Kritzelei aus Woche 3

Übungsblatt 1

Für volle Lösungen siehe Datei /docs/loesungen.pdf.

Seien A eine m x n Matrix über IR, und b in IR^m.

Lösungsmenge vor Transformation:

Sei L_1 := { x ∈ IR^n | Ax = b }

Lösungsmenge nach Transformation:

Sei L_2 := { x ∈ IR^n | A'x = b' }, wobei (A'|b') das Resultat einer Transformation (Art I, II, III) ist.

BEHAUPTUNG. Es gilt L_1 = L_2.

BEWEIS.

Zu zeigen 1: L_1 ⊆ L_2
- Sei x aus L_1 beliebig. D. h. x ist eine Lösung zu (A|b)
- Zu zeigen: x in L_2, d. h. dass x eine Lösung zu (A'|b') ist.
  - Fall 1. Transformation vom Typ I:
    - ...
  - Fall 2. Transformation vom Typ II:
    - ...
  - Fall 3. Transformation vom Typ III:
    - ...
Zu zeigen 2: L_2 ⊆ L_1
- Sei x aus L_2 beliebig. D. h. x ist eine Lösung zu (A'|b')
- Zu zeigen: x in L_1, d. h. dass x eine Lösung zu (A|b) ist.
  - Unvollständige Argumentation: Die Transformationen sind umkehrbar. Also ist x eine Lösung von (A|b) auch.
    - !! Fehlt: Warum bedeutet diese Umkehrbarkeit, dass x noch eine Lösung von (A|b) ist? !!
  - Richtiger Ansatz 1:
    - Gegeben ist, dass A'x = b' gilt.
    - Nun gilt: A' = E·A, b' = E·b, wobei E die Zeilenumformung ist.
    - Umkehrbarkeit der Transformation bedeutet: E ist umkehrbar.
    - Also, aus A'x = b' (d. h. E·A·x = E·b) folgt Ax = b.
  - Richtiger Ansatz 2:
    - (A'|b') entsteht durch Anwendung von I, II, od. III. aus (A|b)
    - die Umkehrung (von (A'|b') ---> nach (A|b)) ist selbst eine Transformation vom Typ I, II, od. III.
    - Also (A|b) ist eine Transformation von (A'|b')
    - Der erste Teil des Beweis hat gezeigt, dass
      - x Lösung von (A'|b') ==> x Lösung von Transformation von (A'|b')
      - d. h. x Lösung von (A'|b') ==> x Lösung von Transformation von (A|b).

QED