master > master: notes - tex-datei mit einschließen

master
RD 2 years ago
parent 4d4d75f159
commit 02f4e9c514

@ -0,0 +1,429 @@
%% ********************************************************************************
%% AUTHOR: Raj Dahya
%% CREATED: 19.04.2022
%% DATE: SoSe, 2022
%% YEAR: 2022
%% TYPE: Notes
%% TITLE: Notizen
%% DOI: —
%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik
%% INSTITUTE: Universität Leipzig
%% ********************************************************************************
%% ********************************************************************************
%% DOCUMENT STRUCTURE:
%% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%%
%% root.tex
%% |____ front/index.tex
%% |____ front/foreword.tex
%% |____ front/contents.tex
%% |____ body/index.tex
%% |____ body/woche3/index.tex
%% |____ body/woche3/A1.tex
%% |____ body/woche3/A4.tex
%% |____ back/index.tex
%% |____ back/sources.bib
%%
%% DOCUMENT-RANDOM-SEED: ---
%% ********************************************************************************
%% ********************************************************************************
%% FILE: root.tex
%% ********************************************************************************
\begin{document}
\startdocumentlayoutoptions
%% FRONTMATTER
%% ********************************************************************************
%% FILE: front/index.tex
%% ********************************************************************************
\maketitle
\clearpage
%% ********************************************************************************
%% FILE: front/foreword.tex
%% ********************************************************************************
\section*{Vorwort}
\bgroup
\small
In diesem Dokument sind Ergänzungsnotizen aus der mittwochs Übungsgruppe für Analysis II / Sommersemester 2022 an der Universität Leipzig.
\egroup
%% ********** END OF FILE: front/foreword.tex **********
\clearpage
%% ********************************************************************************
%% FILE: front/contents.tex
%% ********************************************************************************
\bgroup
\small
\setcounter{tocdepth}{3}
\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis}
\tableofcontents
\egroup
%% ********** END OF FILE: front/contents.tex **********
\clearpage
%% ********** END OF FILE: front/index.tex **********
%% BODY
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/index.tex
%% ********************************************************************************
\setcounterafter{chapter}{3}
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/woche3/index.tex
%% ********************************************************************************
\let\oldchaptername\chaptername
\def\chaptername{Woche}
\chapter[20. April 2022]{20. April 2022}
\let\chaptername\oldchaptername
\label{ch:1}
\setcounterafter{section}{1}
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/woche3/A1.tex
%% ********************************************************************************
\let\oldsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[]{}
\let\sectionname\oldsectionname
\label{sec:2}
Für diese Aufgabe seien gegeben:
\begin{kompaktitem}
\item $a<b$ in $\reals$;
\item $f,g:[a,b]\to\reals$
mit $g$ Riemann-integrierbar,
$g\geq 0$ überall, und $f$ stetig.
\end{kompaktitem}
Also sind $f,g$ beide Riemann-integrierbar (siehe VL).
\begin{schattierteboxdunn}
\begin{claim}
\setblocklabel{claim:1:ex:3.1}
Es existiert ein $\xi\in[a,b]$
so dass ${
\int_{a}^{b} fg \dee x
= f(\xi) \int_{a}^{b} g \dee x
}$
\end{claim}
\end{schattierteboxdunn}
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}]
Da $[a,b]$ kompakt ist und $f$ stetig ist,
realisiert $f$ sein Infimum und Supremum auf $[a,b]$.
\Dh es existieren $x_{-},x_{+}\in[a,b]$, so dass
\begin{maths}[mc]{rcccl}
M_{-}
&\coloneq
&\inf_{x\in[a,b]}f(x)
&= &f(x_{-})\in\reals,\\
M_{+}
&\coloneq
&\sup_{x\in[a,b]}f(x)
&= &f(x_{+})\in\reals.\\
\end{maths}
Also $-\infty < M_{-} \leq f(x) \leq M_{+} < \infty$
für alle $x\in[a,b]$.
Per Monotonie des Integrals und da $g\geq 0$ und $f$ sowie konstante Funktionen Riemann-integrierbar sind,
gilt
\begin{maths}[mc]{rcccl}
\eqtag[eq:2:\beweislabel]
\underbrace{
\int_{a}^{b} M_{-}g \dee x
}_{M_{-}\int_{a}^{b} g \dee x =}
&\leq
&\int_{a}^{b} fg \dee x
&\leq &\underbrace{
\int_{a}^{b} M_{+}g \dee x
}_{= M_{+}\int_{a}^{b} g \dee x}.\\
\end{maths}
Da $g\geq 0$ überall, gilt $\int_{a}^{b} g \dee x \geq 0$.
Falls $\int_{a}^{b} g \dee x > 0$,
können wir in \eqcref{eq:2:\beweislabel} überall durch diese Zahl teilen
und erhalten
${%
c \coloneq
\frac{\int_{a}^{b} fg \dee x}{\int_{a}^{b} g \dee x}
\in [M_{-},M_{+}]
}$.
Falls ${\int_{a}^{b} g \dee x = 0}$,
dann folgt aus der \obenst Einschätzungen
${0\leq \int_{a}^{b} fg \dee x \leq 0}$
und damit ${\int_{a}^{b} fg \dee x = 0}$.
In diesem Falle setzen wir ein beliebiges $c \in [M_{-},M_{+}]$.
In beiden Fällen sieht man
\begin{maths}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:3:\beweislabel]
\int_{a}^{b} fg \dee x
&= &c\cdot \int_{a}^{b} g \dee x\\
\end{maths}
für ein $c\in[M_{-},M_{+}]$.
Da $f$ stetig ist und die Werte $M_{-},M_{+}$ realisiert,
existiert laut des ZWS ein $\xi\in[a,b]$ mit $f(\xi)=c$.
Eingesetzt in \eqcref{eq:3:\beweislabel}
erhalten wir die Behauptung.
\end{beweis}
\end{einzug}
%% ********** END OF FILE: body/woche3/A1.tex **********
\setcounterafter{section}{4}
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/woche3/A4.tex
%% ********************************************************************************
\let\oldsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[]{}
\let\sectionname\oldsectionname
\label{sec:3}
Für diese Aufgabe seien gegeben:
\begin{kompaktitem}
\item $a<b$ in $\reals$;
\item $w:[a,b]\to[0,\infty)$ eine Riemann-integrierbare Funktion.
\end{kompaktitem}
\begin{schattierteboxdunn}
\begin{claim}
\setblocklabel{claim:1:ex:3.4}
$\sqrt{w}$ ist Riemann-integrierbar.
\end{claim}
\end{schattierteboxdunn}
\begin{idea}
Wir müssen zeigen, dass
${O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w})\underset{Z}{\longrightarrow}0}$
für \bzgl Feinheit der Zerlegungen $Z$ von $[a,b]$.
Angesichts der Riemann-Integrierbarkeit von $w$,
reicht es offenbar aus,
ein passendes Verhältnis zwischen den Netzen
$(O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z}$
und
$(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))_{Z}$
zu finden.
Als na\"{i}ver Ansatz wollen nun die Ungleichung
\begin{maths}[mc]{rcccl}
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
\abs{\sqrt{y_{2}} - \sqrt{y_{1}}}
&\leq
&\frac{\abs{y_{2}-y_{1}}}{\sqrt{y_{2}} + \sqrt{y_{1}}}
&\leq
&\frac{1}{2}
\sqrt{
\min\{y_{1},y_{2}\}^{-1}
}
\abs{y_{2}-y_{1}}\\
\end{maths}
für $y_{1},y_{2}\in(0,\infty)$ ausnutzen.
Doch sofort erkennen wir das Problem:
$\min\{y_{1},y_{2}\}^{-1}$
ist nicht nach oben beschränkt.
Hierfür gibt es einen kleinen Fix:
wir verschieben die Funktionswerte um eine beliebig kleine positive Zahl, $\eps>0$,
zeigen, dass $\sqrt{w + \eps}$ Riemann-integrierbar ist,
dann lassen wir ${\eps\longrightarrow 0}$
tendieren und verwenden das Resultat:
\emph{
Ein (durch gl. Konvergenz erreichbarer) Grenzwert
Riemann-integrierbarer Funktionen
ist wiederum Riemann-integrierbar.
}
\end{idea}
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}]
Sei $\eps>0$ beliebig.
Für alle Zerlegungen
$Z=(x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ von $[a,b]$
beobachte man
unter den Definitionen
${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
und
${\delta x_{i} \coloneq (x_{i+1}-x_{i})}$:
\begin{longmaths}[mc]{RCL}
O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps})
&= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
\left(
\sup_{x \in I_{i}}\sqrt{w(x)+\eps}
-\inf_{x \in I_{i}}\sqrt{w(x)+\eps}
\right)
\cdot
\delta x_{i}\\
&= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
\left(
\sqrt{\sup_{x \in I_{i}}w(x)+\eps}
-\sqrt{\inf_{x \in I_{i}}w(x)+\eps}
\right)
\cdot
\delta x_{i}\\
&&\text{weil $\sqrt{(\cdot) + \eps}$ stetig ist}\\
&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{\leq}
&\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
\left(
(\sup_{x \in I_{i}}w(x) + \eps)
-(\inf_{x \in I_{i}}w(x) + \eps)
\right)
\cdot
\delta x_{i}\\
&= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
\left(
\sup_{x \in I_{i}}w(x)
-\inf_{x \in I_{i}}w(x)
\right)
\cdot
\delta x_{i}\\
&= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w)).\\
\end{longmaths}
Kraft dieser Einschätzung erhält man
aus der vorausgesetzten Riemann-Integrierbarkeit von $w$:
\begin{maths}[mc]{rcccccl}
0 &\leq
&\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps}))
&\leq
&\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
\limsup_{Z}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))
&= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}\cdot 0.\\
\end{maths}
Also
${\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps}))=0}$.
Also
${O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps})\underset{Z}{\longrightarrow}0}$.
Darum stimmen untere und obere Summen von $\sqrt{w + \eps}$ überein.
Definitionsgemäß ist $\sqrt{w + \eps}$ somit Riemann-integrierbar
für alle $\eps>0$.
Beachte außerdem, dass
\begin{maths}[mc]{rcl}
\sup_{x\in[a,b]}
\abs{\sqrt{w(x)+\eps} - \sqrt{w(x)}}
&= &\sup_{x\in[a,b]}
\frac{
\abs{(w(x)+\eps) - w(x)}
}{
\sqrt{w(x)+\eps} + \sqrt{w(x)}
}\\
&= &\sup_{x\in[a,b]}
\frac{
\eps
}{
\sqrt{w(x)+\eps} + \sqrt{w(x)}
}\\
&\leq &\sup_{x\in[a,b]}
\frac{
\eps
}{
\sqrt{0 + \eps} + \sqrt{0}
}
= \sqrt{\eps},\\
\end{maths}
sodass auf $[a,b]$
das Netz
$(\sqrt{w + \eps})_{\eps>0}$
gleichmäßig gegen
$\sqrt{w}$
konvergiert für ${\eps\longrightarrow 0}$.\footnote{
Wenn man mit Netzen nicht zurecht kommt,
reicht es hier schon mit einer Folge aus:
fixiere irgendeine Nullfolge
$(\eps_{n})_{n\in\naturals}$,
dann
${
\sup_{x\in[a,b]}
\abs{\sqrt{w(x)+\eps_{n}} - \sqrt{w(x)}}
\leq
\sqrt{\eps_{n}}
\underset{n}{\longrightarrow}0
}$.
}
Laut Vorlesung ist $\sqrt{w}$ somit Riemann-integrierbar.
\end{beweis}
\end{einzug}
%% ********** END OF FILE: body/woche3/A4.tex **********
%% ********** END OF FILE: body/woche3/index.tex **********
%% ********** END OF FILE: body/index.tex **********
%% BACKMATTER
\clearpage
%% ********************************************************************************
%% FILE: back/index.tex
%% ********************************************************************************
\nocite{*} % <- forces all entries to appear in bibliography
\bgroup
\small
\bibliographystyle{abbrv}
\def\bibname{Referenzen}
\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{deitmar2014BookAnalysis}
A.~Deitmar.
\newblock {\em {Analysis}}.
\newblock {Springer-Lehrbuch}. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, 1
edition, 2014.
\bibitem{forster2016BookAnalysis1}
O.~Forster.
\newblock {\em {Analysis 1}}.
\newblock {Grundkurs Mathematik}. Springer Spektrum, Wiesbaden, 12 edition,
2016.
\bibitem{pogorzelski}
F.~Pogorzelski.
\newblock {Analysis I--II}, 2021--2.
\newblock {basierend auf dem Skript von Daniel Lenz 2013--14 + 2020--21}.
\end{thebibliography}
\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}{\bibname}}
\egroup
%% ********** END OF FILE: back/index.tex **********
\end{document}
%% ********** END OF FILE: root.tex **********
Loading…
Cancel
Save