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Vorlesungswoche 4 (3. Mai – 9. Mai)
Handnotizen findet man unter notes/woche4.pdf.
Agenda
- Organisatorisches (max. 5 min)
- Hochladen = Abgeben
- Zoom
- Zugriff
- Ort der Zoomaufzeichnungen
- BBB-Aufzeichnung?
- Spezielles Thema: (strukturelle) Rekursion
- top-down
- »kleinste Menge«
- Wohldefiniertheit: einfach!
- bottom-up
- wohlfundierte Relationen
- Wohldefiniertheit: (mühseliger!)
- Satz: bottom-up = top-down
- ⊇: weil bottom-up Eigenschaft hat und top-down kleinstmögliche Menge mit Eigenschaft ist.
- ⊆: (schwerer) zeige, dass alles in Klasse alle n-ten Stufen enthält, damit gilt Schnitt aus Klasse (=:top-down) enthält Vereinigung (=:bottom-up)
- Präsentation (Schemata)
- für Mengen
- als Liste
- durch
"... | ... | ..."Schreibweise
- für Funktionen
- definiere ƒ für Basisfälle.
- definiere ƒ für Zusammensetzung durch Werte von ƒ auf Teilen.
- für Mengen
- Beispiele:
- ℕ als „kleinste Menge“, die 0 enthält und unter +1 abgeschlossen ist.
- eval(·, I)
- Atome(·) -> kommt nächste Woche!
- Länge -> kommt nächste Woche!
- Induktion
- Aus Sicht von bottom-up (-> verallgemeinert Induktion über ℕ)
- wieso funktioniert es? (Beweis durch Widerspruch -> betrachte
min{x | ¬ ф(x)})- „min“ hier bzgl. x ≤ y ⟺ x (strikte) Teilformel von y
- alternativ bzgl. x ≤ y ⟺ |Zeichen in x| < |Zeichen in y|
- Beispiele
- strukturelle Induktion
- Aus Sicht von top-down (!! neue Sichtweise !!)
- wieso funktioniert es? (direkter Beweis:
{x | ф(x)} ⊇ »kleinste Menge«) - Beispiele
- top-down
- weitere Fragen nach Aufzeichnungsende.
- wie verhält sich das mit Russellmenge? -> „gelöst“ durch wohlfundiert/Wohlordnung -> R keine Menge
Nächste Woche
- Seminaraufgaben für Serie 2:
- KNF/DNF
- Hornformeln / Alg
- str. Induktion / Rekursion
Kompaktheit(-> möglich nach der ÜG)
TODOs (Studierende)
- Folien für Wochen 3--4 durchlesen;
- ÜB 1 bis {22:00 am Donnerstag 6. Mai 2021} abgeben.