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# Vorlesungswoche 7 (22.–28. November 2021) #
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## Agenda ##
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- [x] Orga
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- [x] Abstimmung der Studierenden über Präsenz v. Digital ---> überwiegende Mehrheit für Präsenzbetrieb.
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- [x] Abgaben ab Woche 8 wieder dienstags (siehe Moodle!).
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- [x] ÜB4 - A1, A2 (b)+(c), A4.
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- [x] ÜB6 - Aspekte von A4 diskutiert (liminf, limsup). Ähnliche Aufgabe besprochen.
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## Nächste Woche ##
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- ÜB5 vorrechnen.
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- Aspekte von ÜB7 diskutieren.
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### TODOs (Studierende) ###
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- ÜB6 zu Ende schrieben und vor Frist abgeben.
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- VL-Inhalte bes. Kapiteln 2; 4; 5 durchlesen und Stoff erlernen.
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### Zusatz: ###
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Um „fließender“ mit sup/inf umzugehen, empfehle ich, folgende Aussagen zu beweisen:
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1. Sei `(X, <)` eine dichte^ totale Ordnungsrelation. Dann für alle `a,b ∈ X` mit `a < b` gelten:
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- `sup (-∞, b) = sup (a, b) = sup [a, b) = sup (-∞, b] = sup (a, b] = sup [a, b] = b`;
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- `inf (a, +∞) = inf (a, b) = inf (a, b] = inf [a, +∞) = inf [a, b) = inf [a, b] = a`.
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(So etwas macht man ein Mal im Leben!!)
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2. Sei `(X, <)` eine totale Ordnungsrelation und sei `M ⊆ X`. Dann gelten
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- `min M` existiert ⟺ `inf M` existiert und `inf M ∈ M`.
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Wenn das Minimum existiert, dann stimmen Min und Inf überein.
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- `max M` existiert ⟺ `sup M` existiert und `sup M ∈ M`.
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Wenn das Maximum existiert, dann stimmen Max und Sup überein.
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3. Sei `(X, <)` eine totale Ordnungsrelation und sei `M ⊆ X` dicht in `X`.^^ Dann gelten:
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- `sup I = sup (I ∩ M)` für alle nicht leere Intervalle `I ⊆ X`
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- `inf I = inf (I ∩ M)` für alle nicht leere Intervalle `I ⊆ X`
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4. Sei `(X, <)` eine totale Ordnungsrelation und sei `M ⊆ X` dicht in `X`. Seien `A ⊆ M` und `m ∈ M`. Dann gelten:
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- `A` hat Supremum `m` berechnet innerhalb `(M, <)` ⟺ `A` hat Supremum `m` berechnet innerhalb `(X, <)`.
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- `A` hat Infimum `m` berechnet innerhalb `(M, <)` ⟺ `A` hat Infimum `m` berechnet innerhalb `(X, <)`.
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5. Finde ein Gegenbeispiel zu den Aussagen in 4, wenn die Dichtheitsannahme wegfällt.
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^ Dass eine Ordnungsrelation, `(X, <)` **dicht** ist, bedeutet:
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∀x,y ∈ X: (x < y ⟹ ∃z ∈ X: x < z < y).
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^^ Dass eine Teilmenge, `M ⊆ X`, **dicht in** `(X, <)` ist, bedeutet:
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∀x,y ∈ X: (x < y ⟹ ∃z ∈ M: x < z < y).
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