdunn}
Wir beweisen \Cref{satz:main:ueb:1:ex:2} mithilfe der folgenden Teilergebnisse.
\begin{lemm}
\makelabel{lemm:1:ueb:1:ex:2}
Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
Für $i,j\in\{1,2,\ldots,m\}$ mit $i\neq j$ bezeichne mit
\begin{mathe}[mc]{rcl}
(A|\mathbf{b}) &\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
\end{mathe}
die Anwendung von Zeilentransformation (I) auf $(A|\mathbf{b})$,
wobei Zeile${}_{i}$ und Zeile${}_{j}$ umgetauscht werden,
was in $(A'|\mathbf{b}')$ resultiert.
Dann für alle ${\mathbf{x}\in\reell^{n}}$,
falls $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$ ist,
dann ist $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b}')$.
\end{lemm}
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
\begin{proof}
Betrachte den Fall $i<j$.
Es gilt
\begin{longtable}[mc]{RL}
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$}\\
\Longrightarrow
&{\scriptsize
\left\{
\begin{array}[m]{crccccclcl}
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} &= &b_{i})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{j,1}x_{1} &+ &a_{j,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{j,n}x_{n} &= &b_{j})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
\end{array}
\right.}\\
\\
\Longrightarrow
&{\scriptsize
\left\{
\begin{array}[m]{crccccclcl}
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{j,1}x_{1} &+ &a_{j,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{j,n}x_{n} &= &b_{j})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} &= &b_{i})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
\end{array}
\right.}\\
\\
&\text{da lediglich zwei Aussagen in einer Konjunktion umgetauscht werden}\\
\\
\Longrightarrow
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b})'$, da $(A|\mathbf{b})\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow}(A'|\mathbf{b}')$.}\\
\end{longtable}
Der Fall $i>j$ lässt sich analog zeigen.
Falls $i=j$ bleibt das System unverändert, sodass die Behauptung trivialerweise gilt.
\end{proof}
\end{einzug}
\begin{lemm}
\makelabel{lemm:2:ueb:1:ex:2}
Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
Für ${i\in\{1,2,\ldots,m\}}$ und ${\alpha\in\reell\ohne\{0\}}$ bezeichne mit
\begin{mathe}[mc]{rcl}
(A|\mathbf{b}) &\overset{II;i,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
\end{mathe}
die Anwendung von Zeilentransformation (II) auf $(A|\mathbf{b})$,
wobei Zeile${}_{i}$ durch $\alpha\cdot$Zeile${}_{i}$ ersetzt wird,
was in $(A'|\mathbf{b}')$ resultiert.
Dann für alle ${\mathbf{x}\in\reell^{n}}$,
falls $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$ ist,
dann ist $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b}')$.
\end{lemm}
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
\begin{proof}
Es gilt
\begin{longtable}[mc]{RL}
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$}\\
\Longrightarrow
&{\scriptsize
\left\{
\begin{array}[m]{crccccclcl}
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} &= &b_{i})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
\end{array}
\right.}\\
\\
\Longrightarrow
&{\scriptsize
\left\{
\begin{array}[m]{crccccclcl}
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
\cdots\\
\text{und} &(\alpha\cdot (a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n}) &= &\alpha\cdot b_{i})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
\end{array}
\right.}\\
\\
\Longrightarrow
&{\scriptsize
\left\{
\begin{array}[m]{crccccclcl}
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
\cdots\\
\text{und} &(\alpha\cdot a_{i,1}x_{1} &+ &\alpha\cdot a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &\alpha\cdot a_{i,n}x_{n} &= &\alpha\cdot b_{i})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
\end{array}
\right.}\\
\\
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b})'$, da $(A|\mathbf{b})\overset{II;i,\alpha}{\rightsquigarrow}(A'|\mathbf{b}')$.}
\end{longtable}
Also gilt die Behauptung.
\end{proof}
\end{einzug}
\begin{lemm}
\makelabel{lemm:3:ueb:1:ex:2}
Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
Für ${i,j\in\{1,2,\ldots,m\}}$ mit $i\neq j$ und $\alpha\in\reell$ bezeichne mit
\begin{mathe}[mc]{rcl}
(A|\mathbf{b}) &\overset{III;i,j,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
\end{mathe}
die Anwendung von Zeilentransformation (III) auf $(A|\mathbf{b})$,
wobei Zeile${}_{i}$ durch die Addition von Zeile${}_{i}$ mit $\alpha\cdot$Zeile${}_{j}$ ersetzt wird,
was in $(A'|\mathbf{b}')$ resultiert.
Dann für alle ${\mathbf{x}\in\reell^{n}}$,
falls $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$ ist,
dann ist $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b}')$.
\end{lemm}
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
\begin{proof}
Es gilt
\begin{longtable}[mc]{RL}
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$}\\
\Longrightarrow
&{\scriptsize
\left\{
\begin{array}[m]{crccccclcl}
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} &= &b_{i})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
\end{array}
\right.}\\
\\
\Longrightarrow
&{\scriptsize
\left\{
\begin{array}[m]{crccccclcl}
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} + \alpha\cdot b_{j} &= &b_{i} + \alpha\cdot b_{j})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
\end{array}
\right.}\\
\\
\Longrightarrow
&{\scriptsize
\left\{
\begin{array}[m]{crccccclcl}
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n}\\
&+\alpha\cdot a_{j,1}x_{1} &+ &\alpha\cdot a_{j,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &\alpha\cdot a_{j,n}x_{n} &= &b_{i} + \alpha\cdot b_{j})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
\end{array}
\right.}\\
\\
&\text{da laut der $j$-ten Gleichung gilt ${b_{j}=\sum_{k=1}^{m}a_{j,k}x_{k}}$}\\
\\
\Longrightarrow
&{\scriptsize
\left\{
\begin{array}[m]{crccccclcl}
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
\cdots\\
\text{und} &(a'_{i,1}x_{1} &+ &a'_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a'_{i,n}x_{n} &= &b'_{i})\\
\cdots\\
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m}),
\end{array}
\right.}\\
\\
&\text{wobei $a'_{i,k}=a_{i,k}+\alpha\cdot a_{j,k}$ für alle $k$ und $b'_{i}=b_{i}+\alpha\cdot b_{j}$}\\
\\
\Longrightarrow
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b})'$, da $(A|\mathbf{b})\overset{III;i,j,\alpha}{\rightsquigarrow}(A'|\mathbf{b}')$.}
\end{longtable}
Also gilt die Behauptung.
\end{proof}
\end{einzug}
Endlich können wir \Cref{satz:main:ueb:1:ex:2} beweisen:
\begin{proof}[von \Cref{satz:main:ueb:1:ex:2}]
Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
Seien $A'\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}'\in\reell^{m}$,
so dass $(A|\mathbf{b})$ durch eine Transformation der Art (I), (II) oder (III)
aus $(A|\mathbf{b})$ entsteht.
Das heißt, entweder
\begin{mathe}[mc]{lrcl}
\eqtag[eq:0:\beweislabel]
&(A|\mathbf{b}) &\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
\text{oder} &(A|\mathbf{b}) &\overset{I;i,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
\text{oder} &(A|\mathbf{b}) &\overset{III;i,j,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
\end{mathe}
gilt, für ein $i,j\in\{1,2,\ldots,m\}$ mit $i\neq j$ und $\alpha\in\reell\ohne\{0\}$.\\
\textbf{Zu zeigen:}
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
\{\mathbf{x}\in\reell^{n}\mid\mathbf{x}\text{ eine Lösung für }(A|\mathbf{b})\}
&= &\{\mathbf{x}\in\reell^{n}\mid\mathbf{x}\text{ eine Lösung für }(A|\mathbf{b})\}.\\
\end{mathe}
Wir zeigen dies in zwei Teile:
\uline{\bfseries ($\subseteq$.)}\\
Sei $\mathbf{x}\in\reell^{n}$ ein beliebiges Element aus der linken Menge,
d.\,h. $\mathbf{x}$ ist eine Lösung zu $(A|\mathbf{b})$.
Laut \Cref{lemm:1:ueb:1:ex:2} + \Cref{lemm:2:ueb:1:ex:2} + \Cref{lemm:3:ueb:1:ex:2}
und wegen \eqcref{eq:0:\beweislabel}
erhalten wir, dass $\mathbf{x}$ eine Lösung zu $(A'|\mathbf{b}')$ ist,
d.\,h. $\mathbf{x}$ liegt in der rechten Menge.
Also ist die linke Menge in der rechten enthalten.
\uline{\bfseries ($\supseteq$.)}\\
Man beachte zuerst, dass sich die Transformation in \eqcref{eq:0:\beweislabel} umkehren lässt---\text{und zwar durch Elementartransformationen}.
Es ist einfach zu sehen, dass entweder
\begin{mathe}[mc]{lrcl}
&(A'|\mathbf{b}') &\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow} &(A|\mathbf{b})\\
\text{oder} &(A'|\mathbf{b}') &\overset{I;i,\alpha^{-1}}{\rightsquigarrow} &(A|\mathbf{b})\\
\text{oder} &(A'|\mathbf{b}') &\overset{III;i,j,-\alpha}{\rightsquigarrow} &(A|\mathbf{b}).\\
\end{mathe}
Die Situation ist also analog zum $\subseteq$-Teil.
Darum gilt die $\supseteq$-Inklusion in \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
\end{proof}
\clearpage
%% AUFGABE 1-3
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 3]{}
\label{ueb:1:ex:3}
\let\sectionname\altsectionname
Für diese Aufgabe wird das Konzept der \emph{linearen Unabhängigkeit} aus Kapitel 5 angewandt.
\begin{defn}
Seien $m,n\in\ntrlpos$ mit $m>n$
und seien $A\in\reell^{m\times n}$, $\mathbf{b}\in\reell^{m}$,
und $I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$.
Bezeichne mit $(A|\mathbf{b})_{I}$ die erweiterte Koeffizientenmatrix $(A|\mathbf{b})$,
die auf die Zeilen mit Indexes aus $I$ (in bspw. aufsteigender Reihenfolge) reduziert ist.
\end{defn}
\begin{e.g.}
Für $(A|\mathbf{b})$ gleich
{\scriptsize
\begin{mathe}[mc]{c}
\begin{matrix}{ccc|c}
-5 &0 &0 &-7\\
4 &-6 &-10 &6\\
-2 &-6 &-6 &9\\
-7 &4 &-1 &-5\\
4 &-5 &2 &-9\\
-5 &8 &-7 &-5\\
\end{matrix}
\end{mathe}}
und $I=\{2,5,6\}$ ist $(A|\mathbf{b})_{I}$ gleich
{\scriptsize
\begin{mathe}[bc]{c}
\begin{matrix}{ccc|c}
4 &-6 &-10 &6\\
4 &-5 &2 &-9\\
-5 &8 &-7 &-5\\
\end{matrix}.
\end{mathe}}
\nvraum{1}
\end{e.g.}
Mit diesem Mittel können wir nun die Hauptaussage in der Aufgabe formulieren:
\begin{schattierteboxdunn}
\begin{satz}
\makelabel{satz:main:ueb:1:ex:3}
Seien $m,n\in\ntrlpos$ mit $m>n$
und seien $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
Falls $(A|\mathbf{b})$ unlösbar ist,
dann existiert $I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$ mit $|I|=n+1$,
so dass $(A|\mathbf{b})_{I}$ unlösbar ist.
\end{satz}
\end{schattierteboxdunn}
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
\begin{proof}[*][\Cref{\beweislabel}]
Es stehen nun die \emph{Zeilen} der Matrix $A$ im Fokus.
Wir verwandeln diese in Vektoren, d.\,h. setze
\begin{mathe}[mc]{c}
\mathbf{z}^{(i)}\in\reell^{n}\,\text{die $i$-te Zeile von $A$ als Vektor geschrieben}
\end{mathe}
für $i\in\{1,2,\ldots,m\}$.
Da ${\mathbf{z}^{(1)},\mathbf{z}^{(2)},\ldots,\mathbf{z}^{(m)}\in\reell^{n}}$,
können wir eine \emph{maximale Menge} ${I_{0}\subseteq\{1,2,\ldots,m\}}$ finden,
so dass $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}}$ aus linear unabhängigen Vektoren besteht.
Wegen der Dimension von $\reell^{n}$ gilt ${|I|\leq\min\{m,n\}=n}$.
Sei ${k\in\{1,2,\ldots,m\}\ohne I_{0}}$ beliebig.
Wegen Maximalität muss $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}\cup\{k\}}$ \emph{linear abhängig} sein.
Und wegen der linearen Unabhängigkeit von $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}}$
existieren (eindeutige) Koeffizienten $c_{k,i}\in\reell$ für $i\in I_{0}$ so dass
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
\mathbf{z}^{(k)} &= &\sum_{i\in I_{0}:~}c_{k,i}\mathbf{z}^{(i)}\\
\end{mathe}
gilt.
Um nun die Hauptaussage zu zeigen, nehmen wir an, dass $(A|\mathbf{b})$ unlösbar ist.
\textbf{Zu zeigen:} Es gibt eine Teilmenge ${I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}}$ mit ${|I|=n+1}$,
so dass $(A|\mathbf{b})_{I}$ unlösbar ist.
\fbox{Angenommen, dies sei nicht der Fall.}
Aus dieser Annahme leiten wir folgende Behauptungen ab:
\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
\behauptungbeleg{1}
Die Verhältnisse zwischen den Zeilenvektoren in \eqcref{eq:1:\beweislabel} gelten auch für die Einträge aus $\mathbf{b}$.
Das heißt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:2:\beweislabel]
b_{k} &= &\sum_{i\in I_{0}:~}c_{k,i}b_{i}\\
\end{mathe}
für alle ${k\in\{1,2,\ldots,m+1\}\ohne I_{0}}$.\\
\voritemise
\belegbehauptung
Sei $k\in\{1,2,\ldots,m+1\}\ohne I_{0}$ beliebig.
Da $|I_{0}|\leq n<n+1$ lässt sich eine Teilmenge $I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$ wählen,
mit $I\supseteq I_{0}\cup\{k\}$ und $|I|=n+1$.
Dann per \emph{Annahme} ist $(A|\mathbf{b})_{I}$ lösbar.
Das heißt, $\mathbf{x}\in\reell^{n}$ existiert, so dass
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:3:\beweislabel]
b_{i} &= &\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\\
\end{mathe}
für alle $i\in I$ gilt.
Da $k\in I$ und $I_{0}\subseteq I$ und wegen \eqcref{eq:1:\beweislabel} erhalten wir
nun das Verhältnis
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
b_{k} &= &\sum_{j=1}^{n}a_{k,j}x_{j}\\
&= &\sum_{j=1}^{n}(\mathbf{z}^{(k)})_{j}x_{j}\\
&&\quad\text{da die Einträge der $k$-ten Zeile den Einträgen von $\mathbf{z}^{(k)}$ entsprechen}\\
&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{=}
&\sum_{j=1}^{n}(\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\mathbf{z}^{(i)})_{j}x_{j}\\
&= &\sum_{j=1}^{n}\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}z^{(i)}_{j}x_{j}\\
&= &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\sum_{j=1}^{n}z^{(i)}_{j}x_{j}\\
&= &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\\
&&\quad\text{da die Einträge der $i$-ten Zeile den Einträgen von $\mathbf{z}^{(i)}$ entsprechen}\\
&\eqcrefoverset{eq:3:\beweislabel}{=} &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}b_{i}.\\
\end{longmathe}
Darum gilt die Behauptung.
\enndeOfSomething[Beh. 1]
\behauptungbeleg{2}
Es gibt eine Lösung zu $(A|\mathbf{b})$.\\
\voritemise
\belegbehauptung
Da $|I_{0}|\leq n<n+1$ lässt sich eine Teilmenge $I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$ wählen,
so dass $I\supseteq I_{0}$ und $|I|=n+1$.
Dann per \emph{Annahme} ist $(A|\mathbf{b})_{I}$ lösbar.
Das heißt, ein $\mathbf{x}\in\reell^{n}$ existiert, so dass
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:3b:\beweislabel]
b_{i} &= &\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\\
\end{mathe}
für alle $i\in I$ gilt.
Da $I\supseteq I_{0}$ können wir \textbf{Behauptung 1} und die Verhältnisse in \eqcref{eq:1:\beweislabel} anwenden.
Für jedes ${k\in\{1,2,\ldots,m\}\ohne I}$ gilt
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
\sum_{j=1}^{n}a_{k,j}x_{j}
&= &\sum_{j=1}^{n}(\mathbf{z}^{(k)})_{j}x_{j}\\
&&\quad\text{da die Einträge der $k$-ten Zeile den Einträgen von $\mathbf{z}^{(k)}$ entsprechen}\\
&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{=}
&\sum_{j=1}^{n}(\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\mathbf{z}^{(i)})_{j}x_{j}\\
&= &\sum_{j=1}^{n}\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}z^{(i)}_{j}x_{j}\\
&= &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\sum_{j=1}^{n}z^{(i)}_{j}x_{j}\\
&= &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\\
&&\quad\text{da die Einträge der $i$-ten Zeile den Einträgen von $\mathbf{z}^{(i)}$ entsprechen}\\
&\eqcrefoverset{eq:3b:\beweislabel}{=} &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}b_{i}\\
&\textoverset{Beh. 1}{=} &b_{k}\\
\end{longmathe}
Also ist $\mathbf{x}\in\reell^{n}$ nicht nur eine Lösung zu Zeile $i$ des LGS, $(A|\mathbf{b})$, für jedes $i\in I$,
sondern auch für jedes ${i\in\{1,2,\ldots,m\}\ohne I}$.
Das heißt, $\mathbf{x}$ ist eine Lösung des LGS $(A|\mathbf{b})$.
Also ist $(A|\mathbf{b})$ lösbar.
\enndeOfSomething[Beh. 2]
\end{kompaktitem}
Laut \textbf{Behauptung 2} ist also $(A|\mathbf{b})$ lösbar.
Dies ist aber ein Widerspruch!
Darum stimmt die \emph{Annahme} oben nicht.
Also gibt es \emph{doch} eine Teilmenge ${I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}}$ mit ${|I|=n+1}$, so dass $(A|\mathbf{b})_{I}$ unlösbar ist.
Damit wurde die zu zeigende Implikation bewiesen.
\end{proof}
\end{einzug}
\begin{rem}
Falls man sich aber auf rudimentäre Mitteln beschränken will, kann man alternativ wie folgt vorgehen.
Man wende zuerst das Gaußverfahren an und erhalte somit eine Folge
\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
(A^{(0)}|\mathbf{b}^{(0)})
&\rightsquigarrow
&(A^{(1)}|\mathbf{b}^{(1)})
&\rightsquigarrow
&(A^{(2)}|\mathbf{b}^{(2)})
&\rightsquigarrow
&\cdots
&\rightsquigarrow
&(A^{(N)}|\mathbf{b}^{(N)})
\end{mathe}
wobei $N\in\ntrl$, ${A^{(0)}=A}$, ${\mathbf{b}^{(0)}=\mathbf{b}}$,
$(A^{(N)}|\mathbf{b}^{(N)})$ eine erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform ist,
und jede der »$\rightsquigarrow$« Übergänge jeweils eine Transformation der Art (I), (II), oder (III) bezeichnet.
Da $m>n$ sieht nun die Zeilenstufenform, also $(A^{(N)}|\mathbf{b}^{(N)})$, folgendermaßen aus:
{\scriptsize
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{matrix}{cccccccc|c}
\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{1}} &\gamma_{1} &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{1}\\
0\,0\,\ldots\,0 &0 &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{2}} &\gamma_{2} &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{2}\\
\vdots & & & & & & &\vdots\\
0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{r}} &\gamma_{r} &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r}\\
0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r+1}\\
\vdots & & & & & & &\vdots\\
0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{m}\\
\end{matrix}
\end{mathe}}
wobei $r\in\ntrlzero$ die Anzahl der Stufen ist,
${\ell_{1},\ell_{2},\ldots,\ell_{r}\in\ntrlzero}$,
und $\gamma_{1},\gamma_{2},\ldots,\gamma_{r}\in\reell\ohne\{0\}$ die Hauptkoeffizienten der Stufen sind.
Es muss nun $0\leq r\leq \min\{m,n\}=n$ gelten.
Jetzt kann man leicht dafür argumentiere, dass (1) die Zeilenstufenform, $(A^{(N)}|\mathbf{b}^{(N)})$, die Implikation erfüllt.
Dann aufgrund der Umkehrbarkeit der Elementartransformationen, reicht es aus zu zeigen, dass (2):
wenn ${(A',\mathbf{b}')\rightsquigarrow(A'',\mathbf{b}'')}$ und wenn $(A',\mathbf{b}')$ die Implikation erfüllt,
dann erfüllt $(A'',\mathbf{b}'')$ die Implikation.
Dies ist nur etwas mühseliger und die Argumentation von (2) führt letzten Endes zu ähnlichen Ideen, die im Beweis oben vorkommen.
\end{rem}
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/uebung/ueb2.tex
%% ********************************************************************************
\setcounternach{chapter}{2}
\chapter[Woche 2]{Woche 2}
\label{ueb:2}
\textbf{ACHTUNG.}
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
%% AUFGABE 2-1
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 1]{}
\label{ueb:2:ex:1}
\let\sectionname\altsectionname
\begin{schattierteboxdunn}
\begin{satz}[vgl. {\cite[Korollar 1.3.3]{sinn2020}}]
\makelabel{satz:main:ueb:2:ex:1}
Sei $V$ ein Vektorraum über $\reell$ wie $\reell^{n}$ für ein $n\in\ntrlpos$.
Seien $\mathbf{v},\mathbf{w}\in V$ mit $\mathbf{v}\neq \mathbf{w}$ und $\mathbf{w}\neq\zerovector$
und sei
\begin{mathe}[mc]{rcl}
L &:= &\{s\mathbf{v} + (1-s)\mathbf{w}\mid s\in\reell\}\\
\end{mathe}
die Verbindungsgerade zw. $\mathbf{v}$ und $\mathbf{w}$.
Dann gilt $\zerovector\in L$ $\Leftrightarrow$ $\exists{c\in\reell:~}\mathbf{v}=c\mathbf{w}$.
\end{satz}
\end{schattierteboxdunn}
\begin{proof}
Der Beweis wird in zwei Teilen gezeigt.
\hinRichtung Angenommen, $\zerovector\in L$.
\textbf{Zu zeigen:} $\exists{c\in\reell:~}\mathbf{v}=c\mathbf{w}$.\\
Per Definition von $L$ existiert ein $s\in\reell$, so dass sich $\zerovector$
als $\zerovector=s\mathbf{v} + (1-s)\mathbf{w}$
darstellen lässt.
Daraus lässt sich ableiten:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\zerovector=s\mathbf{v} + (1-s)\mathbf{w}
&\Longleftrightarrow
&s\mathbf{v} = (s-1)\mathbf{w}\\
&\Longleftrightarrow
&\underbrace{%
(s=0\,\text{und}\,\mathbf{w}=s(\mathbf{w}-\mathbf{v})=\zerovector)
}_{%
\text{unmöglich, da $\mathbf{w}\neq\zerovector$ per Voraussetzung}
}
\,\text{oder}\,(s\neq 0\,\text{und}\,\mathbf{v} = ((s-1)/s)\mathbf{w})\\
&\Longleftrightarrow