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title: "Two-dimensional-example"
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# Zwei dimensionales Rechenbeispiel für die Matrix $Q_a$.

Mit den Eingabedaten:

- $a = 2.0$
- $X = (-0.6264, 0.1836)^\top$
- $n = K = 2$
und $v \sim \mathcal{N}(0, 1)$

Daraus ergibt sich eine Matrix $Q_a$ mit

$$
Q_a = \begin{pmatrix} 0.7911 & 0.2089 \\
 0.2089 & 0.7911 \\
 \end{pmatrix}
$$


Anscheinend ist es so, dass für verschiedene Eingabewerte der Matrix $X$, es immer
wieder zu verschiedenen, aber immer noch diagonaldominanten Einträgen kommt. 
Wieso passiert dies?

Falls allerdings $X = (0.2167549 -0.5424926)^\top$, dann ist 
$$
Q_a = \begin{pmatrix}
0.2239 & 0.7761 \\
0.7761 & 0.2239 \\
\end{pmatrix}
$$
wo jetzt die Nebendiagonale dominant ist. Wenn man verschiedene Seeds ausprobiert,
so sieht man ein Muster. Doch es gibt auch das Beispiel mit $X = (0.7667960 -0.8164583)^\top$
und dann erhalten wir:
$$
Q_a = \begin{pmatrix}
0.4802 & 0.5198 \\
0.5198 & 0.4802 \\
\end{pmatrix}
$$

Diese Matrix hat immer noch eine dominante Nebendiagonale, aber nicht so stark wie
alle anderen bekannten Beispiele. Bei den anderen Berechnungen zeigte sich meistens
ein Unterschied von $| a_{11} - a_{12}| > 0.5$.