Ein Repository für den Kurs Lineare Algebra 1, WiSe 2020–21.
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5.6 KiB

Woche 12

Quiz 11

Sei m = 4 und A die folgende m x m Matrix über 𝔽₅:

A = 1   2  -2  -1
    2   0  -1   1
    4   3   3   1
    1  -2   2   3

Zur Bestimmung der Invertierbarkeit führen wir das Gaußverfahren auf (A | I) aus:

    1   2  -2  -1 | 1   0   0   0
    2   0  -1   1 | 0   1   0   0
    4   3   3   1 | 0   0   1   0
    1  -2   2   3 | 0   0   0   1

Zeile 2 <- Zeile 2 - 2·Zeile 1
Zeile 3 <- Zeile 3 - 4·Zeile 1
Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 1


    1    2   -2   -1 |  1    0    0    0
    0   -4    3    3 | -2    1    0    0
    0   -5   11    5 | -4    0    1    0
    0   -4    4    4 | -1    0    0    1

—> modulo 5

    1   2   3   4 | 1   0   0   0
    0   1   3   3 | 3   1   0   0
    0   0   1   0 | 1   0   1   0
    0   1   4   4 | 4   0   0   1

Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 2

    1   2   3   4 | 1   0   0   0
    0   1   3   3 | 3   1   0   0
    0   0   1   0 | 1   0   1   0
    0   0   1   1 | 1   4   0   1

(hier habe ich sofort mod 5 berechnet)

Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 3

    1   2   3   4 | 1   0   0   0
    0   1   3   3 | 3   1   0   0
    0   0   1   0 | 1   0   1   0
    0   0   0   1 | 0   4   4   1

⟹ Rang(A) = 4 = m

A ist invertierbar

Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 2

    1   0   2   3 | 0   3   0   0
    0   1   3   3 | 3   1   0   0
    0   0   1   0 | 1   0   1   0
    0   0   0   1 | 0   4   4   1

Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 3
Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 3

    1   0   0   3 | 3   3   3   0
    0   1   0   3 | 0   1   2   0
    0   0   1   0 | 1   0   1   0
    0   0   0   1 | 0   4   4   1

Zeile 1 <- Zeile 1 - 3·Zeile 4
Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 4

    1   0   0   0 | 3   1   1   2
    0   1   0   0 | 0   4   0   2
    0   0   1   0 | 1   0   1   0
    0   0   0   1 | 0   4   4   1

⟹ Das Produkt der Elementarmatrizen, die A auf I (linke Hälfte) reduziert hat, steht nun in der rechten Hälfte:

    A¯¹ = 3   1   1   2
        0   4   0   2
        1   0   1   0
        0   4   4   1

Lineare Ausdehnung

Aufgabe 1.

Seien

w1 = (1,  1, 0)ᵀ
w2 = (1, -1, 2)ᵀ
w3 = (0, 3, -1)ᵀ

v1 = ( 2, 1)ᵀ
v2 = (-1, 1)ᵀ
v3 = ( 1, 0)ᵀ

Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ², so dass

φ(w1) = v1
φ(w2) = v2
φ(w3) = v3

gilt? Ist dies injektiv/surjektiv/bijektiv?

Antwort. {w1, w2, w3} eine Basis ~~~> Gaußverfahren auf (w1 w2 w3) und Rang berechnen (soll gleich 3 sein)! ==> ja! (Satz 6.1.13 aus VL)

  • Nicht injektiv, weil Rang(φ) <= 2, aber 2 ≥ 3 gilt nicht.
  • Surjektiv: Zz: Rang(φ) ≥ 2. φ = φ_A A = Darstellungsmatrix ....
  • Bijektiv: nein, weil nicht injektiv.

Aufgabe 2.

Seien

w1 = (1,  1, 0)ᵀ
w2 = (1, -1, 2)ᵀ

v1 = ( 2, 1)ᵀ
v2 = (-1, 1)ᵀ

Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ², so dass

φ(w1) = v1
φ(w2) = v2

gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv?

Antwort.

  • {w1, w2} sind linear unabhängig (wiederum mit Gaußverfahren und Rang zeigen).

  • {w1, w2} können zu einer Basis von ℝ³ ergänzt werden: {w1, w2, w3}

  • Setze v3 ∈ ℝ² beliebig

    • Satz der linearen Ausdehnung (6.1.13) wieder anwenden:

    • es gibt eine lineare Abb, φ, die

        φ(w1) = v1
        φ(w2) = v2
        φ(w3) = v3
      

    erfüllt.

    • Bild(φ) = lin{v1,v2,v3} ⊇ lin{v1, v2} = ℝ², weil {v1, v2} eine Basis von ℝ². Also Bild(φ) = ℝ².
    • Darum ist φ surjektiv.
  • Es gibt keine injektive (und damit keine bijektive) lin. Abb. φ von ℝ³ nach ℝ², weil Rang(φ) <= 2, und 2 ≥ 3 gilt nicht.

Aufgabe 3a.

Seien

w1 = (1,  1, 0)ᵀ
w2 = (1, -1, 1)ᵀ
w3 = (2, 0, 1)ᵀ

v1 = ( 2, 1, 0)ᵀ
v2 = (-2, 1, 0)ᵀ
v3 = (1, 2, 0)ᵀ

Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ³, so dass

φ(w1) = v1
φ(w2) = v2
φ(w3) = v3

gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv? nicht injektiv?

Antwort.

Beachte, {w1, w2, w3} ist nicht linear unabh. Es gilt

  • {w1, w2} linear unabh
  • w3 ∈ lin{w1, w2}, und zwar w3 = w1 + w2
  • Aber v3 = v1 + v2.

Darum ist die Frage äquivalent zu derselben Frage, nur mit nur den ersten 2 Bedingungen, weil die 3. immer mit erfüllt sein wird, weil falls φ : ℝ³ —> ℝ³ linear und Bed. 1+2 erfüllt, so gilt Bedingung 3, weil

φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 = v3.

Ansatz:

  • füge w3' hinzu, damit {w1,w2,w3'} eine Basis von ℝ³ ist.
  • v3' jetzt so wählen, dass φ injektiv/nicht injektiv ist.
  • Beachte Korollar 6.1.11 im besonderen Falle dass φ : ℝⁿ —> ℝⁿ mit gleicher Dim für Inputraum und Outputraum!! Lin Abb. injektiv ⟺ surjektiv ⟺ bijektiv (≡ „Isomorphismus“).

Aufgabe 3b.

Seien

w1 = (1,  1, 0)ᵀ
w2 = (1, -1, 1)ᵀ
w3 = (2, 0, 1)ᵀ

v1 = ( 2, 1, 0)ᵀ
v2 = (-1, 1, 0)ᵀ
v3 = (1, 4, 0)ᵀ

Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ³, so dass

φ(w1) = v1
φ(w2) = v2
φ(w3) = v3

gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv?

Antwort.

Beachte, {w1, w2, w3} ist nicht linear unabh. Es gilt

  • {w1, w2} linear unabh
  • w3 ∈ lin{w1, w2}, und zwar w3 = w1 + w2
  • Aber v3 ≠ v1 + v2.

Darum kann es niemals eine lineare Abb geben, die alle 3 Bedingungen erfüllt, weil falls φ : ℝ³ —> ℝ³ linear ist und Bed. 1+2+3 erfüllt, so gilt

φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 ≠ v3.

D. h. Bedingung 3 wäre verletzt.

TODO Die o. s. Varianten (die letzteren) ausrechnen und hochladen.