LinearAlg extended
This commit is contained in:
parent
81c688bc21
commit
4240d56455
@ -1,4 +1,82 @@
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# Lineare Algebra
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# Lineare Algebra in Julia
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```{julia}
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using LinearAlgebra
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```
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Das `LinearAlgebra`-Paket liefert unter anderem:
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- zusätzliche Subtypen von `AbstractMatrix`: genauso verwendbar, wie andere Matrizen, z.B.
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- `Tridiagonal`
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- `SymTridiagonal`
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- `Symmetric`
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- `UpperTriangular`
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- zusätzliche/erweiterte Funktionen: `norm`, `opnorm`, `cond`, `inv`, `det`, `exp`, `tr`, `dot`, `cross`, ...
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- einen universellen Solver für lineare Gleichungssysteme: `\`
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- `x = A \ b` löst $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ durch geeignete Matrixfaktorisierung und Vorwärts/Rückwärtssubstition
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- [Matrixfaktorisierungen](https://docs.julialang.org/en/v1/stdlib/LinearAlgebra/#man-linalg-factorizations)
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- `LU`
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- `QR`
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- `Cholesky`
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- `SVD`
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- ...
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- Berechnung von Eigenwerte/-vektoren
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- `eigen`, `eigvals`, `eigvecs`
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- Zugriff auf BLAS/LAPACK-Funktionen
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## Matrixtypen
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```{julia}
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A = SymTridiagonal(fill(1.0, 4), fill(-0.3, 3))
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```
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```{julia}
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B = UpperTriangular(A)
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```
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Diese Typen werden platzsparend gespeichert. Die üblichen Rechenoperationen sind implementiert:
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```{julia}
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A + B
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```
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Lesende Indexzugriffe sind möglich,
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```{julia}
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A[1,4]
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```
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schreibende nicht unbedingt:
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```{julia}
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#| error: true
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A[1,3] = 17
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```
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Die Umwandlung in eine 'normale' Matrix ist z.B. mit `collect()` möglich:
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```{julia}
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A2 = collect(A)
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```
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### Die Einheitsmatrix `I`
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`I` bezeichnet eine Einheitsmatrix (quadratisch, Diagonalelemente = 1, alle anderen = 0) in der jeweils erforderlichen Größe
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```{julia}
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A + 4I
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```
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## Normen
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@ -15,6 +93,11 @@ $$
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$$
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die die die euklidische Norm $p=2$ verallgemeinern.
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:::{.callout-note}
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## Die Max-Norm $p=\infty$
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Sei $x_{\text{max}}$ die _betragsmäßig_ größte Komponente von $\mathbf{x}\in ℝ^n$. Dann gilt stets
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$$ |x_{\text{max}}| \le ||\mathbf{x}||_p \le n^\frac{1}{p} |x_{\text{max}}|
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$$
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@ -24,13 +107,12 @@ Damit folgt
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$$
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||||
\lim_{p \rightarrow \infty} ||\mathbf{x}||_p = |x_{\text{max}}| =: ||\mathbf{x}||_\infty.
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$$
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:::
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In Julia definiert das `LinearAlgebra`-Paket eine Funktion `norm(v, p)`.
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```{julia}
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using LinearAlgebra
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v = [3, 4]
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w = [-1, 2, 33.2]
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@ -52,10 +134,10 @@ norm(A) # Frobenius norm
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||||
Da Normen homogen unter Multiplikation mit Skalaren sind,
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||||
$||\lambda \mathbf{x}|| = |\lambda|\cdot||\mathbf{x}||$, sind sie durch die Angabe der Einheitskugel vollständig bestimmt. Subadditivität der Norm (Dreiecksungleichung) ist äquivalent zur Konvexität der Einheitskugel.
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||||
|
||||
$||\lambda \mathbf{x}|| = |\lambda|\cdot||\mathbf{x}||$, sind sie durch die Angabe der Einheitskugel vollständig bestimmt. Subadditivität der Norm (Dreiecksungleichung) ist äquivalent zur Konvexität der Einheitskugel
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||||
(Code durch anklicken sichtbar).
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```{julia}
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||||
#| code-fold: false
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#| code-fold: true
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#| fig-cap: "Einheitskugeln im $ℝ^2$ für verschiedene $p$-Normen: $p$=0.8; 1; 1.5; 2; 3.001 und 1000"
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using Plots
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@ -107,10 +189,10 @@ A = [ 0 1
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@show opnorm(A, 1) opnorm(A, Inf) opnorm(A, 2) opnorm(A);
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```
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Das folgende Bild zeigt die Wirkung von $A$ auf Einheitsvektoren (Code durch anklicken sichtbar):
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Das folgende Bild zeigt die Wirkung von $A$ auf Einheitsvektoren. Vektoren gleicher Farbe werden aufeinander abgebildet. (Code durch anklicken sichtbar):
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```{julia}
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||||
#| code-fold: true
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||||
#| fig-cap: "Bild der Einheitskugel unter $v \\mapsto Av$"
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#| fig-cap: "Bild der Einheitskugel unter $v \\mapsto Av$ mit $||A||\\approx 2.088$"
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using CairoMakie
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@ -123,7 +205,6 @@ tri = BezierPath([
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A = [ 0 1
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1.2 1.5 ]
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||||
colorlist = resample_cmap(:hsv, 12)
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||||
t = LinRange(0, 1, 100)
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||||
xs = sin.(2π*t)
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||||
ys = cos.(2π*t)
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||||
@ -150,218 +231,213 @@ arrows!(fig2[1,3], x, y, Auv[1], Auv[2], arrowsize=10, arrowhead=tri, colormap=:
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||||
fig2
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```
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### Konditionszahl
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Für p = 1, p = 2 (default) oder p = Inf liefert `cond(A,p)` die Konditionszahl in der $p$-Norm
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$$
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||||
\text{cond}_p(A) = ||A||_p \cdot ||A^{-1}||_p
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$$
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```{julia}
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||||
@show cond(A, 1) cond(A, 2) cond(A) cond(A, Inf);
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```
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## Matrixfaktorisierungen
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Eine Basisaufgabe der numerischen linearen Algebra ist die Lösung von linearen Gleichungssystemen
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Basisaufgaben der numerischen linearen Algebra:
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- Löse ein lineares Gleichungssystem $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$.
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- Falls keine Lösung existiert, finde die beste Annäherung, d.h., den Vektor $\mathbf{x}$, der $||A\mathbf{x} - \mathbf{b}||$ minimiert.
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||||
- Finde Eigenwerte und Eigenvektoren $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ von $A$.
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Diese Aufgaben sind mit Matrixfaktorisierungen lösbar. Einige grundlegende Matrixfaktorisierungen:
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- **LU-Zerlegung** $A=L\cdot U$
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- faktorisiert eine Matrix als Produkt einer _lower_ und einer _upper_ Dreiecksmatrix
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- im Deutschen auch LR-Zerlegung (aber die Julia-Funktion heisst `lu()`)
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- geht (eventuell nach Zeilenvertauschung - Pivoting) immer
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- **Cholesky-Zerlegung** $A=L\cdot L^*$
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||||
- die obere Dreiecksmatrix ist die konjugierte der unteren,
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- halber Aufwand im Vergleich zu LU
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- geht nur, wenn $A$ hermitesch und positiv definit ist
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- **QR-Zerlegung** $A=Q\cdot R$
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- zerlegt $A$ als Produkt einer orthogonalen (bzw. unitären im komplexen Fall) Matrix und einer oberen Dreiecksmatrix
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||||
- $Q$ ist längenerhaltend (Drehungen und/oder Spiegelungen); die Stauchungen/Streckungen werden durch $R$ beschrieben
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- geht immer
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- **SVD** _(Singular value decomposition)_: $A = U\cdot D \cdot V^*$
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||||
- $U$ und $V$ sind orthogonal (bzw. unitär), $D$ ist eine Diagonalmatrix mit Einträgen in der Diagonale $σ_i\ge 0$, den sogenannten _Singulärwerten_ von $A$.
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||||
- Jede lineare Transformation $\mathbf{v} \mapsto A\mathbf{v}$ läßt sich somit darstellen als eine Drehung (und/oder Spiegelung) $V^*$, gefolgt von einer reinen Skalierung $v_i \mapsto \sigma_i v_i$ und einer weitere Drehung $U$.
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### LU-Faktorisierung
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LU-Faktorisierung ist Gauß-Elimination. Das Resultat der Gauß-Elimination ist die obere Dreiecksmatrix $U$. Die untere Dreiecksmatrix $L$ enthält Einsen auf der Diagonale und die nichtdiagonalen Einträge $l_{ij}$ sind gleich minus den Koeffizienten, mit denen im Gauß-Algorithmus Zeile $Z_j$ multipliziert und zu Zeile $Z_i$ addiert wird.
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Ein Beispiel:
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$$
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||||
A\mathbf{x} = \mathbf{b}.
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A=\left[
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||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
1 &2 &2 \\
|
||||
3 &-4& 4 \\
|
||||
-2 & 1 & 5
|
||||
\end{array}\right]
|
||||
~ \begin{array}{c}
|
||||
~\\
|
||||
Z_2 \mapsto Z_2 \mathbin{\color{red}-}\textcolor{red}{3} Z_1\\
|
||||
Z_3 \mapsto Z_3 + \textcolor{red}{2} Z_1
|
||||
\end{array} \quad \Longrightarrow\
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||||
\left[
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
1 &2 &2 \\
|
||||
&-10& -2 \\
|
||||
& 5 & 9
|
||||
\end{array}\right]
|
||||
~ \begin{array}{c}
|
||||
~\\
|
||||
~\\
|
||||
Z_3 \mapsto Z_3 + \textcolor{red}{\frac{1}{2}} Z_2
|
||||
\end{array} \quad \Longrightarrow\
|
||||
\left[
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
1 &2 &2 \\
|
||||
&-10& -2 \\
|
||||
& & 8
|
||||
\end{array}\right] = U
|
||||
$$
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||||
Falls keine Lösung existiert, ist man oft an der bestmöglichen Annäherung an eine Lösung interessiert, d.h., gesucht wird der Vektor $\mathbf{x}$, für den
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$$
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||||
||A\mathbf{x} - \mathbf{b}|| \rightarrow \min.
|
||||
A = \left[
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
1 && \\
|
||||
\mathbin{\color{red}+}\textcolor{red}{3} &1 & \\
|
||||
\mathbin{\color{red}-}\textcolor{red}{2} & \mathbin{\color{red}-}\textcolor{red}{\frac{1}{2}}& 1
|
||||
\end{array}
|
||||
\right] \cdot
|
||||
\left[
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
1 &2 &2 \\
|
||||
&-10& -2 \\
|
||||
& & 8
|
||||
\end{array}\right]
|
||||
$$
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||||
|
||||
|
||||
- Häufig in der Praxis: $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ muss für ein $A$ und viele rechte Seiten $\mathbf{b}$ gelöst werden.
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||||
- Die Faktorisierung, deren Aufwand kubisch $\sim n^3$ mit der Matrixgröße $n$ wächst, muss nur einmal gemacht werden.
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||||
- Der anschliessende Aufwand der Vorwärts/Rückwärtssubstition für jedes $\mathbf{b}$ ist nur noch quadratisch $\sim n^2$.
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||||
# Das _Linear Algebra_-Paket: eine kurze Auswahl
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||||
Das `LinearAlgebra`-Paket von Julia enthält zur Berechnung einer LU-Zerlegung die Funktion `lu(A, options)`:
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```{julia}
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A = [ 1 2 2
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3 -4 4
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-2 1 5]
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||||
- zusätzliche Matrix-Typen
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- Subtypen von `AbstractMatrix`: genauso verwendbar, wie andere Matrizen
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- `Tridiagonal`
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- `SymTridiagonal`
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||||
- `Symmetric`
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||||
- `UpperTriangular`
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||||
- ...
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||||
- Arithmetik: Matrixmultiplikation, `inv`, `det`, `exp`
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||||
- Lineare Gleichungssysteme: `\`
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||||
- Matrixfaktorisierungen
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||||
- `LU`
|
||||
- `QR`
|
||||
- `Cholesky`
|
||||
- `SVD`
|
||||
- ...
|
||||
|
||||
- Eigenwerte/-vektoren
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||||
|
||||
- `eigen`, `eigvals`, `eigvecs`
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||||
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||||
- Zugriff auf BLAS/LAPACK-Funktionen
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## Matrixtypen
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```julia
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||||
using LinearAlgebra
|
||||
L, U, _ = lu(A, NoPivot())
|
||||
display(L)
|
||||
display(U)
|
||||
```
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||||
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||||
|
||||
```julia
|
||||
A = SymTridiagonal(fill(1.0, 4), fill(-0.3, 3))
|
||||
|
||||
#### Pivoting
|
||||
|
||||
Sehen wir uns einen Schritt der Gauß-Elimination an:
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||||
$$
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||||
\left[
|
||||
\begin{array}{cccccc}
|
||||
* &\cdots & * & * & \cdots & * \\
|
||||
&\ddots & \vdots &\vdots && \vdots \\
|
||||
&& * & * &\cdots & * \\
|
||||
&& & \textcolor{red}{a_{ij}}&\cdots & a_{in}\\
|
||||
&& & \textcolor{blue}{a_{i+1,j}}&\cdots & a_{i+1,n}\\
|
||||
&&& \textcolor{blue}{\vdots} &&\vdots \\
|
||||
&& & \textcolor{blue}{a_{mj}}&\cdots & a_{mn}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right]
|
||||
$$
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||||
Ziel ist es, als nächstes den Eintrag $a_{i+1,j}$ zum Verschwinden zu bringen, indem zur Zeile $Z_{i+1}$ ein geeignetes Vielfaches von Zeile $Z_i$ addiert wird. Das geht nur, wenn das _Pivotelement_ $\textcolor{red}{a_{ij}}$ nicht Null ist. Falls $\textcolor{red}{a_{ij}}=0$, müssen wir Zeilen vertauschen um dies zu beheben.
|
||||
|
||||
Darüber hinaus ist die Kondition des Algorithmus am besten, wenn man bei jedem Schritt die Matrix so anordnet, dass das Pivotelement das betragsmäßig größte
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||||
in der entsprechenden Spalte der noch zu bearbeitenden Umtermatrix ist. Beim (Zeilen-)Pivoting wird bei jedem Schritt durch Zeilenvertauschung sichergestellt, dass
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||||
gilt:
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||||
$$
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||||
|\textcolor{red}{a_{ij}}|=\max_{k=i,...,m} |\textcolor{blue}{a_{kj}}|
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||||
$$
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||||
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||||
#### LU in Julia
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||||
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||||
- Die Faktorisierungen in Julia geben ein spezielles Objekt zurück, das die Matrixfaktoren und weitere
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Informationen enthält.
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- Die Julia-Funktion `lu(A)` führt eine LU-Faktorisierung mit Pivoting durch.
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||||
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```{julia}
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||||
F = lu(A)
|
||||
typeof(F)
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||||
```
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||||
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||||
```julia
|
||||
B = UpperTriangular(A)
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||||
Elemente des Objekts:
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```{julia}
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||||
@show F.L F.U F.p;
|
||||
```
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||||
```julia
|
||||
A + B
|
||||
```
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||||
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||||
### Einheitsmatrix `I`
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||||
|
||||
`I` bezeichnet eine Einheitsmatrix (quadratisch, Diagonalelemente = 1, alle anderen = 0) in der jeweils erforderlichen Größe
|
||||
|
||||
|
||||
```julia
|
||||
A + 4I
|
||||
```
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||||
|
||||
## Faktorisierungen
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||||
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||||
|
||||
### LU-Faktorisierung mit Zeilenpivoting
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||||
('Lower/Upper triangular matrix', im Deutschen auch oft "LR-Zerlegung" für "Linke/Rechte Dreiecksmatrix")
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||||
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||||
|
||||
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||||
```julia
|
||||
A = [0 22 1.
|
||||
-1 2 3
|
||||
77 18 19]
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
```julia
|
||||
# Faktorisierungen geben eine spezielle Struktur zurück, die die Matrixfaktoren und weitere
|
||||
# Informationen enthalten:
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||||
|
||||
Af = lu(A);
|
||||
|
||||
@show Af.L Af.U Af.p;
|
||||
|
||||
```
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||||
|
||||
|
||||
```julia
|
||||
# man kann auch gleich auf der linken Seite ein entsprechendes Tupel verwenden
|
||||
|
||||
l,u,p = lu(A)
|
||||
|
||||
l
|
||||
```
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||||
|
||||
|
||||
```julia
|
||||
u
|
||||
```
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||||
|
||||
|
||||
```julia
|
||||
Man kann auch gleich auf der linken Seite ein entsprechendes Tupel verwenden:
|
||||
```{julia}
|
||||
L, U, p = lu(A);
|
||||
p
|
||||
```
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||||
|
||||
Der Permutationsvektor `p` zeigt an, wie die Zeilen der Matrix permutiert wurden:
|
||||
|
||||
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||||
```julia
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||||
A[p, :] # 3. Zeile, 1. Zeile, 2. Zeile von A
|
||||
Der Permutationsvektor zeigt an, wie die Zeilen der Matrix permutiert wurden. Es gilt: $$ L\cdot U = PA$$. Die Syntax der indirekten Indizierung erlaubt es, die Zeilenpermutation durch die Schreibweise `A[p,:]` anzuwenden:
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||||
```{julia}
|
||||
display(A)
|
||||
display(A[p,:])
|
||||
display(L*U)
|
||||
```
|
||||
|
||||
Es gilt: $$ L\cdot U = PA$$
|
||||
|
||||
|
||||
```julia
|
||||
l * u - A[p,:]
|
||||
Die Vorwärts/Rückwärtssubstition mit einem `LU`- erledigt der Operator `\`:
|
||||
```{julia}
|
||||
b = [1, 2, 3]
|
||||
x = F \ b
|
||||
```
|
||||
Probe:
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||||
```{julia}
|
||||
A * x - b
|
||||
```
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||||
|
||||
In Julia verbirgt sich hinter dem `\`-Operator ein ziemlich universeller "matrix solver" und man kann ihn auch direkt anwenden:
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||||
```{julia}
|
||||
A \ b
|
||||
```
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||||
Dabei wird implizit eine geeignete Faktorisierung durchgeführt, deren Ergebnis allerdings nicht abgespeichert.
|
||||
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||||
### QR-Zerlegung
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||||
```julia
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||||
q, r = qr(A);
|
||||
|
||||
q
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||||
Die Funktion `qr()` liefert ein epezielles QR-Objekt zurück, das die Komponenten $Q$ und $R$ enthält. Die orthogonale (bzw. unitäre) Matrix $Q$ ist
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||||
[in einer optimierten Form](https://docs.julialang.org/en/v1/stdlib/LinearAlgebra/#man-linalg-abstractq) abgespeichert. Umwandlung in eine "normale" Matrix ist bei Bedarf wie immer mit `collect()` möglich.
|
||||
```{julia}
|
||||
F = qr(A)
|
||||
@show typeof(F) typeof(F.Q)
|
||||
display(collect(F.Q))
|
||||
display(F.R)
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
```julia
|
||||
r
|
||||
```
|
||||
|
||||
### Singular value decomposition
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||||
### Passende Faktorisierung
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||||
|
||||
|
||||
```julia
|
||||
u, s, vt = svd(A);
|
||||
|
||||
s
|
||||
```
|
||||
Die Funktion `factorize()` liefert eine dem Matrixtyp angepasste Form der Faktorisierung, siehe [Dokumentation](https://docs.julialang.org/en/v1/stdlib/LinearAlgebra/#LinearAlgebra.factorize) für Details.
|
||||
Wenn man Lösungen zu mehreren rechten Seiten $\mathbf{b_1}, \mathbf{b_2},...$ benötigt, sollte man die Faktorisierung nur einmal durchführen:
|
||||
|
||||
|
||||
```julia
|
||||
u
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
```julia
|
||||
vt
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
```julia
|
||||
evalues, evectors = eigen(A)
|
||||
evalues
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
```julia
|
||||
evectors
|
||||
```
|
||||
|
||||
### Lineare Gleichungssysteme
|
||||
|
||||
Das lineare Gleichungssystem
|
||||
$$Ax = b$$
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kann man in Julia einfach lösen mit
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```
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x = A\b
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```
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```julia
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b = [2,3,4]
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A\b
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```
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Dabei wird eine geeignete Matrixfaktorisierung vorgenommen (meist LU). Wenn man Lösungen zu mehreren rechten Seiten $b_1, b_2,...$ benötigt, sollte man die Faktorisierung nur einmal durchführen:
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```julia
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```{julia}
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Af = factorize(A)
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```
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```julia
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Af\b
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```{julia}
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Af \ [1, 2, 3]
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```
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```julia
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```{julia}
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Af \ [5, 7, 9]
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```
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```julia
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```
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