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# Vorlesungswoche 2 (11.—17. April 2022) #
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## Agenda ##
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- [x] Organisatorisches
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- Bedenke auch, zur Vertiefung sich die Literatur (referenziert in [protocol/woche1.md](./woche1.md)) nachzuschlagen.
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- [x] Aufgaben: ÜB1
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- A1: Hauptidee war:
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- g´(a') = ƒ´(a') - ξ < 0 < ƒ´(b') - ξ = g´(b')
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- g diffbar auf (a', b') und rechts- bzw. linksableitbar im Pkt a' bzw. b'
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- Für solche Funktionen gilt das Lemma:
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- g stetig auf [a', b'] und besitzt damit ein globales Minimum (c,g(c))
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- c ≠ a', weil sonst die Rechtsableitung g´(a') ≥ 0 gelten muss.
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- c ≠ b', weil sonst die Linksableitung g´(b') ≤ 0 gelten muss.
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- Darum c ∈ (a', b'). Also:
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```
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g´(c) = Rechtsableitung g´(c)
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= lim (g(x)-g(c))/(x-c) mit x ⟶ γ⁺
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= lim |g(x)-g(c)|/|x-γ| da x > γ und g(x) ≥ g(c)
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≥ 0
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g´(c) = Linksableitung g´(c)
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= lim (g(x)-g(c))/(x-c) mit x ⟶ c¯
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= lim -|g(x)-g(c)|/|x-c| da x < c und g(x) ≥ g(c)
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= - lim |g(x)-g(c)|/|x-c| mit x ⟶ c¯
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≤ 0
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⟹ g´(c) = 0.
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```
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- A2 übersprungen.
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- A3 vorgerechnet
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- A4 mit der Variante berechnet --- mit offenen Intervallen.
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</br>
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Hier eine Variante mit abgeschlossenen Intervallen:
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| Sei n ≥ 1 eine beliebige Zahl.
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| Setze:
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| A := { x ∈ [0,1] | N(x) ≥ 1/n }
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| = { x ∈ [0,1] | x ∈ ℚ \ {0} und hat Form p/q mit 1 ≤ p ≤ q und 1/q = N(x) ≥ 1/n }
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| = { x ∈ [0,1] | x ∈ ℚ \ {0} und hat Form p/q mit 1 ≤ p ≤ q ≤ n }
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| Also ist A endlich, da offensichtlich |A| ≤ n².
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| | Sei Z = (x[0], x[1], ..., x[m]) eine bel. Zerlegung.
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| | Wegen Überschneidungen durch die Endpunkte
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| | enthalten höchstens 2·|A| Intervalle Punkte aus A.
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| | - Für diese „bad“ Intervalle gelten
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| | sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≤ sup_{x ∈ [0, 1]} N(x) = 1
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| | inf_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≥ inf_{x ∈ [0, 1]} N(x) = 0
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| | - Für die m - 2·|A| anderen „good“ Intervalle gelten
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| | sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≤ 1/(n+1) < 1/n
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| | inf_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≥ inf_{x ∈ [0, 1]} N(x) = 0
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| | Darum:
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| | U_Z(N) = ∑_{k=0}^{m-1} inf_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
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| | ≥ ∑_{k=0}^{m-1} 0 · (x[k+1] - x[k])
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| | = 0.
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| | O_Z(N) = ∑_{k=0}^{m-1} sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
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| | = ∑_{k „bad“} sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
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| | + ∑_{k „good“} sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
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| | ≤ ∑_{k „bad“} 1 · (x[k+1] - x[k])
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| | + ∑_{k „good“} 1/n · (x[k+1] - x[k])
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| | ≤ ∑_{k „bad“} 1 · (x[k+1] - x[k])
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| | + ∑_{k=0}^{m-1} 1/n · (x[k+1] - x[k]) <--- Teleskopsumme = 1/n
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| | ≤ |Z|·#bad + 1/n
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| | ≤ |Z|·2|A| + 1/n
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| ⟹ Für fixes n, aber immer feiner werdende Zerlegungen Z:
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| lim_Z O_Z(N) = limsup_Z O_Z(N)
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| ≤ limsup_Z 2|A|·|Z| + 1/n
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| = 2|A|·0 + 1/n
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| = 1/n
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⟹ Da n beliebig gewählt werden kann, gilt somit:
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inf_Z O_Z(N) = lim_Z O_Z(N)
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≤ inf_n 1/n
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= 0.
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Also: 0 ≤ sup_Z U_Z(N) ≤ inf_Z O_Z(N) ≤ 0
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Also: sup_Z U_Z(N) = inf_Z O_Z(N) = 0.
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Also: N integrierbar und ∫ N dx = 0.
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- [x] Zusatz: Fragen zu ÜB2
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## Nächste Woche ##
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- Übungsblatt 2 + Vorrechnen (**Beachtet:** Kopie von Abgaben behalten!)
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### TODOs (Studierende) ###
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- Kapitel 10 weiter vertiefen durchgehen, inbes. die Konzepte aus LinAlg durchgehen.
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- ÜB2 bis Frist abgeben.
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