diff --git a/protocol/woche3.md b/protocol/woche3.md new file mode 100644 index 0000000..7d5d7d9 --- /dev/null +++ b/protocol/woche3.md @@ -0,0 +1,132 @@ +# Vorlesungswoche 3 (26. April – 2. Mai) # + +- [x] Organisatorisches (max. 5 min) + - Erinnerung über Abgabe: Matrikelnr., 1 PDF. +- [x] Serie 1, Seminaraufgaben + - [x] SA 1.1: 5 Min + - Typen von Ausdrücken + - [x] SA 1.2: 10 Min + - **§3 Defn** aus VL2 (rekursiver Aufbau) + - Teilformeln + - Kurzhand-Konventionen (‘abuse of notation’) ... aber für _dieses Blatt_ noch nicht!! + - Endlichkeit + - Atome: inhaltsleer, aber Schnittstelle, um komplexe Zusammenhänge zu kodieren. + - [x] SA 1.3: 10 Min + - Interpretation + - Bedeutung?? + - Konzept: Interpretation vs. Strukturen („Modelle“) + - Interpretation als Menge od. Fkt (Belegung) + - Interpretation vs. eval (erzeugt) + - funktionale Semantik als primäre Definition (VL2, Folie 43) + ... Wahrheitstabelle _nur_ als Rechenverfahren + - Rechentricks in Wahrheitstabellen + - ¬: kehre alle Werte um. + - [Spalte 1] ∨ [Spalte 2]: alles 1, außer Zeilen wo beide Spalten 0 + - [Spalte 1] ∨ [Spalte 2]: alles 0, außer Zeilen wo beide Spalten 1 + - [Spalte 1] ⟶ [Spalte 2]: alles 1, außer Zeilen wo [Spalte 1]=1 und [Spalte 1]=2 + - [Spalte 1] ⟷ [Spalte 2]: 1, wo Spalte1 = Spalte 2, sonst 0 + - **Lösung:** + ``` + | A₁ A₂ A₃ | ¬A₂ | A₃ ⟶ ¬A₂ | A₁ ∨ (A₃ ⟶ ¬A₂) | F | + | :------- | :--- | :--------- | :--------------- | :-- | + | 0 0 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | + | 0 0 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | + | 0 1 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | + | 0 1 1 | 0 | *0 | *0 | 1 | <--- + | 1 0 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | + | 1 0 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | + | 1 1 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | + | 1 1 1 | 0 | *0 | 1 | 0 | + ``` + **Beachte:** In den Spalten mit \* musste man nur diese Zeilen mit Fällen + (1 ⟶ 0) bzw. (0 ∨ 0) aussuchen und auf 0 setzen, + für alle anderen Zeilen wird auf 1 gesetzt. + + - [-] SA 1.4: 10 Min + - Entscheidungsverfahren anhand Wahrheitstabellen, ob (vgl. **§10 Defn**) + - F tautologisch ? + - F erfüllbar, und I |= F ? + - Frage: Heißt erfüllbar, dass es **genau 1** Interp. gibt?? + - |= sem. Folgerungsbeziehung / sem. entailment (-> Modelle) + - |- synt. Folgerungsbeziehung / synt. entailment (-> Kalkül) + - F widerlegbar + - F nicht erfüllbar + - Am Rand: Algorithmus durch Wahrheitstabelle -> brute force. + - **Lösung:** + - F = (A₀ ⟶ A₂) ⟶ A₁ + ``` + | A₀ A₁ A₂ | A₀ ⟶ A₂ | F | + | :------- | :-------- | :-- | + | 0 0 0 | 1 | *0 | + | 0 0 1 | 1 | *0 | + | 0 1 0 | 1 | 1 | + | 0 1 1 | 1 | 1 | + | 1 0 0 | *0 | 1 | + | 1 0 1 | 1 | *0 | + | 1 1 0 | *0 | 1 | + | 1 1 1 | 1 | 1 | + ``` + In Zeilen mit * suchen wir Fälle 1 ⟶ 0 und setzen auf 0; sonst auf 1.
+ Da manche Zeile 0, mache 1: erfüllbar √; widerlegbar √ (sonst nichts). + - F = (A₀ ∨ A₁) ∧ ¬(A₀ ∨ A₁) +
+ In jeder Zeile wird (blabla) auf 0 und ¬(blabla) auf 1 oder umgekehrt ausgewertet.
+ Darum gilt in jeder Zeile (blabla) ∧ ¬(blabla) = 0. +
+ Da _alle_ Zeile 0: widerlegbar √; nicht erfüllbar √ (sonst nichts). + - F = A₁ ∨ (A₂ ∧ A₁) + ``` + | A₁ A₂ | A₂ ∧ A₁ | F | + | :---- | :------ | :-- | + | 0 0 | 0 | *0 | + | 0 1 | 0 | *0 | + | 1 0 | 0 | 1 | + | 1 1 | ^1 | 1 | + ``` + In Zeilen mit ^ suchen wir Fälle 1 ∧ 1 und setzen auf 1; sonst auf 0.
+ In Zeilen mit * suchen wir Fälle 0 ∨ 0 und setzen auf 0; sonst auf 1. +
+ Da manche Zeile 0, mache 1: erfüllbar √; widerlegbar √ (sonst nichts). + - F = (A₀ ⟶ A₁) ⟶ (A₁ ⟶ A₀) + ``` + | A₀ A₁ | A₀ ⟶ A₁ | A₁ ⟶ A₀ | F | + | :---- | :------- | :-------- | :-- | + | 0 0 | 1 | 1 | 1 | + | 0 1 | 1 | 0 | 0 | + | 1 0 | 0 | 1 | 1 | + | 1 1 | 1 | 1 | 1 | + ``` + In Zeilen mit * suchen wir Fälle 1 ⟶ 0 und setzen auf 0; sonst auf 1. +
+ Da manche Zeile 0, mache 1: erfüllbar √; widerlegbar √ (sonst nichts). + + Insgesamt: + ``` + | Formel | taut. | erf. | wid. | unerf. | + | :------------------------- | :---- | :--- | :--- | :----- | + | (A₀ ⟶ A₂) ⟶ A₁ | | √ | √ | | + | (A₀ ∨ A₁) ∧ ¬(A₀ ∨ A₁ ) | | | √ | √ | + | A₁ ∨ (A₂ ∧ A₁) | | √ | √ | | + | (A₀ ⟶ A₁) ⟶ (A₁ ⟶ A₀) | | √ | √ | | + ``` + **‘Parity check’**: Da [taut ⟹ (erf. und nicht wid.)] und [unerf ⟹ (wid. und nicht erf.)], + sind nur + ``` + x √ √ x + √ √ x x + x x √ √ + ``` + möglich. Wenn man etwas andere als diese 3 Fälle bekommt, hat man einen Fehler gemacht! +- [x] weitere Fragen nach Aufzeichnungsende. + +## Nächste Woche ## + +- gerne auch bei den Montag + Dienstag Übungen reinschauen, weil wir alle versch. Themen besprechen werden. +- Mittwoch Thema: + - entweder rekursive Schemata / strukturelle Induktion; oder + - Bsp. wie man coole Probleme mithilfe auf Erfüllbarkeitsprobleme in der Aussagenlogik kodieren kann. + +### TODOs (Studierende) ### + +- Folie 3 durchlesen; +- weiter am ÜB 1 arbeiten : )