1964 lines
67 KiB
TeX
1964 lines
67 KiB
TeX
%% ********************************************************************************
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%% AUTHOR: Raj Dahya
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%% CREATED: 19.04.2022
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%% DATE: SoSe, 2022
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%% YEAR: 2022
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%% TYPE: Notes
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%% TITLE: Notizen
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%% DOI: —
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%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik
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%% INSTITUTE: Universität Leipzig
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%% SUBJECT: Analysis II / Sommersemester 2022
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%% ********************************************************************************
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%% ********************************************************************************
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%% DOCUMENT STRUCTURE:
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%% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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%%
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%% root.tex
|
|
%% |____ src/index.tex
|
|
%% |____ src/setup-class.tex
|
|
%% |____ src/setup-imports.tex
|
|
%% |____ src/local/setup-local-text.tex
|
|
%% |____ src/local/setup-local-maths.tex
|
|
%% |____ front/title.tex
|
|
%% |____ front/index.tex
|
|
%% |____ front/foreword.tex
|
|
%% |____ front/contents.tex
|
|
%% |____ body/index.tex
|
|
%% |____ body/woche3/index.tex
|
|
%% |____ body/woche3/A1.tex
|
|
%% |____ body/woche3/A4.tex
|
|
%% |____ body/woche4/index.tex
|
|
%% |____ body/woche4/A1.tex
|
|
%% |____ body/woche4/A2.tex
|
|
%% |____ body/woche4/A3.tex
|
|
%% |____ body/woche4/A4.tex
|
|
%% |____ back/index.tex
|
|
%% |____ back/sources.bib
|
|
%%
|
|
%% DOCUMENT-RANDOM-SEED: ---
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
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%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: root.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
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|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: src/index.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
\makeatletter
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|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: src/setup-class.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
|
\documentclass[
|
|
a4paper,
|
|
11pt,
|
|
]{scrbook}
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|
|
|
%% ********** END OF FILE: src/setup-class.tex **********
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: src/setup-imports.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
|
\PassOptionsToPackage{
|
|
utf8,
|
|
}{inputenc}
|
|
\PassOptionsToPackage{
|
|
T2A,
|
|
}{fontenc}
|
|
\PassOptionsToPackage{
|
|
utf8,
|
|
}{inputenc}
|
|
\PassOptionsToPackage{
|
|
british,
|
|
ngerman,
|
|
}{babel}
|
|
\PassOptionsToPackage{
|
|
fixlanguage,
|
|
}{babelbib}
|
|
\PassOptionsToPackage{
|
|
bookmarks=true,
|
|
bookmarksopen=false,
|
|
bookmarksopenlevel=0,
|
|
bookmarkstype=toc,
|
|
raiselinks=true,
|
|
hyperfigures=true,
|
|
colorlinks=true,
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
%% colours
|
|
linkcolor=blue,
|
|
anchorcolor=black,
|
|
citecolor=red,
|
|
filecolor=red,
|
|
menucolor=red,
|
|
runcolor=blue,
|
|
urlcolor=blue,
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
}{hyperref}
|
|
\PassOptionsToPackage{
|
|
reset,
|
|
left=1in,
|
|
right=1in,
|
|
top=2.5cm,
|
|
bottom=3cm,
|
|
heightrounded,
|
|
twoside=false,
|
|
}{geometry}
|
|
\PassOptionsToPackage{
|
|
dvipsnames,
|
|
}{xcolor}
|
|
|
|
\usepackage{makecmds} % need for \provideenvironment
|
|
\usepackage{inputenc}
|
|
\usepackage{babel}
|
|
\usepackage{geometry}
|
|
\usepackage{sectsty}
|
|
\usepackage{titlesec} % <— muss VOR fancyhdr, titleps und NACH sectsty geladen werden!!
|
|
\usepackage{fancyhdr}
|
|
\usepackage{babelbib}
|
|
\usepackage{array}
|
|
\usepackage{amsmath}
|
|
\usepackage{amsthm}
|
|
\usepackage{amssymb}
|
|
\usepackage{thmtools}
|
|
\usepackage{relsize}
|
|
\usepackage{enumerate}
|
|
\usepackage{lmodern}
|
|
\usepackage{braket}
|
|
\usepackage{colonequals}
|
|
\usepackage{savesym}
|
|
\usepackage{microtype}
|
|
\usepackage{longtable}
|
|
\usepackage{ulem}
|
|
\usepackage{titling}
|
|
\usepackage{mdframed}
|
|
\usepackage{paralist}
|
|
\usepackage{printlen} % to print latex lengths
|
|
\usepackage{tikz}
|
|
\usepackage{graphicx}
|
|
\usepackage{hyperref}
|
|
\usepackage{cleveref}
|
|
\usepackage{eso-pic}
|
|
\usepackage{ifthen}
|
|
\usepackage{xcolor}
|
|
\usepackage{xspace}
|
|
\usepackage{xstring}
|
|
|
|
\savesymbol{Diamond}
|
|
\savesymbol{emptyset}
|
|
\savesymbol{ggg}
|
|
\savesymbol{int}
|
|
\savesymbol{lll}
|
|
\savesymbol{RectangleBold}
|
|
\savesymbol{langle}
|
|
\savesymbol{rangle}
|
|
\savesymbol{hookrightarrow}
|
|
\savesymbol{hookleftarrow}
|
|
\savesymbol{Asterisk}
|
|
\usepackage{mathabx}
|
|
\usepackage{wasysym}
|
|
\let\varemptyset=\emptyset
|
|
\restoresymbol{x}{Diamond}
|
|
\restoresymbol{x}{emptyset}
|
|
\restoresymbol{x}{ggg}
|
|
\restoresymbol{x}{int}
|
|
\restoresymbol{x}{lll}
|
|
\restoresymbol{x}{RectangleBold}
|
|
\restoresymbol{x}{langle}
|
|
\restoresymbol{x}{rangle}
|
|
\restoresymbol{x}{hookrightarrow}
|
|
\restoresymbol{x}{hookleftarrow}
|
|
\restoresymbol{x}{Asterisk}
|
|
|
|
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolA}{}
|
|
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{m}{n}{
|
|
<-6> MnSymbolA5
|
|
<6-7> MnSymbolA6
|
|
<7-8> MnSymbolA7
|
|
<8-9> MnSymbolA8
|
|
<9-10> MnSymbolA9
|
|
<10-12> MnSymbolA10
|
|
<12-> MnSymbolA12
|
|
}{}
|
|
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{b}{n}{
|
|
<-6> MnSymbolA-Bold5
|
|
<6-7> MnSymbolA-Bold6
|
|
<7-8> MnSymbolA-Bold7
|
|
<8-9> MnSymbolA-Bold8
|
|
<9-10> MnSymbolA-Bold9
|
|
<10-12> MnSymbolA-Bold10
|
|
<12-> MnSymbolA-Bold12
|
|
}{}
|
|
\DeclareSymbolFont{MnSyA}{U}{MnSymbolA}{m}{n}
|
|
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowright}{\mathrel}{MnSyA}{252}
|
|
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{255}
|
|
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowleft}{\mathrel}{MnSyA}{250}
|
|
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{251}
|
|
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolC}{}
|
|
\DeclareSymbolFont{MnSyC}{U}{MnSymbolC}{m}{n}
|
|
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolC}{m}{n}{
|
|
<-6> MnSymbolC5
|
|
<6-7> MnSymbolC6
|
|
<7-8> MnSymbolC7
|
|
<8-9> MnSymbolC8
|
|
<9-10> MnSymbolC9
|
|
<10-12> MnSymbolC10
|
|
<12-> MnSymbolC12%
|
|
}{}
|
|
\DeclareMathSymbol{\powerset}{\mathord}{MnSyC}{180}
|
|
|
|
%% see src/setup-parameters.tex:
|
|
\createcustomcolours
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: src/setup-imports.tex **********
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: src/local/setup-local-text.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
|
\latinabbrv{idest}{i.e.}
|
|
\latinabbrv{Idest}{I.e.}
|
|
\latinabbrv{cf}{cf.}
|
|
\latinabbrv{exempli}{e.g.}
|
|
\latinabbrv{Exempli}{E.g.}
|
|
\latinabbrv{etcetera}{etc.}
|
|
\latinabbrv{viz}{viz.}
|
|
\englishabbrv{bspw}{bspw.}
|
|
\englishabbrv{dh}{d.\,h.}
|
|
\englishabbrv{Dh}{D.\,h.}
|
|
\englishabbrv{fastsicher}{f.\,s.}
|
|
\englishabbrv{imAllg}{i.\,A.}
|
|
\englishabbrv{ImAllg}{I.\,A.}
|
|
\englishabbrv{maW}{m.\,a.\,W.}
|
|
\englishabbrv{oE}{o.\,E.}
|
|
\englishabbrv{OE}{O.\,E.}
|
|
\englishabbrv{oBdA}{o.\,B.\,d.\,A.} %% !! warning: do not call this \wlog !!
|
|
\englishabbrv{OBdA}{O.\,B.\,d.\,A.}
|
|
\englishabbrv{bzgl}{bzgl.}
|
|
\englishabbrv{obenst}{o.\,s.}
|
|
\englishabbrv{untenst}{u.\,s.}
|
|
\englishabbrv{sieheoben}{s.\,o.}
|
|
\englishabbrv{sieheunten}{s.\,u.}
|
|
\englishabbrv{usw}{usw.}
|
|
\englishabbrv{zumB}{z.\,B.}
|
|
\englishabbrv{ZumB}{Z.\,B.}
|
|
|
|
\let\oldbar\bar
|
|
\let\bar\widebar
|
|
\let\narrowbar\oldbar
|
|
\let\oldepsilon\epsilon
|
|
\let\eps\varepsilon
|
|
\let\epsilon\varepsilon
|
|
\let\varepsilon\oldepsilon
|
|
\let\oldphi\phi
|
|
\let\phi\varphi
|
|
\let\varphi\oldphi
|
|
|
|
\newcommand{\todo}{\text{\color{red}{{\bfseries Unter Arbeit}}}\@allowspace}
|
|
\newcommand{\enclosedquote}[1]{\guillemotright{}#1{}\guillemotleft}
|
|
\newcommand{\continueparagraph}[0]{\noindent}
|
|
\newcommand{\firstparagraph}[0]{\noindent}
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: src/local/setup-local-text.tex **********
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: src/local/setup-local-maths.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
|
\providecommand{\topInterior}{}
|
|
\renewcommand{\topInterior}[1]{#1^{\circ}}
|
|
\providecommand{\oBall}{}
|
|
\renewcommand{\oBall}[2]{\cal{B}_{#2}(#1)}
|
|
\providecommand{\clBall}{}
|
|
\renewcommand{\clBall}[2]{\quer{\cal{B}}_{#2}(#1)}
|
|
\providecommand{\uBall}{}
|
|
\renewcommand{\uBall}[1]{\quer{\cal{B}}_{1}(#1)}
|
|
\providecommand{\card}{}
|
|
\renewcommand{\card}[1]{\lvert #1 \rvert}
|
|
\providecommand{\cardLong}{}
|
|
\renewcommand{\cardLong}[1]{\left| set \right|}
|
|
\providecommand{\Arg}{}
|
|
\renewcommand{\Arg}[1]{\mathop{\mathrm{Arg}}(#1)}
|
|
\providecommand{\Gph}{}
|
|
\renewcommand{\Gph}[1]{\mathop{\mathcal{G}}(#1)}
|
|
\providecommand{\abs}{}
|
|
\renewcommand{\abs}[1]{\lvert #1 \rvert}
|
|
\providecommand{\absLong}{}
|
|
\renewcommand{\absLong}[1]{\left| #1 \right|}
|
|
\providecommand{\norm}{}
|
|
\renewcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
|
|
\providecommand{\normLong}{}
|
|
\renewcommand{\normLong}[1]{\left\| #1 \right\|}
|
|
\providecommand{\powerSet}{}
|
|
\renewcommand{\powerSet}[1]{\mathop{\powerset}(#1)}
|
|
|
|
\providecommand{\blockCases}{}
|
|
\renewenvironment{blockCases}[2]{\left\{\begin{array}[#1]{#2}}{\end{array}\right.}
|
|
|
|
\newcommand{\fieldK}[0]{\mathbb{K}}
|
|
\newcommand{\reals}[0]{\mathbb{R}}
|
|
\newcommand{\complex}[0]{\mathbb{C}}
|
|
\newcommand{\rationals}[0]{\mathbb{Q}}
|
|
\newcommand{\integers}[0]{\mathbb{Z}}
|
|
\newcommand{\naturals}[0]{\mathbb{N}}
|
|
\newcommand{\naturalsOne}[0]{\mathbb{N}}
|
|
\newcommand{\naturalsZero}[0]{\mathbb{N}_{0}}
|
|
|
|
\DeclareMathOperator{\RealPart}{\mathfrak{Re}}
|
|
\DeclareMathOperator{\ImagPart}{\mathfrak{Im}}
|
|
\DeclareMathOperator{\Bor}{\mathcal{B}or}
|
|
\DeclareMathOperator{\polydeg}{\mathrm{deg}}
|
|
|
|
\DeclareMathOperator{\supp}{\mathrm{supp}}
|
|
\DeclareMathOperator{\dee}{\mathrm{d}\!}
|
|
\DeclareMathOperator{\id}{\mathrm{id}}
|
|
\DeclareMathOperator{\onematrix}{\mathbf{I}}
|
|
\DeclareMathOperator{\einser}{\mathbf{1}}
|
|
\DeclareMathOperator{\zeromatrix}{\mathbf{0}}
|
|
\newcommand{\ohne}[0]{\mathbin{\setminus}}
|
|
\newcommand{\setof}[2]{\{#1 \mid #2\}}
|
|
\newcommand{\restr}[1]{\vert_{#1}}
|
|
\newcommand{\one}[0]{\mathbf{1}}
|
|
|
|
\DeclareMathOperator{\spanSet}{\mathrm{span}}
|
|
\DeclareMathOperator{\CtsFct}{\mathcal{C}}
|
|
\DeclareMathOperator{\range}{\mathrm{rg}}
|
|
\DeclareMathOperator{\domain}{\mathcal{D}}
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: src/local/setup-local-maths.tex **********
|
|
|
|
\makeatother
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: front/title.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
|
\pretitle{%
|
|
\bgroup
|
|
\center
|
|
\LARGE
|
|
\includegraphics[
|
|
height=6cm,
|
|
]{img/siegel.png}
|
|
\\[\bigskipamount]
|
|
}
|
|
\title{Notizen}
|
|
\posttitle{\endcenter\egroup}
|
|
|
|
\author{\footnotesize Raj Dahya}
|
|
\date{SoSe, 2022}
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: front/title.tex **********
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: src/index.tex **********
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
\startdocumentlayoutoptions
|
|
|
|
%% FRONTMATTER
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: front/index.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
\maketitle
|
|
\clearpage
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: front/foreword.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
\section*{Vorwort}
|
|
|
|
\bgroup
|
|
\small
|
|
In diesem Dokument sind Ergänzungsnotizen aus der donnerstags Übungsgruppe für
|
|
\emph{Analysis II / Sommersemester 2022}, Universität Leipzig.
|
|
\egroup
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: front/foreword.tex **********
|
|
|
|
\clearpage
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: front/contents.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
\bgroup
|
|
\small
|
|
\setcounter{tocdepth}{3}
|
|
\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis}
|
|
|
|
\tableofcontents
|
|
\egroup
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: front/contents.tex **********
|
|
|
|
\clearpage
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: front/index.tex **********
|
|
|
|
%% BODY
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: body/index.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
\setcounterafter{chapter}{2}
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: body/woche3/index.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
\let\oldchaptername\chaptername
|
|
\def\chaptername{Kapitel}
|
|
\chapter[Woche 3, 20. April 2022]{Woche 3, 20. April 2022}
|
|
\let\chaptername\oldchaptername
|
|
\label{ch:1}
|
|
|
|
\setcounterafter{section}{1}
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: body/woche3/A1.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
\let\oldsectionname\sectionname
|
|
\def\sectionname{Aufgabe}
|
|
\section[]{}
|
|
\let\sectionname\oldsectionname
|
|
\label{sec:2}
|
|
|
|
Für diese Aufgabe seien gegeben:
|
|
|
|
\begin{kompaktitem}
|
|
\item $a<b$ in $\reals$;
|
|
\item $f,g:[a,b]\to\reals$
|
|
mit $g$ Riemann-integrierbar,
|
|
$g\geq 0$ überall, und $f$ stetig.
|
|
\end{kompaktitem}
|
|
|
|
Also sind $f,g$ beide Riemann-integrierbar (siehe VL).
|
|
|
|
\begin{schattierteboxdunn}
|
|
\begin{claim}
|
|
\setblocklabel{claim:1:ex:2.1:raj-analysis-ii-notes}
|
|
Es existiert ein $\xi\in[a,b]$
|
|
so dass ${
|
|
\int_{a}^{b} fg \dee x
|
|
= f(\xi) \int_{a}^{b} g \dee x
|
|
}$
|
|
\end{claim}
|
|
\end{schattierteboxdunn}
|
|
|
|
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
|
|
\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}]
|
|
Da $[a,b]$ kompakt ist und $f$ stetig ist,
|
|
realisiert $f$ sein Infimum und Supremum auf $[a,b]$.
|
|
\Dh es existieren $x_{-},x_{+}\in[a,b]$, so dass
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcccl}
|
|
M_{-}
|
|
&\coloneq
|
|
&\inf_{x\in[a,b]}f(x)
|
|
&= &f(x_{-})\in\reals,\\
|
|
M_{+}
|
|
&\coloneq
|
|
&\sup_{x\in[a,b]}f(x)
|
|
&= &f(x_{+})\in\reals.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Also $-\infty < M_{-} \leq f(x) \leq M_{+} < \infty$
|
|
für alle $x\in[a,b]$.
|
|
Per Monotonie des Integrals und da $g\geq 0$ und $f$ sowie konstante Funktionen Riemann-integrierbar sind,
|
|
gilt
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcccl}
|
|
\eqtag[eq:2:\beweislabel]
|
|
\underbrace{
|
|
\int_{a}^{b} M_{-}g \dee x
|
|
}_{M_{-}\int_{a}^{b} g \dee x =}
|
|
&\leq
|
|
&\int_{a}^{b} fg \dee x
|
|
&\leq &\underbrace{
|
|
\int_{a}^{b} M_{+}g \dee x
|
|
}_{= M_{+}\int_{a}^{b} g \dee x}.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Da $g\geq 0$ überall, gilt $\int_{a}^{b} g \dee x \geq 0$.
|
|
Falls $\int_{a}^{b} g \dee x > 0$,
|
|
können wir in \eqcref{eq:2:\beweislabel} überall durch diese Zahl teilen
|
|
und erhalten
|
|
${%
|
|
c \coloneq
|
|
\frac{\int_{a}^{b} fg \dee x}{\int_{a}^{b} g \dee x}
|
|
\in [M_{-},M_{+}]
|
|
}$.
|
|
Falls ${\int_{a}^{b} g \dee x = 0}$,
|
|
dann folgt aus der \obenst Einschätzungen
|
|
${0\leq \int_{a}^{b} fg \dee x \leq 0}$
|
|
und damit ${\int_{a}^{b} fg \dee x = 0}$.
|
|
In diesem Falle setzen wir ein beliebiges $c \in [M_{-},M_{+}]$.
|
|
In beiden Fällen sieht man
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\eqtag[eq:3:\beweislabel]
|
|
\int_{a}^{b} fg \dee x
|
|
&= &c\cdot \int_{a}^{b} g \dee x\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
für ein $c\in[M_{-},M_{+}]$.
|
|
Da $f$ stetig ist und die Werte $M_{-},M_{+}$ realisiert,
|
|
existiert laut des ZWS ein $\xi\in[a,b]$ mit $f(\xi)=c$.
|
|
Eingesetzt in \eqcref{eq:3:\beweislabel}
|
|
erhalten wir die Behauptung.
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{einzug}
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: body/woche3/A1.tex **********
|
|
|
|
\setcounterafter{section}{4}
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: body/woche3/A4.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
\let\oldsectionname\sectionname
|
|
\def\sectionname{Aufgabe}
|
|
\section[]{}
|
|
\let\sectionname\oldsectionname
|
|
\label{sec:3}
|
|
|
|
Für diese Aufgabe seien gegeben:
|
|
|
|
\begin{kompaktitem}
|
|
\item $a < b$ in $\reals$;
|
|
\item ${w : [a,b] \to [0,\infty)}$ eine Riemann-integrierbare Funktion.
|
|
\end{kompaktitem}
|
|
|
|
\begin{schattierteboxdunn}
|
|
\begin{satz}
|
|
\setblocklabel{satz:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
|
|
$\sqrt{w}$ ist Riemann-integrierbar.
|
|
\end{satz}
|
|
\end{schattierteboxdunn}
|
|
|
|
\begin{idea}
|
|
Wir müssen zeigen, dass
|
|
${O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w})\underset{Z}{\longrightarrow}0}$
|
|
für \bzgl Feinheit der Zerlegungen $Z$ von $[a,b]$.
|
|
Angesichts der Riemann-Integrierbarkeit von $w$,
|
|
reicht es offenbar aus,
|
|
ein passendes Verhältnis zwischen den Netzen
|
|
$(O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z}$
|
|
und
|
|
$(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))_{Z}$
|
|
zu finden.
|
|
Als na\"{i}ver Ansatz wollen nun die Ungleichung
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcccl}
|
|
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|
|
\abs{\sqrt{y_{2}} - \sqrt{y_{1}}}
|
|
&\leq
|
|
&\frac{\abs{y_{2}-y_{1}}}{\sqrt{y_{2}} + \sqrt{y_{1}}}
|
|
&\leq
|
|
&\frac{1}{2}
|
|
\sqrt{
|
|
\min\{y_{1},y_{2}\}^{-1}
|
|
}
|
|
\abs{y_{2}-y_{1}}\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
für $y_{1},y_{2}\in(0,\infty)$ ausnutzen.
|
|
Doch sofort erkennen wir das Problem:
|
|
$\min\{y_{1},y_{2}\}^{-1}$
|
|
ist nicht nach oben beschränkt.
|
|
|
|
Hierfür gibt es einen kleinen Fix:
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|
wir verschieben die Funktionswerte um eine beliebig kleine positive Zahl, $\eps>0$,
|
|
zeigen, dass $\sqrt{w + \eps}$ Riemann-integrierbar ist,
|
|
dann lassen wir ${\eps\longrightarrow 0}$
|
|
tendieren und verwenden das Resultat:
|
|
\emph{
|
|
Ein (durch gl. Konvergenz erreichbarer) Grenzwert
|
|
Riemann-integrierbarer Funktionen
|
|
ist wiederum Riemann-integrierbar.
|
|
}
|
|
\end{idea}
|
|
|
|
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
|
|
\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz I]
|
|
Sei $\eps>0$ beliebig.
|
|
Für alle Zerlegungen
|
|
$Z=(x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ von $[a,b]$
|
|
beobachte man
|
|
unter den Definitionen
|
|
${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
|
|
und
|
|
${\delta x_{i} \coloneq (x_{i+1}-x_{i})}$:
|
|
|
|
\begin{longmaths}[mc]{RCL}
|
|
O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps})
|
|
&= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
|
|
\left(
|
|
\sup_{x \in I_{i}}\sqrt{w(x)+\eps}
|
|
-\inf_{x \in I_{i}}\sqrt{w(x)+\eps}
|
|
\right)
|
|
\cdot
|
|
\delta x_{i}\\
|
|
&= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
|
|
\left(
|
|
\sqrt{\sup_{x \in I_{i}}w(x)+\eps}
|
|
-\sqrt{\inf_{x \in I_{i}}w(x)+\eps}
|
|
\right)
|
|
\cdot
|
|
\delta x_{i}\\
|
|
&&\text{weil $\sqrt{(\cdot) + \eps}$ stetig ist}\\
|
|
&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{\leq}
|
|
&\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
|
|
\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
|
|
\left(
|
|
(\sup_{x \in I_{i}}w(x) + \eps)
|
|
-(\inf_{x \in I_{i}}w(x) + \eps)
|
|
\right)
|
|
\cdot
|
|
\delta x_{i}\\
|
|
&= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
|
|
\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
|
|
\left(
|
|
\sup_{x \in I_{i}}w(x)
|
|
-\inf_{x \in I_{i}}w(x)
|
|
\right)
|
|
\cdot
|
|
\delta x_{i}\\
|
|
&= &\frac{1}{2\sqrt{\eps}}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w)).\\
|
|
\end{longmaths}
|
|
|
|
Kraft dieser Einschätzung erhält man
|
|
aus der vorausgesetzten Riemann-Integrierbarkeit von $w$:
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
0 &\leq
|
|
&\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps}))\\
|
|
&\leq
|
|
&\frac{1}{2\sqrt{\eps}}
|
|
\limsup_{Z}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))
|
|
= \frac{1}{2\sqrt{\eps}}\cdot 0.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Also
|
|
${\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps}))=0}$.
|
|
Also
|
|
${O_{Z}(\sqrt{w+\eps}) - U_{Z}(\sqrt{w+\eps})\underset{Z}{\longrightarrow}0}$.
|
|
Darum stimmen untere und obere Summen von $\sqrt{w + \eps}$ überein.
|
|
Definitionsgemäß ist $\sqrt{w + \eps}$ somit Riemann-integrierbar
|
|
für alle $\eps>0$.
|
|
|
|
Beachte außerdem, dass
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\sup_{x\in[a,b]}
|
|
\abs{\sqrt{w(x)+\eps} - \sqrt{w(x)}}
|
|
&= &\sup_{x\in[a,b]}
|
|
\frac{
|
|
\abs{(w(x)+\eps) - w(x)}
|
|
}{
|
|
\sqrt{w(x)+\eps} + \sqrt{w(x)}
|
|
}\\
|
|
&= &\sup_{x\in[a,b]}
|
|
\frac{
|
|
\eps
|
|
}{
|
|
\sqrt{w(x)+\eps} + \sqrt{w(x)}
|
|
}\\
|
|
&\leq &\sup_{x\in[a,b]}
|
|
\frac{
|
|
\eps
|
|
}{
|
|
\sqrt{0 + \eps} + \sqrt{0}
|
|
}
|
|
= \sqrt{\eps},\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
sodass auf $[a,b]$
|
|
das Netz
|
|
$(\sqrt{w + \eps})_{\eps>0}$
|
|
gleichmäßig gegen
|
|
$\sqrt{w}$
|
|
konvergiert für ${\eps\longrightarrow 0}$.\footnote{
|
|
Wenn man mit Netzen nicht zurecht kommt,
|
|
reicht es hier schon mit einer Folge aus:
|
|
fixiere irgendeine Nullfolge
|
|
$(\eps_{n})_{n\in\naturals}$,
|
|
dann
|
|
${
|
|
\sup_{x\in[a,b]}
|
|
\abs{\sqrt{w(x)+\eps_{n}} - \sqrt{w(x)}}
|
|
\leq
|
|
\sqrt{\eps_{n}}
|
|
\underset{n}{\longrightarrow}0
|
|
}$.
|
|
}
|
|
Laut Vorlesung ist $\sqrt{w}$ somit Riemann-integrierbar.
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{einzug}
|
|
|
|
Die Idee im vorherigen Ansatz kann man vereinfachen.
|
|
Folgende Herangehensweise kommt von Tobias Habacker.
|
|
Zunächst benötigen wir eine Einschätzung:
|
|
|
|
\begin{prop}
|
|
\setblocklabel{prop:0:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
|
|
Sei $\eps > 0$ beliebig.
|
|
Dann für alle $0 \leq \alpha \leq \beta < \infty$
|
|
gilt
|
|
$%
|
|
\sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
|
|
\leq
|
|
\max\{
|
|
\eps^{-1}(\beta - \alpha),
|
|
\eps
|
|
\}
|
|
\leq
|
|
\eps^{-1}(\beta - \alpha) + \eps
|
|
$.
|
|
\end{prop}
|
|
|
|
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
|
|
\begin{beweis}
|
|
Falls $\sqrt{\beta} < \eps$, so gilt
|
|
$%
|
|
\max\{
|
|
\eps^{-1}(\beta - \alpha),
|
|
\eps
|
|
\} \geq \eps
|
|
\geq \sqrt{\beta}
|
|
\geq \sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
|
|
$, also gilt die Ungleichung.
|
|
Falls $\sqrt{\beta} \geq \eps$,
|
|
so gilt
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
|
|
&= &\frac{
|
|
\beta - \alpha
|
|
}{\sqrt{\beta} + \sqrt{\alpha}}\\
|
|
&\leq
|
|
&\frac{
|
|
\beta - \alpha
|
|
}{\sqrt{\beta}}\\
|
|
&\leq &\eps^{-1})(\beta - \alpha)\\
|
|
&\leq &\max\{
|
|
\eps^{-1}(\beta - \alpha),
|
|
\eps
|
|
\}.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Darum gilt die erste Ungleichung in allen Fällen.
|
|
Die zweite gilt, weil
|
|
für alle $r,s\in[0,\infty)$
|
|
entweder
|
|
$\max\{r,s\} = r \leq r + s$
|
|
oder
|
|
$\max\{r,s\} = s \leq r + s$
|
|
gilt.
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{einzug}
|
|
|
|
Dies können wir verwenden, um die Ober- und Untersummen von $\sqrt{w}$
|
|
ohne Modifizierung von $w$ einzuschätzen.
|
|
|
|
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
|
|
\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz II]
|
|
Sei $\eps > 0$ beliebig.
|
|
Für alle Zerlegungen
|
|
$Z=(x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ von $[a,b]$
|
|
beobachte man
|
|
unter den Definitionen
|
|
${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
|
|
und
|
|
${\delta x_{i} \coloneq (x_{i+1}-x_{i})}$:
|
|
|
|
\begin{longmaths}[mc]{RCL}
|
|
O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w})
|
|
&= &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
|
|
\left(
|
|
\sqrt{\sup_{x \in I_{i}}w(x)}
|
|
-\sqrt{\inf_{x \in I_{i}}w(x)}
|
|
\right)
|
|
\cdot
|
|
\delta x_{i}\\
|
|
&&\text{(analog zu Ansatz I)}\\
|
|
&\leq &\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}
|
|
\left(
|
|
\eps^{-1} \cdot (
|
|
\sup_{x \in I_{i}}w(x)
|
|
-\inf_{x \in I_{i}}w(x)
|
|
)
|
|
+ \eps
|
|
\right)
|
|
\cdot
|
|
\delta x_{i}\\
|
|
&&\text{wegen \Cref{prop:0:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}}\\
|
|
&= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w))
|
|
+ \eps\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}(x_{i+1}-x_{i})\\
|
|
&= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (x_{N} - x_{0})\\
|
|
&= &\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a).\\
|
|
\end{longmaths}
|
|
|
|
Da dies für alle Zerlegungen, $Z$, von $[a,b]$ gilt
|
|
und $w$ Riemann-integrierbar ist, gilt
|
|
${(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))_{Z} \longrightarrow 0}$.
|
|
Folglich
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
0 &\leq &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))\\
|
|
&\leq &\limsup_{Z} (\eps^{-1} \cdot (O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a))\\
|
|
&= &\eps^{-1} \cdot \limsup_{Z}(O_{Z}(w)-U_{Z}(w)) + \eps \cdot (b - a)\\
|
|
&= &\eps^{-1} \cdot 0 + \eps \cdot (b - a).\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Da dies für alle $\eps > 0$ gilt, erhält man
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcccccl}
|
|
0 &\leq &\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))
|
|
&\leq &\inf_{\eps}(\eps \cdot (b - a))
|
|
&= &0.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Also $\limsup_{Z}(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w})) = 0$.
|
|
Also ${(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z} \longrightarrow 0}$.
|
|
Also ist $\sqrt{w}$ Riemann-integrierbar.
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{einzug}
|
|
|
|
Es gibt nun einen dritten Ansatz.
|
|
Vorerst brauchen wir zwei kleine Resultate:
|
|
|
|
\begin{prop}
|
|
\setblocklabel{prop:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
|
|
Sei ${u : [a,b] \to [0,\infty)}$.
|
|
Angenommen, $\sqrt{u}$ sei Riemann-integrierbar.
|
|
Aus der VL wissen wir, dass dann $u = \sqrt{u}^{2}$ ebenfalls Riemann-integrierbar ist.
|
|
Des Weiteren gilt
|
|
${\displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{u} \dee x \leq (b - a)^{1/2}(\displaystyle\int_{a}^{b} u \dee x)^{1/2}}$.
|
|
\end{prop}
|
|
|
|
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
|
|
\begin{beweis}
|
|
Dies ist eine einfache Anwendung von der Cauchy-Schwarz Ungleichung
|
|
auf die Riemann-integrierbaren Funktion $\sqrt{u}$ und $\einser_{[a,b]}$.
|
|
(Siehe ÜG.)
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{einzug}
|
|
|
|
\begin{prop}
|
|
\setblocklabel{prop:2:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
|
|
Seien $0 \leq \alpha \leq \beta < \infty$.
|
|
Dann $\sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha} \leq \sqrt{\beta - \alpha}$.
|
|
\end{prop}
|
|
|
|
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
|
|
\begin{beweis}
|
|
Falls $\alpha = \beta$, sind beide seiten der behaupteten Ungleichung $0$ und deshalb gilt sie.
|
|
Ansonsten muss $\beta > \alpha \geq 0$ und damit $\sqrt{\beta} + \sqrt{\alpha} > 0$.
|
|
Durch den üblichen Trick erhalten wir
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcccccl}
|
|
\sqrt{\beta} - \sqrt{\alpha}
|
|
&= &\frac{\beta - \alpha}{\sqrt{\beta} + \sqrt{\alpha}}
|
|
&= &\sqrt{\beta - \alpha} \cdot \frac{\sqrt{\beta - \alpha}}{\sqrt{\beta} + \sqrt{\alpha}}
|
|
&\leq
|
|
&\sqrt{\beta - \alpha} \cdot \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\beta} + 0},\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
da $\sqrt{\cdot}$ monoton ist und $\beta - \alpha \leq \beta$
|
|
und $\sqrt{\beta} + \sqrt{\alpha} \geq \sqrt{\beta}$.
|
|
Darum gilt die Ungleichung.
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{einzug}
|
|
|
|
\def\beweislabel{satz:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}
|
|
Jetzt können wir die Idee hinter dem 3. Ansatz zum Beweis von \Cref{\beweislabel} erklären:
|
|
|
|
\begin{idea}
|
|
Wir müssen zeigen, dass
|
|
${O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w})\underset{Z}{\longrightarrow}0}$
|
|
für \bzgl Feinheit der Zerlegungen $Z$ von $[a,b]$.
|
|
Wiederum suchen wir ein passendes Verhältnis zwischen den Netzen
|
|
$(O_{Z}(\sqrt{w})-U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z}$
|
|
und
|
|
$(O_{Z}(w)-U_{Z}(w))_{Z}$.
|
|
Nun, entsprechend der Zerlegungen sind Treppenfunktionen.
|
|
Darum betrachten wird diese Summen als Integrale von Treppenfunktionen
|
|
und wenden die Ungleichung in \Cref{prop:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes} darauf an.
|
|
Dies dürfen wir, da Treppenfunktionen stets Riemann-integrierbar sind.
|
|
\end{idea}
|
|
|
|
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
|
|
\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}, Ansatz III]
|
|
Sei $Z = (x_{0},x_{1},\ldots,x_{N})$ eine beliebige Zerlegung von $[a,b]$.
|
|
Setze außerdem
|
|
${I_{i} \coloneq [x_{i},x_{i+1}]}$
|
|
und
|
|
${\delta x_{i} \coloneq (x_{i+1}-x_{i})}$.
|
|
Setze auch
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{cc}
|
|
\begin{array}[t]{rcl}
|
|
h^{+}_{i} &\coloneq &\sup_{x \in I_{i}} w(x),\\
|
|
h^{-}_{i} &\coloneq &\sup_{x \in I_{i}} w(x),\\
|
|
\end{array}
|
|
&\begin{array}[t]{rcl}
|
|
g^{+}_{i} &\coloneq &\sup_{x \in I_{i}} \sqrt{w(x)},\\
|
|
g^{-}_{i} &\coloneq &\sup_{x \in I_{i}} \sqrt{w(x)}\\
|
|
\end{array}\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
für jedes $i\in\{0,1,\ldots,N-1\}$ und definiere die Treppenfunktionen
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{cc}
|
|
\begin{array}[t]{rcl}
|
|
h^{+} &\coloneq &\sum_{i=0}^{N-1}h^{+}_{i}\cdot\einser_{I_{i}},\\
|
|
h^{-} &\coloneq &\sum_{i=0}^{N-1}h^{-}_{i}\cdot\einser_{I_{i}},\\
|
|
\end{array}
|
|
&\begin{array}[t]{rcl}
|
|
g^{+} &\coloneq &\sum_{i=0}^{N-1}g^{+}_{i}\cdot\einser_{I_{i}},\\
|
|
g^{-} &\coloneq &\sum_{i=0}^{N-1}g^{-}_{i}\cdot\einser_{I_{i}}.\\
|
|
\end{array}\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Per Konstruktion dieser Treppenfunktionen sieht man sofort, dass
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\eqtag[eq:1:2:\beweislabel]
|
|
\begin{array}[t]{rcl}
|
|
\displaystyle\int_{a}^{b} h^{+} \dee x &= &O_{Z}(w),\\
|
|
\displaystyle\int_{a}^{b} h^{-} \dee x &= &U_{Z}(w),\\
|
|
\end{array}
|
|
&\begin{array}[t]{rcl}
|
|
\displaystyle\int_{a}^{b} g^{+} \dee x &= &O_{Z}(\sqrt{w}),\\
|
|
\displaystyle\int_{a}^{b} g^{-} \dee x &= &U_{Z}(\sqrt{w})\\
|
|
\end{array}\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
gelten.
|
|
Wegen Stetigkeit und (strikter) Monotonie von $\sqrt{\cdot}$ auf $I_{i} = [x_{i},x_{i+1}]$
|
|
beobachte man, dass
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcccccl}
|
|
\sqrt{h^{+}_{i}}
|
|
&= &\sqrt{\sup_{x \in I_{i}} w(x)}
|
|
&= &\sup_{x \in I_{i}} \sqrt{w(x)}
|
|
&= &g^{+}_{i},\\
|
|
\sqrt{h^{-}_{i}}
|
|
&= &\sqrt{\sup_{x \in I_{i}} w(x)}
|
|
&= &\sup_{x \in I_{i}} \sqrt{w(x)}
|
|
&= &g^{-}_{i}\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
für alle $i \in \{0,1,\ldots,N-1\}$.
|
|
Darum gelten
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rclcrcl}
|
|
\eqtag[eq:2:2:\beweislabel]
|
|
\sqrt{h^{+}} &= &g^{+}
|
|
&\text{und}
|
|
&\sqrt{h^{-}} &= &g^{-}.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Mithilfe der \obenst Resultate erhält man
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\eqtag[eq:3:2:\beweislabel]
|
|
O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w})
|
|
&\eqcrefoverset{eq:1:2:\beweislabel}{=}
|
|
&\displaystyle\int_{a}^{b} g^{+} - g^{-} \dee x\\
|
|
&\eqcrefoverset{eq:2:2:\beweislabel}{=}
|
|
&\displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{h^{+}} - \sqrt{h^{-}} \dee x\\
|
|
&\leq
|
|
&\displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{h^{+} - h^{-}} \dee x\\
|
|
&&\begin{array}[t]{0l}
|
|
\text{nach \Cref{prop:2:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes}}\\
|
|
\text{und da $0 \leq h^{-} \leq h^{+} < \infty$ überall}\\
|
|
\end{array}\\
|
|
&\leq
|
|
&(b-a)^{1/2}(\displaystyle\int_{a}^{b} h^{+} - h^{-} \dee x)^{1/2}\\
|
|
&\eqcrefoverset{eq:1:2:\beweislabel}{=}
|
|
&(b-a)^{1/2}\sqrt{O_{Z}(w) - U_{Z}(w)}\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
wobei die letzte Ungleichung aus
|
|
\Cref{prop:1:ex:2.4:raj-analysis-ii-notes} folgt,
|
|
und da $h^{+} - h^{-}$ eine Treppenfunktion und damit Riemann-integrierbar ist.
|
|
|
|
Da $w$ Riemann-integrierbar ist, gilt nun
|
|
${(O_{Z}(w) - U_{Z}(w))_{Z} \longrightarrow 0}$.
|
|
Wegen Stetigkeit von $(b-a)^{1/2}\sqrt{\cdot}$ auf $[0,\infty)$
|
|
gilt also
|
|
${((b-a)^{1/2}\sqrt{O_{Z}(w) - U_{Z}(w)})_{Z} \longrightarrow 0}$.
|
|
Da \eqcref{eq:3:2:\beweislabel} für alle Zerlegung $Z$ von $[a,b]$ gilt,
|
|
erhält man
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcccccl}
|
|
0 &\leq &\limsup_{Z} O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w})
|
|
&\leq &\limsup_{Z} (b-a)^{1/2}\sqrt{O_{Z}(w) - U_{Z}(w)}
|
|
&= &0\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Darum gilt ${(O_{Z}(\sqrt{w}) - U_{Z}(\sqrt{w}))_{Z} \longrightarrow 0}$.
|
|
Also ist $\sqrt{w}$ Riemann-integrierbar.
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{einzug}
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: body/woche3/A4.tex **********
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: body/woche3/index.tex **********
|
|
|
|
\setcounterafter{chapter}{3}
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: body/woche4/index.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
\let\oldchaptername\chaptername
|
|
\def\chaptername{Kapitel}
|
|
\chapter[Woche 4, 27. April 2022]{Woche 4, 27. April 2022}
|
|
\let\chaptername\oldchaptername
|
|
\label{ch:4}
|
|
|
|
\setcounterafter{section}{1}
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: body/woche4/A1.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
\let\oldsectionname\sectionname
|
|
\def\sectionname{Aufgabe}
|
|
\section[]{}
|
|
\let\sectionname\oldsectionname
|
|
\label{sec:5}
|
|
|
|
Für diese Aufgabe seien gegeben:
|
|
|
|
\begin{kompaktitem}
|
|
\item $a<b$ in $\reals$ und wir setzen $X \coloneq [a,b]$;
|
|
\item $(f_{n})_{n\in\naturals}$ eine Folge von Funktionen,
|
|
$f_{n} : X \to \reals$
|
|
für $n\in\naturals$.
|
|
\end{kompaktitem}
|
|
|
|
Für jede Funktion
|
|
${f : X \to \reals}$
|
|
definiere
|
|
$\norm{f}_{\infty} \coloneq \sup_{x \in X}\abs{f(x)} \in [0,\infty]$.
|
|
Per Definition gilt $\norm{f}_{\infty} \in \reals$ gdw. $f$ beschränkt ist.
|
|
|
|
\begin{schattierteboxdunn}
|
|
\begin{claim}
|
|
\setblocklabel{claim:1:ex:3.1:raj-analysis-ii-notes}
|
|
Angenommen,
|
|
so dass $(f_{n})_{n\in\naturals}$
|
|
genüge folgender Eigenschaft
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{c}
|
|
\eqtag{C}
|
|
\forall{\eps > 0:~}
|
|
\exists{N \in \naturals:~}
|
|
\forall{m,n \geq N:~}
|
|
\norm{f_{n} - f_{m}}_{\infty} < \eps.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Dann existiert eine stetige Funktion ${f : X \to \reals}$,
|
|
so dass
|
|
${(f_{n})_{n} \longrightarrow f}$
|
|
gleichmäßig.
|
|
\end{claim}
|
|
\end{schattierteboxdunn}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Für jedes $x \in X$ gilt
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{c}
|
|
\forall{\eps > 0:~}
|
|
\exists{N \in \naturals:~}
|
|
\forall{m,n \geq N:~}
|
|
|f_{n}(x)-f_{m}(x)|
|
|
\leq \norm{f_{n} - f_{m}}_{\infty} < \eps.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Darum ist $(f_{n}(x))_{n} \subseteq \reals$ Cauchy.
|
|
Da $\reals$ vollständig ist,
|
|
existiert somit eine eindeutige Zahl $y_{x} \in \reals$,
|
|
so dass ${(f_{n}(x))_{n} \longrightarrow y_{x}}$.
|
|
Definiere nun ${f : X \longrightarrow \reals}$
|
|
vermöge $f(x) = y_{x}$ für $x \in X$.
|
|
Dann per Wahl wissen wir, dass ${(f_{n})_{n} \longrightarrow f}$ punktweise.
|
|
Wir müssen zeigen, dass (1) diese Konvergenz gleichmäßig ist
|
|
und dass (2) $f$ stetig ist.
|
|
|
|
\heading{Zur gleichmäßigen Konvergenz:}
|
|
Sei $\eps > 0$.
|
|
Per Eigenschaft (C) existiert ein Index $N_{0}$,
|
|
so dass
|
|
${\norm{f_{n} - f_{m}}_{\infty} < \frac{\eps}{3}}$
|
|
für alle $m,n \geq N_{0}$.
|
|
Sei $m \geq N(\eps)$ beliebig.
|
|
Sei $x \in X$ beliebig.
|
|
Per Konstruktion von $f$ existiert ein Index $n_{0}$,
|
|
so dass
|
|
$\abs{f(x) - f_{n}(x)} < \frac{\eps}{3}$
|
|
für alle $n \geq n_{0}$.
|
|
Wähle nun irgendeinen Index $n$ mit $n \geq N_{0}$ und $n \geq n_{0}$.
|
|
Dann:
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcccl}
|
|
\abs{f(x) - f_{m}(x)}
|
|
&\leq &\abs{f(x) - f_{n}(x)} + \abs{f_{n}(x) - f_{n}(x)}
|
|
&< &\frac{\eps}{3} + \frac{\eps}{3},\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
da $n \geq n_{0}$ und $m,n \geq N_{0}$.
|
|
Da dies für alle $x \in X$ gilt,
|
|
erhalten wir
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcccccl}
|
|
\norm{f-f_{m}}_{\infty}
|
|
&= &\sup_{x \in X}\abs{f(x) - f_{m}(x)}
|
|
&\leq &\frac{2\eps}{3}
|
|
&< &\eps.
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Darum wurde
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcccccl}
|
|
\forall{\eps>0:~}
|
|
\exists{N\in\naturals:~}
|
|
\forall{m \geq N:~}
|
|
\norm{f-f_{m}}_{\infty} < \eps\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
bewiesen.
|
|
Also, ${(f_{n})_{n} \longrightarrow f}$ gleichmäßig.
|
|
|
|
\heading{Zur Stetigkeit von $f$:}
|
|
Seien ${(x_{k})_{k} \subseteq X}$ und $x \in X$ beliebig.
|
|
Wir müssen zeigen, dass ${(f(x_{k}))_{k} \longrightarrow f(x)}$.
|
|
Seien $x \in X$ und $\eps > 0$.
|
|
Wir müssen eine Umgebung $U$ von $x$ finden,
|
|
so dass
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{c}
|
|
\eqtag[eq:0:\beweislabel]
|
|
\forall{x^{\prime} \in U:~}
|
|
\abs{f(x^{\prime}) - f(x)} < \eps\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Wegen gleichmäßiger Konvergenz existiert ein Index $N_{0}$,
|
|
so dass
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{c}
|
|
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|
|
\norm{f-f_{m}}_{\infty} < \frac{\eps}{3}\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
für $m \geq N_{0}$.
|
|
Wähle nun irgendeinen Index $m$ mit $m \geq N_{0}$.
|
|
Da per Voraussetzung $f_{m}$ stetig ist,
|
|
existiert eine Umgebung $U$ von $x$,
|
|
so dass
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{c}
|
|
\eqtag[eq:2:\beweislabel]
|
|
\forall{x^{\prime} \in U:~}
|
|
\abs{f_{m}(x^{\prime}) - f_{m}(x)}
|
|
< \frac{\eps}{3}.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Zwei Anwendungen von \eqcref{eq:1:\beweislabel} und eine von \eqcref{eq:2:\beweislabel}
|
|
liefert nun für jedes $x^{\prime} \in U$:
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\abs{f(x^{\prime}) - f(x)}
|
|
&\leq &\abs{f(x^{\prime}) - f_{m}(x^{\prime})}
|
|
+ \abs{f_{m}(x^{\prime}) - f_{m}(x)}
|
|
+ \abs{f_{m}(x) - f(x)}\\
|
|
&\leq &\norm{f - f_{m}}_{\infty}
|
|
+ \abs{f_{m}(x^{\prime}) - f_{m}(x)}
|
|
+ \norm{f_{m} - f}_{\infty}\\
|
|
&< &\frac{\eps}{3}
|
|
+ \frac{\eps}{3}
|
|
+ \frac{\eps}{3}
|
|
= \eps\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Darum gilt \eqcref{eq:0:\beweislabel}.
|
|
Da $x,\eps$ beliebig gewählt wurden ist $f$ stetig.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
\begin{rem}
|
|
Es spielte keine Rolle, dass es sich um eine Folge handelte:
|
|
wir hätten auch mit Netzen arbeiten können.
|
|
Wir benötigten nur die Vollständigkeit des Werteraums.
|
|
Darum hätten wir $\reals$ durch jeden beliebigen vollständig metrischen Raum,
|
|
$(Y,d)$,
|
|
ersetzen können.
|
|
Es spielt überhaupt keine Rolle, dass $X = [a,b]$.
|
|
Dieser Beweis funktioniert für jeden topologischen Raum, $X$,
|
|
solange alle stetigen Funktionen über $X$ beschränkt sind.
|
|
Dies ist der Fall, wenn $X$ kompakt ist.
|
|
In der Tat, wissen wir durch einen analogen Beweis mit effektiv keinen Modifizierungen,
|
|
dass der Raum $C(X,Y)$
|
|
(%
|
|
der Raum aller stetigen Funkionen
|
|
über einem kompakten Raum $X$ nach einem vollständig metrischen Raum $(Y,d)$%
|
|
)
|
|
vollständig ist \bzgl der Metrik
|
|
$d_{\infty}(f,g) \coloneq \sup_{x \in X}d(f(x),g(x))$.
|
|
Siehe \bspw \cite[\S{}3.19, bes.~Lemma~3.97, S.{}124]{aliprantis2005BookAnalysis}.
|
|
Wenn $(Y,d)$ ein vollständig normierter Vektorraum ist
|
|
(wie \zumB $(\reals,\abs{\cdot})$, $(\complex,\abs{\cdot})$),
|
|
so ist $d_{\infty}$ durch die Norm $\norm{\cdot}_{\infty}$ induziert,
|
|
und $(C(X,Y),\norm{\cdot}_{\infty})$ bildet dann einen vollständig normierten Vektorraum.
|
|
Dies ist einer der ersten Banach-Räume, dem wir begegnen.
|
|
\end{rem}
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: body/woche4/A1.tex **********
|
|
|
|
\setcounterafter{section}{2}
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: body/woche4/A2.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
\let\oldsectionname\sectionname
|
|
\def\sectionname{Aufgabe}
|
|
\section[]{}
|
|
\let\sectionname\oldsectionname
|
|
\label{sec:6}
|
|
|
|
\begin{schattierteboxdunn}
|
|
\begin{claim}
|
|
\setblocklabel{claim:1:ex:3.2:raj-analysis-ii-notes}
|
|
Seien $\alpha \in (0, \infty)$.
|
|
Dann
|
|
$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k^{-\alpha} < \infty$
|
|
gdw. $\alpha > 1$.
|
|
\end{claim}
|
|
\end{schattierteboxdunn}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Sei $N\in\naturals$ mit $N > 1$.
|
|
Dann
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|
|
\displaystyle\sum_{k=1}^{N}k^{-\alpha}
|
|
&= &k^{-N} + \displaystyle\sum_{k=1}^{N - 1}
|
|
\displaystyle\int_{t=k}^{k + 1} k^{-\alpha} \dee t\\
|
|
&\geq &0 + \displaystyle\sum_{k=1}^{N - 1}
|
|
\displaystyle\int_{t=k}^{k + 1} t^{-\alpha} \dee t
|
|
= \displaystyle\int_{t=1}^{N} t^{-\alpha} \dee t\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
und
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\eqtag[eq:2:\beweislabel]
|
|
\displaystyle\sum_{k=1}^{N}k^{-\alpha}
|
|
&= &1 + \displaystyle\sum_{k=2}^{N} \displaystyle\int_{t=k-1}^{k} k^{-\alpha} \dee t\\
|
|
&\leq &1 + \displaystyle\sum_{k=2}^{N}
|
|
\displaystyle\int_{t=k-1}^{k} t^{-\alpha} \dee t\\
|
|
&= &1 + \displaystyle\int_{t=1}^{N} t^{-\alpha} \dee t.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Laut Skript (siehe \cite[\S{}11.3,~Bsp.~(c)]{pogorzelskiVLSkript})
|
|
wissen wir nun, dass
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\eqtag[eq:3:\beweislabel]
|
|
\displaystyle\int_{t=1}^{\infty} t^{-\alpha} \dee t
|
|
&= &\begin{blockCases}{mc}{rcl}
|
|
+\infty &: &\alpha \leq 1\\
|
|
\frac{1}{1-\alpha} &: &\alpha > 1\\
|
|
\end{blockCases}.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Folglich gelten
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k^{-\alpha}
|
|
&= &\displaystyle\limsup_{N \to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}k^{-\alpha}\\
|
|
&\eqcrefoverset{eq:2:\beweislabel}{\leq}
|
|
&\displaystyle\limsup_{N \to \infty}\displaystyle\int_{t=1}^{N} t^{-\alpha} \dee t + 1\\
|
|
&= &\displaystyle\displaystyle\int_{t=1}^{\infty} t^{-\alpha} \dee t + 1\\
|
|
&\eqcrefoverset{eq:3:\beweislabel}{=}
|
|
&\frac{1}{1-\alpha} + 1
|
|
< \infty,\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
falls $\alpha > 1$, und
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k^{-\alpha}
|
|
&= &\displaystyle\limsup_{N \to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}k^{-\alpha}\\
|
|
&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{\geq}
|
|
&\displaystyle\limsup_{N \to \infty}\displaystyle\int_{t=1}^{N} t^{-\alpha} \dee t\\
|
|
&= &\displaystyle\int_{t=1}^{\infty} t^{-\alpha} \dee t\\
|
|
&\eqcrefoverset{eq:3:\beweislabel}{=}
|
|
&+\infty,\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
falls $0 < \alpha \leq 1$.
|
|
Darum gilt die Behauptung.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: body/woche4/A2.tex **********
|
|
|
|
\setcounterafter{section}{3}
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: body/woche4/A3.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
\let\oldsectionname\sectionname
|
|
\def\sectionname{Aufgabe}
|
|
\section[]{}
|
|
\let\sectionname\oldsectionname
|
|
\label{sec:7}
|
|
|
|
Für diese Aufgaben brauchen wir zunächst einmal Lemma, um unsere Arbeit zu erleichtern.
|
|
|
|
\begin{lemm}
|
|
\setblocklabel{lemm:uneigentlich:ex:3.3:raj-analysis-ii-notes}
|
|
Sei $a\in\reals$ und sei ${h:[a,\infty)\to\reals}$ eine Funktion
|
|
mit ${h(t) \longrightarrow 0}$ für ${t \longrightarrow +\infty}$.
|
|
Sei außerdem
|
|
$(T_{n})_{n} \subseteq [a,\infty)$
|
|
eine monoton wachsende Folge mit ${T_{n} \longrightarrow \infty}$
|
|
und so,
|
|
dass $(T_{n+1}-T_{n})_{n}$ beschränkt ist.
|
|
Dann ist
|
|
${\displaystyle\int_{a}^{\infty} h \dee t}$
|
|
konvergent
|
|
gdw.
|
|
$(\displaystyle\int_{a}^{T_{n}} h \dee t)_{n}$
|
|
konvergent ist.
|
|
\end{lemm}
|
|
|
|
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
|
|
\begin{beweis}
|
|
Offensichtlich gilt die \enclosedquote{nur dann wenn}-Richtung.
|
|
Für die \enclosedquote{wenn}-Richtung,
|
|
sei angenommen, $(\displaystyle\int_{a}^{T_{n}} h \dee t)_{n}$ konvergiert
|
|
mit Grenzwert $I \in \reals$.
|
|
Setze $C \in (0,\infty)$ mit $\sup_{n}T_{n+1}-T_{n} \leq C$.
|
|
|
|
Sei $\eps > 0$.
|
|
Sei $N$ ein genügend großer Index
|
|
mit $\abs{\int_{a}^{T_{n}} h \dee t - I} < \frac{\eps}{2}$
|
|
für alle $n \geq N$.
|
|
Da $f$ gegen $+\infty$ verschwindend ist,
|
|
existiert ein $\tilde{T}\in[a,\infty)$,
|
|
so dass $\abs{f(\cdot)} \leq \frac{\eps}{2C}$
|
|
auf $[\tilde{T},\infty]$.
|
|
Sei nun $T \in [\max\{T_{N},\tilde{T}\},\infty)$ beliebig.
|
|
Da $T \geq T_{N}$ und ${(T_{n})_{n}\longrightarrow +\infty}$ monoton,
|
|
existiert ein $n\geq N$ so, dass $T \in [T_{n},T_{n+1}]$.
|
|
Da $n \geq N$ und $[T_{n},T]\subseteq[\tilde{T},\infty)$
|
|
erhält man die Abschätzung
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\absLong{
|
|
\displaystyle\int_{a}^{T} h(t) \dee t
|
|
-
|
|
I
|
|
}
|
|
&\leq
|
|
&\absLong{
|
|
\displaystyle\int_{a}^{T} h(t) \dee t
|
|
-
|
|
\displaystyle\int_{a}^{T_{n}} h(t) \dee t
|
|
}
|
|
+ \absLong{
|
|
\displaystyle\int_{a}^{T_{n}} h(t) \dee t
|
|
-
|
|
I
|
|
}\\
|
|
&< &\absLong{
|
|
\displaystyle\int_{T_{n}}^{T} h(t) \dee t
|
|
}
|
|
+ \frac{\eps}{2}\\
|
|
&< &\displaystyle\int_{T_{n}}^{T}
|
|
\underbrace{
|
|
\abs{h(t)}
|
|
}_{\leq \frac{\eps}{2C}}
|
|
\dee t
|
|
+ \frac{\eps}{2}\\
|
|
&\leq &(T-T_{n})\frac{\eps}{2C}
|
|
+ \frac{\eps}{2}\\
|
|
&\leq &(T_{n+1}-T_{n})\frac{\eps}{2C}
|
|
+ \frac{\eps}{2}\\
|
|
&\leq &C\frac{\eps}{2C}
|
|
+ \frac{\eps}{2}
|
|
=\eps.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Darum gilt für genügend großes
|
|
$T \in [a,\infty)$
|
|
(in Abhängigkeit von $\eps$),
|
|
dass $\abs{
|
|
\displaystyle\int_{a}^{T} h(t) \dee t
|
|
-
|
|
I
|
|
} < \eps$.
|
|
Da dies für alle $\eps > 0$ gilt
|
|
ist
|
|
$(\displaystyle\int_{a}^{T} h \dee t)_{T\in[a,\infty)}$
|
|
konvergent
|
|
(mit Grenzwert $I$).
|
|
Also konvergiert $\displaystyle\int_{a}^{\infty} h \dee t$.
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{einzug}
|
|
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|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
|
%% A3(a)
|
|
\item
|
|
\begin{schattierteboxdunn}
|
|
\begin{claim}
|
|
\setblocklabel{claim:1:ex:3.3a:raj-analysis-ii-notes}
|
|
Sei $f:\reals\ohne\{0\}\to\reals$
|
|
definiert durch $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$.
|
|
Dann konvergiert
|
|
$\displaystyle\int_{x=1}^{\infty} f \dee x$.
|
|
\end{claim}
|
|
\end{schattierteboxdunn}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
Für $c \in (0, \infty)$ beobachte, dass
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|
|
\absLong{
|
|
\displaystyle\int_{c}^{c + 2\pi}
|
|
\frac{\sin(x)}{x}
|
|
\dee x
|
|
}
|
|
&= &\absLong{
|
|
\displaystyle\int_{c}^{c + 2\pi}
|
|
\frac{\sin(x)}{x}
|
|
\dee x
|
|
-
|
|
\displaystyle\int_{c}^{c + 2\pi}
|
|
\frac{\sin(x)}{c}
|
|
\dee x
|
|
}\\
|
|
&&\text{da $\int_{c}^{c + 2\pi}\sin(x)\dee x = [-\cos(x)]_{c}^{c+2\pi}=0$}\\
|
|
&= &\absLong{
|
|
\displaystyle\int_{c}^{c + 2\pi}
|
|
\sin(x)\cdot(\frac{1}{x} - \frac{1}{c})
|
|
\dee x
|
|
}\\
|
|
&\leq &\displaystyle\int_{c}^{c + 2\pi}
|
|
\underbrace{
|
|
\abs{\sin(x)}
|
|
}_{\leq 1}
|
|
\underbrace{
|
|
\abs{\frac{1}{x} - \frac{1}{c}}
|
|
}_{\substack{
|
|
\leq \frac{1}{c} - \frac{1}{c + 2\pi}\\
|
|
= \frac{2\pi}{c(c + 2\pi)}
|
|
}}
|
|
\dee x\\
|
|
&\leq &2\pi \cdot \frac{2\pi}{c(c + 2\pi)}
|
|
\leq (\frac{2\pi}{c})^{2}.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Da $f$ offensichtlich gegen $+\infty$ verschwindend ist,
|
|
laut \Cref{lemm:uneigentlich:ex:3.3:raj-analysis-ii-notes}
|
|
reicht es aus zu zeigen,
|
|
dass
|
|
$(\int_{1}^{2\pi n}f\dee x)_{n\in\naturals}$ konvergiert.
|
|
|
|
Sei hiefür $\eps > 0$ beliebig.
|
|
Da $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}<\infty$, wissen wir,
|
|
dass ein $N\in\naturals$ existiert
|
|
so dass
|
|
$\abs{
|
|
\sum_{k=1}^{n_{1}} \frac{1}{k^{2}}
|
|
-
|
|
\sum_{k=1}^{n_{2}} \frac{1}{k^{2}}
|
|
} < \frac{\eps}{3}$
|
|
für alle $n_{1},n_{2} \geq N$.
|
|
\OE wähle $N > \frac{3}{\eps}$.
|
|
Für $n_{1},n_{2} \geq N$ berechnen wir daher:
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\absLong{
|
|
\displaystyle\int_{1}^{2\pi n_{1}} f \dee x
|
|
-
|
|
\displaystyle\int_{1}^{2\pi n_{2}} f \dee x
|
|
}
|
|
&=
|
|
&\absLong{
|
|
\displaystyle\int_{2\pi \min\{n_{1},n_{2}\}}^{2\pi \max\{n_{1},n_{2}\}} f \dee x
|
|
}\\
|
|
&=
|
|
&\absLong{
|
|
\displaystyle\sum_{k=\min\{n_{1},n_{2}\}}^{\max\{n_{1},n_{2}\}-1}
|
|
\displaystyle\int_{2\pi k}^{2\pi (k+1)} f \dee x
|
|
}\\
|
|
&=
|
|
&\displaystyle\sum_{k=\min\{n_{1},n_{2}\}}^{\max\{n_{1},n_{2}\}-1}
|
|
\absLong{
|
|
\displaystyle\int_{2\pi k}^{2\pi (k+1)} f \dee x
|
|
}\\
|
|
&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{\leq}
|
|
&\displaystyle\sum_{k=\min\{n_{1},n_{2}\}}^{\max\{n_{1},n_{2}\}-1}
|
|
(\frac{2\pi}{2\pi k})^{2}\\
|
|
&=
|
|
&\absLong{
|
|
\displaystyle\sum_{1}^{n_{1}} \frac{1}{k^{2}}
|
|
-
|
|
\displaystyle\sum_{1}^{n_{2}} \frac{1}{k^{2}}
|
|
}
|
|
< \eps.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Es folgt, dass
|
|
$(\int_{1}^{2\pi n}f\dee x)_{n\in\naturals}\subseteq\reals$
|
|
eine Cauchy-Folge ist und wegen Vollständigkeit von $\reals$ konvergent.
|
|
Laut \Cref{lemm:uneigentlich:ex:3.3:raj-analysis-ii-notes}
|
|
existiert damit $\int_{1}^{\infty} f \dee x$.
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
%% A3(b)
|
|
\item
|
|
\begin{schattierteboxdunn}
|
|
\begin{claim}
|
|
\setblocklabel{claim:1:ex:3.3b:raj-analysis-ii-notes}
|
|
$\int_{x=1}^{\infty} \abs{\frac{\sin(x)}{x}} \dee x$
|
|
divergiert gegen $+\infty$.
|
|
\end{claim}
|
|
\end{schattierteboxdunn}
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
%% A3(c)
|
|
\item
|
|
\begin{schattierteboxdunn}
|
|
\begin{claim}
|
|
\setblocklabel{claim:1:ex:3.3c:raj-analysis-ii-notes}
|
|
Sei $g:\reals\ohne\{0\}\to\reals$
|
|
definiert durch $g(x)=\frac{\sin(x)}{x}$.
|
|
Dann divergiert
|
|
$\displaystyle\int_{x=1}^{\infty} g \dee x$
|
|
gegen $+\infty$.
|
|
\end{claim}
|
|
\end{schattierteboxdunn}
|
|
|
|
Um dies zu beweisen brauchen wir ein kleines Zwischenresultat.
|
|
|
|
\begin{lemm}
|
|
\setblocklabel{lemm:1:ex:3.3c:raj-analysis-ii-notes}
|
|
Für $k, c \in [0, \infty)$
|
|
mit $k \geq 1$
|
|
ist
|
|
${I_{k,c} \coloneq \displaystyle\int_{x=1}^{\infty} \frac{\sin(kx - c)}{x} \dee x}$
|
|
konvergent.
|
|
\end{lemm}
|
|
|
|
\begin{einzug}[\mytab][\mytab]
|
|
\begin{beweis}
|
|
Schreibe
|
|
${I_{k,c}(T) \coloneq \displaystyle\int_{x=1}^{T} \frac{\sin(kx - c)}{x} \dee x}$
|
|
für $T \in [1, \infty)$.
|
|
Wegen Aufgabe 3(a) wissen wir bereits,
|
|
dass
|
|
${I_{1,0}(T) \longrightarrow I_{1,0} \in \reals}$
|
|
für ${T \longrightarrow +\infty}$.
|
|
Für $T \in [1, \infty)$ gilt
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
I_{k,c}(T)
|
|
&=
|
|
&\displaystyle\int_{1}^{T}
|
|
\frac{\sin(kx - c)}{kx-c + c}
|
|
\cdot u^{\prime}
|
|
\dee u\\
|
|
&&\text{mit $u(x) \coloneq kx - c$}\\
|
|
&=
|
|
&\displaystyle\int_{k + c}^{kT + c}
|
|
\frac{\sin(u)}{u + c}
|
|
\dee u\\
|
|
&=
|
|
&\displaystyle\int_{1}^{kT + c}
|
|
\frac{\sin(u)}{u}
|
|
\dee u
|
|
-\underbrace{
|
|
\displaystyle\int_{1}^{kT + c}
|
|
\sin(u)\cdot(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+c})
|
|
\dee u
|
|
}_{\eqcolon D_{c}(kT + c)}\\
|
|
&&-\underbrace{
|
|
\displaystyle\int_{1}^{k + c}
|
|
\frac{\sin(u)}{u + c}
|
|
\dee u
|
|
}_{\eqcolon E_{k,c}}\\
|
|
&= &I_{1,0}(kT + c) + D_{c}(kT + c) + E_{k,c}.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Wegen Stetigkeit von ${[1,k+c] \ni x \mapsto \frac{\sin(u)}{u + c}}$,
|
|
ist diese Funktion Riemann-integrierbar.
|
|
Also ist $E_{k,c} \in \reals$ wohldefiniert.
|
|
Wie oben wissen wir, dass
|
|
${T \longrightarrow +\infty}$
|
|
$\Rightarrow$
|
|
${kT + c \longrightarrow +\infty}$
|
|
$\Rightarrow$
|
|
${I_{1,0}(kT+c) \longrightarrow I_{1,0} \in \reals}$.
|
|
Darum, um die Konvergenz von $I_{k,c}$ zu zeigen,
|
|
müssen wir lediglich die Konvergenz von
|
|
$(D_{c}(kT + c))_{T\in[1,\infty)}$
|
|
zeigen.
|
|
|
|
Nebenrechnung:
|
|
$\abs{\sin(u)\cdot(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+c})}
|
|
=\abs{\sin(u)}\cdot\frac{c}{u(u+c)}
|
|
\leq \frac{c}{u^{2}}$
|
|
für $u\in[1,\infty)$.
|
|
Da $\int_{u=1}^{\infty} \frac{c}{u^{2}} \dee u$ existiert,
|
|
ist somit der Bertrag der stetigen Funktion
|
|
${[1,\infty)\ni u \mapsto \sin(u)\cdot(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+c})}$
|
|
uneigentlich Riemann-integrierbar.
|
|
Folglich ist diese Funktion (ohne Betrag)
|
|
uneigentlich Riemann-integrierbar.
|
|
Insbesondere ist $(D_{c}(T))_{T\in[1,\infty)}$
|
|
und somit auch $(D_{c}(kT + c))_{T\in[1,\infty)}$
|
|
konvergent.
|
|
|
|
Darum konvergiert $(I_{k,c}(T))_{T\in[1,\infty)}$.
|
|
\Dh $\displaystyle\int_{x=1}^{\infty} \frac{\sin(kx - c)}{x} \dee x$ existiert.
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{einzug}
|
|
|
|
\def\beweislabel{claim:1:ex:3.3c:raj-analysis-ii-notes}
|
|
Jetzt können wir mit dem Beweis von \Cref{\beweislabel} fortsetzen.
|
|
|
|
\begin{beweis}[von \Cref{\beweislabel}]
|
|
Sei $T \in [1,\infty)$.
|
|
Schreibe ${J(T) \coloneq \int_{x=1}^{T} g \dee x}$.
|
|
Für $x\in[1,\infty)$ gilt
|
|
$%
|
|
g(x) = \frac{\sin^{2}(x)}{x}
|
|
= \frac{1}{2}(\frac{1}{x} - \frac{\cos(2x)}{x})
|
|
= \frac{1}{2}(\frac{1}{x} - \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - 2x)}{x})
|
|
= \frac{1}{2}(\frac{1}{x} + \frac{\sin(2x - \frac{\pi}{2})}{x})
|
|
= \frac{1}{2}(\frac{1}{x} + h_{2,\frac{\pi}{2}}(x))
|
|
$.
|
|
Darum gilt
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
J(T)
|
|
&=
|
|
&\frac{1}{2}
|
|
\displaystyle\int_{x=1}^{T}\frac{1}{x}\dee x
|
|
+
|
|
\frac{1}{2}
|
|
\displaystyle\int_{x=1}^{T}h_{2,\frac{\pi}{2}}(x) \dee x\\
|
|
&= &\frac{1}{2}\log(T) - \frac{1}{2}I_{2,\frac{\pi}{2}}(T).\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Da
|
|
${(I_{2,\frac{\pi}{2}}(T))_{T\in[1,\infty)} \longrightarrow I_{2,\frac{\pi}{2}} \in \reals}$
|
|
(siehe \Cref{lemm:1:ex:3.3c:raj-analysis-ii-notes})
|
|
und
|
|
${(\log(T))_{T\in[1,\infty)} \longrightarrow +\infty}$,
|
|
folgt ${(J(T))_{T\in[1,\infty)} \longrightarrow +\infty}$.
|
|
\Dh $\displaystyle\int_{x=1}^{\infty} g \dee x = +\infty$.
|
|
\end{beweis}
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: body/woche4/A3.tex **********
|
|
|
|
\setcounterafter{section}{4}
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
%% FILE: body/woche4/A4.tex
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
\let\oldsectionname\sectionname
|
|
\def\sectionname{Aufgabe}
|
|
\section[]{}
|
|
\let\sectionname\oldsectionname
|
|
\label{sec:8}
|
|
|
|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
|
\setcounterafter{enumi}{2}
|
|
%% A4(b)
|
|
\item
|
|
\def\beweislabel{ex:3.4}
|
|
Zu berechnen:
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{c}
|
|
I \coloneq
|
|
\displaystyle
|
|
\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\log(\sin(x))
|
|
\dee x\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
\begin{idea}
|
|
Der Trick hier (oder: einer davon!) ist ein gewöhnlicher:
|
|
Wir können zwar keine Stammfunktion
|
|
(zumindest auf einfache Weise)
|
|
bestimmen,
|
|
\underline{aber} als ganzen Wert betrachtet versuchen wir,
|
|
einen algebraischen Ausdruck für $I$ zu finden.
|
|
Hierfür manipulieren wir die Domäne
|
|
und nutzen Symmetrien im Funktionsausdruck aus.
|
|
\end{idea}
|
|
|
|
\heading{Vorarbeit:}
|
|
Für solche Tricks hilft es häufig, natürliche auxiliäre Ausdrücke (gleichzeitig) zu untersuchen.
|
|
In diesem Falle ist dies:
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{c}
|
|
J \coloneq
|
|
\displaystyle
|
|
\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\log(\cos(x))
|
|
\dee x.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Was die Symmetrien anbelangt,
|
|
berufen wir uns auf folgende Erkenntnisse:
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\cos(x) &= &\sin(\frac{\pi}{2} - x)\\
|
|
\sin(\pi - x) &= &\sin(x)\\
|
|
\sin(2x) &= &2\sin(x)\cos(x)\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
für alle $x \in \reals$.
|
|
|
|
\heading{Die Berechnung:}
|
|
Durch die Verhältnisse zw. $\cos$ und $\sin$
|
|
können wir $I$ und $J$ wie folgt in Verbindung setzen:
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|
|
J &= &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\log(\sin(\frac{\pi}{2}-x))
|
|
\dee x\\
|
|
&= &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
(-t^{\prime})
|
|
\cdot
|
|
\log(\sin(t))
|
|
\dee x\\
|
|
&&\text{%
|
|
Subst: $t(x) = \frac{\pi}{2} - x$; $\Rightarrow$ $t^{\prime} = -1$%
|
|
}\\
|
|
&= &-\displaystyle\int_{t = \frac{\pi}{2}}^{0}
|
|
\log(\sin(t))
|
|
\dee t
|
|
= I.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Wegen der Spiegelsymmetrie von $\sin$ um $\frac{\pi}{2}$
|
|
kann man das Integral wie folgt verdoppeln:
|
|
|
|
\begin{longmaths}[mc]{RCL}
|
|
2I
|
|
&=
|
|
&\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\log(\sin(x))
|
|
\dee x
|
|
+ \displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\log(\sin(\pi - x))
|
|
\dee x\\
|
|
&=
|
|
&\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\log(\sin(x))
|
|
\dee x
|
|
+
|
|
\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
(-t^{\prime})
|
|
\cdot
|
|
\log(\sin(t))
|
|
\dee x\\
|
|
&&\text{%
|
|
Subst: $t(x) = \pi - x$; $\Rightarrow$ $t^{\prime} = -1$%
|
|
}\\
|
|
&=
|
|
&\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\log(\sin(x))
|
|
\dee x
|
|
- \displaystyle\int_{t = \pi}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\log(\sin(t))
|
|
\dee t\\
|
|
&=
|
|
&\displaystyle\int_{x = 0}^{\pi}
|
|
\log(\sin(x))
|
|
\dee x\\
|
|
&=
|
|
&\displaystyle\int_{x = 0}^{\pi}
|
|
(2 t^{\prime})
|
|
\cdot
|
|
\log(\sin(2t))
|
|
\dee x\\
|
|
&&\text{%
|
|
Subst: $t(x) = \frac{1}{2}x$; $\Rightarrow$ $t^{\prime} = \frac{1}{2}$%
|
|
}\\
|
|
&=
|
|
&2
|
|
\displaystyle\int_{t = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\log(\sin(2t))
|
|
\dee t,\\
|
|
\end{longmaths}
|
|
|
|
und damit gilt
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{c}
|
|
\eqtag[eq:2:\beweislabel]
|
|
I = \displaystyle\int_{t = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\log(\sin(2t))
|
|
\dee t.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Jetzt bringen wir diese zwei Umformungen zusammen:
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{rcl}
|
|
2I &\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{=}
|
|
&I + J\\
|
|
&= &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\log(\sin(x))
|
|
\dee x
|
|
+
|
|
\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\log(\cos(x))
|
|
\dee x\\
|
|
&= &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\log(
|
|
\sin(x)
|
|
\cos(x)
|
|
)
|
|
\dee x\\
|
|
&= &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\log(
|
|
\frac{1}{2}
|
|
\sin(2x)
|
|
)
|
|
\dee x\\
|
|
&&\text{%
|
|
wegen trig. Identität%
|
|
}\\
|
|
&= &\displaystyle\int_{x = 0}^{\frac{\pi}{2}}
|
|
\left(
|
|
\log(\frac{1}{2})
|
|
+
|
|
\log(\sin(2x))
|
|
\right)
|
|
\dee x\\
|
|
&\eqcrefoverset{eq:2:\beweislabel}{=}
|
|
&\frac{\pi}{2} \cdot \log(\frac{1}{2}) + I.\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Darum erhält man folgenden algebraischen Ausdruck für $I$:
|
|
|
|
\begin{maths}[mc]{c}
|
|
2I = \frac{\pi}{2} \cdot \log(\frac{1}{2}) + I\\
|
|
\end{maths}
|
|
|
|
Daraus ergibt sich, dass
|
|
$I = \frac{\pi}{2} \cdot \log(\frac{1}{2})
|
|
= \Fbox{-\frac{\pi}{2}\log(2)}$
|
|
der gesuchte Werte des Integrals ist.
|
|
|
|
\begin{rem}
|
|
Dieser Berechnung zufolge ist der
|
|
Mittelwert von $\log(\sin(\cdot))$
|
|
auf dem Gebiet $[0,\frac{\pi}{2}]$
|
|
gleich $\log(\frac{1}{2})$,
|
|
also $\log(\sin(\frac{\pi}{6}))$.
|
|
Wegen der Symmetrien von $\sin$ können wir
|
|
daraus erschließen,
|
|
dass der Mittelwert von
|
|
$\log\abs{\sin(\cdot)}$
|
|
auf $[0,2\pi]$
|
|
auch gleich $\log(\frac{1}{2})$ ist.
|
|
\end{rem}
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: body/woche4/A4.tex **********
|
|
|
|
%% ********** END OF FILE: body/woche4/index.tex **********
|
|
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\nocite{*} % <- forces all entries to appear in bibliography
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\bgroup
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\small
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\bibliographystyle{alpha}
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\def\bibname{Referenzen}
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\begin{thebibliography}{For16}
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\bibitem[AB05]{aliprantis2005BookAnalysis}
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Charalambos~D. Aliprantis and Kim~C. Border.
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\newblock {\em {Infinite Dimensional Analysis, a Hitchhiker's Guide}}.
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\newblock Springer-Verlag, 3rd edition, 2005.
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\bibitem[Dei14]{deitmar2014BookAnalysis}
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Anton Deitmar.
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\newblock {\em {Analysis}}.
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\newblock {Springer-Lehrbuch}. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, 1
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edition, 2014.
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\bibitem[For16]{forster2016BookAnalysis1}
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Otto Forster.
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\newblock {\em {Analysis 1}}.
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\newblock {Grundkurs Mathematik}. Springer Spektrum, Wiesbaden, 12 edition,
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2016.
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\bibitem[Pog 2]{pogorzelskiVLSkript}
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Felix Pogorzelski.
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\newblock {Vorlesungsskript: Analysis I--II}, 2021--2.
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\newblock {basierend auf dem Skript von Daniel Lenz 2013--14 + 2020--21}.
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\end{thebibliography}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}{\bibname}}
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\egroup
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