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78 KiB
TeX
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TeX
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%% AUTHOR: Raj Dahya
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%% CREATED: November 2020
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%% EDITED: —
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%% TYPE: Notizen
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%% TITLE: Zusatzaufgaben
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%% DOI: —
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%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik
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%% INSTITUTE: Universität Leipzig
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%% ********************************************************************************
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%% DOCUMENT STRUCTURE:
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%% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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%%
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%% - root.tex;
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%% |
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%% ---- parameters.tex;
|
||
%% |
|
||
%% ---- ../loesungen/src/index.tex;
|
||
%% |
|
||
%% ---- ########;
|
||
%% |
|
||
%% ---- ../loesungen/src/setup-type.tex;
|
||
%% |
|
||
%% ---- ../loesungen/src/setup-packages.tex;
|
||
%% |
|
||
%% ---- ../loesungen/src/setup-parameters.tex;
|
||
%% |
|
||
%% ---- ../loesungen/src/setup-macros.tex;
|
||
%% |
|
||
%% ---- ../loesungen/src/setup-environments.tex;
|
||
%% |
|
||
%% ---- ../loesungen/src/setup-layout.tex;
|
||
%% |
|
||
%% ---- ../loesungen/src/setup-localmacros.tex;
|
||
%% |
|
||
%% ---- front/index.tex;
|
||
%% |
|
||
%% ---- front/title.tex;
|
||
%% |
|
||
%% ---- front/foreword.tex;
|
||
%% |
|
||
%% ---- front/contents.tex;
|
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%% |
|
||
%% ---- body/index.tex;
|
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%% |
|
||
%% ---- body/linear-extensions.tex;
|
||
%% |
|
||
%% ---- back/index.tex;
|
||
%% |
|
||
%% ---- ./../loesungen/back/quelle.bib;
|
||
%%
|
||
%% DOCUMENT-RANDOM-SEED: 5637845
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%% ********************************************************************************
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: root.tex
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%% ********************************************************************************
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: parameters.tex
|
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%% ********************************************************************************
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%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: ../loesungen/src/index.tex
|
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%% ********************************************************************************
|
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||
\makeatletter
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||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: ../loesungen/src/setup-type.tex
|
||
%% ********************************************************************************
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||
\documentclass[
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12pt,
|
||
a4paper,
|
||
oneside,
|
||
openright,
|
||
center,
|
||
chapterbib,
|
||
crosshair,
|
||
fleqn,
|
||
headcount,
|
||
headline,
|
||
indent,
|
||
indentfirst=false,
|
||
portrait,
|
||
phonetic,
|
||
oldernstyle,
|
||
onecolumn,
|
||
sfbold,
|
||
upper,
|
||
]{scrbook}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: ../loesungen/src/setup-packages.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\PassOptionsToPackage{T2A,OT1}{fontenc} % T1,OT1,T2A,OT2
|
||
\PassOptionsToPackage{utf8}{inputenc} % utf8
|
||
\PassOptionsToPackage{british,english,ngerman,russian}{babel}
|
||
\PassOptionsToPackage{
|
||
english,
|
||
ngerman,
|
||
russian,
|
||
capitalise,
|
||
}{cleveref}
|
||
\PassOptionsToPackage{
|
||
bookmarks=true,
|
||
bookmarksopen=false,
|
||
bookmarksopenlevel=0,
|
||
bookmarkstype=toc,
|
||
colorlinks=false,
|
||
raiselinks=true,
|
||
hyperfigures=true,
|
||
}{hyperref}
|
||
\PassOptionsToPackage{
|
||
reset,
|
||
left=1in,
|
||
right=1in,
|
||
top=20mm,
|
||
bottom=20mm,
|
||
heightrounded,
|
||
}{geometry}
|
||
\PassOptionsToPackage{
|
||
framemethod=TikZ,
|
||
}{mdframed}
|
||
\PassOptionsToPackage{normalem}{ulem}
|
||
\PassOptionsToPackage{
|
||
amsmath,
|
||
thmmarks,
|
||
}{ntheorem}
|
||
\PassOptionsToPackage{table}{xcolor}
|
||
\PassOptionsToPackage{
|
||
all,
|
||
color,
|
||
curve,
|
||
frame,
|
||
import,
|
||
knot,
|
||
line,
|
||
movie,
|
||
rotate,
|
||
textures,
|
||
tile,
|
||
tips,
|
||
web,
|
||
xdvi,
|
||
}{xy}
|
||
|
||
\usepackage{amsfonts}
|
||
\usepackage{amsmath}
|
||
\usepackage{amssymb}
|
||
\usepackage{ntheorem} % <— muss nach den ams* Packages vorkommen!!
|
||
\usepackage{array}
|
||
\usepackage{babel}
|
||
\usepackage{bbding}
|
||
\usepackage{bbm}
|
||
\usepackage{calc}
|
||
\usepackage{sectsty}
|
||
\usepackage{titlesec}
|
||
\usepackage{fancyhdr}
|
||
\usepackage{footmisc}
|
||
\usepackage{geometry}
|
||
\usepackage{graphicx}
|
||
\usepackage{ifpdf}
|
||
\usepackage{ifthen}
|
||
\usepackage{ifnextok}
|
||
\usepackage{longtable}
|
||
\usepackage{multicol}
|
||
\usepackage{multirow}
|
||
\usepackage{nameref}
|
||
\usepackage{nowtoaux}
|
||
\usepackage{paralist}
|
||
\usepackage{enumerate} %% nach [paralist]
|
||
\usepackage{pgf}
|
||
\usepackage{pgfplots}
|
||
\usepackage{proof}
|
||
\usepackage{refcount}
|
||
\usepackage{relsize}
|
||
\usepackage{savesym}
|
||
\usepackage{stmaryrd}
|
||
\usepackage{subfigure}
|
||
\usepackage{yfonts} %% <— Altgotische Fonts
|
||
\usepackage{tikz}
|
||
\usepackage{xy}
|
||
\usepackage{undertilde}
|
||
\usepackage{ulem} %% <– f\"ur besseren \underline-Befehl (\ul)
|
||
\usepackage{xcolor}
|
||
\usepackage{xspace}
|
||
\usepackage{xstring}
|
||
\usepackage{hyperref}
|
||
\usepackage{cleveref} % must vor hyperref geladen werden.
|
||
|
||
\pgfplotsset{compat=newest}
|
||
|
||
\usetikzlibrary{
|
||
angles,
|
||
arrows,
|
||
automata,
|
||
calc,
|
||
decorations,
|
||
decorations.pathmorphing,
|
||
decorations.pathreplacing,
|
||
math,
|
||
positioning,
|
||
patterns,
|
||
quotes,
|
||
snakes,
|
||
}
|
||
|
||
%% \var ≈ alter Befehl
|
||
%% \xvar ≈ wie das neue Package \var interpretieren soll.
|
||
\savesymbol{Diamond}
|
||
\savesymbol{emptyset}
|
||
\savesymbol{ggg}
|
||
\savesymbol{int}
|
||
\savesymbol{lll}
|
||
\savesymbol{RectangleBold}
|
||
\savesymbol{langle}
|
||
\savesymbol{rangle}
|
||
\savesymbol{hookrightarrow}
|
||
\savesymbol{hookleftarrow}
|
||
\savesymbol{Asterisk}
|
||
\usepackage{mathabx}
|
||
\usepackage{wasysym}
|
||
\let\varemptyset=\emptyset
|
||
\restoresymbol{x}{Diamond}
|
||
\restoresymbol{x}{emptyset}
|
||
\restoresymbol{x}{ggg}
|
||
\restoresymbol{x}{int}
|
||
\restoresymbol{x}{lll}
|
||
\restoresymbol{x}{RectangleBold}
|
||
\restoresymbol{x}{langle}
|
||
\restoresymbol{x}{rangle}
|
||
\restoresymbol{x}{hookrightarrow}
|
||
\restoresymbol{x}{hookleftarrow}
|
||
\restoresymbol{x}{Asterisk}
|
||
|
||
\ifpdf
|
||
\usepackage{pdfcolmk}
|
||
\fi
|
||
|
||
\usepackage{mdframed}
|
||
|
||
%% Force-Import aus MnSymbol
|
||
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolA}{}
|
||
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{m}{n}{
|
||
<-6> MnSymbolA5
|
||
<6-7> MnSymbolA6
|
||
<7-8> MnSymbolA7
|
||
<8-9> MnSymbolA8
|
||
<9-10> MnSymbolA9
|
||
<10-12> MnSymbolA10
|
||
<12-> MnSymbolA12
|
||
}{}
|
||
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{b}{n}{
|
||
<-6> MnSymbolA-Bold5
|
||
<6-7> MnSymbolA-Bold6
|
||
<7-8> MnSymbolA-Bold7
|
||
<8-9> MnSymbolA-Bold8
|
||
<9-10> MnSymbolA-Bold9
|
||
<10-12> MnSymbolA-Bold10
|
||
<12-> MnSymbolA-Bold12
|
||
}{}
|
||
\DeclareSymbolFont{MnSyA}{U}{MnSymbolA}{m}{n}
|
||
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowright}{\mathrel}{MnSyA}{252}
|
||
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{255}
|
||
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowleft}{\mathrel}{MnSyA}{250}
|
||
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{251}
|
||
|
||
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolC}{}
|
||
\DeclareSymbolFont{MnSyC}{U}{MnSymbolC}{m}{n}
|
||
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolC}{m}{n}{
|
||
<-6> MnSymbolC5
|
||
<6-7> MnSymbolC6
|
||
<7-8> MnSymbolC7
|
||
<8-9> MnSymbolC8
|
||
<9-10> MnSymbolC9
|
||
<10-12> MnSymbolC10
|
||
<12-> MnSymbolC12%
|
||
}{}
|
||
\DeclareMathSymbol{\powerset}{\mathord}{MnSyC}{180}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: ../loesungen/src/setup-parameters.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\def\boolwahr{true}
|
||
\def\boolfalsch{false}
|
||
\def\boolleer{}
|
||
|
||
\let\documenttwosided\boolfalsch
|
||
\let\boolinappendix\boolfalsch
|
||
\let\boolinmdframed\boolfalsch
|
||
\let\eqtagset\boolfalsch
|
||
\let\eqtaglabel\boolleer
|
||
\let\eqtagsymb\boolleer
|
||
|
||
\newcount\bufferctr
|
||
\newcount\bufferreplace
|
||
\newcounter{columnanzahl}
|
||
|
||
\newlength\rtab
|
||
\newlength\gesamtlinkerRand
|
||
\newlength\gesamtrechterRand
|
||
\newlength\ownspaceabovethm
|
||
\newlength\ownspacebelowthm
|
||
\setlength{\rtab}{0.025\textwidth}
|
||
\setlength{\ownspaceabovethm}{0.5\baselineskip}
|
||
\setlength{\ownspacebelowthm}{0.5\baselineskip}
|
||
\setlength{\gesamtlinkerRand}{0pt}
|
||
\setlength{\gesamtrechterRand}{0pt}
|
||
|
||
\def\secnumberingpt{$\cdot$}
|
||
\def\secnumberingseppt{.}
|
||
\def\subsecnumberingseppt{}
|
||
\def\thmnumberingpt{$\cdot$}
|
||
\def\thmnumberingseppt{}
|
||
\def\thmForceSepPt{.}
|
||
|
||
\definecolor{leer}{gray}{1}
|
||
\definecolor{hellgrau}{gray}{0.85}
|
||
\definecolor{dunkelgrau}{gray}{0.5}
|
||
\definecolor{maroon}{rgb}{0.6901961,0.1882353,0.3764706}
|
||
\definecolor{dunkelgruen}{rgb}{0.015625,0.363281,0.109375}
|
||
\definecolor{dunkelrot}{rgb}{0.5450980392,0,0}
|
||
\definecolor{dunkelblau}{rgb}{0,0,0.5450980392}
|
||
\definecolor{blau}{rgb}{0,0,1}
|
||
\definecolor{newresult}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
|
||
\definecolor{improvedresult}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
|
||
\definecolor{hervorheben}{rgb}{0,0.9,0.7}
|
||
\definecolor{starkesblau}{rgb}{0.1019607843,0.3176470588,0.8156862745}
|
||
\definecolor{achtung}{rgb}{1,0.5,0.5}
|
||
\definecolor{frage}{rgb}{0.5,1,0.5}
|
||
\definecolor{schreibweise}{rgb}{0,0.7,0.9}
|
||
\definecolor{axiom}{rgb}{0,0.3,0.3}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: ../loesungen/src/setup-macros.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% TEX:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\let@name#1#2{\expandafter\let\csname #1\expandafter\endcsname\csname #2\endcsname\relax}
|
||
\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{ccr}\selectfont}
|
||
\DeclareTextFontCommand{\textcr}{\crfamily}
|
||
|
||
\def\nichtzeigen#1{\phantom{#1}}
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% SPACING:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\ifthenelseleer#1#2#3{\ifthenelse{\equal{#1}{}}{#2}{#1#3}}
|
||
\def\bedingtesspaceexpand#1#2#3{\ifthenelseleer{\csname #1\endcsname}{#3}{#2#3}}
|
||
\def\voritemise{\leavevmode\nvraum{1}}
|
||
\def\hraum{\null\hfill\null}
|
||
\def\vraum{\null\vfill\null}
|
||
\def\nvraum{\@ifnextchar\bgroup{\nvraum@c}{\nvraum@bes}}
|
||
\def\nvraum@c#1{\vspace*{-#1\baselineskip}}
|
||
\def\nvraum@bes{\vspace*{-\baselineskip}}
|
||
\def\erlaubeplatz{\relax\ifmmode\else\@\xspace\fi}
|
||
\def\entferneplatz{\relax\ifmmode\else\expandafter\@gobble\fi}
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% TAGS / BEZEICHNUNGEN / LABELLING:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\send@toaux#1{\@bsphack\protected@write\@auxout{}{\string#1}\@esphack}
|
||
|
||
%% \rlabel{LABEL}[CTR]{CREF-SHORT}{CREF-LONG}{DISPLAYTEXT}
|
||
\def\rlabel#1[#2]#3#4#5{#5\rlabel@aux{#1}[#2]{#3}{#4}{#5}}
|
||
\def\rlabel@aux#1[#2]#3#4#5{%
|
||
\send@toaux{\newlabel{#1}{{\@currentlabel}{\thepage}{{\unexpanded{#5}}}{#2.\csname the#2\endcsname}{}}}\relax%
|
||
}
|
||
|
||
%% \tag@rawscheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR]{LEFT-BRKT}{RIGHT-BRKT} [LABEL]{DISPLAYTEXT}
|
||
\def\tag@rawscheme#1#2[#3]#4#5{\@ifnextchar[{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}}{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[*]}}
|
||
\def\tag@rawscheme@#1#2[#3]#4#5[#6]{\@ifnextchar\bgroup{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]}{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]{}}}
|
||
\def\tag@rawscheme@@#1#2[#3]#4#5[#6]#7{%
|
||
\ifthenelse{\equal{#6}{*}}{%
|
||
\ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\refstepcounter{#3}#4\csname the#3\endcsname#5}{#4#7#5}%
|
||
}{%
|
||
\refstepcounter{#3}#4%
|
||
\ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{\csname the#3\endcsname}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{#7}}%
|
||
#5%
|
||
}%
|
||
}
|
||
%% \tag@scheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR] [LABEL]{DISPLAYTEXT}
|
||
\def\tag@scheme#1#2[#3]{\tag@rawscheme{#1}{#2}[#3]{\upshape(}{\upshape)}}
|
||
|
||
%% \eqtag[LABEL]{DISPLAYTEXT}
|
||
\def\eqtag@post#1{\makebox[0pt][r]{#1}}
|
||
\def\eqtag@pre{\tag@scheme{Eq}{Equation}[Xe]}
|
||
\def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@}{\eqtag@[*]}}
|
||
\def\eqtag@[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@@[#1]}{\eqtag@@[#1]{}}}
|
||
\def\eqtag@@[#1]#2{\eqtag@post{\eqtag@pre[#1]{#2}}}
|
||
|
||
\def\eqcref#1{\text{(\ref{#1})}}
|
||
\def\ptcref#1{\ref{#1}}
|
||
\def\punktlabel#1{\label{it:#1:\beweislabel}}
|
||
\def\punktcref#1{\eqcref{it:#1:\beweislabel}}
|
||
\def\crefit#1#2{\cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}}
|
||
\def\Crefit#1#2{\Cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}}
|
||
|
||
%% UNDER/OVERSET BEFEHLE
|
||
\def\opfromto[#1]_#2^#3{\underset{#2}{\overset{#3}{#1}}}
|
||
\def\textoverset#1#2{\overset{\text{#1}}{#2}}
|
||
\def\textunderset#1#2{\underset{#2}{\text{#1}}}
|
||
\def\crefoverset#1#2{\textoverset{\cref{#1}}{#2}}
|
||
\def\Crefoverset#1#2{\textoverset{\Cref{#1}}{#2}}
|
||
\def\crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\cref{#1}}}
|
||
\def\Crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\Cref{#1}}}
|
||
\def\eqcrefoverset#1#2{\textoverset{\eqcref{#1}}{#2}}
|
||
\def\eqcrefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\eqcref{#1}}}
|
||
\def\mathclap#1{#1}
|
||
\def\oberunterset#1{\@ifnextchar^{\oberunterset@oben{#1}}{\oberunterset@unten{#1}}}
|
||
\def\oberunterset@oben#1^#2_#3{\underset{\mathclap{#3}}{\overset{\mathclap{#2}}{#1}}}
|
||
\def\oberunterset@unten#1_#2^#3{\underset{\mathclap{#2}}{\overset{\mathclap{#3}}{#1}}}
|
||
\def\breitunderbrace#1_#2{\underbrace{#1}_{\mathclap{#2}}}
|
||
\def\breitoverbrace#1^#2{\overbrace{#1}^{\mathclap{#2}}}
|
||
\def\breitunderbracket#1_#2{\underbracket{#1}_{\mathclap{#2}}}
|
||
\def\breitoverbracket#1^#2{\overbracket{#1}^{\mathclap{#2}}}
|
||
|
||
\def\generatenestedsecnumbering#1#2#3{%
|
||
\expandafter\gdef\csname thelong#3\endcsname{%
|
||
\expandafter\csname the#2\endcsname%
|
||
\secnumberingpt%
|
||
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
|
||
}%
|
||
\expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{%
|
||
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
|
||
}%
|
||
}
|
||
\def\generatenestedthmnumbering#1#2#3{%
|
||
\expandafter\gdef\csname the#3\endcsname{%
|
||
\expandafter\csname the#2\endcsname%
|
||
\thmnumberingpt%
|
||
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
|
||
}%
|
||
\expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{%
|
||
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
|
||
}%
|
||
}
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% ALLG. MACROS:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\+#1{\addtocounter{#1}{1}}
|
||
\def\setcounternach#1#2{\setcounter{#1}{#2}\addtocounter{#1}{-1}}
|
||
\def\textsubscript#1{${}_{\textup{#1}}$}
|
||
\def\rome#1{\overline{\underline{#1}}}
|
||
\def\textTODO{\text{[{\large\textcolor{red}{More work needed!}}]}}
|
||
\def\hlineEIGENpt{\hdashline[0.5pt/5pt]}
|
||
\def\clineEIGENpt#1{\cdashline{#1}[0.5pt/5pt]}
|
||
|
||
\def\forcepunkt#1{#1\IfEndWith{#1}{.}{}{.}}
|
||
\def\lateinabkuerzung#1#2{%
|
||
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{\emph{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}}
|
||
}
|
||
\def\deutscheabkuerzung#1#2{%
|
||
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}}
|
||
}
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% MATHE
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\matrix#1{\left(\begin{array}{#1}}
|
||
\def\endmatrix{\end{array}\right)}
|
||
\def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}}
|
||
\def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)}
|
||
|
||
\def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{%
|
||
\expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup}
|
||
\expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
|
||
\expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
|
||
\expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8}
|
||
}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}}
|
||
|
||
\def\cases[#1]#2{\left\{\begin{array}[#1]{#2}}
|
||
\def\endcases{\end{array}\right.}
|
||
|
||
\def\BeweisRichtung[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\@BeweisRichtung@c[#1]}{\@BeweisRichtung@bes[#1]}}
|
||
\def\@BeweisRichtung@bes[#1]{{\bfseries(#1).~}}
|
||
\def\@BeweisRichtung@c[#1]#2#3{{\bfseries(#2#1#3).~}}
|
||
\def\erzeugeBeweisRichtungBefehle#1#2{
|
||
\expandafter\gdef\csname #1text\endcsname##1##2{\BeweisRichtung[#2]{##1}{##2}}
|
||
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{%
|
||
\@ifnextchar\bgroup{\csname #1@\endcsname}{\csname #1text\endcsname{}{}}%
|
||
}
|
||
\expandafter\gdef\csname #1@\endcsname##1##2{%
|
||
\csname #1text\endcsname{\punktcref{##1}}{\punktcref{##2}}%
|
||
}
|
||
}
|
||
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinRichtung}{$\Longrightarrow$}
|
||
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{herRichtung}{$\Longleftarrow$}
|
||
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinherRichtung}{$\Longleftrightarrow$}
|
||
|
||
\def\cal#1{\mathcal{#1}}
|
||
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle}
|
||
\def\mathfrak#1{\mbox{\usefont{U}{euf}{m}{n}#1}}
|
||
\def\kurs#1{\textit{#1}}
|
||
\def\rectangleblack{\text{\RectangleBold}}
|
||
\def\rectanglewhite{\text{\Rectangle}}
|
||
\def\squareblack{\blacksquare}
|
||
\def\squarewhite{\Box}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: ../loesungen/src/setup-environments.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
%% **********************************************************************
|
||
%% CLEVEREF: ************************************************************
|
||
|
||
\def\crefname@full#1#2#3{\crefname{#1}{#2}{#3}\Crefname{#1}{#2}{#3}}
|
||
\crefname@full{chapter}{Kapitel}{Kapitel}
|
||
\crefname@full{section}{Abschnitt}{Abschnitte}
|
||
\crefname@full{figure}{Fig.}{Fig.}
|
||
\crefname@full{subfigure}{Fig.}{Fig.}
|
||
|
||
\crefname@full{proof}{Beweis}{Beweise}
|
||
\crefname@full{thm}{Theorem}{Theoreme}
|
||
\crefname@full{satz}{Satz}{Sätze}
|
||
\crefname@full{claim}{Behauptung}{Behauptungen}
|
||
\crefname@full{lemm}{Lemma}{Lemmata}
|
||
\crefname@full{cor}{Korollar}{Korollarien}
|
||
\crefname@full{folg}{Folgerung}{Folgerungen}
|
||
\crefname@full{prop}{Proposition}{Propositionen}
|
||
\crefname@full{defn}{Definition}{Definitionen}
|
||
\crefname@full{conv}{Konvention}{Konventionen}
|
||
\crefname@full{fact}{Fakt}{Fakten}
|
||
\crefname@full{rem}{Bemerkung}{Bemerkungen}
|
||
\crefname@full{qstn}{Frage}{Fragen}
|
||
\crefname@full{e.g.}{Beipsiel}{Beipsiele}
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% THEOREME:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\qedEIGEN#1{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#1}}{\qedEIGEN@bes{#1}}}%]
|
||
\def\qedEIGEN@bes#1{%
|
||
\parfillskip=0pt% % so \par doesnt push \square to left
|
||
\widowpenalty=10000% % so we dont break the page before \square
|
||
\displaywidowpenalty=10000% % ditto
|
||
\finalhyphendemerits=0% % TeXbook exercise 14.32
|
||
\leavevmode% % \nobreak means lines not pages
|
||
\unskip% % remove previous space or glue
|
||
\nobreak% % don’t break lines
|
||
\hfil% % ragged right if we spill over
|
||
\penalty50% % discouragement to do so
|
||
\hskip.2em% % ensure some space
|
||
\null% % anchor following \hfill
|
||
\hfill% % push \square to right
|
||
#1% % the end-of-proof mark
|
||
\par%
|
||
}
|
||
\def\qedEIGEN@c#1[#2]{%
|
||
\parfillskip=0pt% % so \par doesnt push \square to left
|
||
\widowpenalty=10000% % so we dont break the page before \square
|
||
\displaywidowpenalty=10000% % ditto
|
||
\finalhyphendemerits=0% % TeXbook exercise 14.32
|
||
\leavevmode% % \nobreak means lines not pages
|
||
\unskip% % remove previous space or glue
|
||
\nobreak% % don’t break lines
|
||
\hfil% % ragged right if we spill over
|
||
\penalty50% % discouragement to do so
|
||
\hskip.2em% % ensure some space
|
||
\null% % anchor following \hfill
|
||
\hfill% % push \square to right
|
||
{#1~{\smaller\bfseries\upshape (#2)}}%
|
||
\par%
|
||
}
|
||
\def\qedVARIANT#1#2{
|
||
\expandafter\def\csname ennde#1Sign\endcsname{#2}
|
||
\expandafter\def\csname ennde#1\endcsname{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#2}}{\qedEIGEN@bes{#2}}} %]
|
||
}
|
||
\qedVARIANT{OfProof}{$\squareblack$}
|
||
\qedVARIANT{OfWork}{\rectangleblack}
|
||
\qedVARIANT{OfSomething}{$\dashv$}
|
||
\qedVARIANT{OnNeutral}{$\lozenge$} % \lozenge \bigcirc \blacklozenge
|
||
\def\qedsymbol{\enndeOfProofSign}
|
||
\def\proofSymbol{\enndeOfProofSign}
|
||
|
||
\def\ra@pretheoremwork{
|
||
\setlength{\theorempreskipamount}{\ownspaceabovethm}
|
||
}
|
||
\def\rathmtransfer#1#2{
|
||
\expandafter\def\csname #2\endcsname{\csname #1\endcsname}
|
||
\expandafter\def\csname end#2\endcsname{\csname end#1\endcsname}
|
||
}
|
||
|
||
\def\ranewthm#1#2#3[#4]{
|
||
%% FOR \BEGIN{THM}
|
||
\theoremstyle{\current@theoremstyle}
|
||
\theoremseparator{\current@theoremseparator}
|
||
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
|
||
\@ifundefined{#1@basic}{\newtheorem{#1@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@basic}[#4]{#2}}
|
||
%% FOR \BEGIN{THM}[...]
|
||
\theoremstyle{\current@theoremstyle}
|
||
\theoremseparator{\thmForceSepPt}
|
||
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
|
||
\@ifundefined{#1@withName}{\newtheorem{#1@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@withName}[#4]{#2}}
|
||
%% FOR \BEGIN{THM*}
|
||
\theoremstyle{nonumberplain}
|
||
\theoremseparator{\thmForceSepPt}
|
||
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
|
||
\@ifundefined{#1@star@basic}{\newtheorem{#1@star@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@basic}[#4]{#2}}
|
||
%% FOR \BEGIN{THM*}[...]
|
||
\theoremstyle{nonumberplain}
|
||
\theoremseparator{\thmForceSepPt}
|
||
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
|
||
\@ifundefined{#1@star@withName}{\newtheorem{#1@star@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@withName}[#4]{#2}}
|
||
%% GENERATE ENVIRONMENTS:
|
||
\umbauenenv{#1}{#3}[#4]
|
||
\umbauenenv{#1@star}{#3}[#4]
|
||
%% TRANSFER *-DEFINITION
|
||
\rathmtransfer{#1@star}{#1*}
|
||
}
|
||
|
||
\def\umbauenenv#1#2[#3]{%
|
||
%% \BEGIN{THM}...
|
||
\expandafter\def\csname #1\endcsname{\relax%
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@\endcsname}{\csname #1@\endcsname[*]}%
|
||
}
|
||
%% \BEGIN{THM}[ANFANG]...
|
||
\expandafter\def\csname #1@\endcsname[##1]{\relax%
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@@\endcsname[##1]}{\csname #1@@\endcsname[##1][*]}%
|
||
}
|
||
%% \BEGIN{THM}[ANFANG][SCHLUSS]
|
||
\expandafter\def\csname #1@@\endcsname[##1][##2]{%
|
||
\ifx*##1%
|
||
\def\enndeOfBlock{\csname end#1@basic\endcsname}
|
||
\csname #1@basic\endcsname%
|
||
\else%
|
||
\def\enndeOfBlock{\csname end#1@withName\endcsname}
|
||
\csname #1@withName\endcsname[##1]%
|
||
\fi%
|
||
\def\makelabel####1{%
|
||
\gdef\beweislabel{####1}%
|
||
\label{\beweislabel}%
|
||
}%
|
||
\ifx*##2%
|
||
\def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}}
|
||
\else%
|
||
\def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}[##2]}
|
||
\fi
|
||
}
|
||
%% \END{THM}
|
||
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{\enndeSymbol\enndeOfBlock}
|
||
}
|
||
|
||
%% NEWTHEOREM EINSTELLUNGSOPTIONEN:
|
||
%% F\"UR \theoremstyle
|
||
%% plain Emulates original LATEX defin, except uses param \theorem...skipamount.
|
||
%% break Header followed by line break.
|
||
%% change Header, Number and Text are interchanged, without a line break.
|
||
%% changebreak =change, but with a line break after Header.
|
||
%% margin Number in left margin, without a line break.
|
||
%% marginbreak =margin, but with a line break after the header.
|
||
%% nonumberplain =plain, without number.
|
||
%% nonumberbreak =break, without number.
|
||
%% empty No number, no name. Only the optional argument is typeset.
|
||
%% \theoremclass \theoremnumbering
|
||
%% \theorempreskip \theorempostkip \theoremindent
|
||
%% \theoremprework \theorempostwork
|
||
|
||
\def\current@theoremstyle{plain}
|
||
\def\current@theoremseparator{\thmnumberingseppt}
|
||
\theoremstyle{\current@theoremstyle}
|
||
\theoremseparator{\current@theoremseparator}
|
||
\theoremsymbol{}
|
||
|
||
\newtheorem{X}{X}[chapter] % for most theorems
|
||
\newtheorem{Xe}{Xe}[chapter] % for equations
|
||
\newtheorem*{Xdisplaynone}{Xdisplaynone}[chapter] % a dummy counter, that will never be displayed.
|
||
\newtheorem{Xsp}{Xsp}[chapter] % for special theorems
|
||
\generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{X}
|
||
\generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{Xe}
|
||
\generatenestedthmnumbering{Roman}{chapter}{Xsp}
|
||
\let\theXsp\theshortXsp
|
||
|
||
\theoremheaderfont{\upshape\bfseries}
|
||
\theorembodyfont{\slshape}
|
||
|
||
\ranewthm{thm}{Theorem}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{satz}{Satz}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{claim}{Behauptung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{lemm}{Lemma}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{cor}{Korollar}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{folg}{Folgerung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{prop}{Proposition}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
|
||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||
|
||
\ranewthm{defn}{Definition}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{conv}{Konvention}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{obs}{Beobachtung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{e.g.}{Beipsiel}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{fact}{Fakt}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{rem}{Bemerkung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{qstn}{Frage}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{exer}{Aufgabe}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{soln}{Lösung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
|
||
\theoremheaderfont{\itshape\bfseries}
|
||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||
|
||
\ranewthm{proof@tmp}{Beweis}{\enndeOfProofSign}[Xdisplaynone]
|
||
\rathmtransfer{proof@tmp*}{proof}
|
||
|
||
\def\behauptungbeleg@claim{%
|
||
\iflanguage{british}{Claim}{%
|
||
\iflanguage{english}{Claim}{%
|
||
\iflanguage{ngerman}{Behauptung}{%
|
||
\iflanguage{russian}{Утверждение}{%
|
||
Claim%
|
||
}}}}%
|
||
}
|
||
\def\behauptungbeleg@pf@kurz{%
|
||
\iflanguage{british}{Pf}{%
|
||
\iflanguage{english}{Pf}{%
|
||
\iflanguage{ngerman}{Bew}{%
|
||
\iflanguage{russian}{Доказательство}{%
|
||
Pf%
|
||
}}}}%
|
||
}
|
||
\def\behauptungbeleg{\@ifnextchar\bgroup{\behauptungbeleg@c}{\behauptungbeleg@bes}}
|
||
\def\behauptungbeleg@c#1{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim\erlaubeplatz #1.}]}
|
||
\def\behauptungbeleg@bes{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim.}]}
|
||
\def\belegbehauptung{\item[{\bfseries\itshape\behauptungbeleg@pf@kurz.}]}
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% ALTE UMGEBUNGEN:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\newcolumntype{\RECHTS}[1]{>{\raggedleft}p{#1}}
|
||
\newcolumntype{\LINKS}[1]{>{\raggedright}p{#1}}
|
||
\newcolumntype{m}{>{$}l<{$}}
|
||
\newcolumntype{C}{>{$}c<{$}}
|
||
\newcolumntype{L}{>{$}l<{$}}
|
||
\newcolumntype{R}{>{$}r<{$}}
|
||
\newcolumntype{0}{@{\hspace{0pt}}}
|
||
\newcolumntype{\LINKSRAND}{@{\hspace{\@totalleftmargin}}}
|
||
\newcolumntype{h}{@{\extracolsep{\fill}}}
|
||
\newcolumntype{i}{>{\itshape}}
|
||
\newcolumntype{t}{@{\hspace{\tabcolsep}}}
|
||
\newcolumntype{q}{@{\hspace{1em}}}
|
||
\newcolumntype{n}{@{\hspace{-\tabcolsep}}}
|
||
\newcolumntype{M}[2]{%
|
||
>{\begin{minipage}{#2}\begin{math}}%
|
||
{#1}%
|
||
<{\end{math}\end{minipage}}%
|
||
}
|
||
\newcolumntype{T}[2]{%
|
||
>{\begin{minipage}{#2}}%
|
||
{#1}%
|
||
<{\end{minipage}}%
|
||
}
|
||
\setlength{\LTpre}{\baselineskip}
|
||
\setlength{\LTpost}{0pt}
|
||
\def\center{\centering}
|
||
\def\endcenter{}
|
||
|
||
\def\punkteumgebung@genbefehl#1#2#3{
|
||
\punkteumgebung@genbefehl@{#1}{#2}{#3}{}{}
|
||
\punkteumgebung@genbefehl@{multi#1}{#2}{#3}{
|
||
\setlength{\columnsep}{10pt}%
|
||
\setlength{\columnseprule}{0pt}%
|
||
\begin{multicols}{\thecolumnanzahl}%
|
||
}{\end{multicols}\nvraum{1}}
|
||
}
|
||
\def\punkteumgebung@genbefehl@#1#2#3#4#5{
|
||
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{
|
||
\@ifnextchar\bgroup{\csname #1@c\endcsname}{\csname #1@bes\endcsname}
|
||
}%]
|
||
\expandafter\def\csname #1@c\endcsname##1{
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@c@\endcsname{##1}}{\csname #1@c@\endcsname{##1}[\z@]}
|
||
}%]
|
||
\expandafter\def\csname #1@c@\endcsname##1[##2]{
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2]}{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2][\z@]}
|
||
}%]
|
||
\expandafter\def\csname #1@c@@\endcsname##1[##2][##3]{
|
||
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
|
||
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
|
||
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{##2}
|
||
\addtolength{\gesamtrechterRand}{##3}
|
||
\advance\linewidth -##2%
|
||
\advance\linewidth -##3%
|
||
\advance\@totalleftmargin ##2%
|
||
\parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth%
|
||
#4
|
||
\begin{#2}[\upshape ##1]%
|
||
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax%
|
||
\setlength{\topsep}{\z@}\relax%
|
||
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax%
|
||
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax%
|
||
\setlength{\itemsep}{#3}\relax%
|
||
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax%
|
||
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax%
|
||
}
|
||
\expandafter\def\csname #1@bes\endcsname{
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@bes@\endcsname}{\csname #1@bes@\endcsname[\z@]}
|
||
}%]
|
||
\expandafter\def\csname #1@bes@\endcsname[##1]{
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@bes@@\endcsname[##1]}{\csname #1@bes@@\endcsname[##1][\z@]}
|
||
}%]
|
||
\expandafter\def\csname #1@bes@@\endcsname[##1][##2]{
|
||
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
|
||
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
|
||
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{##1}
|
||
\addtolength{\gesamtrechterRand}{##2}
|
||
\advance\linewidth -##1%
|
||
\advance\linewidth -##2%
|
||
\advance\@totalleftmargin ##1%
|
||
\parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth%
|
||
#4
|
||
\begin{#2}%
|
||
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax%
|
||
\setlength{\topsep}{\z@}\relax%
|
||
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax%
|
||
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax%
|
||
\setlength{\itemsep}{#3}\relax%
|
||
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax%
|
||
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax%
|
||
}
|
||
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{%
|
||
\end{#2}#5
|
||
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand}
|
||
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand}
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
\def\ritempunkt{{\Large\textbullet}} % \textbullet, $\sqbullet$, $\blacktriangleright$
|
||
\setdefaultitem{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt}
|
||
\punkteumgebung@genbefehl{itemise}{compactitem}{\parskip}{}{}
|
||
\punkteumgebung@genbefehl{kompaktitem}{compactitem}{\z@}{}{}
|
||
\punkteumgebung@genbefehl{enumerate}{compactenum}{\parskip}{}{}
|
||
\punkteumgebung@genbefehl{kompaktenum}{compactenum}{\z@}{}{}
|
||
|
||
\let\ALTthebibliography\thebibliography
|
||
\renewenvironment{thebibliography}[1]{%
|
||
\begin{ALTthebibliography}{#1}
|
||
\addcontentsline{toc}{part}{\bibname}
|
||
}{%
|
||
\end{ALTthebibliography}
|
||
}
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% NEUE UMGEBUNGEN:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\matrix#1{\left(\begin{array}[mc]{#1}}
|
||
\def\endmatrix{\end{array}\right)}
|
||
\def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}}
|
||
\def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)}
|
||
\def\vector{\begin{matrix}{c}}
|
||
\def\endvector{\end{matrix}}
|
||
\def\svector{\begin{smatrix}}
|
||
\def\endsvector{\end{smatrix}}
|
||
|
||
\def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{%
|
||
\expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup}
|
||
\expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
|
||
\expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
|
||
\expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8}
|
||
}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}}
|
||
|
||
\def\underbracenodisplay#1{%
|
||
\mathop{\vtop{\m@th\ialign{##\crcr
|
||
$\hfil\displaystyle{#1}\hfil$\crcr
|
||
\noalign{\kern3\p@\nointerlineskip}%
|
||
\upbracefill\crcr\noalign{\kern3\p@}}}}\limits%
|
||
}
|
||
|
||
\def\mathe[#1]#2{%
|
||
\ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\begin{escapeeinzug}}
|
||
\noindent%
|
||
\let\eqtagset\boolfalsch
|
||
\let\eqtaglabel\boolleer
|
||
\let\eqtagsymb\boolleer
|
||
\let\alteqtag\eqtag
|
||
\def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@loc@}{\eqtag@loc@[*]}}%
|
||
\def\eqtag@loc@[##1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@loc@@[##1]}{\eqtag@loc@@[##1]{}}}%
|
||
\def\eqtag@loc@@[##1]##2{%
|
||
\gdef\eqtagset{\boolwahr}
|
||
\gdef\eqtaglabel{##1}
|
||
\gdef\eqtagsymb{##2}
|
||
}%
|
||
\def\verticalalign{}%
|
||
\IfBeginWith{#1}{t}{\def\verticalalign{t}}{}%
|
||
\IfBeginWith{#1}{m}{\def\verticalalign{c}}{}%
|
||
\IfBeginWith{#1}{b}{\def\verticalalign{b}}{}%
|
||
\def\horizontalalign{\null\hfill\null}%
|
||
\IfEndWith{#1}{l}{}{\null\hfill\null}%
|
||
\IfEndWith{#1}{r}{\def\horizontalalign{}}{}%
|
||
\begin{math}
|
||
\begin{array}[\verticalalign]{0#2}%
|
||
}
|
||
\def\endmathe{%
|
||
\end{array}
|
||
\end{math}\horizontalalign%
|
||
\let\eqtag\alteqtag
|
||
\ifthenelse{\equal{\eqtagset}{\boolwahr}}{\eqtag[\eqtaglabel]{\eqtagsymb}}{}
|
||
\ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\end{escapeeinzug}}%
|
||
}
|
||
|
||
\def\longmathe[#1]#2{\relax
|
||
\let\altarraystretch\arraystretch
|
||
\renewcommand\arraystretch{1.2}\relax
|
||
\begin{longtable}[#1]{\LINKSRAND #2}
|
||
}
|
||
\def\endlongmathe{
|
||
\end{longtable}
|
||
\renewcommand\arraystretch{\altarraystretch}
|
||
}
|
||
|
||
\def\einzug{\@ifnextchar[{\indents@}{\indents@[\z@]}}%]
|
||
\def\indents@[#1]{\@ifnextchar[{\indents@@[#1]}{\indents@@[#1][\z@]}}%]
|
||
\def\indents@@[#1][#2]{%
|
||
\begin{list}{}{\relax
|
||
\setlength{\topsep}{\z@}\relax
|
||
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax
|
||
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax
|
||
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax
|
||
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax
|
||
\setlength{\leftmargin}{#1}\relax
|
||
\setlength{\rightmargin}{#2}\relax
|
||
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
|
||
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
|
||
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{#1}
|
||
\addtolength{\gesamtrechterRand}{#2}
|
||
}\relax
|
||
\item[]\relax
|
||
}
|
||
\def\endeinzug{%
|
||
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand}
|
||
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand}
|
||
\end{list}%
|
||
}
|
||
|
||
\def\escapeeinzug{\begin{einzug}[-\gesamtlinkerRand][-\gesamtrechterRand]}
|
||
\def\endescapeeinzug{\end{einzug}}
|
||
|
||
\def\programmiercode{
|
||
\modulolinenumbers[1]
|
||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]%
|
||
\begin{linenumbers}%
|
||
\fontfamily{cmtt}\fontseries{m}\fontshape{u}\selectfont%
|
||
\setlength{\parskip}{1\baselineskip}%
|
||
\setlength{\parindent}{0pt}%
|
||
}
|
||
\def\endprogrammiercode{
|
||
\end{linenumbers}
|
||
\end{einzug}
|
||
}
|
||
|
||
\def\schattiertebox@genbefehl#1#2#3{
|
||
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{%
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@args\endcsname}{\csname #1@args\endcsname[#3]}%]%
|
||
}
|
||
\expandafter\def\csname #1@args\endcsname[##1]{%
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@args@l\endcsname[##1]}{\csname #1@args@n\endcsname[##1]}%]%
|
||
}
|
||
\expandafter\def\csname #1@args@l\endcsname[##1][##2]{%
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@args@l@r\endcsname[##1][##2]}{\csname #1@args@l@n\endcsname[##1][##2]}%]%
|
||
}
|
||
\expandafter\def\csname #1@args@n\endcsname[##1]{%
|
||
\let\boolinmdframed\boolwahr
|
||
\begin{mdframed}[#2leftmargin=0,rightmargin=0,outermargin=0,innermargin=0,##1]
|
||
}
|
||
\expandafter\def\csname #1@args@l@n\endcsname[##1][##2]{%
|
||
\let\boolinmdframed\boolwahr
|
||
\begin{mdframed}[#2leftmargin=##2/2,rightmargin=##2/2,outermargin=##2/2,innermargin=##2/2,##1]
|
||
}
|
||
\expandafter\def\csname #1@args@l@r\endcsname[##1][##2][##3]{%
|
||
\let\boolinmdframed\boolwahr
|
||
\begin{mdframed}[#2leftmargin=##2,rightmargin=##3,outermargin=##2,innermargin=##3,##1]
|
||
}
|
||
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{%
|
||
\end{mdframed}
|
||
\let\boolinmdframed\boolfalsch
|
||
}
|
||
}
|
||
\schattiertebox@genbefehl{schattiertebox}{
|
||
splittopskip=0,%
|
||
splitbottomskip=0,%
|
||
frametitleaboveskip=0,%
|
||
frametitlebelowskip=0,%
|
||
skipabove=1\baselineskip,%
|
||
skipbelow=1\baselineskip,%
|
||
linewidth=2pt,%
|
||
linecolor=black,%
|
||
roundcorner=4pt,%
|
||
}{
|
||
backgroundcolor=leer,%
|
||
nobreak=true,%
|
||
}
|
||
|
||
\schattiertebox@genbefehl{schattierteboxdunn}{
|
||
splittopskip=0,%
|
||
splitbottomskip=0,%
|
||
frametitleaboveskip=0,%
|
||
frametitlebelowskip=0,%
|
||
skipabove=1\baselineskip,%
|
||
skipbelow=1\baselineskip,%
|
||
linewidth=1pt,%
|
||
linecolor=black,%
|
||
roundcorner=2pt,%
|
||
}{
|
||
backgroundcolor=leer,%
|
||
nobreak=true,%
|
||
}
|
||
|
||
\def\algorithm{\schattiertebox[backgroundcolor=hellgrau,nobreak=false]}
|
||
\def\endalgorithm{\endschattiertebox}
|
||
|
||
\def\tikzsetzenode#1{%
|
||
\tikz[remember picture,baseline,overlay]{\node #1;}%
|
||
}
|
||
\def\tikzsetzepfeil#1{%
|
||
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,>=latex]%
|
||
\draw #1;%
|
||
\end{tikzpicture}%
|
||
}
|
||
\def\tikzsetzeoverlay#1{%
|
||
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,>=latex]%
|
||
#1%
|
||
\end{tikzpicture}%
|
||
}
|
||
\def\tikzsetzekreise[#1]#2#3{%
|
||
\tikzsetzepfeil{%
|
||
[rounded corners,#1]%
|
||
([shift={(-\tabcolsep,0.75\baselineskip)}]#2)%
|
||
rectangle%
|
||
([shift={(\tabcolsep,-0.5\baselineskip)}]#3)
|
||
}%
|
||
}
|
||
|
||
\tikzset{
|
||
>=stealth,
|
||
auto,
|
||
thick,
|
||
main node/.style={
|
||
circle,draw,font=\sffamily\Large\bfseries,minimum size=0pt
|
||
},
|
||
}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: ../loesungen/src/setup-layout.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\pagestyle{fancyplain}
|
||
|
||
\@ifundefined{setcitestyle}{%
|
||
%% do nothing
|
||
}{%
|
||
\setcitestyle{numeric-comp,open={[},close={]}}
|
||
}
|
||
\def\crefpairconjunction{ und }
|
||
\def\crefmiddleconjunction{, }
|
||
\def\creflastconjunction{, und }
|
||
|
||
\raggedbottom %% <- pushes footers up
|
||
\sloppy
|
||
\def\headrulewidth{0pt}
|
||
\def\footrulewidth{0pt}
|
||
\setlength{\columnsep}{20pt}
|
||
\setlength{\columnseprule}{1pt}
|
||
\setlength{\headheight}{11pt}
|
||
\setlength{\partopsep}{0pt}
|
||
\setlength{\topsep}{\baselineskip}
|
||
\setlength{\topskip}{0.5\baselineskip}
|
||
\setlength{\footskip}{-1\baselineskip}
|
||
\setlength{\maxdepth}{0pt}
|
||
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
|
||
\renewcommand{\arraystretch}{1}
|
||
\setcounter{LTchunksize}{\infty}
|
||
\setlength{\abovedisplayskip}{0pt}
|
||
\setlength{\parskip}{1\baselineskip}
|
||
\def\firstparagraph{\noindent}
|
||
\def\continueparagraph{\noindent}
|
||
|
||
\hypersetup{
|
||
hidelinks=true,
|
||
}
|
||
|
||
\@addtoreset{chapter}{part} %% nötig für Hyperref.
|
||
|
||
\def\partfont{\documentfont\fontseries{bx}\Huge\selectfont}
|
||
\def\chapterfont{\documentfont\fontseries{bx}\huge\selectfont}
|
||
\def\sectionfont{\documentfont\fontseries{bx}\Large\selectfont}
|
||
\def\subsectionfont{\documentfont\fontseries{bx}\large\selectfont}
|
||
|
||
\def\thepart{\Roman{part}}
|
||
\generatenestedsecnumbering{arabic}{part}{chapter}
|
||
\generatenestedsecnumbering{arabic}{chapter}{section}
|
||
\generatenestedsecnumbering{arabic}{section}{subsection}
|
||
\generatenestedsecnumbering{arabic}{subsection}{subsubsection}
|
||
\def\theunitnamepart{\thepart}
|
||
\def\theunitnamechapter{\theshortchapter}
|
||
\def\theunitnamesection{\thelongsection}
|
||
\def\theunitnamesubsection{\thelongsubsection}
|
||
\def\theunitnamesubsubsection{\thelongsubsubsection}
|
||
|
||
\def\partname{Teil\erlaubeplatz}
|
||
\def\chaptername{Kapitel\erlaubeplatz}
|
||
\def\sectionname{\S\erlaubeplatz}
|
||
\def\subsectionname{}
|
||
\def\subsubsectionname{}
|
||
|
||
\let\appendix@orig\appendix
|
||
\def\appendix{%
|
||
\appendix@orig%
|
||
\let\boolinappendix\boolwahr
|
||
\addcontentsline{toc}{part}{\appendixname}%
|
||
\addtocontents{toc}{\protect\setcounter{tocdepth}{0}}
|
||
\def\sectionname{Appendix}%
|
||
\def\theunitnamesection{\Alph{section}}%
|
||
}
|
||
\def\notappendix{%
|
||
\let\boolinappendix\boolfalse
|
||
\addtocontents{toc}{\protect\setcounter{tocdepth}{1 }}
|
||
\def\sectionname{}%
|
||
\def\theunitnamesection{\arabic{section}}%
|
||
}
|
||
|
||
%% \titlespacing{<sectionclassname>}
|
||
%% {linker einzug}{platz oberhalb}{platz unterhalb}[rechter einzug]
|
||
|
||
\titlespacing{\section}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip}
|
||
\titlespacing{\subsection}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip}
|
||
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip}
|
||
\titlespacing{\paragraph}{0pt}{0pt}{1em}
|
||
|
||
\titleformat{\part}[display]
|
||
{\normalfont\headingfont\bfseries\Huge\centering}
|
||
{%
|
||
\ifthenelse{\equal{\partname}{}}{%
|
||
\theunitnamepart%
|
||
}{%
|
||
\MakeUppercase{\partname}~\theunitnamepart%
|
||
}%
|
||
}{0pt}{%
|
||
}[\thispagestyle{empty}]
|
||
\titleformat{\chapter}[frame]
|
||
{\normalfont\headingfont\bfseries\Large}
|
||
{%
|
||
\bedingtesspaceexpand{chaptername}{~}{\theunitnamechapter}%
|
||
}{0.5em}{%
|
||
}[\thispagestyle{empty}]%\titlerule%[2pt]%
|
||
\titleformat{\section}[hang]
|
||
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large}
|
||
{%
|
||
\bedingtesspaceexpand{sectionname}{~}{\theunitnamesection}%
|
||
}{0.5em}
|
||
{%
|
||
}
|
||
[%
|
||
\nvraum{0.25}%
|
||
]
|
||
\titleformat{\subsection}[hang]
|
||
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large}
|
||
{%
|
||
\bedingtesspaceexpand{subsectionname}{~}{\theunitnamesubsection}%
|
||
}{0.5em}
|
||
{%
|
||
}
|
||
[%
|
||
\nvraum{0.25}%
|
||
]
|
||
\titleformat{\subsubsection}[hang]
|
||
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large}
|
||
{%
|
||
\bedingtesspaceexpand{subsubsectionname}{~}{\theunitnamesubsubsection}%
|
||
}{0.5em}
|
||
{%
|
||
}
|
||
[%
|
||
\nvraum{0.25}%
|
||
]
|
||
|
||
\def\rafootnotectr{20}
|
||
\def\incrftnotectr#1{%
|
||
\addtocounter{#1}{1}%
|
||
\ifnum\value{#1}>\rafootnotectr\relax
|
||
\setcounter{#1}{0}%
|
||
\fi%
|
||
}
|
||
\def\footnoteref[#1]{\protected@xdef\@thefnmark{\ref{#1}}\@footnotemark}
|
||
\let\altfootnotetext\footnotetext
|
||
\def\footnotetext[#1]#2{\incrftnotectr{footnote}\altfootnotetext[\value{footnote}]{\label{#1}#2}}
|
||
\let\altfootnotemark\footnotemark
|
||
%% Undesirable solution, as the text is not hyperlinked.
|
||
\def\footnotemark[#1]{\text{\textsuperscript{\getrefnumber{#1}}}}
|
||
|
||
\DefineFNsymbols*{custom}{abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}
|
||
\setfnsymbol{custom}
|
||
\def\footnotelayout{\documentfont\scriptsize}
|
||
\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}
|
||
|
||
\def\kopfzeileleer{
|
||
\lhead[]{}
|
||
\chead[]{}
|
||
\rhead[]{}
|
||
\lfoot[]{}
|
||
\cfoot[]{}
|
||
\rfoot[]{}
|
||
}
|
||
\def\kopfzeiledefault{
|
||
\lhead[]{}
|
||
\lhead[]{}
|
||
\chead[]{}
|
||
\rhead[]{}
|
||
\lfoot[]{}
|
||
\cfoot{\footnotesize\thepage}
|
||
\rfoot[]{}
|
||
}
|
||
|
||
\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{pcr}\selectfont}
|
||
\def\headingfont{\fontfamily{cmss}\selectfont}
|
||
\def\documentfancyfont{%
|
||
\gdef\headingfont{\crfamily}%
|
||
\fontfamily{ccr}\fontseries{m}\selectfont%
|
||
}
|
||
\def\documentfont{%
|
||
\gdef\headingfont{\fontfamily{cmss}\selectfont}%
|
||
\fontfamily{cmss}\fontseries{m}\selectfont%
|
||
\renewcommand{\sfdefault}{phv}%
|
||
\renewcommand{\ttdefault}{pcr}%
|
||
\renewcommand{\rmdefault}{cmr}% <— funktionieren nicht mit {ptm}
|
||
\renewcommand{\bfdefault}{bx}%
|
||
\renewcommand{\itdefault}{it}%
|
||
\renewcommand{\sldefault}{sl}%
|
||
\renewcommand{\scdefault}{sc}%
|
||
\renewcommand{\updefault}{n}%
|
||
}
|
||
|
||
\allowdisplaybreaks
|
||
\let\altcleardoublepage\cleardoublepage
|
||
\let\cleardoublepage\clearpage
|
||
|
||
\def\startdocumentlayoutoptions{
|
||
\selectlanguage{ngerman}
|
||
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}
|
||
\setlength{\parindent}{0pt}
|
||
\kopfzeiledefault
|
||
\documentfont
|
||
\normalsize
|
||
}
|
||
|
||
\def\highlightTerm#1{\emph{#1}}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: ../loesungen/src/setup-localmacros.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% MATHE:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\cal#1{\mathcal{#1}}
|
||
\def\reell{\mathbb{R}}
|
||
\def\kmplx{\mathbb{C}}
|
||
\def\Torus{\mathbb{T}}
|
||
\def\rtnl{\mathbb{Q}}
|
||
\def\intgr{\mathbb{Z}}
|
||
|
||
\def\ntrl{\mathbb{N}}
|
||
\def\ntrlpos{\mathbb{N}}
|
||
\def\ntrlzero{\mathbb{N}_{0}}
|
||
\def\reellNonNeg{\reell_{+}}
|
||
|
||
\def\imageinh{\imath}
|
||
\def\ReTeil{\mathop{\mathfrak{R}\text{\upshape e}}}
|
||
\def\ImTeil{\mathop{\mathfrak{I}\text{\upshape m}}}
|
||
|
||
\def\leer{\emptyset}
|
||
\def\restr#1{\vert_{#1}}
|
||
\def\ohne{\mathbin{\setminus}}
|
||
\def\Pot{\mathop{\mathcal{P}}}
|
||
\def\einser{\mathbf{1}}
|
||
\def\supp{\mathop{\mathrm{supp}}}
|
||
|
||
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle}
|
||
\def\lsim{\mathop{\sim}}
|
||
\def\lneg{\mathop{\neg}}
|
||
\def\land{\mathop{\wedge}}
|
||
\def\lor{\mathop{\vee}}
|
||
|
||
\def\eps{\varepsilon}
|
||
\let\altphi\phi
|
||
\let\altvarphi\varphi
|
||
\def\phi{\altvarphi}
|
||
\def\varphi{\altphi}
|
||
|
||
\def\vectorspacespan{\mathop{\text{\upshape Lin}}}
|
||
\def\dim{\mathop{\text{\upshape dim}}}
|
||
\def\rank{\mathop{\text{\upshape Rang}}}
|
||
\def\onematrix{\text{\upshape\bfseries I}}
|
||
\def\zeromatrix{\text{\upshape\bfseries 0}}
|
||
\def\zerovector{\text{\upshape\bfseries 0}}
|
||
|
||
\def\graph{\mathop{\text{\upshape Gph}}}
|
||
\def\domain{\mathop{\text{\upshape dom}}}
|
||
\def\range{\mathop{\text{\upshape Bild}}}
|
||
\def\ker{\mathop{\text{\upshape Kern}}}
|
||
\def\functionspace{\mathop{\text{\upshape Abb}}}
|
||
\def\id{\text{\upshape id}}
|
||
\def\modfn{\mathop{\text{\upshape mod}}}
|
||
\def\divides{\mathbin{\mid}}
|
||
\def\ndivides{\mathbin{\nmid}}
|
||
\def\ggT{\mathop{\text{\upshape ggT}}}
|
||
\def\choose#1#2{\begin{smatrix}#1\\#2\\\end{smatrix}}
|
||
|
||
\makeatother
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
\startdocumentlayoutoptions
|
||
|
||
%% FRONTMATTER:
|
||
\thispagestyle{plain}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: front/index.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: front/title.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\begin{titlepage}
|
||
\null
|
||
|
||
\vraum
|
||
|
||
\noindent\rule{\linewidth}{2pt}
|
||
|
||
{\hraum\LARGE Lineare Algebra I\hraum}\\
|
||
{\hraum\LARGE $\oast$\,\rule[0.175\baselineskip]{0.65\linewidth}{1pt}\,$\oast$ \hraum}\\
|
||
{\hraum\Large Zusatzaufgaben aus der Übungsgruppe\hraum}
|
||
|
||
\noindent\rule{\linewidth}{2pt}
|
||
|
||
\vraum
|
||
|
||
\noindent
|
||
\hraum{\footnotesize Raj Dahya}\hraum\\
|
||
\hraum{\small \itshape Fakultät für Mathematik und Informatik}\hraum\\
|
||
\hraum{\small \itshape Universität Leipzig.}\hraum\\
|
||
\hraum{\small Wintersemester 2020/2021 }\hraum
|
||
\end{titlepage}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: front/foreword.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\chapter*{Vorwort}
|
||
|
||
Dieses Dokument enthält zusätzliche Aufgaben und Themen,
|
||
die in den Übungsgruppen erörtert wurden.
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: front/contents.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\kopfzeiledefault
|
||
\footnotesize
|
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\setcounter{tocdepth}{1}
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\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis}
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\tableofcontents
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%% HAUPTTEXT:
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: body/index.tex
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%% ********************************************************************************
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\def\chaptername{}
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: body/linear-extensions.tex
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%% ********************************************************************************
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\chapter[Lineare Ausdehnung]{Lineare Ausdehnung}
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\label{ch:lin-ext}
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In der Übungsgruppe in Woche 12 (am 3.2.2021) diskutierten wir
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verzwickte Situationen und Fragentypen, die zum Thema linearer Ausdehnung vorkommen können.
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Wir hatten das größtenteils theoretisch ausgelegt.
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Hier wollen wir ein paar Aufgaben komplett durchrechnen.
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\textbf{Beachte!} Hier geht es niemals darum,
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eine lineare Ausdehnung \emph{exmplizit darzustellen},
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sondern vielmehr
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(1) \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} als zentrales Resultat anzuwenden,
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(2) eine Basis aus den Inputvektoren zu generieren
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(ggf. durch Entfernung von „linear abhängigen“ Vektoren, ggf. durch Basiserweiterung, ggf. durch beides!)
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(3) die Input und Outputvektoren in der partielldefinierten Funktion
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zu untersuchen, und \uline{rein aufgrund dessen} ein Urteil zu treffen,
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ob
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(3a) eine lineare Ausdehnung überhaupt möglich ist,
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(3b) eine injektive/nicht injektive lineare Ausdehnung möglich ist,
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(3c) eine surjektive/nicht surjektive lineare Ausdehnung möglich ist,
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(3d) eine Isomorphismus (=Bijektion)/nicht-Isomorphismus als lineare Ausdehnung möglich ist.
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Nun, im Falle von Funktionen ${\phi:U\to V}$, wobei $U,V$ Vektorräume mit $\dim(U)=\dim(V)$,
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sind wegen \cite[Korollar~6.1.11]{sinn2020} die Nebenfragen (3a)–(3c) alle äquivalent.
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Im Falle $\dim(U)\neq\dim(V)$ machen wir von folgender Beobachtung Gebrauch:
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\begin{obs*}
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Seien $U$, $V$ (endlich dimensionale) Vektorräume über einem Körper $K$
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und sei ${\phi:U\to V}$ linear.
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Da $\range(\phi)\subseteq V$ gilt offensichtlich $\dim(\range(\phi))\leq\dim(V)$.
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Und wenn wir eine Basis ${\{u_{1},u_{2}\ldots,u_{n}\}\subseteq U}$
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für $U$ fixieren, mit $n=\dim(U)$,
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so gilt wegen Linearität
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${\range(\phi)=\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\ldots,\phi(u_{n})\}}$.
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||
Das heißt, $\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\ldots,\phi(u_{n})\}$
|
||
ist ein Erzeugendensystem für $\range(\phi)$.
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||
Folglich gilt $\dim(\range(\phi))\leq n=\dim(U)$.
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||
Da per Definition $\rank(\phi)=\dim(\range(\phi))$,
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haben wir gezeigt,
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dass
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${\rank(\phi)\leq\dim(V)}$
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und ${\rank(\phi)\leq\dim(U)}$
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\uline{stets gelten}.
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Kürzer formuliert:
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\eqtag[eq:lin-abb-leq:ch:lin-ext]
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||
\rank(\phi) &\leq &\min\{\dim(U),\dim(V)\}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
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||
gilt immer für alle lineare Abbildungen ${\phi:U\to V}$
|
||
und alle Vektorräume $U, V$.
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||
\end{obs*}
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||
Aus dieser Beobachtung können wir über (3b–3d) folgende Urteile generell treffen, wenn $\dim(U)\neq\dim(V)$:
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||
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\begin{kompaktitem}
|
||
\item
|
||
Falls $\dim(U)>\dim(V)$ kann es bei offensichtlich höchstens nicht-injektive lineare Ausdehnungen geben,
|
||
weil für ${\phi:U\to V}$ linear gilt $\rank(\phi)\leq\dim(V)<\dim(U)$,
|
||
sodass laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} $\phi$ niemals injektiv sein kann.
|
||
\item[]
|
||
Darum lautet die Antwort zu (3b/3d) \emph{Gibt es injektive/bijektive...?} immer nein.
|
||
Die Fragen (3b/3d) \emph{Gibt es nicht-injektive/nicht-bijektive...?} sind dann äquivalent zu (3a).
|
||
\item
|
||
Falls $\dim(U)<\dim(V)$ kann es bei (3c) offensichtlich höchstens nicht-surjektive lineare Ausdehnungen geben,
|
||
weil für ${\phi:U\to V}$ linear gilt $\rank(\phi)\leq\dim(U)<\dim(V)$,
|
||
sodass laut \cite[Korollar~6.3.15(2)]{sinn2020} $\phi$ niemals surjektiv sein kann.
|
||
\item[]
|
||
Darum lautet die Antwort zu (3c/3d) \emph{Gibt es surjektive/bijektive...?} immer nein.
|
||
Die Fragen (3b/3d) \emph{Gibt es nicht-surjektive/nicht-bijektive...?} sind dann äquivalent zu (3a).
|
||
\end{kompaktitem}
|
||
|
||
Daher können wir die Fragentypen in den Aufgaben immer teilweise sofort beantworten
|
||
und zum Teil vereinfachen,
|
||
je nachdem, ob $\dim(U)=\dim(V)$, oder $\dim(U)<\dim(V)$, oder $\dim(U)>\dim(V)$
|
||
gelten.
|
||
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||
%% AUFGABE 1
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||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
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||
\section[Aufgabe 1]{}
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||
\label{sec:1}
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||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{4}$ und $V:=\reell^{2}$.
|
||
Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
|
||
gegeben durch
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector},\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
v_{1} = \begin{svector} 5\\ 8\\\end{svector},
|
||
&v_{2} = \begin{svector} -9\\ 11\\\end{svector},
|
||
&v_{3} = \begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{1})=v_{1}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{2})=v_{2}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{3})=v_{3}$
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
\uline{alle} erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig sind\footnote{
|
||
ich lasse hier die Beweise weg,
|
||
aber man sollte die zeigen,
|
||
z.\,B. durch das Gaußverfahren.
|
||
}
|
||
und dass $u_{3}\in\vectorspacespan\{u_{1},_{2}\}$,
|
||
da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$.
|
||
Wir beachten auch, dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
10v_{2}-10v_{1} &= &\begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector} &= &v_{3}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gilt.
|
||
Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i) + ii)} reduzieren:
|
||
existiert eine lineare Abbildung, die {i) + ii)} erfüllt,
|
||
dann wird wegen Linearität Bedingung iii) automatisch mit erfüllt.
|
||
Existiert keine lineare Abbildung, die {i) + ii)} erfüllt,
|
||
dann existiert natürlich auch keine, die i)--iii) erfüllt.
|
||
|
||
Wir \uline{erweitern} nun die lineare unabhängige Menge
|
||
$\{u_{1},u_{2}\}$
|
||
zu einer Basis
|
||
$\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$
|
||
von $U$.
|
||
Wähle außerdem beliebige Vektoren, $v'_{3},v'_{4}\in V$.
|
||
Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis von $U$
|
||
ist und $v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\in V$,
|
||
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
|
||
eine lineare Ausdehnung,
|
||
${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
\phi(u_{1})=v_{1},
|
||
&\phi(u_{2})=v_{2},
|
||
&\phi(u'_{3})=v'_{3},
|
||
&\phi(u'_{4})=v'_{4},
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt.
|
||
Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«!
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}
|
||
\item[] b) injektive
|
||
\item[] b') nicht-injektive
|
||
\item[] c) surjektive
|
||
\item[] c') nicht-surjektive
|
||
\item[] d) bijektive\footnote{
|
||
also einen »Isomorphismus«
|
||
}
|
||
\item[] d') nicht-bijektive
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass i)--iii) erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Da $\dim(U)>\dim(V)$,
|
||
kann es generell keine injektiven linearen Abbildungen
|
||
von $U$ nach $V$ geben.
|
||
Also lauten die Antworten auf b), d) »Nein«,
|
||
und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert,
|
||
lautet die Antwort auf b') und d') »Ja«.
|
||
|
||
Es bleiben nur noch c) und c') zu bestimmen.
|
||
Sei ${\phi:U\to V}$ eine lineare Ausdehnung von i)--iii).
|
||
Dann wegen Bedingungen {i) + ii)} und Linearität gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||
\range(\phi)
|
||
&\supseteq
|
||
&\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\}
|
||
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2}\}
|
||
&= &V.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Die letzte Gleichung gilt, weil $\{v_{1},v_{2}\}$
|
||
linear unabhängig ist\footnote{
|
||
ich lasse wieder den Beweis weg,
|
||
aber man sollte das machen
|
||
},
|
||
und somit eine Basis von dem $2$-dimensionalen Raum, $V$, ist.
|
||
Darum ist $\range(\phi)$ surjektiv.
|
||
Da $\phi$ beliebig war haben wir tatsächlich gezeigt,
|
||
dass alle lineare Ausdehnungen von i)--iii) surjektiv sind.
|
||
Darum lautet die Antwort auf c) »Ja« und auf c') »Nein«.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
%% AUFGABE 2
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 2]{}
|
||
\label{sec:2}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{4}$ und $V:=\reell^{2}$.
|
||
Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
|
||
gegeben durch
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector},
|
||
&u_{4} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 2\\ 2\\\end{svector},\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
v_{1} = \begin{svector} 5\\ 8\\\end{svector},
|
||
&v_{2} = \begin{svector} 25\\ 40\\\end{svector},
|
||
&v_{3} = \begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector},
|
||
&v_{4} = \begin{svector} 30\\ 48\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{2}
|
||
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{1})=v_{1}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{2})=v_{2}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{3})=v_{3}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{4})=v_{4}$
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
\uline{alle} erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig sind
|
||
und dass $u_{3},u_{4}\in\vectorspacespan\{u_{1},_{2}\}$,
|
||
da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$ und ${u_{4}=u_{1}+u_{2}}$.
|
||
Wir beachten auch, dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
10v_{2}-10v_{1} &= &\begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector} &= &v_{3},\\
|
||
v_{1}+v_{2} &= &\begin{svector} 30\\ 48\\\end{svector} &= &v_{4}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gelten.
|
||
Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i) + ii)} reduzieren,
|
||
weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {iii) + iv)}
|
||
für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt werden.
|
||
|
||
Wir \uline{erweitern} nun die lineare unabhängige Menge $\{u_{1},u_{2}\}$
|
||
zu einer Basis
|
||
$\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$
|
||
von $U$.
|
||
Wähle außerdem beliebige Vektoren, $v'_{3},v'_{4}\in V$.
|
||
Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis von $U$
|
||
ist und $v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\in V$,
|
||
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
|
||
eine lineare Ausdehnung,
|
||
${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cccc}
|
||
\phi(u_{1})=v_{1},
|
||
&\phi(u_{2})=v_{2},
|
||
&\phi(u'_{3})=v'_{3},
|
||
&\phi(u'_{4})=v'_{4},
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt.
|
||
Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«!
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}
|
||
\item[] b) injektive
|
||
\item[] b') nicht-injektive
|
||
\item[] c) surjektive
|
||
\item[] c') nicht-surjektive
|
||
\item[] d) bijektive
|
||
\item[] d') nicht-bijektive
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass i)--iv) erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Da $\dim(U)>\dim(V)$,
|
||
kann es generell keine injektiven linearen Abbildungen
|
||
von $U$ nach $V$ geben.
|
||
Also lauten die Antworten auf b), d) »Nein«,
|
||
und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert,
|
||
lautet die Antwort auf b') und d') »Ja«.
|
||
|
||
Es bleiben nur noch c) und c') zu bestimmen.
|
||
Beachte, dass in der Konstruktion von $\phi$ im o.\,s. Beweis
|
||
wir $v'_{3},v'_{4}$ beliebig auswählen konnten.
|
||
|
||
Zu c) wähle $v'_{3}:=\begin{svector} 1\\ 0\\\end{svector}$
|
||
und $v'_{4}:=\zerovector$
|
||
und sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung
|
||
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion.
|
||
Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis für $U$ ist,
|
||
gilt wegen Linearität von $\phi_{1}$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\range(\phi_{1})
|
||
&= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\})\\
|
||
&= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2}),\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}\\
|
||
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
und damit eine Basis des 2-dimensionalen Vektorraums, $V$.
|
||
Darum gilt
|
||
$%
|
||
\rank(\phi_{1})
|
||
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{1}))
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\})
|
||
\geq\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{3}\})
|
||
=2
|
||
$,
|
||
da \uline{per Wahl} $\{v_{1},v'_{3}\}$ linear unabhängig ist.
|
||
Also, $\rank(\phi_{1})\geq 2=\dim(V)$.
|
||
Folglich ist $\phi_{1}$
|
||
laut \cite[Korollar~6.3.15(2)]{sinn2020}
|
||
surjektiv.
|
||
Die Antwort auf c) lautet also »Ja«.
|
||
|
||
Zu c') wähle $v'_{3},v'_{4}:=\zerovector$
|
||
und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung
|
||
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion.
|
||
Wie oben gilt
|
||
$%
|
||
\rank(\phi_{2})
|
||
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{2}))
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\})
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1}\})
|
||
\leq 1
|
||
$,
|
||
da \uline{per Wahl} $v_{2},v_{3},v_{4}\in\vectorspacespan(\{v_{1}\})$
|
||
und $v_{1}\neq\zerovector$.
|
||
Also, $\rank(\phi_{2})<2=\dim(V)$.
|
||
Folglich ist $\phi_{2}$
|
||
laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020}
|
||
nicht-surjektiv.
|
||
Die Antwort auf c') lautet also »Ja«.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
%% AUFGABE 3
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 3]{}
|
||
\label{sec:3}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$.
|
||
Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
|
||
gegeben durch
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{2} = \begin{svector} 0\\ 2\\\end{svector},
|
||
&u_{3} = \begin{svector} 1\\ 3\\\end{svector}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
v_{1} = \begin{svector} -9\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector},
|
||
&v_{2} = \begin{svector} 4\\ 0\\ 0\\ 2\\\end{svector},
|
||
&v_{3} = \begin{svector} 5\\ 1\\ 0\\ 3\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{1})=v_{1}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{2})=v_{2}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{3})=v_{3}$
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
\uline{alle} erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Beachte, dass $u_{3}=u_{1}+u_{2}$, aber
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
v_{1}+v_{2}
|
||
&= &\begin{svector} -5\\ 0\\ 0\\ 3\\\end{svector}
|
||
&\neq &v_{3}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Angenommen, es gebe eine lineare Ausdehnung ${\phi:U\to V}$,
|
||
die i)--iii) erfüllt.
|
||
Dann muss
|
||
$v_{3}=\phi(u_{3})=\phi(u_{1}+u_{2})=\phi(u_{1})+\phi(u_{2})=v_{1}+v_{2}$
|
||
gelten. Laut der o.\,s. Gleichung kann dies aber nicht gelten.
|
||
Darum lautet die Antwort »Nein«.
|
||
Es gibt keine lineare Ausdehnung.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
%% AUFGABE 4
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 4]{}
|
||
\label{sec:4}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$.
|
||
Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
|
||
gegeben durch
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{2} = \begin{svector} 2\\ 3\\\end{svector},
|
||
&u_{3} = \begin{svector} 0\\ 1\\\end{svector}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
v_{1} = \begin{svector} 8\\ 0\\ 0\\ 4\\\end{svector},
|
||
&v_{2} = \begin{svector} 16\\ 0\\ 0\\ 9\\\end{svector},
|
||
&v_{3} = \begin{svector} 2\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{1})=v_{1}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{2})=v_{2}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{3})=v_{3}$
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
\uline{alle} erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{3}\}$ linear unabhängig ist
|
||
und dass $u_{2}\in\vectorspacespan\{u_{1}\}$,
|
||
da ${u_{2}=2u_{1}+u_{3}}$.
|
||
Wir beachten auch, dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
2v_{1}+u_{3} &= &\begin{svector} 18\\ 0\\ 0\\ 9\\\end{svector} &= &v_{2}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gilt.
|
||
Darum können wir die Frage auf Bedingung {i) + iii)} reduzieren,
|
||
weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {ii)}
|
||
für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt wird.
|
||
|
||
Wegen linearer Unabhängigkeit ist $\{u_{1},u_{3}\}$
|
||
bereits eine Basis des $2$-dimensionalen Raums, $U$.
|
||
Deswegen brauchen wir in dieser Aufgabe keine Erweiterung zu machen.
|
||
Da $\{u_{1},u_{3}\}$ eine Basis für $U$
|
||
und $\{v_{1},v_{3}\}\subseteq V$,
|
||
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
|
||
eine lineare Abbildung,
|
||
${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cc}
|
||
\phi(u_{1})=v_{1}, &\phi(u_{3})=v_{3},
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gelten. Insbesondere sind Bedingung {i) + iii)} erfüllt.
|
||
Also lautet wie oben argumentiert,
|
||
die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«!
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}
|
||
\item[] b) injektive
|
||
\item[] b') nicht-injektive
|
||
\item[] c) surjektive
|
||
\item[] c') nicht-surjektive
|
||
\item[] d) bijektive
|
||
\item[] d') nicht-bijektive
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass i)--iii) erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Da $\dim(U)<\dim(V)$,
|
||
kann es generell keine surjektive linearen Abbildungen
|
||
von $U$ nach $V$ geben.
|
||
Also lauten die Antworten auf c), d) »Nein«,
|
||
und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert,
|
||
lautet die Antwort auf c') und d') »Ja«.
|
||
|
||
Es bleiben nur noch b) und b') zu bestimmen.
|
||
Sei $\phi$ eine lineare Ausdehnung, die i)---iii) erfüllt.
|
||
Dann wegen Linearität von $\phi_{1}$
|
||
und da $\{u_{1},u_{3}\}$ eine Basis von $U$ ist,
|
||
gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||
\range(\phi_{1})
|
||
&= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u_{3}\})
|
||
&= &\vectorspacespan\{\phi_{1}(u_{1}),\phi_{1}(u_{3})\}
|
||
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{3}\}
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
und damit
|
||
$%
|
||
\rank(\phi)
|
||
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi))
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{3}\})
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{3}\})
|
||
=1
|
||
$,
|
||
da $v_{1}\in\vectorspacespan\{v_{3}\}$
|
||
und $v_{3}\neq\zerovector$.
|
||
Also, $\rank(\phi)<2=\dim(U)$.
|
||
Folglich ist $\phi$
|
||
laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020}
|
||
nicht injektiv.
|
||
Da hier $\phi$ beliebig gewählt wurde,
|
||
sind alle linearen Ausdehnungen von i)--iii)
|
||
immer nicht-injektiv.
|
||
Darum lautet die Antwort auf b) »Nein«
|
||
und auf b') »Ja«.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
%% AUFGABE 5
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 5]{}
|
||
\label{sec:5}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$.
|
||
Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
|
||
gegeben durch
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector},
|
||
&u_{2} = \begin{svector} 2\\ 2\\\end{svector},
|
||
&u_{3} = \begin{svector} 3\\ 3\\\end{svector}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ccc}
|
||
v_{1} = \begin{svector} 8\\ 0\\ 0\\ 4\\\end{svector},
|
||
&v_{2} = \begin{svector} 16\\ 0\\ 0\\ 8\\\end{svector},
|
||
&v_{3} = \begin{svector} 24\\ 0\\ 0\\ 12\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{1})=v_{1}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{2})=v_{2}$
|
||
\item
|
||
$\phi(u_{3})=v_{3}$
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
\uline{alle} erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1}\}$ linear unabhängig ist
|
||
und dass $u_{2},u_{3}\in\vectorspacespan\{u_{1}\}$,
|
||
da $u_{2}=2u_{1}$ und $u_{3}=3u_{1}$.
|
||
Wir beachten auch, dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
2v_{1} &= &\begin{svector} 16\\ 0\\ 0\\ 8\\\end{svector} &= &v_{2},\\
|
||
3v_{1} &= &\begin{svector} 24\\ 0\\ 0\\ 12\\\end{svector} &= &v_{3}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gelten.
|
||
Darum können wir die Frage auf Bedingung {i)} reduzieren,
|
||
weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {ii) + iii)}
|
||
für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt werden.
|
||
|
||
Erweitere $\{u_{1}\}$ zu einer Basis $\{u_{1},u'_{2}\}$
|
||
des $2$-dimensionalen Raums, $U$,
|
||
und wähle einen Vektor $v'_{2}\in V$.
|
||
Da $\{u_{1},u'_{2}\}$ eine Basis für $U$
|
||
und $\{v_{1},v'_{2}\}\subseteq V$,
|
||
existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
|
||
eine lineare Abbildung,
|
||
${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{cc}
|
||
\phi(u_{1})=v_{1}, &\phi(u'_{2})=v'_{2},
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gelten. Insbesondere sind Bedingung {i)} erfüllt.
|
||
Also lautet wie oben argumentiert,
|
||
die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«!
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
\begin{qstn}
|
||
Gibt es eine
|
||
|
||
\setcounter{columnanzahl}{3}
|
||
\begin{multikompaktenum}
|
||
\item[] b) injektive
|
||
\item[] b') nicht-injektive
|
||
\item[] c) surjektive
|
||
\item[] c') nicht-surjektive
|
||
\item[] d) bijektive
|
||
\item[] d') nicht-bijektive
|
||
\end{multikompaktenum}
|
||
|
||
lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
|
||
so dass i)--iii) erfüllt sind?
|
||
\end{qstn}
|
||
|
||
\begin{soln*}
|
||
Da $\dim(U)<\dim(V)$,
|
||
kann es generell keine surjektive linearen Abbildungen
|
||
von $U$ nach $V$ geben.
|
||
Also lauten die Antworten auf c), d) »Nein«,
|
||
und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert,
|
||
lautet die Antwort auf c') und d') »Ja«.
|
||
|
||
Es bleiben nur noch b) und b') zu bestimmen.
|
||
Beachte, dass in der Konstruktion von $\phi$ im o.\,s. Beweis
|
||
wir $v'_{2}$ beliebig auswählen konnten.
|
||
|
||
Zu b) wähle $v'_{2}:=\begin{svector} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}$
|
||
und sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung
|
||
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion.
|
||
Per Wahl ist $\{v_{1},v'_{2}\}$ linear unabhängig.
|
||
Da $\{u_{1},u'_{2}\}$ eine Basis für $U$ ist,
|
||
gilt wegen Linearität von $\phi_{1}$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||
\range(\phi_{1})
|
||
&= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u'_{2}\})
|
||
&= &\vectorspacespan\{\phi_{1}(u_{1}),\phi_{1}(u'_{2})\}
|
||
&= &\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\}
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
und damit
|
||
$%
|
||
\rank(\phi_{1})
|
||
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{1}))
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\})
|
||
=2
|
||
$,
|
||
da \uline{per Wahl} $\{v_{1},v'_{2}\}$ linear unabhängig ist.
|
||
Also, $\rank(\phi_{1})\geq 2=\dim(U)$.
|
||
Folglich ist $\phi_{1}$
|
||
laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020}
|
||
injektiv.
|
||
Die Antwort auf b) lautet also »Ja«.
|
||
|
||
Zu b') wähle $v'_{2}:=\zerovector$
|
||
und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung
|
||
im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion.
|
||
Wie oben gilt
|
||
$%
|
||
\rank(\phi_{2})
|
||
\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{2}))
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\})
|
||
=\dim(\vectorspacespan\{v_{1}\})
|
||
=1
|
||
$,
|
||
da \uline{per Wahl} $v'_{2}\in\vectorspacespan(\{v_{1}\})$
|
||
und $v_{1}\neq\zerovector$.
|
||
Also, $\rank(\phi_{2})<2=\dim(U)$.
|
||
Folglich ist $\phi_{2}$
|
||
laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020}
|
||
nicht-injektiv.
|
||
Die Antwort auf b') lautet also »Ja«.
|
||
\end{soln*}
|
||
|
||
%% AUFGABE 6
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 6]{}
|
||
\label{sec:6}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
{\itshape
|
||
Unter Arbeit. \textbf{TODO}: Beispiel mit $\dim(U)=\dim(V)$ und mit Antwort »Ja« auf inj + »Ja« auf nicht-inj.
|
||
}
|
||
|
||
%% AUFGABE 7
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 7]{}
|
||
\label{sec:7}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
{\itshape
|
||
Unter Arbeit. \textbf{TODO}: Beispiel mit $\dim(U)=\dim(V)$ und mit Antwort »Ja« auf inj + »Nein« auf nicht-inj.
|
||
}
|
||
|
||
%% AUFGABE 8
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 8]{}
|
||
\label{sec:8}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
{\itshape
|
||
Unter Arbeit. \textbf{TODO}: Beispiel mit $\dim(U)=\dim(V)$ und mit Antwort »Nein« auf inj + »Ja« auf nicht-inj.
|
||
}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: back/index.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\bibliographystyle{alpha}
|
||
\def\bibname{Literaturverzeichnis}
|
||
\nocite{*}
|
||
|
||
\bgroup
|
||
\footnotesize
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: ./../loesungen/back/quelle.bib
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\begin{thebibliography}{Wal16}
|
||
|
||
\bibitem[Jec97]{jech1997}
|
||
Thomas Jech.
|
||
\newblock {\em {Set Theory}}.
|
||
\newblock Springer-Verlag, 1997.
|
||
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||
\bibitem[Sin20]{sinn2020}
|
||
Rainer Sinn.
|
||
\newblock {Lineare Algebra I: Skript zur Veranstaltung Universit\"at Leipzig}.
|
||
\newblock Vorlesungsskript, 2020.
|
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|
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\bibitem[Wal16]{waldmann2016}
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||
Stefan Waldmann.
|
||
\newblock {\em {Lineare Algebra 1: Die Grundlagen f\"ur Studierende der
|
||
Mathematik und Physik}}.
|
||
\newblock Springer Berlin Heidelberg, 2016.
|
||
|
||
\end{thebibliography}
|
||
\egroup
|
||
|
||
\end{document}
|