logik2021/protocol/woche3.md

Vorlesungswoche 3 (26. April – 2. Mai)

Agenda

• Organisatorisches (max. 5 min)
  • Erinnerung über Abgabe: Matrikelnr., 1 PDF.
• Serie 1, Seminaraufgaben

  • SA 1.1: 5 Min

    • Typen von Ausdrücken

  • SA 1.2: 10 Min

    • §3 Defn aus VL2 (rekursiver Aufbau)
    • Teilformeln
    • Kurzhand-Konventionen (‘abuse of notation’) ... aber für dieses Blatt noch nicht!!
    • Endlichkeit
    • Atome: inhaltsleer, aber Schnittstelle, um komplexe Zusammenhänge zu kodieren.

  • SA 1.3: 10 Min

    • Interpretation
      • Bedeutung??
      • Konzept: Interpretation vs. Strukturen („Modelle“)
      • Interpretation als Menge od. Fkt (Belegung)
      • Interpretation vs. eval (erzeugt)
    • funktionale Semantik als primäre Definition (VL2, Folie 43) ... Wahrheitstabelle nur als Rechenverfahren
    • Rechentricks in Wahrheitstabellen
      • ¬: kehre alle Werte um.
      • [Spalte 1] ∨ [Spalte 2]: alles 1, außer Zeilen wo beide Spalten 0
      • [Spalte 1] ∨ [Spalte 2]: alles 0, außer Zeilen wo beide Spalten 1
      • [Spalte 1] ⟶ [Spalte 2]: alles 1, außer Zeilen wo [Spalte 1]=1 und [Spalte 1]=2
      • [Spalte 1] ⟷ [Spalte 2]: 1, wo Spalte1 = Spalte 2, sonst 0
    • Lösung:

      | A₁ A₂ A₃ | ¬A₂  | A₃ ⟶ ¬A₂ | A₁ ∨ (A₃ ⟶ ¬A₂) | F   |
      | :------- | :--- | :--------- | :--------------- | :-- |
      | 0  0  0  |  1   |     1      |    1             |  0  |
      | 0  0  1  |  1   |     1      |    1             |  0  |
      | 0  1  0  |  0   |     1      |    1             |  0  |
      | 0  1  1  |  0   |    *0      |   *0             |  1  | <---
      | 1  0  0  |  1   |     1      |    1             |  0  |
      | 1  0  1  |  1   |     1      |    1             |  0  |
      | 1  1  0  |  0   |     1      |    1             |  0  |
      | 1  1  1  |  0   |    *0      |    1             |  0  |
      

      Beachte: In den Spalten mit * musste man nur diese Zeilen mit Fällen (1 ⟶ 0) bzw. (0 ∨ 0) aussuchen und auf 0 setzen, für alle anderen Zeilen wird auf 1 gesetzt.

  • [-] SA 1.4: 10 Min

    • Entscheidungsverfahren anhand Wahrheitstabellen, ob (vgl. §10 Defn)
      • F tautologisch ?
      • F erfüllbar, und I |= F ?
        • Frage: Heißt erfüllbar, dass es genau 1 Interp. gibt??
        • |= sem. Folgerungsbeziehung / sem. entailment (-> Modelle)
        • |- synt. Folgerungsbeziehung / synt. entailment (-> Kalkül)
      • F widerlegbar
      • F nicht erfüllbar
    • Am Rand: Algorithmus durch Wahrheitstabelle -> brute force.
    • Lösung:
      • F = (A₀ ⟶ A₂) ⟶ A₁

        | A₀ A₁ A₂ | A₀ ⟶ A₂ | F   |
        | :------- | :-------- | :-- |
        | 0  0  0  |     1     | *0  |
        | 0  0  1  |     1     | *0  |
        | 0  1  0  |     1     |  1  |
        | 0  1  1  |     1     |  1  |
        | 1  0  0  |    *0     |  1  |
        | 1  0  1  |     1     | *0  |
        | 1  1  0  |    *0     |  1  |
        | 1  1  1  |     1     |  1  |
        

        In Zeilen mit * suchen wir Fälle 1 ⟶ 0 und setzen auf 0; sonst auf 1.
        Da manche Zeile 0, mache 1: erfüllbar √; widerlegbar √ (sonst nichts).
      • F = (A₀ ∨ A₁) ∧ ¬(A₀ ∨ A₁)
        In jeder Zeile wird (blabla) auf 0 und ¬(blabla) auf 1 oder umgekehrt ausgewertet.
        Darum gilt in jeder Zeile (blabla) ∧ ¬(blabla) = 0.
        Da alle Zeile 0: widerlegbar √; nicht erfüllbar √ (sonst nichts).
      • F = A₁ ∨ (A₂ ∧ A₁)

        | A₁ A₂ | A₂ ∧ A₁ | F   |
        | :---- | :------ | :-- |
        | 0  0  |    0    | *0  |
        | 0  1  |    0    | *0  |
        | 1  0  |    0    |  1  |
        | 1  1  |   ^1    |  1  |
        

        In Zeilen mit ^ suchen wir Fälle 1 ∧ 1 und setzen auf 1; sonst auf 0.
        In Zeilen mit * suchen wir Fälle 0 ∨ 0 und setzen auf 0; sonst auf 1.
        Da manche Zeile 0, mache 1: erfüllbar √; widerlegbar √ (sonst nichts).
      • F = (A₀ ⟶ A₁) ⟶ (A₁ ⟶ A₀)

        | A₀ A₁ | A₀ ⟶ A₁ | A₁ ⟶ A₀ | F   |
        | :---- | :------- | :-------- | :-- |
        | 0  0  |    1     |     1     |  1  |
        | 0  1  |    1     |     0     |  0  |
        | 1  0  |    0     |     1     |  1  |
        | 1  1  |    1     |     1     |  1  |
        

        In Zeilen mit * suchen wir Fälle 1 ⟶ 0 und setzen auf 0; sonst auf 1.
        Da manche Zeile 0, mache 1: erfüllbar √; widerlegbar √ (sonst nichts).

    Insgesamt:

    | Formel                     | taut. | erf. | wid. | unerf. |
    | :------------------------- | :---- | :--- | :--- | :----- |
    | (A₀ ⟶ A₂) ⟶ A₁          |       |   √  |   √  |        |
    | (A₀ ∨ A₁) ∧ ¬(A₀ ∨ A₁ )    |       |      |   √  |   √    |
    | A₁ ∨ (A₂ ∧ A₁)             |       |   √  |   √  |        |
    | (A₀ ⟶ A₁) ⟶ (A₁ ⟶ A₀) |       |   √  |   √  |        |
    

    ‘Parity check’: Da [taut ⟹ (erf. und nicht wid.)] und [unerf ⟹ (wid. und nicht erf.)], sind nur

    x √ √ x
    √ √ x x
    x x √ √
    

    möglich. Wenn man etwas andere als diese 3 Fälle bekommt, hat man einen Fehler gemacht!

• weitere Fragen nach Aufzeichnungsende.

Nächste Woche

• gerne auch bei den Montag + Dienstag Übungen reinschauen, weil wir alle versch. Themen besprechen werden.
• Mittwoch Thema:
  • entweder rekursive Schemata / strukturelle Induktion; oder
  • Bsp. wie man coole Probleme mithilfe auf Erfüllbarkeitsprobleme in der Aussagenlogik kodieren kann.

TODOs (Studierende)

• Folie 3 durchlesen;
• weiter am ÜB 1 arbeiten : )