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parent
4d4d75f159
commit
02f4e9c514
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@ -0,0 +1,429 @@
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%% ********************************************************************************
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||||
%% AUTHOR: Raj Dahya
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||||
%% CREATED: 19.04.2022
|
||||
%% DATE: SoSe, 2022
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%% YEAR: 2022
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%% TYPE: Notes
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%% TITLE: Notizen
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%% DOI: —
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%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik
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%% INSTITUTE: Universität Leipzig
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%% ********************************************************************************
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%% ********************************************************************************
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%% DOCUMENT STRUCTURE:
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%% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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%%
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%% root.tex
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%% |____ front/index.tex
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%% |____ front/foreword.tex
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%% |____ front/contents.tex
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%% |____ body/index.tex
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||||
%% |____ body/woche3/index.tex
|
||||
%% |____ body/woche3/A1.tex
|
||||
%% |____ body/woche3/A4.tex
|
||||
%% |____ back/index.tex
|
||||
%% |____ back/sources.bib
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%%
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%% DOCUMENT-RANDOM-SEED: ---
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%% ********************************************************************************
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: root.tex
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%% ********************************************************************************
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||||
\begin{document}
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||||
\startdocumentlayoutoptions
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||||
%% FRONTMATTER
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: front/index.tex
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%% ********************************************************************************
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\maketitle
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\clearpage
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: front/foreword.tex
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%% ********************************************************************************
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\section*{Vorwort}
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\bgroup
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||||
\small
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||||
In diesem Dokument sind Ergänzungsnotizen aus der mittwochs Übungsgruppe für Analysis II / Sommersemester 2022 an der Universität Leipzig.
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\egroup
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%% ********** END OF FILE: front/foreword.tex **********
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||||
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||||
\clearpage
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: front/contents.tex
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%% ********************************************************************************
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||||
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||||
\bgroup
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||||
\small
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||||
\setcounter{tocdepth}{3}
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||||
\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis}
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||||
\tableofcontents
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\egroup
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%% ********** END OF FILE: front/contents.tex **********
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||||
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\clearpage
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%% ********** END OF FILE: front/index.tex **********
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||||
%% BODY
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: body/index.tex
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%% ********************************************************************************
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||||
\setcounterafter{chapter}{3}
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%% ********************************************************************************
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||||
%% FILE: body/woche3/index.tex
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%% ********************************************************************************
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||||
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||||
\let\oldchaptername\chaptername
|
||||
\def\chaptername{Woche}
|
||||
\chapter[20. April 2022]{20. April 2022}
|
||||
\let\chaptername\oldchaptername
|
||||
\label{ch:1}
|
||||
|
||||
\setcounterafter{section}{1}
|
||||
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
%% FILE: body/woche3/A1.tex
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
|
||||
\let\oldsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||||
\section[]{}
|
||||
\let\sectionname\oldsectionname
|
||||
\label{sec:2}
|
||||
|
||||
Für diese Aufgabe seien gegeben:
|
||||
|
||||
\begin{kompaktitem}
|
||||
\item $a<b$ in $\reals$;
|
||||
\item $f,g:[a,b]\to\reals$
|
||||
mit $g$ Riemann-integrierbar,
|
||||
$g\geq 0$ überall, und $f$ stetig.
|
||||
\end{kompaktitem}
|
||||
|
||||
Also sind $f,g$ beide Riemann-integrierbar (siehe VL).
|
||||
|
||||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||||
\begin{claim}
|
||||
\setblocklabel{claim:1:ex:3.1}
|
||||
Es existiert ein $\xi\in[a,b]$
|
||||
so dass ${
|
||||
\int_{a}^{b} fg \dee x
|
||||
= f(\xi) \int_{a}^{b} g \dee x
|
||||
}$
|
||||
\end{claim}
|
||||
\end{schattierteboxdunn}
|
||||
|
||||
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
|
||||
\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}]
|
||||
Da $[a,b]$ kompakt ist und $f$ stetig ist,
|
||||
realisiert $f$ sein Infimum und Supremum auf $[a,b]$.
|
||||
\Dh es existieren $x_{-},x_{+}\in[a,b]$, so dass
|
||||
|
||||
\begin{maths}[mc]{rcccl}
|
||||
M_{-}
|
||||
&\coloneq
|
||||
&\inf_{x\in[a,b]}f(x)
|
||||
&= &f(x_{-})\in\reals,\\
|
||||
M_{+}
|
||||
&\coloneq
|
||||
&\sup_{x\in[a,b]}f(x)
|
||||
&= &f(x_{+})\in\reals.\\
|
||||
\end{maths}
|
||||
|
||||
Also $-\infty < M_{-} \leq f(x) \leq M_{+} < \infty$
|
||||
für alle $x\in[a,b]$.
|
||||
Per Monotonie des Integrals und da $g\geq 0$ und $f$ sowie konstante Funktionen Riemann-integrierbar sind,
|
||||
gilt
|
||||
|
||||
\begin{maths}[mc]{rcccl}
|
||||
\eqtag[eq:2:\beweislabel]
|
||||
\underbrace{
|
||||
\int_{a}^{b} M_{-}g \dee x
|
||||
}_{M_{-}\int_{a}^{b} g \dee x =}
|
||||
&\leq
|
||||
&\int_{a}^{b} fg \dee x
|
||||
&\leq &\underbrace{
|
||||
\int_{a}^{b} M_{+}g \dee x
|
||||
}_{= M_{+}\int_{a}^{b} g \dee x}.\\
|
||||
\end{maths}
|
||||
|
||||
Da $g\geq 0$ überall, gilt $\int_{a}^{b} g \dee x \geq 0$.
|
||||
Falls $\int_{a}^{b} g \dee x > 0$,
|
||||
können wir in \eqcref{eq:2:\beweislabel} überall durch diese Zahl teilen
|
||||
und erhalten
|
||||
${%
|
||||
c \coloneq
|
||||
\frac{\int_{a}^{b} fg \dee x}{\int_{a}^{b} g \dee x}
|
||||
\in [M_{-},M_{+}]
|
||||
}$.
|
||||
Falls ${\int_{a}^{b} g \dee x = 0}$,
|
||||
dann folgt aus der \obenst Einschätzungen
|
||||
${0\leq \int_{a}^{b} fg \dee x \leq 0}$
|
||||
und damit ${\int_{a}^{b} fg \dee x = 0}$.
|
||||
In diesem Falle setzen wir ein beliebiges $c \in [M_{-},M_{+}]$.
|
||||
In beiden Fällen sieht man
|
||||
|
||||
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
||||
\eqtag[eq:3:\beweislabel]
|
||||
\int_{a}^{b} fg \dee x
|
||||
&= &c\cdot \int_{a}^{b} g \dee x\\
|
||||
\end{maths}
|
||||
|
||||
für ein $c\in[M_{-},M_{+}]$.
|
||||
Da $f$ stetig ist und die Werte $M_{-},M_{+}$ realisiert,
|
||||
existiert laut des ZWS ein $\xi\in[a,b]$ mit $f(\xi)=c$.
|
||||
Eingesetzt in \eqcref{eq:3:\beweislabel}
|
||||
erhalten wir die Behauptung.
|
||||
\end{beweis}
|
||||
\end{einzug}
|
||||
|
||||
%% ********** END OF FILE: body/woche3/A1.tex **********
|
||||
|
||||
\setcounterafter{section}{4}
|
||||
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
%% FILE: body/woche3/A4.tex
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
|
||||
\let\oldsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||||
\section[]{}
|
||||
\let\sectionname\oldsectionname
|
||||
\label{sec:3}
|
||||
|
||||
Für diese Aufgabe seien gegeben:
|
||||
|
||||
\begin{kompaktitem}
|
||||
\item $a<b$ in $\reals$;
|
||||
\item $w:[a,b]\to[0,\infty)$ eine Riemann-integrierbare Funktion.
|
||||
\end{kompaktitem}
|
||||
|
||||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||||
\begin{claim}
|
||||
\setblocklabel{claim:1:ex:3.4}
|
||||
$\sqrt{w}$ ist Riemann-integrierbar.
|
||||
\end{claim}
|
||||
\end{schattierteboxdunn}
|
||||
|
||||
\begin{idea}
|
||||
Wir müssen zeigen, dass
|
||||
${O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w})\underset{Z}{\longrightarrow}0}$
|
||||
für \bzgl Feinheit der Zerlegungen $Z$ von $[a,b]$.
|
||||
Angesichts der Riemann-Integrierbarkeit von $w$,
|
||||
reicht es offenbar aus,
|
||||
ein passendes Verhältnis zwischen den Netzen
|
||||
$(O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z}$
|
||||
und
|
||||
$(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))_{Z}$
|
||||
zu finden.
|
||||
Als na\"{i}ver Ansatz wollen nun die Ungleichung
|
||||
|
||||
\begin{maths}[mc]{rcccl}
|
||||
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|
||||
\abs{\sqrt{y_{2}} - \sqrt{y_{1}}}
|
||||
&\leq
|
||||
&\frac{\abs{y_{2}-y_{1}}}{\sqrt{y_{2}} + \sqrt{y_{1}}}
|
||||
&\leq
|
||||
&\frac{1}{2}
|
||||
\sqrt{
|
||||
\min\{y_{1},y_{2}\}^{-1}
|
||||
}
|
||||
\abs{y_{2}-y_{1}}\\
|
||||
\end{maths}
|
||||
|
||||
für $y_{1},y_{2}\in(0,\infty)$ ausnutzen.
|
||||
Doch sofort erkennen wir das Problem:
|
||||
$\min\{y_{1},y_{2}\}^{-1}$
|
||||
ist nicht nach oben beschränkt.
|
||||
|
||||
Hierfür gibt es einen kleinen Fix:
|
||||
wir verschieben die Funktionswerte um eine beliebig kleine positive Zahl, $\eps>0$,
|
||||
zeigen, dass $\sqrt{w + \eps}$ Riemann-integrierbar ist,
|
||||
dann lassen wir ${\eps\longrightarrow 0}$
|
||||
tendieren und verwenden das Resultat:
|
||||
\emph{
|
||||
Ein (durch gl. Konvergenz erreichbarer) Grenzwert
|
||||
Riemann-integrierbarer Funktionen
|
||||
ist wiederum Riemann-integrierbar.
|
||||
}
|
||||
\end{idea}
|
||||
|
||||
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
|
||||
\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}]
|
||||
Sei $\eps>0$ beliebig.
|
||||
Für alle Zerlegungen
|
||||
$Z=(x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ von $[a,b]$
|
||||
beobachte man
|
||||
unter den Definitionen
|
||||
${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
|
||||
und
|
||||
${\delta x_{i} \coloneq (x_{i+1}-x_{i})}$:
|
||||
|
||||
\begin{longmaths}[mc]{RCL}
|
||||
O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps})
|
||||
&= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
|
||||
\left(
|
||||
\sup_{x \in I_{i}}\sqrt{w(x)+\eps}
|
||||
-\inf_{x \in I_{i}}\sqrt{w(x)+\eps}
|
||||
\right)
|
||||
\cdot
|
||||
\delta x_{i}\\
|
||||
&= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
|
||||
\left(
|
||||
\sqrt{\sup_{x \in I_{i}}w(x)+\eps}
|
||||
-\sqrt{\inf_{x \in I_{i}}w(x)+\eps}
|
||||
\right)
|
||||
\cdot
|
||||
\delta x_{i}\\
|
||||
&&\text{weil $\sqrt{(\cdot) + \eps}$ stetig ist}\\
|
||||
&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{\leq}
|
||||
&\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
|
||||
\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
|
||||
\left(
|
||||
(\sup_{x \in I_{i}}w(x) + \eps)
|
||||
-(\inf_{x \in I_{i}}w(x) + \eps)
|
||||
\right)
|
||||
\cdot
|
||||
\delta x_{i}\\
|
||||
&= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
|
||||
\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
|
||||
\left(
|
||||
\sup_{x \in I_{i}}w(x)
|
||||
-\inf_{x \in I_{i}}w(x)
|
||||
\right)
|
||||
\cdot
|
||||
\delta x_{i}\\
|
||||
&= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w)).\\
|
||||
\end{longmaths}
|
||||
|
||||
Kraft dieser Einschätzung erhält man
|
||||
aus der vorausgesetzten Riemann-Integrierbarkeit von $w$:
|
||||
|
||||
\begin{maths}[mc]{rcccccl}
|
||||
0 &\leq
|
||||
&\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps}))
|
||||
&\leq
|
||||
&\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
|
||||
\limsup_{Z}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))
|
||||
&= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}\cdot 0.\\
|
||||
\end{maths}
|
||||
|
||||
Also
|
||||
${\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps}))=0}$.
|
||||
Also
|
||||
${O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps})\underset{Z}{\longrightarrow}0}$.
|
||||
Darum stimmen untere und obere Summen von $\sqrt{w + \eps}$ überein.
|
||||
Definitionsgemäß ist $\sqrt{w + \eps}$ somit Riemann-integrierbar
|
||||
für alle $\eps>0$.
|
||||
|
||||
Beachte außerdem, dass
|
||||
|
||||
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
||||
\sup_{x\in[a,b]}
|
||||
\abs{\sqrt{w(x)+\eps} - \sqrt{w(x)}}
|
||||
&= &\sup_{x\in[a,b]}
|
||||
\frac{
|
||||
\abs{(w(x)+\eps) - w(x)}
|
||||
}{
|
||||
\sqrt{w(x)+\eps} + \sqrt{w(x)}
|
||||
}\\
|
||||
&= &\sup_{x\in[a,b]}
|
||||
\frac{
|
||||
\eps
|
||||
}{
|
||||
\sqrt{w(x)+\eps} + \sqrt{w(x)}
|
||||
}\\
|
||||
&\leq &\sup_{x\in[a,b]}
|
||||
\frac{
|
||||
\eps
|
||||
}{
|
||||
\sqrt{0 + \eps} + \sqrt{0}
|
||||
}
|
||||
= \sqrt{\eps},\\
|
||||
\end{maths}
|
||||
|
||||
sodass auf $[a,b]$
|
||||
das Netz
|
||||
$(\sqrt{w + \eps})_{\eps>0}$
|
||||
gleichmäßig gegen
|
||||
$\sqrt{w}$
|
||||
konvergiert für ${\eps\longrightarrow 0}$.\footnote{
|
||||
Wenn man mit Netzen nicht zurecht kommt,
|
||||
reicht es hier schon mit einer Folge aus:
|
||||
fixiere irgendeine Nullfolge
|
||||
$(\eps_{n})_{n\in\naturals}$,
|
||||
dann
|
||||
${
|
||||
\sup_{x\in[a,b]}
|
||||
\abs{\sqrt{w(x)+\eps_{n}} - \sqrt{w(x)}}
|
||||
\leq
|
||||
\sqrt{\eps_{n}}
|
||||
\underset{n}{\longrightarrow}0
|
||||
}$.
|
||||
}
|
||||
Laut Vorlesung ist $\sqrt{w}$ somit Riemann-integrierbar.
|
||||
\end{beweis}
|
||||
\end{einzug}
|
||||
|
||||
%% ********** END OF FILE: body/woche3/A4.tex **********
|
||||
|
||||
%% ********** END OF FILE: body/woche3/index.tex **********
|
||||
|
||||
%% ********** END OF FILE: body/index.tex **********
|
||||
|
||||
%% BACKMATTER
|
||||
\clearpage
|
||||
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
%% FILE: back/index.tex
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
|
||||
\nocite{*} % <- forces all entries to appear in bibliography
|
||||
\bgroup
|
||||
\small
|
||||
\bibliographystyle{abbrv}
|
||||
\def\bibname{Referenzen}
|
||||
\begin{thebibliography}{1}
|
||||
|
||||
\bibitem{deitmar2014BookAnalysis}
|
||||
A.~Deitmar.
|
||||
\newblock {\em {Analysis}}.
|
||||
\newblock {Springer-Lehrbuch}. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, 1
|
||||
edition, 2014.
|
||||
|
||||
\bibitem{forster2016BookAnalysis1}
|
||||
O.~Forster.
|
||||
\newblock {\em {Analysis 1}}.
|
||||
\newblock {Grundkurs Mathematik}. Springer Spektrum, Wiesbaden, 12 edition,
|
||||
2016.
|
||||
|
||||
\bibitem{pogorzelski}
|
||||
F.~Pogorzelski.
|
||||
\newblock {Analysis I--II}, 2021--2.
|
||||
\newblock {basierend auf dem Skript von Daniel Lenz 2013--14 + 2020--21}.
|
||||
|
||||
\end{thebibliography}
|
||||
\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}{\bibname}}
|
||||
\egroup
|
||||
|
||||
%% ********** END OF FILE: back/index.tex **********
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%% ********** END OF FILE: root.tex **********
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