430 lines
14 KiB
TeX
430 lines
14 KiB
TeX
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%% AUTHOR: Raj Dahya
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%% CREATED: 19.04.2022
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%% DATE: SoSe, 2022
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%% YEAR: 2022
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%% TYPE: Notes
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%% TITLE: Notizen
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%% DOI: —
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%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik
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%% INSTITUTE: Universität Leipzig
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%% DOCUMENT STRUCTURE:
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%% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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%% root.tex
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%% |____ front/index.tex
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%% |____ front/foreword.tex
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%% |____ front/contents.tex
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%% |____ body/index.tex
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%% |____ body/woche3/index.tex
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%% |____ body/woche3/A1.tex
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%% |____ body/woche3/A4.tex
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%% |____ back/index.tex
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%% |____ back/sources.bib
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%%
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%% DOCUMENT-RANDOM-SEED: ---
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%% FILE: root.tex
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\begin{document}
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\startdocumentlayoutoptions
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%% FRONTMATTER
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%% FILE: front/index.tex
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\maketitle
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\clearpage
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%% FILE: front/foreword.tex
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%% ********************************************************************************
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\section*{Vorwort}
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\bgroup
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\small
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In diesem Dokument sind Ergänzungsnotizen aus der mittwochs Übungsgruppe für Analysis II / Sommersemester 2022 an der Universität Leipzig.
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\egroup
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%% ********** END OF FILE: front/foreword.tex **********
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\clearpage
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%% FILE: front/contents.tex
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%% ********************************************************************************
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\bgroup
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\small
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\setcounter{tocdepth}{3}
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\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis}
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\tableofcontents
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\egroup
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%% ********** END OF FILE: front/contents.tex **********
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\clearpage
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%% ********** END OF FILE: front/index.tex **********
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%% BODY
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%% FILE: body/index.tex
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\setcounterafter{chapter}{3}
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%% FILE: body/woche3/index.tex
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\let\oldchaptername\chaptername
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|
\def\chaptername{Woche}
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|
\chapter[20. April 2022]{20. April 2022}
|
||
|
\let\chaptername\oldchaptername
|
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|
\label{ch:1}
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||
|
|
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|
\setcounterafter{section}{1}
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: body/woche3/A1.tex
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%% ********************************************************************************
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|
\let\oldsectionname\sectionname
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|
\def\sectionname{Aufgabe}
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|
\section[]{}
|
||
|
\let\sectionname\oldsectionname
|
||
|
\label{sec:2}
|
||
|
|
||
|
Für diese Aufgabe seien gegeben:
|
||
|
|
||
|
\begin{kompaktitem}
|
||
|
\item $a<b$ in $\reals$;
|
||
|
\item $f,g:[a,b]\to\reals$
|
||
|
mit $g$ Riemann-integrierbar,
|
||
|
$g\geq 0$ überall, und $f$ stetig.
|
||
|
\end{kompaktitem}
|
||
|
|
||
|
Also sind $f,g$ beide Riemann-integrierbar (siehe VL).
|
||
|
|
||
|
\begin{schattierteboxdunn}
|
||
|
\begin{claim}
|
||
|
\setblocklabel{claim:1:ex:3.1}
|
||
|
Es existiert ein $\xi\in[a,b]$
|
||
|
so dass ${
|
||
|
\int_{a}^{b} fg \dee x
|
||
|
= f(\xi) \int_{a}^{b} g \dee x
|
||
|
}$
|
||
|
\end{claim}
|
||
|
\end{schattierteboxdunn}
|
||
|
|
||
|
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
|
||
|
\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}]
|
||
|
Da $[a,b]$ kompakt ist und $f$ stetig ist,
|
||
|
realisiert $f$ sein Infimum und Supremum auf $[a,b]$.
|
||
|
\Dh es existieren $x_{-},x_{+}\in[a,b]$, so dass
|
||
|
|
||
|
\begin{maths}[mc]{rcccl}
|
||
|
M_{-}
|
||
|
&\coloneq
|
||
|
&\inf_{x\in[a,b]}f(x)
|
||
|
&= &f(x_{-})\in\reals,\\
|
||
|
M_{+}
|
||
|
&\coloneq
|
||
|
&\sup_{x\in[a,b]}f(x)
|
||
|
&= &f(x_{+})\in\reals.\\
|
||
|
\end{maths}
|
||
|
|
||
|
Also $-\infty < M_{-} \leq f(x) \leq M_{+} < \infty$
|
||
|
für alle $x\in[a,b]$.
|
||
|
Per Monotonie des Integrals und da $g\geq 0$ und $f$ sowie konstante Funktionen Riemann-integrierbar sind,
|
||
|
gilt
|
||
|
|
||
|
\begin{maths}[mc]{rcccl}
|
||
|
\eqtag[eq:2:\beweislabel]
|
||
|
\underbrace{
|
||
|
\int_{a}^{b} M_{-}g \dee x
|
||
|
}_{M_{-}\int_{a}^{b} g \dee x =}
|
||
|
&\leq
|
||
|
&\int_{a}^{b} fg \dee x
|
||
|
&\leq &\underbrace{
|
||
|
\int_{a}^{b} M_{+}g \dee x
|
||
|
}_{= M_{+}\int_{a}^{b} g \dee x}.\\
|
||
|
\end{maths}
|
||
|
|
||
|
Da $g\geq 0$ überall, gilt $\int_{a}^{b} g \dee x \geq 0$.
|
||
|
Falls $\int_{a}^{b} g \dee x > 0$,
|
||
|
können wir in \eqcref{eq:2:\beweislabel} überall durch diese Zahl teilen
|
||
|
und erhalten
|
||
|
${%
|
||
|
c \coloneq
|
||
|
\frac{\int_{a}^{b} fg \dee x}{\int_{a}^{b} g \dee x}
|
||
|
\in [M_{-},M_{+}]
|
||
|
}$.
|
||
|
Falls ${\int_{a}^{b} g \dee x = 0}$,
|
||
|
dann folgt aus der \obenst Einschätzungen
|
||
|
${0\leq \int_{a}^{b} fg \dee x \leq 0}$
|
||
|
und damit ${\int_{a}^{b} fg \dee x = 0}$.
|
||
|
In diesem Falle setzen wir ein beliebiges $c \in [M_{-},M_{+}]$.
|
||
|
In beiden Fällen sieht man
|
||
|
|
||
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
||
|
\eqtag[eq:3:\beweislabel]
|
||
|
\int_{a}^{b} fg \dee x
|
||
|
&= &c\cdot \int_{a}^{b} g \dee x\\
|
||
|
\end{maths}
|
||
|
|
||
|
für ein $c\in[M_{-},M_{+}]$.
|
||
|
Da $f$ stetig ist und die Werte $M_{-},M_{+}$ realisiert,
|
||
|
existiert laut des ZWS ein $\xi\in[a,b]$ mit $f(\xi)=c$.
|
||
|
Eingesetzt in \eqcref{eq:3:\beweislabel}
|
||
|
erhalten wir die Behauptung.
|
||
|
\end{beweis}
|
||
|
\end{einzug}
|
||
|
|
||
|
%% ********** END OF FILE: body/woche3/A1.tex **********
|
||
|
|
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|
\setcounterafter{section}{4}
|
||
|
|
||
|
%% ********************************************************************************
|
||
|
%% FILE: body/woche3/A4.tex
|
||
|
%% ********************************************************************************
|
||
|
|
||
|
\let\oldsectionname\sectionname
|
||
|
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
|
\section[]{}
|
||
|
\let\sectionname\oldsectionname
|
||
|
\label{sec:3}
|
||
|
|
||
|
Für diese Aufgabe seien gegeben:
|
||
|
|
||
|
\begin{kompaktitem}
|
||
|
\item $a<b$ in $\reals$;
|
||
|
\item $w:[a,b]\to[0,\infty)$ eine Riemann-integrierbare Funktion.
|
||
|
\end{kompaktitem}
|
||
|
|
||
|
\begin{schattierteboxdunn}
|
||
|
\begin{claim}
|
||
|
\setblocklabel{claim:1:ex:3.4}
|
||
|
$\sqrt{w}$ ist Riemann-integrierbar.
|
||
|
\end{claim}
|
||
|
\end{schattierteboxdunn}
|
||
|
|
||
|
\begin{idea}
|
||
|
Wir müssen zeigen, dass
|
||
|
${O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w})\underset{Z}{\longrightarrow}0}$
|
||
|
für \bzgl Feinheit der Zerlegungen $Z$ von $[a,b]$.
|
||
|
Angesichts der Riemann-Integrierbarkeit von $w$,
|
||
|
reicht es offenbar aus,
|
||
|
ein passendes Verhältnis zwischen den Netzen
|
||
|
$(O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z}$
|
||
|
und
|
||
|
$(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))_{Z}$
|
||
|
zu finden.
|
||
|
Als na\"{i}ver Ansatz wollen nun die Ungleichung
|
||
|
|
||
|
\begin{maths}[mc]{rcccl}
|
||
|
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|
||
|
\abs{\sqrt{y_{2}} - \sqrt{y_{1}}}
|
||
|
&\leq
|
||
|
&\frac{\abs{y_{2}-y_{1}}}{\sqrt{y_{2}} + \sqrt{y_{1}}}
|
||
|
&\leq
|
||
|
&\frac{1}{2}
|
||
|
\sqrt{
|
||
|
\min\{y_{1},y_{2}\}^{-1}
|
||
|
}
|
||
|
\abs{y_{2}-y_{1}}\\
|
||
|
\end{maths}
|
||
|
|
||
|
für $y_{1},y_{2}\in(0,\infty)$ ausnutzen.
|
||
|
Doch sofort erkennen wir das Problem:
|
||
|
$\min\{y_{1},y_{2}\}^{-1}$
|
||
|
ist nicht nach oben beschränkt.
|
||
|
|
||
|
Hierfür gibt es einen kleinen Fix:
|
||
|
wir verschieben die Funktionswerte um eine beliebig kleine positive Zahl, $\eps>0$,
|
||
|
zeigen, dass $\sqrt{w + \eps}$ Riemann-integrierbar ist,
|
||
|
dann lassen wir ${\eps\longrightarrow 0}$
|
||
|
tendieren und verwenden das Resultat:
|
||
|
\emph{
|
||
|
Ein (durch gl. Konvergenz erreichbarer) Grenzwert
|
||
|
Riemann-integrierbarer Funktionen
|
||
|
ist wiederum Riemann-integrierbar.
|
||
|
}
|
||
|
\end{idea}
|
||
|
|
||
|
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
|
||
|
\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}]
|
||
|
Sei $\eps>0$ beliebig.
|
||
|
Für alle Zerlegungen
|
||
|
$Z=(x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ von $[a,b]$
|
||
|
beobachte man
|
||
|
unter den Definitionen
|
||
|
${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
|
||
|
und
|
||
|
${\delta x_{i} \coloneq (x_{i+1}-x_{i})}$:
|
||
|
|
||
|
\begin{longmaths}[mc]{RCL}
|
||
|
O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps})
|
||
|
&= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
|
||
|
\left(
|
||
|
\sup_{x \in I_{i}}\sqrt{w(x)+\eps}
|
||
|
-\inf_{x \in I_{i}}\sqrt{w(x)+\eps}
|
||
|
\right)
|
||
|
\cdot
|
||
|
\delta x_{i}\\
|
||
|
&= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
|
||
|
\left(
|
||
|
\sqrt{\sup_{x \in I_{i}}w(x)+\eps}
|
||
|
-\sqrt{\inf_{x \in I_{i}}w(x)+\eps}
|
||
|
\right)
|
||
|
\cdot
|
||
|
\delta x_{i}\\
|
||
|
&&\text{weil $\sqrt{(\cdot) + \eps}$ stetig ist}\\
|
||
|
&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{\leq}
|
||
|
&\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
|
||
|
\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
|
||
|
\left(
|
||
|
(\sup_{x \in I_{i}}w(x) + \eps)
|
||
|
-(\inf_{x \in I_{i}}w(x) + \eps)
|
||
|
\right)
|
||
|
\cdot
|
||
|
\delta x_{i}\\
|
||
|
&= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
|
||
|
\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
|
||
|
\left(
|
||
|
\sup_{x \in I_{i}}w(x)
|
||
|
-\inf_{x \in I_{i}}w(x)
|
||
|
\right)
|
||
|
\cdot
|
||
|
\delta x_{i}\\
|
||
|
&= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w)).\\
|
||
|
\end{longmaths}
|
||
|
|
||
|
Kraft dieser Einschätzung erhält man
|
||
|
aus der vorausgesetzten Riemann-Integrierbarkeit von $w$:
|
||
|
|
||
|
\begin{maths}[mc]{rcccccl}
|
||
|
0 &\leq
|
||
|
&\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps}))
|
||
|
&\leq
|
||
|
&\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
|
||
|
\limsup_{Z}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))
|
||
|
&= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}\cdot 0.\\
|
||
|
\end{maths}
|
||
|
|
||
|
Also
|
||
|
${\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps}))=0}$.
|
||
|
Also
|
||
|
${O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps})\underset{Z}{\longrightarrow}0}$.
|
||
|
Darum stimmen untere und obere Summen von $\sqrt{w + \eps}$ überein.
|
||
|
Definitionsgemäß ist $\sqrt{w + \eps}$ somit Riemann-integrierbar
|
||
|
für alle $\eps>0$.
|
||
|
|
||
|
Beachte außerdem, dass
|
||
|
|
||
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
||
|
\sup_{x\in[a,b]}
|
||
|
\abs{\sqrt{w(x)+\eps} - \sqrt{w(x)}}
|
||
|
&= &\sup_{x\in[a,b]}
|
||
|
\frac{
|
||
|
\abs{(w(x)+\eps) - w(x)}
|
||
|
}{
|
||
|
\sqrt{w(x)+\eps} + \sqrt{w(x)}
|
||
|
}\\
|
||
|
&= &\sup_{x\in[a,b]}
|
||
|
\frac{
|
||
|
\eps
|
||
|
}{
|
||
|
\sqrt{w(x)+\eps} + \sqrt{w(x)}
|
||
|
}\\
|
||
|
&\leq &\sup_{x\in[a,b]}
|
||
|
\frac{
|
||
|
\eps
|
||
|
}{
|
||
|
\sqrt{0 + \eps} + \sqrt{0}
|
||
|
}
|
||
|
= \sqrt{\eps},\\
|
||
|
\end{maths}
|
||
|
|
||
|
sodass auf $[a,b]$
|
||
|
das Netz
|
||
|
$(\sqrt{w + \eps})_{\eps>0}$
|
||
|
gleichmäßig gegen
|
||
|
$\sqrt{w}$
|
||
|
konvergiert für ${\eps\longrightarrow 0}$.\footnote{
|
||
|
Wenn man mit Netzen nicht zurecht kommt,
|
||
|
reicht es hier schon mit einer Folge aus:
|
||
|
fixiere irgendeine Nullfolge
|
||
|
$(\eps_{n})_{n\in\naturals}$,
|
||
|
dann
|
||
|
${
|
||
|
\sup_{x\in[a,b]}
|
||
|
\abs{\sqrt{w(x)+\eps_{n}} - \sqrt{w(x)}}
|
||
|
\leq
|
||
|
\sqrt{\eps_{n}}
|
||
|
\underset{n}{\longrightarrow}0
|
||
|
}$.
|
||
|
}
|
||
|
Laut Vorlesung ist $\sqrt{w}$ somit Riemann-integrierbar.
|
||
|
\end{beweis}
|
||
|
\end{einzug}
|
||
|
|
||
|
%% ********** END OF FILE: body/woche3/A4.tex **********
|
||
|
|
||
|
%% ********** END OF FILE: body/woche3/index.tex **********
|
||
|
|
||
|
%% ********** END OF FILE: body/index.tex **********
|
||
|
|
||
|
%% BACKMATTER
|
||
|
\clearpage
|
||
|
|
||
|
%% ********************************************************************************
|
||
|
%% FILE: back/index.tex
|
||
|
%% ********************************************************************************
|
||
|
|
||
|
\nocite{*} % <- forces all entries to appear in bibliography
|
||
|
\bgroup
|
||
|
\small
|
||
|
\bibliographystyle{abbrv}
|
||
|
\def\bibname{Referenzen}
|
||
|
\begin{thebibliography}{1}
|
||
|
|
||
|
\bibitem{deitmar2014BookAnalysis}
|
||
|
A.~Deitmar.
|
||
|
\newblock {\em {Analysis}}.
|
||
|
\newblock {Springer-Lehrbuch}. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, 1
|
||
|
edition, 2014.
|
||
|
|
||
|
\bibitem{forster2016BookAnalysis1}
|
||
|
O.~Forster.
|
||
|
\newblock {\em {Analysis 1}}.
|
||
|
\newblock {Grundkurs Mathematik}. Springer Spektrum, Wiesbaden, 12 edition,
|
||
|
2016.
|
||
|
|
||
|
\bibitem{pogorzelski}
|
||
|
F.~Pogorzelski.
|
||
|
\newblock {Analysis I--II}, 2021--2.
|
||
|
\newblock {basierend auf dem Skript von Daniel Lenz 2013--14 + 2020--21}.
|
||
|
|
||
|
\end{thebibliography}
|
||
|
\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}{\bibname}}
|
||
|
\egroup
|
||
|
|
||
|
%% ********** END OF FILE: back/index.tex **********
|
||
|
|
||
|
\end{document}
|
||
|
|
||
|
%% ********** END OF FILE: root.tex **********
|