2020-11-20 19:54:18 +01:00
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%% AUTHOR: Raj Dahya
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%% CREATED: November 2020
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%% EDITED: —
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%% TYPE: Notizen
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%% TITLE: Lösungen zu diversen Aufgaben im Kurs
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%% DOI: —
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%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik
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%% INSTITUTE: Universität Leipzig
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%% DOCUMENT STRUCTURE:
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%% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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%% — root.tex;
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%% — parameters.tex;
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%% — src/index.tex;
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%% — ########;
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%% — src/setup-type.tex;
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%% — src/setup-packages.tex;
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%% — src/setup-parameters.tex;
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%% — src/setup-macros.tex;
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%% — src/setup-environments.tex;
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%% — src/setup-layout.tex;
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%% — src/setup-localmacros.tex;
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%% — front/index.tex;
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%% — front/title.tex;
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%% — front/foreword.tex;
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%% — front/contents.tex;
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%% — body/index.tex;
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%% — body/uebung/ueb1.tex;
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%% — body/uebung/ueb2.tex;
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%% — body/uebung/ueb3.tex;
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%% — body/ska/ska4.tex;
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%% — body/quizzes/quiz1.tex;
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%% — body/quizzes/quiz2.tex;
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%% — body/quizzes/quiz3.tex;
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%% — back/index.tex;
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%% — ./back/quelle.bib;
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%%
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%% DOCUMENT-RANDOM-SEED: 5637845
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%% FILE: root.tex
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%% FILE: parameters.tex
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%% FILE: src/index.tex
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: ########
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%% ********************************************************************************
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\makeatletter
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: src/setup-type.tex
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%% ********************************************************************************
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\documentclass[
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12pt,
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a4paper,
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oneside,
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openright,
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center,
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chapterbib,
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crosshair,
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fleqn,
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headcount,
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headline,
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indent,
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indentfirst=false,
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portrait,
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phonetic,
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oldernstyle,
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onecolumn,
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sfbold,
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upper,
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]{scrbook}
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: src/setup-packages.tex
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\PassOptionsToPackage{T2A,OT1}{fontenc} % T1,OT1,T2A,OT2
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\PassOptionsToPackage{utf8}{inputenc} % utf8
|
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\PassOptionsToPackage{british,english,ngerman,russian}{babel}
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\PassOptionsToPackage{
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english,
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|
ngerman,
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russian,
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capitalise,
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}{cleveref}
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\PassOptionsToPackage{
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bookmarks=true,
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bookmarksopen=false,
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bookmarksopenlevel=0,
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bookmarkstype=toc,
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colorlinks=false,
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raiselinks=true,
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hyperfigures=true,
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}{hyperref}
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\PassOptionsToPackage{
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reset,
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left=1in,
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right=1in,
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top=20mm,
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bottom=20mm,
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heightrounded,
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}{geometry}
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\PassOptionsToPackage{
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framemethod=TikZ,
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}{mdframed}
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\PassOptionsToPackage{normalem}{ulem}
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\PassOptionsToPackage{
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amsmath,
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thmmarks,
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}{ntheorem}
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\PassOptionsToPackage{table}{xcolor}
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\PassOptionsToPackage{
|
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all,
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color,
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curve,
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frame,
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import,
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knot,
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line,
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movie,
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rotate,
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textures,
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tile,
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tips,
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web,
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xdvi,
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}{xy}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{ntheorem} % <— muss nach den ams* Packages vorkommen!!
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\usepackage{array}
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\usepackage{babel}
|
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\usepackage{bbding}
|
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\usepackage{bbm}
|
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\usepackage{calc}
|
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\usepackage{sectsty}
|
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\usepackage{titlesec}
|
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\usepackage{fancyhdr}
|
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\usepackage{footmisc}
|
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|
\usepackage{geometry}
|
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|
\usepackage{graphicx}
|
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\usepackage{ifpdf}
|
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\usepackage{ifthen}
|
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\usepackage{ifnextok}
|
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\usepackage{longtable}
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\usepackage{nameref}
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\usepackage{nowtoaux}
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\usepackage{paralist}
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|
\usepackage{enumerate} %% nach [paralist]
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\usepackage{pgf}
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\usepackage{pgfplots}
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\usepackage{proof}
|
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\usepackage{refcount}
|
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|
\usepackage{relsize}
|
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\usepackage{savesym}
|
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\usepackage{stmaryrd}
|
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\usepackage{yfonts} %% <— Altgotische Fonts
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{xy}
|
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\usepackage{undertilde}
|
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\usepackage{ulem} %% <– f\"ur besseren \underline-Befehl (\ul)
|
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|
\usepackage{xcolor}
|
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|
\usepackage{xspace}
|
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|
\usepackage{xstring}
|
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\usepackage{hyperref}
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|
\usepackage{cleveref} % must vor hyperref geladen werden.
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\pgfplotsset{compat=newest}
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\usetikzlibrary{
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|
angles,
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|
arrows,
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|
|
|
automata,
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calc,
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|
|
|
decorations,
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|
|
|
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|
decorations.pathmorphing,
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|
|
|
decorations.pathreplacing,
|
2020-11-21 13:55:33 +01:00
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math,
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2020-11-20 19:54:18 +01:00
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positioning,
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patterns,
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|
|
|
|
quotes,
|
2020-11-21 13:55:33 +01:00
|
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snakes,
|
2020-11-20 19:54:18 +01:00
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}
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%% \var ≈ alter Befehl
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%% \xvar ≈ wie das neue Package \var interpretieren soll.
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\savesymbol{Diamond}
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|
\savesymbol{emptyset}
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\savesymbol{ggg}
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|
|
|
|
|
\savesymbol{int}
|
|
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|
|
\savesymbol{lll}
|
|
|
|
|
|
\savesymbol{RectangleBold}
|
|
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|
\savesymbol{langle}
|
|
|
|
|
|
\savesymbol{rangle}
|
|
|
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|
\savesymbol{hookrightarrow}
|
|
|
|
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|
\savesymbol{hookleftarrow}
|
|
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|
\savesymbol{Asterisk}
|
|
|
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|
\usepackage{mathabx}
|
|
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|
\usepackage{wasysym}
|
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|
\let\varemptyset=\emptyset
|
|
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|
\restoresymbol{x}{Diamond}
|
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|
|
\restoresymbol{x}{emptyset}
|
|
|
|
|
|
\restoresymbol{x}{ggg}
|
|
|
|
|
|
\restoresymbol{x}{int}
|
|
|
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|
|
\restoresymbol{x}{lll}
|
|
|
|
|
|
\restoresymbol{x}{RectangleBold}
|
|
|
|
|
|
\restoresymbol{x}{langle}
|
|
|
|
|
|
\restoresymbol{x}{rangle}
|
|
|
|
|
|
\restoresymbol{x}{hookrightarrow}
|
|
|
|
|
|
\restoresymbol{x}{hookleftarrow}
|
|
|
|
|
|
\restoresymbol{x}{Asterisk}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ifpdf
|
|
|
|
|
|
\usepackage{pdfcolmk}
|
|
|
|
|
|
\fi
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|
|
\usepackage{mdframed}
|
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%% Force-Import aus MnSymbol
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\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolA}{}
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|
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{m}{n}{
|
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<-6> MnSymbolA5
|
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|
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|
<6-7> MnSymbolA6
|
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|
<7-8> MnSymbolA7
|
|
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<8-9> MnSymbolA8
|
|
|
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<9-10> MnSymbolA9
|
|
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<10-12> MnSymbolA10
|
|
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<12-> MnSymbolA12
|
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|
|
}{}
|
|
|
|
|
|
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{b}{n}{
|
|
|
|
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|
<-6> MnSymbolA-Bold5
|
|
|
|
|
|
<6-7> MnSymbolA-Bold6
|
|
|
|
|
|
<7-8> MnSymbolA-Bold7
|
|
|
|
|
|
<8-9> MnSymbolA-Bold8
|
|
|
|
|
|
<9-10> MnSymbolA-Bold9
|
|
|
|
|
|
<10-12> MnSymbolA-Bold10
|
|
|
|
|
|
<12-> MnSymbolA-Bold12
|
|
|
|
|
|
}{}
|
|
|
|
|
|
\DeclareSymbolFont{MnSyA}{U}{MnSymbolA}{m}{n}
|
|
|
|
|
|
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowright}{\mathrel}{MnSyA}{252}
|
|
|
|
|
|
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{255}
|
|
|
|
|
|
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowleft}{\mathrel}{MnSyA}{250}
|
|
|
|
|
|
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{251}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolC}{}
|
|
|
|
|
|
\DeclareSymbolFont{MnSyC}{U}{MnSymbolC}{m}{n}
|
|
|
|
|
|
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolC}{m}{n}{
|
|
|
|
|
|
<-6> MnSymbolC5
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|
|
|
|
|
<6-7> MnSymbolC6
|
|
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|
<7-8> MnSymbolC7
|
|
|
|
|
|
<8-9> MnSymbolC8
|
|
|
|
|
|
<9-10> MnSymbolC9
|
|
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|
|
<10-12> MnSymbolC10
|
|
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|
|
|
<12-> MnSymbolC12%
|
|
|
|
|
|
}{}
|
|
|
|
|
|
\DeclareMathSymbol{\powerset}{\mathord}{MnSyC}{180}
|
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|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
|
|
%% FILE: src/setup-parameters.tex
|
|
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
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\def\boolwahr{true}
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\def\boolfalsch{false}
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\def\boolleer{}
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|
\let\documenttwosided\boolfalsch
|
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|
\let\boolinappendix\boolfalsch
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|
\let\boolinmdframed\boolfalsch
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\let\eqtagset\boolfalsch
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\let\eqtaglabel\boolleer
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\let\eqtagsymb\boolleer
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\newcount\bufferctr
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\newcount\bufferreplace
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\newlength\rtab
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\newlength\gesamtlinkerRand
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\newlength\gesamtrechterRand
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\newlength\ownspaceabovethm
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\newlength\ownspacebelowthm
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\setlength{\rtab}{0.025\textwidth}
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\setlength{\ownspaceabovethm}{0.5\baselineskip}
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\setlength{\ownspacebelowthm}{0.5\baselineskip}
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\setlength{\gesamtlinkerRand}{0pt}
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\setlength{\gesamtrechterRand}{0pt}
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\def\secnumberingpt{$\cdot$}
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\def\secnumberingseppt{.}
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\def\subsecnumberingseppt{}
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\def\thmnumberingpt{$\cdot$}
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\def\thmnumberingseppt{}
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\def\thmForceSepPt{.}
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\definecolor{leer}{gray}{1}
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\definecolor{hellgrau}{gray}{0.85}
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\definecolor{dunkelgrau}{gray}{0.5}
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\definecolor{maroon}{rgb}{0.6901961,0.1882353,0.3764706}
|
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\definecolor{dunkelgruen}{rgb}{0.015625,0.363281,0.109375}
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|
\definecolor{dunkelrot}{rgb}{0.5450980392,0,0}
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\definecolor{dunkelblau}{rgb}{0,0,0.5450980392}
|
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\definecolor{blau}{rgb}{0,0,1}
|
|
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|
|
\definecolor{newresult}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
|
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\definecolor{improvedresult}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
|
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\definecolor{hervorheben}{rgb}{0,0.9,0.7}
|
|
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\definecolor{starkesblau}{rgb}{0.1019607843,0.3176470588,0.8156862745}
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|
\definecolor{achtung}{rgb}{1,0.5,0.5}
|
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\definecolor{frage}{rgb}{0.5,1,0.5}
|
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\definecolor{schreibweise}{rgb}{0,0.7,0.9}
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\definecolor{axiom}{rgb}{0,0.3,0.3}
|
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: src/setup-macros.tex
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%% ********************************************************************************
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%% ****************************************************************
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%% TEX:
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%% ****************************************************************
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\def\let@name#1#2{\expandafter\let\csname #1\expandafter\endcsname\csname #2\endcsname\relax}
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|
\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{ccr}\selectfont}
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|
\DeclareTextFontCommand{\textcr}{\crfamily}
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\def\nichtzeigen#1{\phantom{#1}}
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%% ****************************************************************
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%% SPACING:
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%% ****************************************************************
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|
\def\ifthenelseleer#1#2#3{\ifthenelse{\equal{#1}{}}{#2}{#1#3}}
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|
\def\bedingtesspaceexpand#1#2#3{\ifthenelseleer{\csname #1\endcsname}{#3}{#2#3}}
|
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\def\voritemise{\leavevmode\nvraum{1}}
|
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\def\hraum{\null\hfill\null}
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\def\vraum{\null\vfill\null}
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|
|
\def\nvraum{\@ifnextchar\bgroup{\nvraum@c}{\nvraum@bes}}
|
|
|
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|
\def\nvraum@c#1{\vspace*{-#1\baselineskip}}
|
|
|
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|
\def\nvraum@bes{\vspace*{-\baselineskip}}
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|
\def\erlaubeplatz{\relax\ifmmode\else\@\xspace\fi}
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\def\entferneplatz{\relax\ifmmode\else\expandafter\@gobble\fi}
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%% ****************************************************************
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|
%% TAGS / BEZEICHNUNGEN / LABELLING:
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%% ****************************************************************
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\def\send@toaux#1{\@bsphack\protected@write\@auxout{}{\string#1}\@esphack}
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|
%% \rlabel{LABEL}[CTR]{CREF-SHORT}{CREF-LONG}{DISPLAYTEXT}
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\def\rlabel#1[#2]#3#4#5{#5\rlabel@aux{#1}[#2]{#3}{#4}{#5}}
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|
\def\rlabel@aux#1[#2]#3#4#5{%
|
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|
\send@toaux{\newlabel{#1}{{\@currentlabel}{\thepage}{{\unexpanded{#5}}}{#2.\csname the#2\endcsname}{}}}\relax%
|
|
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|
|
}
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|
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|
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|
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|
%% \tag@rawscheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR]{LEFT-BRKT}{RIGHT-BRKT} [LABEL]{DISPLAYTEXT}
|
|
|
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|
|
\def\tag@rawscheme#1#2[#3]#4#5{\@ifnextchar[{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}}{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[*]}}
|
|
|
|
|
|
\def\tag@rawscheme@#1#2[#3]#4#5[#6]{\@ifnextchar\bgroup{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]}{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]{}}}
|
|
|
|
|
|
\def\tag@rawscheme@@#1#2[#3]#4#5[#6]#7{%
|
|
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|
|
|
\ifthenelse{\equal{#6}{*}}{%
|
|
|
|
|
|
\ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\refstepcounter{#3}#4\csname the#3\endcsname#5}{#4#7#5}%
|
|
|
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|
}{%
|
|
|
|
|
|
\refstepcounter{#3}#4%
|
|
|
|
|
|
\ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{\csname the#3\endcsname}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{#7}}%
|
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|
#5%
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|
}%
|
|
|
|
|
|
}
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|
%% \tag@scheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR] [LABEL]{DISPLAYTEXT}
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\def\tag@scheme#1#2[#3]{\tag@rawscheme{#1}{#2}[#3]{\upshape(}{\upshape)}}
|
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%% \eqtag[LABEL]{DISPLAYTEXT}
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\def\eqtag@post#1{\makebox[0pt][r]{#1}}
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|
\def\eqtag@pre{\tag@scheme{Eq}{Equation}[Xe]}
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|
|
\def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@}{\eqtag@[*]}}
|
|
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|
\def\eqtag@[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@@[#1]}{\eqtag@@[#1]{}}}
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\def\eqtag@@[#1]#2{\eqtag@post{\eqtag@pre[#1]{#2}}}
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|
|
\def\eqcref#1{\text{(\ref{#1})}}
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\def\ptcref#1{\ref{#1}}
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|
\def\punktlabel#1{\label{it:#1:\beweislabel}}
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|
|
\def\punktcref#1{\eqcref{it:#1:\beweislabel}}
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|
|
\def\crefit#1#2{\cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}}
|
|
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|
\def\Crefit#1#2{\Cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}}
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|
|
%% UNDER/OVERSET BEFEHLE
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|
\def\opfromto[#1]_#2^#3{\underset{#2}{\overset{#3}{#1}}}
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|
\def\textoverset#1#2{\overset{\text{#1}}{#2}}
|
|
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|
|
|
\def\textunderset#1#2{\underset{#2}{\text{#1}}}
|
|
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|
|
|
\def\crefoverset#1#2{\textoverset{\cref{#1}}{#2}}
|
|
|
|
|
|
\def\Crefoverset#1#2{\textoverset{\Cref{#1}}{#2}}
|
|
|
|
|
|
\def\crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\cref{#1}}}
|
|
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|
|
\def\Crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\Cref{#1}}}
|
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|
|
\def\eqcrefoverset#1#2{\textoverset{\eqcref{#1}}{#2}}
|
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|
|
|
|
\def\eqcrefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\eqcref{#1}}}
|
|
|
|
|
|
\def\mathclap#1{#1}
|
|
|
|
|
|
\def\oberunterset#1{\@ifnextchar^{\oberunterset@oben{#1}}{\oberunterset@unten{#1}}}
|
|
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|
|
\def\oberunterset@oben#1^#2_#3{\underset{\mathclap{#3}}{\overset{\mathclap{#2}}{#1}}}
|
|
|
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|
|
\def\oberunterset@unten#1_#2^#3{\underset{\mathclap{#2}}{\overset{\mathclap{#3}}{#1}}}
|
|
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|
|
\def\breitunderbrace#1_#2{\underbrace{#1}_{\mathclap{#2}}}
|
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|
|
|
|
\def\breitoverbrace#1^#2{\overbrace{#1}^{\mathclap{#2}}}
|
|
|
|
|
|
\def\breitunderbracket#1_#2{\underbracket{#1}_{\mathclap{#2}}}
|
|
|
|
|
|
\def\breitoverbracket#1^#2{\overbracket{#1}^{\mathclap{#2}}}
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
\def\generatenestedsecnumbering#1#2#3{%
|
|
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\expandafter\gdef\csname thelong#3\endcsname{%
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|
|
|
|
|
\expandafter\csname the#2\endcsname%
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|
|
|
\secnumberingpt%
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|
|
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
|
|
|
|
|
|
}%
|
|
|
|
|
|
\expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{%
|
|
|
|
|
|
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
|
|
|
|
|
|
}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\generatenestedthmnumbering#1#2#3{%
|
|
|
|
|
|
\expandafter\gdef\csname the#3\endcsname{%
|
|
|
|
|
|
\expandafter\csname the#2\endcsname%
|
|
|
|
|
|
\thmnumberingpt%
|
|
|
|
|
|
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
|
|
|
|
|
|
}%
|
|
|
|
|
|
\expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{%
|
|
|
|
|
|
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
|
|
|
|
|
|
}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
%% ****************************************************************
|
|
|
|
|
|
%% ALLG. MACROS:
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|
|
|
|
|
%% ****************************************************************
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\+#1{\addtocounter{#1}{1}}
|
|
|
|
|
|
\def\setcounternach#1#2{\setcounter{#1}{#2}\addtocounter{#1}{-1}}
|
|
|
|
|
|
\def\textsubscript#1{${}_{\textup{#1}}$}
|
|
|
|
|
|
\def\rome#1{\overline{\underline{#1}}}
|
|
|
|
|
|
\def\textTODO{\text{[{\large\textcolor{red}{More work needed!}}]}}
|
|
|
|
|
|
\def\hlineEIGENpt{\hdashline[0.5pt/5pt]}
|
|
|
|
|
|
\def\clineEIGENpt#1{\cdashline{#1}[0.5pt/5pt]}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\forcepunkt#1{#1\IfEndWith{#1}{.}{}{.}}
|
|
|
|
|
|
\def\lateinabkuerzung#1#2{%
|
|
|
|
|
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{\emph{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\deutscheabkuerzung#1#2{%
|
|
|
|
|
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% ****************************************************************
|
|
|
|
|
|
%% MATHE
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|
|
|
%% ****************************************************************
|
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|
|
|
|
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|
\def\matrix#1{\left(\begin{array}{#1}}
|
|
|
|
|
|
\def\endmatrix{\end{array}\right)}
|
|
|
|
|
|
\def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}}
|
|
|
|
|
|
\def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
\def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{%
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|
\expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}}
|
|
|
|
|
|
\multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}}
|
|
|
|
|
|
\multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{}
|
|
|
|
|
|
\multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\cases[#1]#2{\left\{\begin{array}[#1]{#2}}
|
|
|
|
|
|
\def\endcases{\end{array}\right.}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
\def\BeweisRichtung[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\@BeweisRichtung@c[#1]}{\@BeweisRichtung@bes[#1]}}
|
|
|
|
|
|
\def\@BeweisRichtung@bes[#1]{{\bfseries(#1).~}}
|
|
|
|
|
|
\def\@BeweisRichtung@c[#1]#2#3{{\bfseries(#2#1#3).~}}
|
|
|
|
|
|
\def\erzeugeBeweisRichtungBefehle#1#2{
|
|
|
|
|
|
\expandafter\gdef\csname #1text\endcsname##1##2{\BeweisRichtung[#2]{##1}{##2}}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{%
|
|
|
|
|
|
\@ifnextchar\bgroup{\csname #1@\endcsname}{\csname #1text\endcsname{}{}}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\gdef\csname #1@\endcsname##1##2{%
|
|
|
|
|
|
\csname #1text\endcsname{\punktcref{##1}}{\punktcref{##2}}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinRichtung}{$\Longrightarrow$}
|
|
|
|
|
|
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{herRichtung}{$\Longleftarrow$}
|
|
|
|
|
|
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinherRichtung}{$\Longleftrightarrow$}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\cal#1{\mathcal{#1}}
|
|
|
|
|
|
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle}
|
|
|
|
|
|
\def\mathfrak#1{\mbox{\usefont{U}{euf}{m}{n}#1}}
|
|
|
|
|
|
\def\kurs#1{\textit{#1}}
|
|
|
|
|
|
\def\rectangleblack{\text{\RectangleBold}}
|
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|
|
|
|
\def\rectanglewhite{\text{\Rectangle}}
|
|
|
|
|
|
\def\squareblack{\blacksquare}
|
|
|
|
|
|
\def\squarewhite{\Box}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
|
|
%% FILE: src/setup-environments.tex
|
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%% ********************************************************************************
|
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|
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|
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|
%% **********************************************************************
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|
|
|
|
|
%% CLEVEREF: ************************************************************
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
\def\crefname@full#1#2#3{\crefname{#1}{#2}{#3}\Crefname{#1}{#2}{#3}}
|
|
|
|
|
|
\crefname@full{chapter}{Kapitel}{Kapitel}
|
|
|
|
|
|
\crefname@full{section}{Abschnitt}{Abschnitte}
|
|
|
|
|
|
\crefname@full{figure}{Fig.}{Fig.}
|
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|
|
|
|
\crefname@full{subfigure}{Fig.}{Fig.}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\crefname@full{proof}{Beweis}{Beweise}
|
|
|
|
|
|
\crefname@full{thm}{Theorem}{Theoreme}
|
|
|
|
|
|
\crefname@full{satz}{Satz}{Sätze}
|
|
|
|
|
|
\crefname@full{claim}{Behauptung}{Behauptungen}
|
|
|
|
|
|
\crefname@full{lemm}{Lemma}{Lemmata}
|
|
|
|
|
|
\crefname@full{cor}{Korollar}{Korollarien}
|
|
|
|
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|
\crefname@full{folg}{Folgerung}{Folgerungen}
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|
\crefname@full{prop}{Proposition}{Propositionen}
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|
|
|
|
|
\crefname@full{defn}{Definition}{Definitionen}
|
|
|
|
|
|
\crefname@full{conv}{Konvention}{Konventionen}
|
|
|
|
|
|
\crefname@full{fact}{Fakt}{Fakten}
|
|
|
|
|
|
\crefname@full{rem}{Bemerkung}{Bemerkungen}
|
|
|
|
|
|
\crefname@full{qstn}{Frage}{Fragen}
|
|
|
|
|
|
\crefname@full{e.g.}{Beipsiel}{Beipsiele}
|
|
|
|
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%% ****************************************************************
|
|
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%% THEOREME:
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%% ****************************************************************
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|
\def\qedEIGEN#1{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#1}}{\qedEIGEN@bes{#1}}}%]
|
|
|
|
|
|
\def\qedEIGEN@bes#1{%
|
|
|
|
|
|
\parfillskip=0pt% % so \par doesnt push \square to left
|
|
|
|
|
|
\widowpenalty=10000% % so we dont break the page before \square
|
|
|
|
|
|
\displaywidowpenalty=10000% % ditto
|
|
|
|
|
|
\finalhyphendemerits=0% % TeXbook exercise 14.32
|
|
|
|
|
|
\leavevmode% % \nobreak means lines not pages
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|
|
|
\unskip% % remove previous space or glue
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\nobreak% % don’t break lines
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\hfil% % ragged right if we spill over
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\penalty50% % discouragement to do so
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\hskip.2em% % ensure some space
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\null% % anchor following \hfill
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\hfill% % push \square to right
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#1% % the end-of-proof mark
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|
\par%
|
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|
}
|
|
|
|
|
|
\def\qedEIGEN@c#1[#2]{%
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|
|
|
|
|
\parfillskip=0pt% % so \par doesnt push \square to left
|
|
|
|
|
|
\widowpenalty=10000% % so we dont break the page before \square
|
|
|
|
|
|
\displaywidowpenalty=10000% % ditto
|
|
|
|
|
|
\finalhyphendemerits=0% % TeXbook exercise 14.32
|
|
|
|
|
|
\leavevmode% % \nobreak means lines not pages
|
|
|
|
|
|
\unskip% % remove previous space or glue
|
|
|
|
|
|
\nobreak% % don’t break lines
|
|
|
|
|
|
\hfil% % ragged right if we spill over
|
|
|
|
|
|
\penalty50% % discouragement to do so
|
|
|
|
|
|
\hskip.2em% % ensure some space
|
|
|
|
|
|
\null% % anchor following \hfill
|
|
|
|
|
|
\hfill% % push \square to right
|
|
|
|
|
|
{#1~{\smaller\bfseries\upshape (#2)}}%
|
|
|
|
|
|
\par%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\qedVARIANT#1#2{
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname ennde#1Sign\endcsname{#2}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname ennde#1\endcsname{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#2}}{\qedEIGEN@bes{#2}}} %]
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\qedVARIANT{OfProof}{$\squareblack$}
|
|
|
|
|
|
\qedVARIANT{OfWork}{\rectangleblack}
|
|
|
|
|
|
\qedVARIANT{OfSomething}{$\dashv$}
|
|
|
|
|
|
\qedVARIANT{OnNeutral}{$\lozenge$} % \lozenge \bigcirc \blacklozenge
|
|
|
|
|
|
\def\qedsymbol{\enndeOfProofSign}
|
|
|
|
|
|
\def\proofSymbol{\enndeOfProofSign}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\ra@pretheoremwork{
|
|
|
|
|
|
\setlength{\theorempreskipamount}{\ownspaceabovethm}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\rathmtransfer#1#2{
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #2\endcsname{\csname #1\endcsname}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname end#2\endcsname{\csname end#1\endcsname}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\ranewthm#1#2#3[#4]{
|
|
|
|
|
|
%% FOR \BEGIN{THM}
|
|
|
|
|
|
\theoremstyle{\current@theoremstyle}
|
|
|
|
|
|
\theoremseparator{\current@theoremseparator}
|
|
|
|
|
|
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
|
|
|
|
|
|
\@ifundefined{#1@basic}{\newtheorem{#1@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@basic}[#4]{#2}}
|
|
|
|
|
|
%% FOR \BEGIN{THM}[...]
|
|
|
|
|
|
\theoremstyle{\current@theoremstyle}
|
|
|
|
|
|
\theoremseparator{\thmForceSepPt}
|
|
|
|
|
|
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
|
|
|
|
|
|
\@ifundefined{#1@withName}{\newtheorem{#1@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@withName}[#4]{#2}}
|
|
|
|
|
|
%% FOR \BEGIN{THM*}
|
|
|
|
|
|
\theoremstyle{nonumberplain}
|
|
|
|
|
|
\theoremseparator{\thmForceSepPt}
|
|
|
|
|
|
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
|
|
|
|
|
|
\@ifundefined{#1@star@basic}{\newtheorem{#1@star@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@basic}[#4]{#2}}
|
|
|
|
|
|
%% FOR \BEGIN{THM*}[...]
|
|
|
|
|
|
\theoremstyle{nonumberplain}
|
|
|
|
|
|
\theoremseparator{\thmForceSepPt}
|
|
|
|
|
|
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
|
|
|
|
|
|
\@ifundefined{#1@star@withName}{\newtheorem{#1@star@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@withName}[#4]{#2}}
|
|
|
|
|
|
%% GENERATE ENVIRONMENTS:
|
|
|
|
|
|
\umbauenenv{#1}{#3}[#4]
|
|
|
|
|
|
\umbauenenv{#1@star}{#3}[#4]
|
|
|
|
|
|
%% TRANSFER *-DEFINITION
|
|
|
|
|
|
\rathmtransfer{#1@star}{#1*}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\umbauenenv#1#2[#3]{%
|
|
|
|
|
|
%% \BEGIN{THM}...
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1\endcsname{\relax%
|
|
|
|
|
|
\@ifnextchar[{\csname #1@\endcsname}{\csname #1@\endcsname[*]}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
%% \BEGIN{THM}[ANFANG]...
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@\endcsname[##1]{\relax%
|
|
|
|
|
|
\@ifnextchar[{\csname #1@@\endcsname[##1]}{\csname #1@@\endcsname[##1][*]}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
%% \BEGIN{THM}[ANFANG][SCHLUSS]
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@@\endcsname[##1][##2]{%
|
|
|
|
|
|
\ifx*##1%
|
|
|
|
|
|
\def\enndeOfBlock{\csname end#1@basic\endcsname}
|
|
|
|
|
|
\csname #1@basic\endcsname%
|
|
|
|
|
|
\else%
|
|
|
|
|
|
\def\enndeOfBlock{\csname end#1@withName\endcsname}
|
|
|
|
|
|
\csname #1@withName\endcsname[##1]%
|
|
|
|
|
|
\fi%
|
|
|
|
|
|
\def\makelabel####1{%
|
|
|
|
|
|
\gdef\beweislabel{####1}%
|
|
|
|
|
|
\label{\beweislabel}%
|
|
|
|
|
|
}%
|
|
|
|
|
|
\ifx*##2%
|
|
|
|
|
|
\def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}}
|
|
|
|
|
|
\else%
|
|
|
|
|
|
\def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}[##2]}
|
|
|
|
|
|
\fi
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
%% \END{THM}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{\enndeSymbol\enndeOfBlock}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
%% NEWTHEOREM EINSTELLUNGSOPTIONEN:
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%% F\"UR \theoremstyle
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|
%% plain Emulates original LATEX defin, except uses param \theorem...skipamount.
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|
%% break Header followed by line break.
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|
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|
|
|
%% change Header, Number and Text are interchanged, without a line break.
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|
|
|
|
|
%% changebreak =change, but with a line break after Header.
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|
|
|
|
|
%% margin Number in left margin, without a line break.
|
|
|
|
|
|
%% marginbreak =margin, but with a line break after the header.
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|
|
|
|
|
%% nonumberplain =plain, without number.
|
|
|
|
|
|
%% nonumberbreak =break, without number.
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|
%% empty No number, no name. Only the optional argument is typeset.
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%% \theoremclass \theoremnumbering
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%% \theorempreskip \theorempostkip \theoremindent
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|
|
%% \theoremprework \theorempostwork
|
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|
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|
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|
\def\current@theoremstyle{plain}
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|
\def\current@theoremseparator{\thmnumberingseppt}
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|
|
\theoremstyle{\current@theoremstyle}
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|
|
\theoremseparator{\current@theoremseparator}
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|
\theoremsymbol{}
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\newtheorem{X}{X}[chapter] % for most theorems
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|
\newtheorem{Xe}{Xe}[chapter] % for equations
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|
|
\newtheorem*{Xdisplaynone}{Xdisplaynone}[chapter] % a dummy counter, that will never be displayed.
|
|
|
|
|
|
\newtheorem{Xsp}{Xsp}[chapter] % for special theorems
|
|
|
|
|
|
\generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{X}
|
|
|
|
|
|
\generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{Xe}
|
|
|
|
|
|
\generatenestedthmnumbering{Roman}{chapter}{Xsp}
|
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|
|
|
|
\let\theXsp\theshortXsp
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
\theoremheaderfont{\upshape\bfseries}
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|
|
|
|
|
\theorembodyfont{\slshape}
|
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|
|
|
|
|
|
|
\ranewthm{thm}{Theorem}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
|
|
|
|
|
\ranewthm{satz}{Satz}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
|
|
|
|
|
\ranewthm{claim}{Behauptung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
|
|
|
|
|
\ranewthm{lemm}{Lemma}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
|
|
|
|
|
\ranewthm{cor}{Korollar}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
|
|
|
|
|
\ranewthm{folg}{Folgerung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
|
|
|
|
|
\ranewthm{prop}{Proposition}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\theorembodyfont{\upshape}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ranewthm{defn}{Definition}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
|
|
|
|
|
\ranewthm{conv}{Konvention}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
|
|
|
|
|
\ranewthm{e.g.}{Beipsiel}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
|
|
|
|
|
\ranewthm{fact}{Fakt}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
|
|
|
|
|
\ranewthm{rem}{Bemerkung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
|
|
|
|
|
\ranewthm{qstn}{Frage}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\theoremheaderfont{\itshape\bfseries}
|
|
|
|
|
|
\theorembodyfont{\upshape}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ranewthm{proof@tmp}{Beweis}{\enndeOfProofSign}[Xdisplaynone]
|
|
|
|
|
|
\rathmtransfer{proof@tmp*}{proof}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\behauptungbeleg@claim{%
|
|
|
|
|
|
\iflanguage{british}{Claim}{%
|
|
|
|
|
|
\iflanguage{english}{Claim}{%
|
|
|
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|
|
\iflanguage{ngerman}{Behauptung}{%
|
|
|
|
|
|
\iflanguage{russian}{Утверждение}{%
|
|
|
|
|
|
Claim%
|
|
|
|
|
|
}}}}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\behauptungbeleg@pf@kurz{%
|
|
|
|
|
|
\iflanguage{british}{Pf}{%
|
|
|
|
|
|
\iflanguage{english}{Pf}{%
|
|
|
|
|
|
\iflanguage{ngerman}{Bew}{%
|
|
|
|
|
|
\iflanguage{russian}{Доказательство}{%
|
|
|
|
|
|
Pf%
|
|
|
|
|
|
}}}}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\behauptungbeleg{\@ifnextchar\bgroup{\behauptungbeleg@c}{\behauptungbeleg@bes}}
|
|
|
|
|
|
\def\behauptungbeleg@c#1{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim\erlaubeplatz #1.}]}
|
|
|
|
|
|
\def\behauptungbeleg@bes{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim.}]}
|
|
|
|
|
|
\def\belegbehauptung{\item[{\bfseries\itshape\behauptungbeleg@pf@kurz.}]}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% ****************************************************************
|
|
|
|
|
|
%% ALTE UMGEBUNGEN:
|
|
|
|
|
|
%% ****************************************************************
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{\RECHTS}[1]{>{\raggedleft}p{#1}}
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{\LINKS}[1]{>{\raggedright}p{#1}}
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{m}{>{$}l<{$}}
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{C}{>{$}c<{$}}
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{L}{>{$}l<{$}}
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{R}{>{$}r<{$}}
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{0}{@{\hspace{0pt}}}
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{\LINKSRAND}{@{\hspace{\@totalleftmargin}}}
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{h}{@{\extracolsep{\fill}}}
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{i}{>{\itshape}}
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{t}{@{\hspace{\tabcolsep}}}
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{q}{@{\hspace{1em}}}
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{n}{@{\hspace{-\tabcolsep}}}
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{M}[2]{%
|
|
|
|
|
|
>{\begin{minipage}{#2}\begin{math}}%
|
|
|
|
|
|
{#1}%
|
|
|
|
|
|
<{\end{math}\end{minipage}}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\newcolumntype{T}[2]{%
|
|
|
|
|
|
>{\begin{minipage}{#2}}%
|
|
|
|
|
|
{#1}%
|
|
|
|
|
|
<{\end{minipage}}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\LTpre}{\baselineskip}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\LTpost}{0pt}
|
|
|
|
|
|
\def\center{\centering}
|
|
|
|
|
|
\def\endcenter{}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\punkteumgebung@genbefehl#1#2#3{
|
|
|
|
|
|
\punkteumgebung@genbefehl@{#1}{#2}{#3}{}{}
|
|
|
|
|
|
\punkteumgebung@genbefehl@{multi#1}{#2}{#3}{
|
|
|
|
|
|
\setlength{\columnsep}{10pt}%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\columnseprule}{0pt}%
|
|
|
|
|
|
\begin{multicols}{\thecolumnanzahl}%
|
|
|
|
|
|
}{\end{multicols}\nvraum{1}}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\punkteumgebung@genbefehl@#1#2#3#4#5{
|
|
|
|
|
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{
|
|
|
|
|
|
\@ifnextchar\bgroup{\csname #1@c\endcsname}{\csname #1@bes\endcsname}
|
|
|
|
|
|
}%]
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@c\endcsname##1{
|
|
|
|
|
|
\@ifnextchar[{\csname #1@c@\endcsname{##1}}{\csname #1@c@\endcsname{##1}[\z@]}
|
|
|
|
|
|
}%]
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@c@\endcsname##1[##2]{
|
|
|
|
|
|
\@ifnextchar[{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2]}{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2][\z@]}
|
|
|
|
|
|
}%]
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@c@@\endcsname##1[##2][##3]{
|
|
|
|
|
|
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
|
|
|
|
|
|
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
|
|
|
|
|
|
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{##2}
|
|
|
|
|
|
\addtolength{\gesamtrechterRand}{##3}
|
|
|
|
|
|
\advance\linewidth -##2%
|
|
|
|
|
|
\advance\linewidth -##3%
|
|
|
|
|
|
\advance\@totalleftmargin ##2%
|
|
|
|
|
|
\parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth%
|
|
|
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|
|
#4
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|
|
\begin{#2}[\upshape ##1]%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\topsep}{\z@}\relax%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\itemsep}{#3}\relax%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@bes\endcsname{
|
|
|
|
|
|
\@ifnextchar[{\csname #1@bes@\endcsname}{\csname #1@bes@\endcsname[\z@]}
|
|
|
|
|
|
}%]
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@bes@\endcsname[##1]{
|
|
|
|
|
|
\@ifnextchar[{\csname #1@bes@@\endcsname[##1]}{\csname #1@bes@@\endcsname[##1][\z@]}
|
|
|
|
|
|
}%]
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@bes@@\endcsname[##1][##2]{
|
|
|
|
|
|
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
|
|
|
|
|
|
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
|
|
|
|
|
|
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{##1}
|
|
|
|
|
|
\addtolength{\gesamtrechterRand}{##2}
|
|
|
|
|
|
\advance\linewidth -##1%
|
|
|
|
|
|
\advance\linewidth -##2%
|
|
|
|
|
|
\advance\@totalleftmargin ##1%
|
|
|
|
|
|
\parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth%
|
|
|
|
|
|
#4
|
|
|
|
|
|
\begin{#2}%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\topsep}{\z@}\relax%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\itemsep}{#3}\relax%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{%
|
|
|
|
|
|
\end{#2}#5
|
|
|
|
|
|
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\ritempunkt{{\Large\textbullet}} % \textbullet, $\sqbullet$, $\blacktriangleright$
|
|
|
|
|
|
\setdefaultitem{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt}
|
|
|
|
|
|
\punkteumgebung@genbefehl{itemise}{compactitem}{\parskip}{}{}
|
|
|
|
|
|
\punkteumgebung@genbefehl{kompaktitem}{compactitem}{\z@}{}{}
|
|
|
|
|
|
\punkteumgebung@genbefehl{enumerate}{compactenum}{\parskip}{}{}
|
|
|
|
|
|
\punkteumgebung@genbefehl{kompaktenum}{compactenum}{\z@}{}{}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\let\ALTthebibliography\thebibliography
|
|
|
|
|
|
\renewenvironment{thebibliography}[1]{%
|
|
|
|
|
|
\begin{ALTthebibliography}{#1}
|
|
|
|
|
|
\addcontentsline{toc}{part}{\bibname}
|
|
|
|
|
|
}{%
|
|
|
|
|
|
\end{ALTthebibliography}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% ****************************************************************
|
|
|
|
|
|
%% NEUE UMGEBUNGEN:
|
|
|
|
|
|
%% ****************************************************************
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\matrix#1{\left(\begin{array}[mc]{#1}}
|
|
|
|
|
|
\def\endmatrix{\end{array}\right)}
|
|
|
|
|
|
\def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}}
|
|
|
|
|
|
\def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)}
|
|
|
|
|
|
\def\vector{\begin{matrix}{c}}
|
|
|
|
|
|
\def\endvector{\end{matrix}}
|
|
|
|
|
|
\def\svector{\begin{smatrix}}
|
|
|
|
|
|
\def\endsvector{\end{smatrix}}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{%
|
|
|
|
|
|
\expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}}
|
|
|
|
|
|
\multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}}
|
|
|
|
|
|
\multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{}
|
|
|
|
|
|
\multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\underbracenodisplay#1{%
|
|
|
|
|
|
\mathop{\vtop{\m@th\ialign{##\crcr
|
|
|
|
|
|
$\hfil\displaystyle{#1}\hfil$\crcr
|
|
|
|
|
|
\noalign{\kern3\p@\nointerlineskip}%
|
|
|
|
|
|
\upbracefill\crcr\noalign{\kern3\p@}}}}\limits%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\mathe[#1]#2{%
|
|
|
|
|
|
\ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\begin{escapeeinzug}}
|
|
|
|
|
|
\noindent%
|
|
|
|
|
|
\let\eqtagset\boolfalsch
|
|
|
|
|
|
\let\eqtaglabel\boolleer
|
|
|
|
|
|
\let\eqtagsymb\boolleer
|
|
|
|
|
|
\let\alteqtag\eqtag
|
|
|
|
|
|
\def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@loc@}{\eqtag@loc@[*]}}%
|
|
|
|
|
|
\def\eqtag@loc@[##1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@loc@@[##1]}{\eqtag@loc@@[##1]{}}}%
|
|
|
|
|
|
\def\eqtag@loc@@[##1]##2{%
|
|
|
|
|
|
\gdef\eqtagset{\boolwahr}
|
|
|
|
|
|
\gdef\eqtaglabel{##1}
|
|
|
|
|
|
\gdef\eqtagsymb{##2}
|
|
|
|
|
|
}%
|
|
|
|
|
|
\def\verticalalign{}%
|
|
|
|
|
|
\IfBeginWith{#1}{t}{\def\verticalalign{t}}{}%
|
|
|
|
|
|
\IfBeginWith{#1}{m}{\def\verticalalign{c}}{}%
|
|
|
|
|
|
\IfBeginWith{#1}{b}{\def\verticalalign{b}}{}%
|
|
|
|
|
|
\def\horizontalalign{\null\hfill\null}%
|
|
|
|
|
|
\IfEndWith{#1}{l}{}{\null\hfill\null}%
|
|
|
|
|
|
\IfEndWith{#1}{r}{\def\horizontalalign{}}{}%
|
|
|
|
|
|
\begin{math}
|
|
|
|
|
|
\begin{array}[\verticalalign]{0#2}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\endmathe{%
|
|
|
|
|
|
\end{array}
|
|
|
|
|
|
\end{math}\horizontalalign%
|
|
|
|
|
|
\let\eqtag\alteqtag
|
|
|
|
|
|
\ifthenelse{\equal{\eqtagset}{\boolwahr}}{\eqtag[\eqtaglabel]{\eqtagsymb}}{}
|
|
|
|
|
|
\ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\end{escapeeinzug}}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\longmathe[#1]#2{\relax
|
|
|
|
|
|
\let\altarraystretch\arraystretch
|
|
|
|
|
|
\renewcommand\arraystretch{1.2}\relax
|
|
|
|
|
|
\begin{longtable}[#1]{\LINKSRAND #2}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\endlongmathe{
|
|
|
|
|
|
\end{longtable}
|
|
|
|
|
|
\renewcommand\arraystretch{\altarraystretch}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\einzug{\@ifnextchar[{\indents@}{\indents@[\z@]}}%]
|
|
|
|
|
|
\def\indents@[#1]{\@ifnextchar[{\indents@@[#1]}{\indents@@[#1][\z@]}}%]
|
|
|
|
|
|
\def\indents@@[#1][#2]{%
|
|
|
|
|
|
\begin{list}{}{\relax
|
|
|
|
|
|
\setlength{\topsep}{\z@}\relax
|
|
|
|
|
|
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax
|
|
|
|
|
|
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax
|
|
|
|
|
|
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax
|
|
|
|
|
|
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax
|
|
|
|
|
|
\setlength{\leftmargin}{#1}\relax
|
|
|
|
|
|
\setlength{\rightmargin}{#2}\relax
|
|
|
|
|
|
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
|
|
|
|
|
|
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
|
|
|
|
|
|
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{#1}
|
|
|
|
|
|
\addtolength{\gesamtrechterRand}{#2}
|
|
|
|
|
|
}\relax
|
|
|
|
|
|
\item[]\relax
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\endeinzug{%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand}
|
|
|
|
|
|
\end{list}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\escapeeinzug{\begin{einzug}[-\gesamtlinkerRand][-\gesamtrechterRand]}
|
|
|
|
|
|
\def\endescapeeinzug{\end{einzug}}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\programmiercode{
|
|
|
|
|
|
\modulolinenumbers[1]
|
|
|
|
|
|
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]%
|
|
|
|
|
|
\begin{linenumbers}%
|
|
|
|
|
|
\fontfamily{cmtt}\fontseries{m}\fontshape{u}\selectfont%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\parskip}{1\baselineskip}%
|
|
|
|
|
|
\setlength{\parindent}{0pt}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\endprogrammiercode{
|
|
|
|
|
|
\end{linenumbers}
|
|
|
|
|
|
\end{einzug}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\schattiertebox@genbefehl#1#2#3{
|
|
|
|
|
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{%
|
|
|
|
|
|
\@ifnextchar[{\csname #1@args\endcsname}{\csname #1@args\endcsname[#3]}%]%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@args\endcsname[##1]{%
|
|
|
|
|
|
\@ifnextchar[{\csname #1@args@l\endcsname[##1]}{\csname #1@args@n\endcsname[##1]}%]%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@args@l\endcsname[##1][##2]{%
|
|
|
|
|
|
\@ifnextchar[{\csname #1@args@l@r\endcsname[##1][##2]}{\csname #1@args@l@n\endcsname[##1][##2]}%]%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@args@n\endcsname[##1]{%
|
|
|
|
|
|
\let\boolinmdframed\boolwahr
|
|
|
|
|
|
\begin{mdframed}[#2leftmargin=0,rightmargin=0,outermargin=0,innermargin=0,##1]
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@args@l@n\endcsname[##1][##2]{%
|
|
|
|
|
|
\let\boolinmdframed\boolwahr
|
|
|
|
|
|
\begin{mdframed}[#2leftmargin=##2/2,rightmargin=##2/2,outermargin=##2/2,innermargin=##2/2,##1]
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\def\csname #1@args@l@r\endcsname[##1][##2][##3]{%
|
|
|
|
|
|
\let\boolinmdframed\boolwahr
|
|
|
|
|
|
\begin{mdframed}[#2leftmargin=##2,rightmargin=##3,outermargin=##2,innermargin=##3,##1]
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{%
|
|
|
|
|
|
\end{mdframed}
|
|
|
|
|
|
\let\boolinmdframed\boolfalsch
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\schattiertebox@genbefehl{schattiertebox}{
|
|
|
|
|
|
splittopskip=0,%
|
|
|
|
|
|
splitbottomskip=0,%
|
|
|
|
|
|
frametitleaboveskip=0,%
|
|
|
|
|
|
frametitlebelowskip=0,%
|
|
|
|
|
|
skipabove=1\baselineskip,%
|
|
|
|
|
|
skipbelow=1\baselineskip,%
|
|
|
|
|
|
linewidth=2pt,%
|
|
|
|
|
|
linecolor=black,%
|
|
|
|
|
|
roundcorner=4pt,%
|
|
|
|
|
|
}{
|
|
|
|
|
|
backgroundcolor=leer,%
|
|
|
|
|
|
nobreak=true,%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\schattiertebox@genbefehl{schattierteboxdunn}{
|
|
|
|
|
|
splittopskip=0,%
|
|
|
|
|
|
splitbottomskip=0,%
|
|
|
|
|
|
frametitleaboveskip=0,%
|
|
|
|
|
|
frametitlebelowskip=0,%
|
|
|
|
|
|
skipabove=1\baselineskip,%
|
|
|
|
|
|
skipbelow=1\baselineskip,%
|
|
|
|
|
|
linewidth=1pt,%
|
|
|
|
|
|
linecolor=black,%
|
|
|
|
|
|
roundcorner=2pt,%
|
|
|
|
|
|
}{
|
|
|
|
|
|
backgroundcolor=leer,%
|
|
|
|
|
|
nobreak=true,%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\algorithm{\schattiertebox[backgroundcolor=hellgrau,nobreak=false]}
|
|
|
|
|
|
\def\endalgorithm{\endschattiertebox}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\tikzsetzenode#1{%
|
|
|
|
|
|
\tikz[remember picture,baseline,overlay]{\node #1;}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\tikzsetzepfeil#1{%
|
|
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,>=latex]%
|
|
|
|
|
|
\draw #1;%
|
|
|
|
|
|
\end{tikzpicture}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\tikzsetzeoverlay#1{%
|
|
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,>=latex]%
|
|
|
|
|
|
#1%
|
|
|
|
|
|
\end{tikzpicture}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\tikzsetzekreise[#1]#2#3{%
|
|
|
|
|
|
\tikzsetzepfeil{%
|
|
|
|
|
|
[rounded corners,#1]%
|
|
|
|
|
|
([shift={(-\tabcolsep,0.75\baselineskip)}]#2)%
|
|
|
|
|
|
rectangle%
|
|
|
|
|
|
([shift={(\tabcolsep,-0.5\baselineskip)}]#3)
|
|
|
|
|
|
}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\tikzset{
|
|
|
|
|
|
>=stealth,
|
|
|
|
|
|
auto,
|
|
|
|
|
|
node distance=1cm,
|
|
|
|
|
|
thick,
|
|
|
|
|
|
main node/.style={
|
|
|
|
|
|
circle,draw,font=\sffamily\Large\bfseries,minimum size=0pt
|
|
|
|
|
|
},
|
|
|
|
|
|
state/.style={minimum size=0pt}
|
|
|
|
|
|
loop above right/.style={loop,out=30,in=60,distance=0.5cm},
|
|
|
|
|
|
loop above left/.style={above left,out=150,in=120,loop},
|
|
|
|
|
|
loop below right/.style={below right,out=330,in=300,loop},
|
|
|
|
|
|
loop below left/.style={below left,out=240,in=210,loop},
|
|
|
|
|
|
itria/.style={
|
|
|
|
|
|
draw,dashed,shape border uses incircle,
|
|
|
|
|
|
isosceles triangle,shape border rotate=90,yshift=-1.45cm
|
|
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|
|
|
},
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|
rtria/.style={
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draw,dashed,shape border uses incircle,
|
|
|
|
|
|
isosceles triangle,isosceles triangle apex angle=90,
|
|
|
|
|
|
shape border rotate=-45,yshift=0.2cm,xshift=0.5cm
|
|
|
|
|
|
},
|
|
|
|
|
|
ritria/.style={
|
|
|
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draw,dashed,shape border uses incircle,
|
|
|
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|
|
isosceles triangle,isosceles triangle apex angle=110,
|
|
|
|
|
|
shape border rotate=-55,yshift=0.1cm
|
|
|
|
|
|
},
|
|
|
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|
litria/.style={
|
|
|
|
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draw,dashed,shape border uses incircle,
|
|
|
|
|
|
isosceles triangle,isosceles triangle apex angle=110,
|
|
|
|
|
|
shape border rotate=235,yshift=0.1cm
|
|
|
|
|
|
}
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|
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|
}
|
|
|
|
|
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%% ********************************************************************************
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|
%% FILE: src/setup-layout.tex
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|
|
%% ********************************************************************************
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|
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|
|
|
\pagestyle{fancyplain}
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\@ifundefined{setcitestyle}{%
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|
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|
|
|
%% do nothing
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|
|
|
}{%
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|
|
|
|
|
\setcitestyle{numeric-comp,open={[},close={]}}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\crefpairconjunction{ und }
|
|
|
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|
|
\def\crefmiddleconjunction{, }
|
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|
|
\def\creflastconjunction{, und }
|
|
|
|
|
|
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|
\raggedbottom %% <- pushes footers up
|
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|
\sloppy
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|
\def\headrulewidth{0pt}
|
|
|
|
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|
\def\footrulewidth{0pt}
|
|
|
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|
|
\setlength{\columnsep}{20pt}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\columnseprule}{1pt}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\headheight}{11pt}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\partopsep}{0pt}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\topsep}{\baselineskip}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\topskip}{0.5\baselineskip}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\footskip}{-1\baselineskip}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\maxdepth}{0pt}
|
|
|
|
|
|
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
|
|
|
|
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1}
|
|
|
|
|
|
\setcounter{LTchunksize}{\infty}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\abovedisplayskip}{0pt}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\parskip}{1\baselineskip}
|
|
|
|
|
|
\def\firstparagraph{\noindent}
|
|
|
|
|
|
\def\continueparagraph{\noindent}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\hypersetup{
|
|
|
|
|
|
hidelinks=true,
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
2020-11-20 21:47:19 +01:00
|
|
|
|
\@addtoreset{chapter}{part} %% nötig für Hyperref.
|
|
|
|
|
|
|
2020-11-20 19:54:18 +01:00
|
|
|
|
\def\partfont{\documentfont\fontseries{bx}\Huge\selectfont}
|
|
|
|
|
|
\def\chapterfont{\documentfont\fontseries{bx}\huge\selectfont}
|
|
|
|
|
|
\def\sectionfont{\documentfont\fontseries{bx}\Large\selectfont}
|
|
|
|
|
|
\def\subsectionfont{\documentfont\fontseries{bx}\large\selectfont}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\thepart{\Roman{part}}
|
|
|
|
|
|
\generatenestedsecnumbering{arabic}{part}{chapter}
|
|
|
|
|
|
\generatenestedsecnumbering{arabic}{chapter}{section}
|
|
|
|
|
|
\generatenestedsecnumbering{arabic}{section}{subsection}
|
|
|
|
|
|
\generatenestedsecnumbering{arabic}{subsection}{subsubsection}
|
|
|
|
|
|
\def\theunitnamepart{\thepart}
|
|
|
|
|
|
\def\theunitnamechapter{\theshortchapter}
|
|
|
|
|
|
\def\theunitnamesection{\thelongsection}
|
|
|
|
|
|
\def\theunitnamesubsection{\thelongsubsection}
|
|
|
|
|
|
\def\theunitnamesubsubsection{\thelongsubsubsection}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\partname{Teil\erlaubeplatz}
|
|
|
|
|
|
\def\chaptername{Kapitel\erlaubeplatz}
|
|
|
|
|
|
\def\sectionname{\S\erlaubeplatz}
|
|
|
|
|
|
\def\subsectionname{}
|
|
|
|
|
|
\def\subsubsectionname{}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\let\appendix@orig\appendix
|
|
|
|
|
|
\def\appendix{%
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|
|
|
|
|
\appendix@orig%
|
|
|
|
|
|
\let\boolinappendix\boolwahr
|
|
|
|
|
|
\addcontentsline{toc}{part}{\appendixname}%
|
|
|
|
|
|
\addtocontents{toc}{\protect\setcounter{tocdepth}{0}}
|
|
|
|
|
|
\def\sectionname{Appendix}%
|
|
|
|
|
|
\def\theunitnamesection{\Alph{section}}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\notappendix{%
|
|
|
|
|
|
\let\boolinappendix\boolfalse
|
|
|
|
|
|
\addtocontents{toc}{\protect\setcounter{tocdepth}{1 }}
|
|
|
|
|
|
\def\sectionname{}%
|
|
|
|
|
|
\def\theunitnamesection{\arabic{section}}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% \titlespacing{<sectionclassname>}
|
|
|
|
|
|
%% {linker einzug}{platz oberhalb}{platz unterhalb}[rechter einzug]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\titlespacing{\section}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip}
|
|
|
|
|
|
\titlespacing{\subsection}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip}
|
|
|
|
|
|
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip}
|
|
|
|
|
|
\titlespacing{\paragraph}{0pt}{0pt}{1em}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\titleformat{\part}[display]
|
|
|
|
|
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\Huge\centering}
|
|
|
|
|
|
{%
|
|
|
|
|
|
\ifthenelse{\equal{\partname}{}}{%
|
|
|
|
|
|
\theunitnamepart%
|
|
|
|
|
|
}{%
|
|
|
|
|
|
\MakeUppercase{\partname}~\theunitnamepart%
|
|
|
|
|
|
}%
|
|
|
|
|
|
}{0pt}{%
|
|
|
|
|
|
}[\thispagestyle{empty}]
|
|
|
|
|
|
\titleformat{\chapter}[frame]
|
|
|
|
|
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\Large}
|
|
|
|
|
|
{%
|
|
|
|
|
|
\bedingtesspaceexpand{chaptername}{~}{\theunitnamechapter}%
|
|
|
|
|
|
}{0.5em}{%
|
|
|
|
|
|
}[\thispagestyle{empty}]%\titlerule%[2pt]%
|
|
|
|
|
|
\titleformat{\section}[hang]
|
|
|
|
|
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large}
|
|
|
|
|
|
{%
|
|
|
|
|
|
\bedingtesspaceexpand{sectionname}{~}{\theunitnamesection}%
|
|
|
|
|
|
}{0.5em}
|
|
|
|
|
|
{%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
[%
|
|
|
|
|
|
\nvraum{0.25}%
|
|
|
|
|
|
]
|
|
|
|
|
|
\titleformat{\subsection}[hang]
|
|
|
|
|
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large}
|
|
|
|
|
|
{%
|
|
|
|
|
|
\bedingtesspaceexpand{subsectionname}{~}{\theunitnamesubsection}%
|
|
|
|
|
|
}{0.5em}
|
|
|
|
|
|
{%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
[%
|
|
|
|
|
|
\nvraum{0.25}%
|
|
|
|
|
|
]
|
|
|
|
|
|
\titleformat{\subsubsection}[hang]
|
|
|
|
|
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large}
|
|
|
|
|
|
{%
|
|
|
|
|
|
\bedingtesspaceexpand{subsubsectionname}{~}{\theunitnamesubsubsection}%
|
|
|
|
|
|
}{0.5em}
|
|
|
|
|
|
{%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
[%
|
|
|
|
|
|
\nvraum{0.25}%
|
|
|
|
|
|
]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\rafootnotectr{20}
|
|
|
|
|
|
\def\incrftnotectr#1{%
|
|
|
|
|
|
\addtocounter{#1}{1}%
|
|
|
|
|
|
\ifnum\value{#1}>\rafootnotectr\relax
|
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|
|
|
|
\setcounter{#1}{0}%
|
|
|
|
|
|
\fi%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\footnoteref[#1]{\protected@xdef\@thefnmark{\ref{#1}}\@footnotemark}
|
|
|
|
|
|
\let\altfootnotetext\footnotetext
|
|
|
|
|
|
\def\footnotetext[#1]#2{\incrftnotectr{footnote}\altfootnotetext[\value{footnote}]{\label{#1}#2}}
|
|
|
|
|
|
\let\altfootnotemark\footnotemark
|
|
|
|
|
|
%% Undesirable solution, as the text is not hyperlinked.
|
|
|
|
|
|
\def\footnotemark[#1]{\text{\textsuperscript{\getrefnumber{#1}}}}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\DefineFNsymbols*{custom}{abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}
|
|
|
|
|
|
\setfnsymbol{custom}
|
|
|
|
|
|
\def\footnotelayout{\documentfont\scriptsize}
|
|
|
|
|
|
\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\kopfzeileleer{
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|
|
|
|
|
\lhead[]{}
|
|
|
|
|
|
\chead[]{}
|
|
|
|
|
|
\rhead[]{}
|
|
|
|
|
|
\lfoot[]{}
|
|
|
|
|
|
\cfoot[]{}
|
|
|
|
|
|
\rfoot[]{}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\kopfzeiledefault{
|
|
|
|
|
|
\lhead[]{}
|
|
|
|
|
|
\lhead[]{}
|
|
|
|
|
|
\chead[]{}
|
|
|
|
|
|
\rhead[]{}
|
|
|
|
|
|
\lfoot[]{}
|
|
|
|
|
|
\cfoot{\footnotesize\thepage}
|
|
|
|
|
|
\rfoot[]{}
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{pcr}\selectfont}
|
|
|
|
|
|
\def\headingfont{\fontfamily{cmss}\selectfont}
|
|
|
|
|
|
\def\documentfancyfont{%
|
|
|
|
|
|
\gdef\headingfont{\crfamily}%
|
|
|
|
|
|
\fontfamily{ccr}\fontseries{m}\selectfont%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\def\documentfont{%
|
|
|
|
|
|
\gdef\headingfont{\fontfamily{cmss}\selectfont}%
|
|
|
|
|
|
\fontfamily{cmss}\fontseries{m}\selectfont%
|
|
|
|
|
|
\renewcommand{\sfdefault}{phv}%
|
|
|
|
|
|
\renewcommand{\ttdefault}{pcr}%
|
|
|
|
|
|
\renewcommand{\rmdefault}{cmr}% <— funktionieren nicht mit {ptm}
|
|
|
|
|
|
\renewcommand{\bfdefault}{bx}%
|
|
|
|
|
|
\renewcommand{\itdefault}{it}%
|
|
|
|
|
|
\renewcommand{\sldefault}{sl}%
|
|
|
|
|
|
\renewcommand{\scdefault}{sc}%
|
|
|
|
|
|
\renewcommand{\updefault}{n}%
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\allowdisplaybreaks
|
|
|
|
|
|
\let\altcleardoublepage\cleardoublepage
|
|
|
|
|
|
\let\cleardoublepage\clearpage
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\startdocumentlayoutoptions{
|
|
|
|
|
|
\selectlanguage{ngerman}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}
|
|
|
|
|
|
\setlength{\parindent}{0pt}
|
|
|
|
|
|
\kopfzeiledefault
|
|
|
|
|
|
\documentfont
|
|
|
|
|
|
\normalsize
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\highlightTerm#1{\emph{#1}}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
|
|
%% FILE: src/setup-localmacros.tex
|
|
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% ****************************************************************
|
|
|
|
|
|
%% MATHE:
|
|
|
|
|
|
%% ****************************************************************
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\reell{\mathbb{R}}
|
|
|
|
|
|
\def\kmplx{\mathbb{C}}
|
|
|
|
|
|
\def\Torus{\mathbb{T}}
|
|
|
|
|
|
\def\rtnl{\mathbb{Q}}
|
|
|
|
|
|
\def\intgr{\mathbb{Z}}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\ntrl{\mathbb{N}}
|
|
|
|
|
|
\def\ntrlpos{\mathbb{N}}
|
|
|
|
|
|
\def\ntrlzero{\mathbb{N}_{0}}
|
|
|
|
|
|
\def\reellNonNeg{\reell_{+}}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\leer{\emptyset}
|
|
|
|
|
|
\def\restr#1{\vert_{#1}}
|
|
|
|
|
|
\def\ohne{\setminus}
|
|
|
|
|
|
\def\Pot{\mathop{\mathcal{P}}}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle}
|
|
|
|
|
|
\def\lsim{\mathop{\sim}}
|
|
|
|
|
|
\def\lneg{\mathop{\neg}}
|
|
|
|
|
|
\def\land{\mathop{\wedge}}
|
|
|
|
|
|
\def\lor{\mathop{\vee}}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\eps{\varepsilon}
|
|
|
|
|
|
\let\altphi\phi
|
|
|
|
|
|
\let\altvarphi\varphi
|
|
|
|
|
|
\def\phi{\altvarphi}
|
|
|
|
|
|
\def\varphi{\altphi}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\span{\mathop{\text{\upshape Lin}}}
|
|
|
|
|
|
\def\dim{\mathop{\text{\upshape dim}}}
|
|
|
|
|
|
\def\onematrix{\text{\upshape\bfseries I}}
|
|
|
|
|
|
\def\zeromatrix{\text{\upshape\bfseries 0}}
|
|
|
|
|
|
\def\zerovector{\text{\upshape\bfseries 0}}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\graph{\mathop{\text{\textup Gph}}}
|
|
|
|
|
|
\def\id{\text{\textup id}}
|
|
|
|
|
|
\def\modfn{\mathop{\text{\textup mod}}}
|
|
|
|
|
|
\makeatother
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
|
|
\startdocumentlayoutoptions
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% FRONTMATTER:
|
|
|
|
|
|
\thispagestyle{plain}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
|
|
%% FILE: front/index.tex
|
|
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
|
|
%% FILE: front/title.tex
|
|
|
|
|
|
%% ********************************************************************************
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{titlepage}
|
|
|
|
|
|
\null
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\vraum
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\noindent\rule{\linewidth}{2pt}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{\hraum\LARGE Lineare Algebra I\hraum}\\
|
|
|
|
|
|
{\hraum\LARGE $\oast$\,\rule[0.175\baselineskip]{0.65\linewidth}{1pt}\,$\oast$ \hraum}\\
|
|
|
|
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{\hraum\Large Lösungen zu diversen Aufgaben im Kurs\hraum}
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\noindent\rule{\linewidth}{2pt}
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\vraum
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\noindent
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\hraum{\footnotesize Raj Dahya}\hraum\\
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\hraum{\small \itshape Fakultät für Mathematik und Informatik/Institut für Philosophie}\hraum\\
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\hraum{\small \itshape Universität Leipzig.}\hraum\\
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\hraum{\small Wintersemester 2020/2021 }\hraum
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\end{titlepage}
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: front/foreword.tex
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\chapter*{Vorwort}
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Dieses Dokument enthält Lösungsansätze zu den Übungsserien, Selbstkontrollenaufgaben, und Quizzes.
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Diese werden natürlich \emph{nach} Abgabefristen hochgeladen
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und dienen \emph{nicht} als Musterlösungen!
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Der Zweck dieser Lösungen ist es vielmehr, Ansätze zu präsentieren,
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mit denen man seine \emph{eigenen} Versuche vergleichen kann.
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%% FILE: front/contents.tex
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\kopfzeiledefault
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\footnotesize
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\setcounter{tocdepth}{1}
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\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis}
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\tableofcontents
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%% HAUPTTEXT:
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%% FILE: body/index.tex
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\setcounternach{part}{1}
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\part{Übungsserien}
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\def\chaptername{Übungsserie}
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%% FILE: body/uebung/ueb1.tex
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\setcounternach{chapter}{1}
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\chapter[Woche 1]{Woche 1}
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\label{ueb:1}
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\textbf{ACHTUNG.}
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Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
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Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
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Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
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%% AUFGABE 1-1
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{Aufgabe}
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\section[Aufgabe 1]{}
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\label{ueb:1:ex:1}
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\let\sectionname\altsectionname
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Zu bestimmen ist die Lösungsmenge
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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L_{\alpha,\beta} &:= &\{
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\mathbf{x}\in\reell^{n}
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\mid A_{\alpha}\mathbf{x}=\mathbf{b}_{\beta}
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\}\\
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\end{mathe}
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für $\alpha,\beta\in\reell$,
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wobei $m=3$ und $n=4$, und
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$A_{\alpha}\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}_{\beta}\in\reell^{m}$
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durch
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\begin{mathe}[mc]{rclqrcl}
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A_{\alpha} &:= &\begin{matrix}{cccc}
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1 &7 &2 &-1\\
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1 &8 &6 &-3\\
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2 &14 &\alpha &-2\\
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\end{matrix}
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&\mathbf{b}_{\beta} &:= &\begin{vector}4\\0\\\beta\\\end{vector}
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\end{mathe}
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gegeben sind.
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Um die Lösungsmenge zu bestimmen führen wir das Gaußverfahren aus:
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\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
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Ursprüngliches LGS $(A_{\alpha}|b_{\beta})$:
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\begin{mathe}[mc]{c}
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\begin{matrix}{cccc|c}
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1 &7 &2 &-1 &4\\
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1 &8 &6 &-3 &0\\
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2 &14 &\alpha &-2 &\beta\\
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\end{matrix}\\
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\end{mathe}
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Wende die Zeilentransformationen
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{\footnotesize
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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Z_{2} &\leftsquigarrow &Z_{2}-Z_{1}\\
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Z_{3} &\leftsquigarrow &Z_{3}-2\cdot Z_{1}\\
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\end{mathe}}
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an:
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\begin{mathe}[mc]{c}
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\begin{matrix}{cccc|c}
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\boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\
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0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\
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0 &0 &\boxed{\alpha - 4} &0 &\beta - 8\\
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\end{matrix}\\
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\end{mathe}
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\end{algorithm}
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Die eingezeichneten Einträge markieren die ersten Einträge der Stufen.
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Es gibt also $2$ oder $3$ Stufen, je nachdem, ob ${\alpha - 4=0}$.
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Dies führt zu einem Fallunterschied:
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\begin{enumerate}{\bfseries {Fall} 1.}
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%% FALL 1
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\item $\alpha-4=0$. Das heißt, $\alpha=4$.
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In diesem Falle hat das augmentierte System genau $2$ Stufen
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und sieht wie folgt aus:
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\begin{mathe}[mc]{c}
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\begin{matrix}{cccc|c}
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\boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\
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0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\
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0 &0 &0 &0 &\beta - 8\\
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\end{matrix}\\
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\end{mathe}
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Dies führt zu zwei weiteren Fällen, denn die $3$. Gleichung ist jetzt genau dann lösbar,
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wenn $\beta-8=0$.
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\begin{enumerate}{\bfseries {Fall 1}a.}
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%% FALL 1a
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\item $\beta-8\neq 0$. Das heißt, $\beta\neq 8$.
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Dann ist die $3$. Gleichung und damit das LGS nicht lösbar.
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Darum erhalten wir $\boxed{L_{\alpha,\beta}=\leer}$.
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%% FALL 1b
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\item $\beta-8=0$. Das heißt, $\beta=8$.
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Dann ist die $3$. Gleichung trivialerweise erfüllt.
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Das augmentierte System sieht wird zum
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\begin{mathe}[mc]{c}
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\begin{matrix}{cccc|c}
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\boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\
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0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\
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0 &0 &0 &0 &0\\
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\end{matrix}\\
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\end{mathe}
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und kann jetzt aufgelöst werden.
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Wir arbeiten von unten nach oben:
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\begin{algorithm}[2\rtab][\rtab]
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Aus der ganzen Zeilenstufenform erschließt sich
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\begin{mathe}[mc]{c}
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x_{3},\, x_{4}\,\text{sind frei}\\
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\end{mathe}
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Aus der Stufenform von Gleichungen $2$ und $1$ erschließt sich
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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x_{2} &= &-4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\
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x_{1} &= &4 - 7x_{2} - 2x_{3} + x_{4}\\
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&= &4 - 7(-4 - 4x_{3} + 2x_{4}) - 2x_{3} + x_{4}\\
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&= &32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\
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\end{mathe}
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Zusammengefasst erhalten wir die allgemeine Form der Lösung:
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\mathbf{x} &= &\begin{svector}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\\end{svector}\\
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&= &\begin{svector}32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\-4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\x_{3}\\x_{4}\\\end{svector}\\
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&= &\begin{svector}32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\-4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\0 + 1x_{3} + 0x_{4}\\0 + 0x_{3} + 1x_{4}\\\end{svector}\\
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&= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}
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+ \begin{svector}26x_{3}\\-4x_{3}\\1x_{3}\\0x_{3}\\\end{svector}
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+ \begin{svector}-13x_{4}\\2x_{4}\\1x_{4}\\1x_{4}\\\end{svector}\\
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&= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}
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+ x_{3}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}
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+ x_{4}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\\
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\end{mathe}
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mit $x_{3}$, $x_{4}$ frei wählbar.
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\end{algorithm}
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Also erhalten wird in diesem Falle
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$\boxed{
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L_{\alpha,\beta}=\left\{
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\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}
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+ t_{1}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}
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+ t_{2}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}
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\mid t_{1}, t_{2}\in\reell
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\right\}
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}$,
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oder etwas kompakter formuliert,
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${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \span\left\{\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
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|
\end{enumerate}
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%% FALL 2
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\item $\alpha-4\neq 0$. Das heißt, $\alpha\neq 4$.
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In diesem Falle hat das augmentierte System genau $3$ Stufen und diesmal ist nur $x_{4}$ frei.
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Man beachte, dass dies im Grunde genau wie Fall 1b ist, nur dass wir zusätzlich Gleichung 3 beachten und $x_{3}$ bestimmen müssen.
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\begin{algorithm}[2\rtab][\rtab]
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Aus der Stufenform von Gleichungen $3$ ergibt sich
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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x_{3} &= &\frac{\beta-8}{\alpha-4}\\
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\end{mathe}
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Der Rest der Lösung des Gleichungssystems verhält sich genau wie im Fall 3b,
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das heißt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\mathbf{x} &= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}
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+ x_{3}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}
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+ x_{4}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\\
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&= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}
|
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+ \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}
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+ x_{4}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector},\\
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\end{mathe}
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wobei $x_{4}$ frei wählbar ist.
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\end{algorithm}
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|
Also erhalten wird in diesem Falle
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$\boxed{
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L_{\alpha,\beta}=\left\{
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\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}
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|
|
+ \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}
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|
|
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|
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+ t\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}
|
|
|
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\mid t\in\reell
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|
|
|
|
|
\right\}
|
|
|
|
|
|
}$,
|
|
|
|
|
|
oder etwas kompakter formuliert,
|
|
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|
|
${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + \span\left\{\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
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|
\end{enumerate}
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Wir fassen die Lösung für alle Fälle zusammen:
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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L_{\alpha,\beta} &= &\begin{cases}[m]{lcl}
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\leer &: &\alpha=4,\,\beta\neq 8\\
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\mathbf{u} + \span\{\mathbf{v},\mathbf{w}\} &: &\alpha=4,\,\beta=8\\
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\mathbf{u} + \frac{\alpha-4}{\beta-8}\mathbf{v} + \span\{\mathbf{w}\} &: &\alpha\neq 4\\
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\end{cases}
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\end{mathe}
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für alle $\alpha,\beta\in\reell$,
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wobei
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$\mathbf{u} = \begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}$,
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$\mathbf{v} = \begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}$,
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|
$\mathbf{w} = \begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}$.
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%% AUFGABE 1-2
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{Aufgabe}
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\section[Aufgabe 2]{}
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\label{ueb:1:ex:2}
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\let\sectionname\altsectionname
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\begin{schattierteboxdunn}
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\begin{satz}
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\makelabel{satz:main:ueb:1:ex:2}
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Angewandt auf die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems
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verändern
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die elementaren Zeilenumformungen vom Typ (I), (II) und (III)
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die Menge der Lösungen nicht.
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\end{satz}
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\end{schattierteboxdunn}
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Wir beweisen \Cref{satz:main:ueb:1:ex:2} mithilfe der folgenden Teilergebnisse.
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\begin{lemm}
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\makelabel{lemm:1:ueb:1:ex:2}
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Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
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Für $i,j\in\{1,2,\ldots,m\}$ mit $i\neq j$ bezeichne mit
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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(A|\mathbf{b}) &\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
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\end{mathe}
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die Anwendung von Zeilentransformation (I) auf $(A|\mathbf{b})$,
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wobei Zeile${}_{i}$ und Zeile${}_{j}$ umgetauscht werden,
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was in $(A'|\mathbf{b}')$ resultiert.
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Dann für alle ${\mathbf{x}\in\reell^{n}}$,
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falls $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$ ist,
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dann ist $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b}')$.
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\end{lemm}
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\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
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\begin{proof}
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Betrachte den Fall $i<j$.
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Es gilt
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\begin{longtable}[mc]{RL}
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&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$}\\
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\Longrightarrow
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&{\scriptsize
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\left\{
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|
\begin{array}[m]{crccccclcl}
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|
|
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&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
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|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} &= &b_{i})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{j,1}x_{1} &+ &a_{j,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{j,n}x_{n} &= &b_{j})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
|
|
|
|
|
\end{array}
|
|
|
|
|
|
\right.}\\
|
|
|
|
|
|
\\
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|
|
|
|
|
\Longrightarrow
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|
|
&{\scriptsize
|
|
|
|
|
|
\left\{
|
|
|
|
|
|
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
|
|
|
|
|
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{j,1}x_{1} &+ &a_{j,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{j,n}x_{n} &= &b_{j})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} &= &b_{i})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
|
|
|
|
|
\end{array}
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|
|
\right.}\\
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|
\\
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&\text{da lediglich zwei Aussagen in einer Konjunktion umgetauscht werden}\\
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\\
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|
\Longrightarrow
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|
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b})'$, da $(A|\mathbf{b})\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow}(A'|\mathbf{b}')$.}\\
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\end{longtable}
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Der Fall $i>j$ lässt sich analog zeigen.
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Falls $i=j$ bleibt das System unverändert, sodass die Behauptung trivialerweise gilt.
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\end{proof}
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\end{einzug}
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\begin{lemm}
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\makelabel{lemm:2:ueb:1:ex:2}
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Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
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Für ${i\in\{1,2,\ldots,m\}}$ und ${\alpha\in\reell\ohne\{0\}}$ bezeichne mit
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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(A|\mathbf{b}) &\overset{II;i,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
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\end{mathe}
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die Anwendung von Zeilentransformation (II) auf $(A|\mathbf{b})$,
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wobei Zeile${}_{i}$ durch $\alpha\cdot$Zeile${}_{i}$ ersetzt wird,
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was in $(A'|\mathbf{b}')$ resultiert.
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Dann für alle ${\mathbf{x}\in\reell^{n}}$,
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falls $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$ ist,
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dann ist $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b}')$.
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\end{lemm}
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\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
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\begin{proof}
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Es gilt
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\begin{longtable}[mc]{RL}
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&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$}\\
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|
\Longrightarrow
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|
&{\scriptsize
|
|
|
|
|
|
\left\{
|
|
|
|
|
|
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
|
|
|
|
|
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} &= &b_{i})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
|
|
|
|
|
\end{array}
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|
|
|
|
|
\right.}\\
|
|
|
|
|
|
\\
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|
|
|
|
|
\Longrightarrow
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|
|
|
&{\scriptsize
|
|
|
|
|
|
\left\{
|
|
|
|
|
|
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
|
|
|
|
|
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(\alpha\cdot (a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n}) &= &\alpha\cdot b_{i})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
|
|
|
|
|
\end{array}
|
|
|
|
|
|
\right.}\\
|
|
|
|
|
|
\\
|
|
|
|
|
|
\Longrightarrow
|
|
|
|
|
|
&{\scriptsize
|
|
|
|
|
|
\left\{
|
|
|
|
|
|
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
|
|
|
|
|
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(\alpha\cdot a_{i,1}x_{1} &+ &\alpha\cdot a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &\alpha\cdot a_{i,n}x_{n} &= &\alpha\cdot b_{i})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
|
|
|
|
|
\end{array}
|
|
|
|
|
|
\right.}\\
|
|
|
|
|
|
\\
|
|
|
|
|
|
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b})'$, da $(A|\mathbf{b})\overset{II;i,\alpha}{\rightsquigarrow}(A'|\mathbf{b}')$.}
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|
\end{longtable}
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|
Also gilt die Behauptung.
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\end{proof}
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\end{einzug}
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|
\begin{lemm}
|
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|
|
|
|
\makelabel{lemm:3:ueb:1:ex:2}
|
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|
|
Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
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|
Für ${i,j\in\{1,2,\ldots,m\}}$ mit $i\neq j$ und $\alpha\in\reell$ bezeichne mit
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|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
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(A|\mathbf{b}) &\overset{III;i,j,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
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\end{mathe}
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die Anwendung von Zeilentransformation (III) auf $(A|\mathbf{b})$,
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wobei Zeile${}_{i}$ durch die Addition von Zeile${}_{i}$ mit $\alpha\cdot$Zeile${}_{j}$ ersetzt wird,
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was in $(A'|\mathbf{b}')$ resultiert.
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|
Dann für alle ${\mathbf{x}\in\reell^{n}}$,
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|
falls $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$ ist,
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|
|
dann ist $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b}')$.
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|
\end{lemm}
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|
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
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\begin{proof}
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|
Es gilt
|
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|
\begin{longtable}[mc]{RL}
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|
|
|
|
|
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$}\\
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|
|
|
|
|
\Longrightarrow
|
|
|
|
|
|
&{\scriptsize
|
|
|
|
|
|
\left\{
|
|
|
|
|
|
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
|
|
|
|
|
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} &= &b_{i})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
|
|
|
|
|
\end{array}
|
|
|
|
|
|
\right.}\\
|
|
|
|
|
|
\\
|
|
|
|
|
|
\Longrightarrow
|
|
|
|
|
|
&{\scriptsize
|
|
|
|
|
|
\left\{
|
|
|
|
|
|
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
|
|
|
|
|
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} + \alpha\cdot b_{j} &= &b_{i} + \alpha\cdot b_{j})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
|
|
|
|
|
\end{array}
|
|
|
|
|
|
\right.}\\
|
|
|
|
|
|
\\
|
|
|
|
|
|
\Longrightarrow
|
|
|
|
|
|
&{\scriptsize
|
|
|
|
|
|
\left\{
|
|
|
|
|
|
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
|
|
|
|
|
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n}\\
|
|
|
|
|
|
&+\alpha\cdot a_{j,1}x_{1} &+ &\alpha\cdot a_{j,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &\alpha\cdot a_{j,n}x_{n} &= &b_{i} + \alpha\cdot b_{j})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
|
|
|
|
|
\end{array}
|
|
|
|
|
|
\right.}\\
|
|
|
|
|
|
\\
|
|
|
|
|
|
&\text{da laut der $j$-ten Gleichung gilt ${b_{j}=\sum_{k=1}^{m}a_{j,k}x_{k}}$}\\
|
|
|
|
|
|
\\
|
|
|
|
|
|
\Longrightarrow
|
|
|
|
|
|
&{\scriptsize
|
|
|
|
|
|
\left\{
|
|
|
|
|
|
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
|
|
|
|
|
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a'_{i,1}x_{1} &+ &a'_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a'_{i,n}x_{n} &= &b'_{i})\\
|
|
|
|
|
|
\cdots\\
|
|
|
|
|
|
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m}),
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\end{array}
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\right.}\\
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\\
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&\text{wobei $a'_{i,k}=a_{i,k}+\alpha\cdot a_{j,k}$ für alle $k$ und $b'_{i}=b_{i}+\alpha\cdot b_{j}$}\\
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\\
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\Longrightarrow
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&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b})'$, da $(A|\mathbf{b})\overset{III;i,j,\alpha}{\rightsquigarrow}(A'|\mathbf{b}')$.}
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\end{longtable}
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Also gilt die Behauptung.
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\end{proof}
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\end{einzug}
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Endlich können wir \Cref{satz:main:ueb:1:ex:2} beweisen:
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\begin{proof}[von \Cref{satz:main:ueb:1:ex:2}]
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Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
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Seien $A'\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}'\in\reell^{m}$,
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so dass $(A|\mathbf{b})$ durch eine Transformation der Art (I), (II) oder (III)
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aus $(A|\mathbf{b})$ entsteht.
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Das heißt, entweder
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\begin{mathe}[mc]{lrcl}
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\eqtag[eq:0:\beweislabel]
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&(A|\mathbf{b}) &\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
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\text{oder} &(A|\mathbf{b}) &\overset{I;i,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
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\text{oder} &(A|\mathbf{b}) &\overset{III;i,j,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
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\end{mathe}
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gilt, für ein $i,j\in\{1,2,\ldots,m\}$ mit $i\neq j$ und $\alpha\in\reell\ohne\{0\}$.\\
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\textbf{Zu zeigen:}
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\eqtag[eq:1:\beweislabel]
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\{\mathbf{x}\in\reell^{n}\mid\mathbf{x}\text{ eine Lösung für }(A|\mathbf{b})\}
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&= &\{\mathbf{x}\in\reell^{n}\mid\mathbf{x}\text{ eine Lösung für }(A|\mathbf{b})\}.\\
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\end{mathe}
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Wir zeigen dies in zwei Teile:
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\uline{\bfseries ($\subseteq$.)}\\
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Sei $\mathbf{x}\in\reell^{n}$ ein beliebiges Element aus der linken Menge,
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d.\,h. $\mathbf{x}$ ist eine Lösung zu $(A|\mathbf{b})$.
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Laut \Cref{lemm:1:ueb:1:ex:2} + \Cref{lemm:2:ueb:1:ex:2} + \Cref{lemm:3:ueb:1:ex:2}
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und wegen \eqcref{eq:0:\beweislabel}
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erhalten wir, dass $\mathbf{x}$ eine Lösung zu $(A'|\mathbf{b}')$ ist,
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d.\,h. $\mathbf{x}$ liegt in der rechten Menge.
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Also ist die linke Menge in der rechten enthalten.
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\uline{\bfseries ($\supseteq$.)}\\
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Man beachte zuerst, dass sich die Transformation in \eqcref{eq:0:\beweislabel} umkehren lässt---\text{und zwar durch Elementartransformationen}.
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Es ist einfach zu sehen, dass entweder
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\begin{mathe}[mc]{lrcl}
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&(A'|\mathbf{b}') &\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow} &(A|\mathbf{b})\\
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\text{oder} &(A'|\mathbf{b}') &\overset{I;i,\alpha^{-1}}{\rightsquigarrow} &(A|\mathbf{b})\\
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\text{oder} &(A'|\mathbf{b}') &\overset{III;i,j,-\alpha}{\rightsquigarrow} &(A|\mathbf{b}).\\
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\end{mathe}
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Die Situation ist also analog zum $\subseteq$-Teil.
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Darum gilt die $\supseteq$-Inklusion in \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
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\end{proof}
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|
\clearpage
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%% AUFGABE 1-3
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{Aufgabe}
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\section[Aufgabe 3]{}
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\label{ueb:1:ex:3}
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\let\sectionname\altsectionname
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Für diese Aufgabe wird das Konzept der \emph{linearen Unabhängigkeit} aus Kapitel 5 angewandt.
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\begin{defn}
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Seien $m,n\in\ntrlpos$ mit $m>n$
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und seien $A\in\reell^{m\times n}$, $\mathbf{b}\in\reell^{m}$,
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und $I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$.
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Bezeichne mit $(A|\mathbf{b})_{I}$ die erweiterte Koeffizientenmatrix $(A|\mathbf{b})$,
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die auf die Zeilen mit Indexes aus $I$ (in bspw. aufsteigender Reihenfolge) reduziert ist.
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\end{defn}
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\begin{e.g.}
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|
Für $(A|\mathbf{b})$ gleich
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{\scriptsize
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\begin{mathe}[mc]{c}
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\begin{matrix}{ccc|c}
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-5 &0 &0 &-7\\
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4 &-6 &-10 &6\\
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-2 &-6 &-6 &9\\
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-7 &4 &-1 &-5\\
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|
4 &-5 &2 &-9\\
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-5 &8 &-7 &-5\\
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\end{matrix}
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\end{mathe}}
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|
und $I=\{2,5,6\}$ ist $(A|\mathbf{b})_{I}$ gleich
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|
{\scriptsize
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|
\begin{mathe}[bc]{c}
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|
|
\begin{matrix}{ccc|c}
|
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|
|
4 &-6 &-10 &6\\
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|
4 &-5 &2 &-9\\
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|
-5 &8 &-7 &-5\\
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\end{matrix}.
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\end{mathe}}
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\nvraum{1}
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|
\end{e.g.}
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Mit diesem Mittel können wir nun die Hauptaussage in der Aufgabe formulieren:
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\begin{schattierteboxdunn}
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\begin{satz}
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|
\makelabel{satz:main:ueb:1:ex:3}
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|
Seien $m,n\in\ntrlpos$ mit $m>n$
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und seien $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
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Falls $(A|\mathbf{b})$ unlösbar ist,
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dann existiert $I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$ mit $|I|=n+1$,
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so dass $(A|\mathbf{b})_{I}$ unlösbar ist.
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|
\end{satz}
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|
\end{schattierteboxdunn}
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\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
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\begin{proof}[*][\Cref{\beweislabel}]
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Es stehen nun die \emph{Zeilen} der Matrix $A$ im Fokus.
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Wir verwandeln diese in Vektoren, d.\,h. setze
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\begin{mathe}[mc]{c}
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\mathbf{z}^{(i)}\in\reell^{n}\,\text{die $i$-te Zeile von $A$ als Vektor geschrieben}
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\end{mathe}
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für $i\in\{1,2,\ldots,m\}$.
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Da ${\mathbf{z}^{(1)},\mathbf{z}^{(2)},\ldots,\mathbf{z}^{(m)}\in\reell^{n}}$,
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können wir eine \emph{maximale Menge} ${I_{0}\subseteq\{1,2,\ldots,m\}}$ finden,
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so dass $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}}$ linear unabhängige Vektoren sind.
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Aus der Maximalität folgt, dass für jedes ${k\in\{1,2,\ldots,m\}\ohne I_{0}}$
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$(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}\cup\{k\}}$ \emph{linear abhängig} sind.
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Wegen der Dimension von $\reell^{n}$ gilt ${|I|\leq\min\{m,n\}=n}$.
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Aus der linearer Unabhängigkeit von den $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}}$ folgt,
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dass es (eindeutige) Koeffizienten $c_{k,i}\in\reell$ für $i\in I_{0}$ gibt,
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so dass
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\eqtag[eq:1:\beweislabel]
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\mathbf{z}^{(k)} &= &\sum_{i\in I_{0}:~}c_{k,i}\mathbf{z}^{(i)}\\
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\end{mathe}
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gilt.
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Um nun die Hauptaussage zu zeigen, nehmen wir an, dass $(A|\mathbf{b})$ unlösbar ist.
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\textbf{Zu zeigen:} Es gibt eine Teilmenge ${I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}}$ mit ${|I|=n+1}$,
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so dass $(A|\mathbf{b})_{I}$ unlösbar ist.
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\fbox{Angenommen, dies sei nicht der Fall.}
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Aus dieser Annahme leiten wir folgende Behauptungen ab:
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\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
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\behauptungbeleg{1}
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Die Verhältnisse zwischen den Zeilenvektoren in \eqcref{eq:1:\beweislabel} gelten auch für die Einträge aus $\mathbf{b}$.
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Das heißt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\eqtag[eq:2:\beweislabel]
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b_{k} &= &\sum_{i\in I_{0}:~}c_{k,i}b_{i}\\
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\end{mathe}
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für alle ${k\in\{1,2,\ldots,m+1\}\ohne I_{0}}$.\\
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\voritemise
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\belegbehauptung
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Sei $k\in\{1,2,\ldots,m+1\}\ohne I_{0}$ beliebig.
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|
Da $|I_{0}|\leq n<n+1$ lässt sich eine Teilmenge $I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$ wählen,
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mit $I\supseteq I_{0}\cup\{k\}$ und $|I|=n+1$.
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Dann per \emph{Annahme} ist $(A|\mathbf{b})_{I}$ lösbar.
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Das heißt, $\mathbf{x}\in\reell^{n}$ existiert, so dass
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\eqtag[eq:3:\beweislabel]
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b_{i} &= &\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\\
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\end{mathe}
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für alle $i\in I$ gilt.
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Da $k\in I$ und $I_{0}\subseteq I$ und wegen \eqcref{eq:1:\beweislabel} erhalten wir
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nun das Verhältnis
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\begin{longmathe}[mc]{RCL}
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b_{k} &= &\sum_{j=1}^{n}a_{k,j}x_{j}\\
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&= &\sum_{j=1}^{n}(\mathbf{z}^{(k)})_{j}x_{j}\\
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|
&&\quad\text{da die Einträge der $k$-ten Zeile den Einträgen von $\mathbf{z}^{(k)}$ entsprechen}\\
|
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&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{=}
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|
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|
&\sum_{j=1}^{n}(\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\mathbf{z}^{(i)})_{j}x_{j}\\
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|
&= &\sum_{j=1}^{n}\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}z^{(i)}_{j}x_{j}\\
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|
|
|
|
|
&= &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\sum_{j=1}^{n}z^{(i)}_{j}x_{j}\\
|
|
|
|
|
|
&= &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\\
|
|
|
|
|
|
&&\quad\text{da die Einträge der $i$-ten Zeile den Einträgen von $\mathbf{z}^{(i)}$ entsprechen}\\
|
|
|
|
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|
&\eqcrefoverset{eq:3:\beweislabel}{=} &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}b_{i}.\\
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|
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|
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|
\end{longmathe}
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|
Darum gilt die Behauptung.
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\enndeOfSomething[Beh. 1]
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\behauptungbeleg{2}
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Es gibt eine Lösung zu $(A|\mathbf{b})$.\\
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|
\voritemise
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|
\belegbehauptung
|
|
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|
|
|
Da $|I_{0}|\leq n<n+1$ lässt sich eine Teilmenge $I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$ wählen,
|
|
|
|
|
|
so dass $I\supseteq I_{0}$ und $|I|=n+1$.
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|
|
|
|
|
Dann per \emph{Annahme} ist $(A|\mathbf{b})_{I}$ lösbar.
|
|
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|
Das heißt, ein $\mathbf{x}\in\reell^{n}$ existiert, so dass
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|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
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|
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|
|
\eqtag[eq:3b:\beweislabel]
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|
b_{i} &= &\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\\
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|
\end{mathe}
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für alle $i\in I$ gilt.
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Da $I\supseteq I_{0}$ können wir \textbf{Behauptung 1} und die Verhältnisse in \eqcref{eq:1:\beweislabel} anwenden.
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Für jedes ${k\in\{1,2,\ldots,m\}\ohne I}$ gilt
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\begin{longmathe}[mc]{RCL}
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\sum_{j=1}^{n}a_{k,j}x_{j}
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&= &\sum_{j=1}^{n}(\mathbf{z}^{(k)})_{j}x_{j}\\
|
|
|
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|
&&\quad\text{da die Einträge der $k$-ten Zeile den Einträgen von $\mathbf{z}^{(k)}$ entsprechen}\\
|
|
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&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{=}
|
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|
&\sum_{j=1}^{n}(\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\mathbf{z}^{(i)})_{j}x_{j}\\
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|
&= &\sum_{j=1}^{n}\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}z^{(i)}_{j}x_{j}\\
|
|
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&= &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\sum_{j=1}^{n}z^{(i)}_{j}x_{j}\\
|
|
|
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|
&= &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\\
|
|
|
|
|
|
&&\quad\text{da die Einträge der $i$-ten Zeile den Einträgen von $\mathbf{z}^{(i)}$ entsprechen}\\
|
|
|
|
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|
&\eqcrefoverset{eq:3b:\beweislabel}{=} &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}b_{i}\\
|
|
|
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|
&\textoverset{Beh. 1}{=} &b_{k}\\
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|
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|
\end{longmathe}
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Also ist $\mathbf{x}\in\reell^{n}$ nicht nur eine Lösung zu Zeile $i$ des LGS, $(A|\mathbf{b})$, für jedes $i\in I$,
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sondern auch für jedes ${i\in\{1,2,\ldots,m\}\ohne I}$.
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Das heißt, $\mathbf{x}$ ist eine Lösung des LGS $(A|\mathbf{b})$.
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Also ist $(A|\mathbf{b})$ lösbar.
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\enndeOfSomething[Beh. 2]
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\end{kompaktitem}
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Laut \textbf{Behauptung 2} ist also $(A|\mathbf{b})$ lösbar.
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Dies ist aber ein Widerspruch!
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Darum stimmt die \emph{Annahme} oben nicht.
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Also gibt es \emph{doch} eine Teilmenge ${I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}}$ mit ${|I|=n+1}$, so dass $(A|\mathbf{b})_{I}$ unlösbar ist.
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Damit wurde die zu zeigende Implikation bewiesen.
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\end{proof}
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\end{einzug}
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\begin{rem}
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Falls man sich aber auf rudimentäre Mitteln beschränken will, kann man alternativ wie folgt vorgehen.
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Man wende zuerst das Gaußverfahren an und erhalte somit eine Folge
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\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
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(A^{(0)}|\mathbf{b}^{(0)})
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&\rightsquigarrow
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&(A^{(1)}|\mathbf{b}^{(1)})
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&\rightsquigarrow
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&(A^{(2)}|\mathbf{b}^{(2)})
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&\rightsquigarrow
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&\cdots
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&\rightsquigarrow
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&(A^{(N)}|\mathbf{b}^{(N)})
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\end{mathe}
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wobei $N\in\ntrl$, ${A^{(0)}=A}$, ${\mathbf{b}^{(0)}=\mathbf{b}}$,
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$(A^{(N)}|\mathbf{b}^{(N)})$ eine erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform ist,
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und jede der »$\rightsquigarrow$« Übergänge jeweils eine Transformation der Art (I), (II), oder (III) bezeichnet.
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Da $m>n$ sieht nun die Zeilenstufenform, also $(A^{(N)}|\mathbf{b}^{(N)})$, folgendermaßen aus:
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{\scriptsize
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\begin{matrix}{cccccccc|c}
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\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{1}} &\gamma_{1} &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{1}\\
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0\,0\,\ldots\,0 &0 &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{2}} &\gamma_{2} &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{2}\\
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\vdots & & & & & & &\vdots\\
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0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{r}} &\gamma_{r} &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r}\\
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0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r+1}\\
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\vdots & & & & & & &\vdots\\
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0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{m}\\
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\end{matrix}
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\end{mathe}}
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wobei $r\in\ntrlzero$ die Anzahl der Stufen ist,
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${\ell_{1},\ell_{2},\ldots,\ell_{r}\in\ntrlzero}$,
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und $\gamma_{1},\gamma_{2},\ldots,\gamma_{r}\in\reell\ohne\{0\}$ die Hauptkoeffizienten der Stufen sind.
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Es muss nun $0\leq r\leq \min\{m,n\}=n$ gelten.
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Jetzt kann man leicht dafür argumentiere, dass (1) die Zeilenstufenform, $(A^{(N)}|\mathbf{b}^{(N)})$, die Implikation erfüllt.
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Dann aufgrund der Umkehrbarkeit der Elementartransformationen, reicht es aus zu zeigen, dass (2):
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wenn ${(A',\mathbf{b}')\rightsquigarrow(A'',\mathbf{b}'')}$ und wenn $(A',\mathbf{b}')$ die Implikation erfüllt,
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dann erfüllt $(A'',\mathbf{b}'')$ die Implikation.
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Dies ist nur etwas mühseliger und die Argumentation von (2) führt letzten Endes zu ähnlichen Ideen, die im Beweis oben vorkommen.
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\end{rem}
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: body/uebung/ueb2.tex
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%% ********************************************************************************
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\setcounternach{chapter}{2}
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\chapter[Woche 2]{Woche 2}
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\label{ueb:2}
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\textbf{ACHTUNG.}
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Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
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Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
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Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
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%% AUFGABE 2-1
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{Aufgabe}
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\section[Aufgabe 1]{}
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\label{ueb:2:ex:1}
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\let\sectionname\altsectionname
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\begin{schattierteboxdunn}
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\begin{satz}[vgl. {\cite[Korollar 1.3.3]{sinn2020}}]
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\makelabel{satz:main:ueb:2:ex:1}
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Sei $V$ ein Vektorraum über $\reell$ wie $\reell^{n}$ für ein $n\in\ntrlpos$.
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Seien $\mathbf{v},\mathbf{w}\in V$ mit $\mathbf{v}\neq \mathbf{w}$ und $\mathbf{w}\neq\zerovector$
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und sei
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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L &:= &\{s\mathbf{v} + (1-s)\mathbf{w}\mid s\in\reell\}\\
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\end{mathe}
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die Verbindungsgerade zw. $\mathbf{v}$ und $\mathbf{w}$.
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Dann gilt $\zerovector\in L$ $\Leftrightarrow$ $\exists{c\in\reell:~}\mathbf{v}=c\mathbf{w}$.
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\end{satz}
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\end{schattierteboxdunn}
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\begin{proof}
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Der Beweis wird in zwei Teilen gezeigt.
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\hinRichtung Angenommen, $\zerovector\in L$.
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\textbf{Zu zeigen:} $\exists{c\in\reell:~}\mathbf{v}=c\mathbf{w}$.\\
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Per Definition von $L$ existiert ein $s\in\reell$, so dass sich $\zerovector$
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als $\zerovector=s\mathbf{v} + (1-s)\mathbf{w}$
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darstellen lässt.
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Daraus lässt sich ableiten:
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\zerovector=s\mathbf{v} + (1-s)\mathbf{w}
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&\Longleftrightarrow
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&s\mathbf{v} = (s-1)\mathbf{w}\\
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&\Longleftrightarrow
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&\underbrace{%
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(s=0\,\text{und}\,\mathbf{w}=s(\mathbf{w}-\mathbf{v})=\zerovector)
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}_{%
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\text{unmöglich, da $\mathbf{w}\neq\zerovector$ per Voraussetzung}
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}
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\,\text{oder}\,(s\neq 0\,\text{und}\,\mathbf{v} = ((s-1)/s)\mathbf{w})\\
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&\Longleftrightarrow
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|
&s\neq 0\,\text{und}\,\mathbf{v} = ((s-1)/s)\mathbf{w}\\
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&\Longrightarrow
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&\exists{c\in\reell:~}\mathbf{v} = c\mathbf{w}.\\
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\end{mathe}
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\herRichtung Angenommen, $\mathbf{v} = c\mathbf{w}$ für ein $c\in\reell$.
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\textbf{Zu zeigen:} $\zerovector\in L$.\\
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Per Voraussetzung gilt nun $\mathbf{v}\neq\mathbf{w}$, sodass $c=1$ direkt ausgeschlossen ist.\\
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Setze nun \fbox{$s:=\frac{1}{1-c}\in\reell$}, was wohldefiniert ist, da $c\neq 1$.\\
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Man berechnet nun
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\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
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\overbrace{s\mathbf{v}+(1-s)\mathbf{w}}^{\in L,\,\text{per Definition}}
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&= &\frac{1}{1-c}c\mathbf{w}+(1-\frac{1}{1-c})\mathbf{w}
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&= &(\underbrace{\frac{c}{1-c}+1-\frac{1}{1-c}}_{=\frac{c-1}{1-c}+1=0})\mathbf{w}
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&= &0\mathbf{w}
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&= &\zerovector.\\
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\end{mathe}
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Darum gilt $\zerovector\in L$.
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\end{proof}
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%% AUFGABE 2-2
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\clearpage
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{Aufgabe}
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\section[Aufgabe 2]{}
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\label{ueb:2:ex:2}
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\let\sectionname\altsectionname
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|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
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%% AUFGABE 2-2a
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\item
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\begin{schattierteboxdunn}
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\begin{satz}
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\makelabel{satz:main:ueb:2:ex:2a}
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Seien $\mathbf{v},\mathbf{v}^{\prime},\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\in\reell^{2}$
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mit $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\neq\zerovector$.
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Seien
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$L:=\{\mathbf{v}+t\mathbf{w}\mid t\in\reell\}$
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und
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$L^{\prime}:=\{\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\mid s\in\reell\}$.
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Angenommen, $L\neq L^{\prime}$.
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Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
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\begin{kompaktenum}{(i)}
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\item\punktlabel{1}
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$L\cap L^{\prime}=\leer$;
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\item\punktlabel{2}
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$\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}$ sind kolinear,
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d.\,h.
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$\exists{c\in\reell:~}\mathbf{w}=c\mathbf{w}^{\prime}$.
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\end{kompaktenum}
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\nvraum{1}
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\end{satz}
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\end{schattierteboxdunn}
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\begin{proof}
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Der Beweis wird in zwei Teilen gezeigt.
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\hinRichtung{1}{2} Angenommen, $L\cap L^{\prime}=\leer$.
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\textbf{Zu zeigen:} $\exists{c\in\reell:~}\mathbf{w}=c\mathbf{w}^{\prime}$.\\
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\fbox{Angenommen, dies sei nicht der Fall.}\\
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Da $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\neq\zerovector$ bedeutet dies,
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dass $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}$ \emph{linear unabhängig} sind. ($\to$ Warum??)\\
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Also gilt für den Untervektorraum
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$U:=\span\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$,
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dass $\dim(U)=2$.\\
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Da $U\subseteq\reell^{2}$ Vektorräume sind und $\dim(U)=2=\dim(\reell^{2})$,
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folgt hieraus, dass $U=\reell^{2}$. ($\to$ Warum??)\\
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Betrachte bspw. den Vektor
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\eqtag[eq:1-2:1:\beweislabel]
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\mathbf{\xi} &:= &\mathbf{v}^{\prime}-\mathbf{v}\in\reell^{2}.\\
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\end{mathe}
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Dann $\mathbf{\xi}\in U=\span\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$.
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Folglich existieren Skalare $\alpha,\beta\in\reell$,
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so dass $\alpha\mathbf{w}+\beta\mathbf{w}^{\prime}=\mathbf{\xi}$
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gilt.\\
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Setze nun \fbox{$t:=\alpha$} und \fbox{$s:=-\beta$}.
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Dann gilt
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\begin{mathe}[mc]{rclcl}
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\overbrace{%
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\mathbf{v}+t\mathbf{w}
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}^{\in L}
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&= &(\mathbf{v}+t\mathbf{w})-(\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime})
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+\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\\
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&= &(\mathbf{v}-\mathbf{v}^{\prime})+(t\mathbf{w}-s\mathbf{w}^{\prime})
|
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|
+\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\\
|
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|
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|
&= &(\mathbf{v}-\mathbf{v}^{\prime})+(\alpha\mathbf{w}+\beta\mathbf{w}^{\prime})
|
|
|
|
|
|
+\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\\
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|
&\eqcrefoverset{eq:1-2:1:\beweislabel}{=}
|
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&-\mathbf{\xi}+\mathbf{\xi}
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+\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}
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&= &\underbrace{%
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|
\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}%
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}_{\in L^{\prime}}.\\
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|
\end{mathe}
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Darum gilt $L\cap L^{\prime}\neq\leer$,
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was ein Widerspruch ist.\\
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Darum stimmt die o.\,s. Annahme nicht.
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Also sind $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}$ kolinear.
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\hinRichtung{2}{1} Angenommen, $\mathbf{w}=c\mathbf{w}^{\prime}$ für ein $c\in\reell$.
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\textbf{Zu zeigen:} $L\cap L^{\prime}=\leer$.\\
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\fbox{Angenommen, dies sei nicht der Fall.}
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Dann existiert ein Vektor, $\mathbf{u}\in L\cap L^{\prime}$.\\
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Per Konstruktion existieren dann $s_{0},t_{0}\in\reell$,
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so dass
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\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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\mathbf{v}+t_{0}\mathbf{w} &= &\mathbf{u} &= &\mathbf{v}^{\prime}+s_{0}\mathbf{w}^{\prime}.\\
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\end{mathe}
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Aus der Voraussetzung für diese Richtung folgt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\eqtag[eq:2-1:1:\beweislabel]
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\mathbf{v}^{\prime} &= &\mathbf{v}+(t_{0}-s_{0}c)\mathbf{w}\\
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\end{mathe}
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Beachte, dass \fbox{$c\neq 0$}, denn sonst würde $\mathbf{w}=c\mathbf{w}^{\prime}=\zerovector$ gelten,
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was ein Widerspruch ist. Wir berechnen
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\eqtag[eq:2-1:2:\beweislabel]
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L^{\prime} &= &\{\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\mid s\in\reell\}\\
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&\eqcrefoverset{eq:2-1:1:\beweislabel}{=}
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&\{\mathbf{v}+(t_{0}-s_{0}c)\mathbf{w}+sc\mathbf{w}\mid s\in\reell\}\\
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&= &\{\mathbf{v}+(t_{0}+(s-s_{0})c)\mathbf{w}\mid s\in\reell\}\\
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&= &\{\mathbf{v}+t\mathbf{w}\mid t\in R\},\\
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\end{mathe}
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wobei $R=\{t_{0}+(s-s_{0})c\mid s\in\reell\}=f(\reell)$.
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Also $R=f(\reell)$, wobei ${f:\reell\to\reell}$ eine durch ${f(s)=t_{0}+(s-s_{0})c}$ definierte Funktion ist.
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Da $c\neq 0$, ist es einfach zu sehen, dass $f$ surjektiv ist (in der Tat bijektiv).
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Darum gilt $R=f(\reell)=\reell$.\\
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Aus \eqcref{eq:2-1:2:\beweislabel} folgt also
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${L^{\prime}=\{\mathbf{v}+t\mathbf{w}\mid t\in\reell\}=L}$,
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was ein Widerspruch ist.\\
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Darum stimmt die o.\,s. Annahme nicht.
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Also gilt $L\cap L^{\prime}=\leer$.
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\end{proof}
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%% AUFGABE 2-2b
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\item
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Wir zeigen nun ein minimales Beispiel dafür, dass \Cref{satz:main:ueb:2:ex:2a}
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im allgemeinen für andere Vektorräume nicht gilt.
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Betrachte den Vektorraum $\reell^{3}$.
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Betrachte die folgenden Vektoren in $\reell^{3}$:
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\begin{mathe}[mc]{rclqrclqrclqrcl}
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\mathbf{v} &= &\begin{svector}0\\0\\0\\\end{svector},
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&\mathbf{v}^{\prime} &= &\begin{svector}1\\0\\0\\\end{svector},
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&\mathbf{w} &= &\begin{svector}0\\1\\0\\\end{svector},
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&\mathbf{w}^{\prime} &= &\begin{svector}0\\1\\1\\\end{svector}.\\
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\end{mathe}
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Bis auf 2-Dimensionalität erfüllen diese die Voraussetzungen in \Cref{satz:main:ueb:2:ex:2a}.
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Einerseits wurden $\mathbf{w}$, $\mathbf{w}^{\prime}$ so gewählt, dass sie \emph{nicht} kolinear sind.
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Dennoch schneiden sich die beiden Geraden, $L$, $L^{\prime}$, nicht,
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da
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${L\subseteq \{\mathbf{x}\in\reell^{3}\mid x_{1}=0\}=:E}$
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und
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${L^{\prime}\subseteq \{\mathbf{x}\in\reell^{3}\mid x_{1}=1\}=:E^{\prime}}$
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und offensichtlich $E\cap E'=\leer$.
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\end{enumerate}
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%% AUFGABE 2-3
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\clearpage
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{Aufgabe}
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\section[Aufgabe 3]{}
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\label{ueb:2:ex:3}
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\let\sectionname\altsectionname
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|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
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%% AUFGABE 2-3a
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|
\item
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Für jedes $\gamma\in\reell$ sei die Gerade $L_{\gamma}\subseteq\reell^{2}$ gegeben durch
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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L_{\gamma} &= &\{(x,y)\in\reell^{2}\mid 2x+y=\gamma\cdot(x-3y-7)\}.\\
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\end{mathe}
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\begin{schattierteboxdunn}
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\begin{satz}
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\makelabel{satz:main:ueb:2:ex:3a}
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Es gibt exakt einen Punkt in dem Schnitt aus den Geraden, $L_{\gamma}$, $\gamma\in\reell$.
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Es gilt nämlich ${\displaystyle\bigcap_{\gamma\in\reell}L_{\gamma}=\{\mathbf{\xi}\}}$,
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wobei $\mathbf{\xi}=(1,-2)$.
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\end{satz}
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\end{schattierteboxdunn}
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\begin{proof}
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Wir teilen diesen Beweis in zwei Teilen auf:
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\BeweisRichtung[$\supseteq$]
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Es reicht aus, für alle $\gamma\in\reell$ \textbf{zu zeigen}, dass $\mathbf{\xi}\in L_{\gamma}$.\\
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Fixiere also ein beliebiges $\gamma\in\reell$. Dann
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\begin{mathe}[mc]{rclclcll}
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2\xi_{1}+\xi_{2}
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&= &2\cdot 1+(-2)
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&= &0,
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&&&\text{und}\\
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\gamma\cdot(\xi_{1}-3\xi_{2}-7)
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&= &\gamma\cdot(1-3(-2)-7)
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&= &\gamma\cdot 0
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&= &0.\\
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\end{mathe}
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Also ${2\xi_{1}+\xi_{2}=\gamma\cdot(\xi_{1}-3\xi_{2}-7)}$.
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Folglich gilt $\mathbf{\xi}\in L_{\gamma}$ per Konstruktion.
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\BeweisRichtung[$\subseteq$]
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Sei ${\mathbf{\eta}:=(x,y)\in\bigcap_{\gamma\in\reell}L_{\gamma}}$ beliebig.
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\textbf{Zu zeigen:} $\mathbf{\eta}=\mathbf{\xi}$.\\
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Zu diesem Zwecke seien $\gamma_{1},\gamma_{2}\in\reell$ irgendwelche Werte mit $\gamma_{1}\neq\gamma_{2}$.
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Per Wahl gilt $\mathbf{\eta}\in L_{\gamma_{1}}\cap L_{\gamma_{2}}$.
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Also
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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2x+y &= &\gamma_{1}\cdot(x-3x-7),\,\text{und}\\
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2x+y &= &\gamma_{2}\cdot(x-3x-7).\\
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\end{mathe}
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Wir können ganz naiv arbeiten und die Gleichungen subtrahieren.
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Dies liefert
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$(\gamma_{1}-\gamma_{2})\cdot(x-3x-7)=0$,
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woraus sich ergibt, dass
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$x-3y-7=0$
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gelten muss, da $\gamma_{1}\neq\gamma_{2}$.
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Eingesetzt in die erste Gleichung oben liefert
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$2x+y=\gamma\cdot 0=0$.
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Darum muss $\begin{svector}x\\y\\\end{svector}$
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das LGS $(A|\mathbf{b})$ lösen, wobei
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\begin{mathe}[mc]{rclqrcl}
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A &= &\begin{smatrix}
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1&-3\\
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2&1\\
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\end{smatrix},
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|
&\mathbf{b} &= &\begin{svector}7\\0\\\end{svector}
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|
\end{mathe}
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|
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
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Gaußverfahren angewandt auf $(A|\mathbf{b})$:
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\begin{mathe}[mc]{c}
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\begin{matrix}{cc|c}
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1 &-3 &7\\
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2 &1 &0\\
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\end{matrix}\\
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\end{mathe}
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Wende die Zeilentransformation
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${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2}-2\cdot Z_{1}}$
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an:
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\begin{mathe}[mc]{c}
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\begin{matrix}{cc|c}
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1 &-3 &7\\
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0 &7 &-14\\
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\end{matrix}\\
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\end{mathe}
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Aus der Stufenform erschließt sich
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\begin{mathe}[bc]{rclcl}
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y &= &\frac{-14}{7} &= &-2\\
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x &= &7 + 3\cdot y &= &1.\\
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\end{mathe}
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\end{algorithm}
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Also
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${\mathbf{\eta}=(x, y)=(1, -2)=\mathbf{\xi}}$
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für alle $\mathbf{\eta}\in\bigcap_{\gamma\in\reell}L_{\gamma}$.
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|
Das heißt $\bigcap_{\gamma\in\reell}L_{\gamma}\subseteq\{\mathbf{\xi}\}$.
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\end{proof}
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|
\clearpage
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%% AUFGABE 2-3b
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|
\item
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|
\begin{enumerate}{\bfseries (i)}
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%% AUFGABE 2-3b-i
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|
\item
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Sei $\gamma\in\reell$. Dann gilt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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(-3,2)\in L_{\gamma}
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&\Longleftrightarrow
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&2(-3)+(2)=\gamma\cdot((-3)-3(2)-7)\\
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|
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|
|
&\Longleftrightarrow
|
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|
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|
&\gamma=\frac{-4}{-16}=\frac{1}{4}.\\
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|
\end{mathe}
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Also ist \fbox{$\gamma=\frac{1}{4}$} der eindeutige Parameter,
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für den $(-3,2)\in L_{\gamma}$ gilt.
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%% AUFGABE 2-3b-ii
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|
\item
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|
Sei $\gamma\in\reell$. Man beobachte, dass
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\begin{longmathe}[mc]{RCL}
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L_{\gamma}
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&= &\{(x,y)\in\reell^{2}\mid (2-\gamma)x+(1+3\gamma)y=-7\gamma\}\\
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&= &\begin{cases}[m]{lcl}
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\{(x,y)\in\reell^{2}\mid 0x + (1+3\cdot 2)y=-7\cdot 2\}
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&: &\gamma=2\\
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|
\{(x,y)\in\reell^{2}\mid (2-\frac{-1}{3})x + 0y=-7\cdot\frac{-1}{3}\}
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|
&: &\gamma=-\frac{1}{3}\\
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|
|
|
|
|
\{(x,y)\in\reell^{2}\mid (2-\gamma)x+(1+3\gamma)y=-7\gamma\}
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|
&: &\text{sonst}
|
|
|
|
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|
\end{cases}\\
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|
&= &\begin{cases}[m]{lcl}
|
|
|
|
|
|
\{(x,y)\in\reell^{2}\mid y=-2\}
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|
|
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|
&: &\gamma=2\\
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|
|
|
|
|
\{(x,y)\in\reell^{2}\mid x=1\}
|
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|
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|
&: &\gamma=-\frac{1}{3}\\
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|
|
|
|
\{(x,y)\in\reell^{2}\mid y=\frac{\gamma-2}{1+3\gamma}x - \frac{7\gamma}{1+3\gamma}\}
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|
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|
|
&: &\text{sonst}
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|
|
\end{cases}.\\
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|
\end{longmathe}
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|
Daraus folgt, dass $L_{\gamma}$
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|
\begin{kompaktitem}
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|
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|
|
\item
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|
|
|
parallel zur $x$-Achse für $\gamma=2$ ist,
|
|
|
|
|
|
\item
|
|
|
|
|
|
parallel zur $y$-Achse für $\gamma=-\frac{1}{3}$ ist,
|
|
|
|
|
|
\item
|
|
|
|
|
|
und ansonsten weder zur $x$- noch $y$-Achse parallel ist,
|
|
|
|
|
|
da in diesem Falle $L_{\gamma}$ die Gerade »${y=ax+b}$« ist, wobei $a\neq 0$.
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|
|
|
|
|
\end{kompaktitem}
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|
|
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|
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|
|
Also ist der gesuchte Parameterwert eindeutig \fbox{$\gamma=-\frac{1}{3}$}.
|
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|
%% AUFGABE 2-3b-iii
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|
\item
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|
Die Gerade »$x-2y=-1$« lässt sich äquivalent
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als »$y=\frac{1}{2}x+1$
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|
darstellen.
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Darum wird ein Wert $\gamma\in\reell$ gesucht,
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so dass die Gerade $L_{\gamma}$ weder zur $x$- noch $y$-Achse parallel ist,
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|
|
und die die $y$-$x$-Steigung $\frac{1}{2}$ hat.
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Nach der o.\,s. Berechnung in (ii) kommt dies nur für den 3. Fall in Frage.
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Darum gilt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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L_{\gamma}\,\text{parallel zur Gerade »$x-2y=-1$«}
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|
|
&\Longleftrightarrow
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|
&\gamma\notin\{2,-\frac{1}{3}\}
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\,\text{und}\,
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\frac{\gamma-2}{1+3\gamma}=\frac{1}{2}\\
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&\Longleftrightarrow
|
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|
|
|
&\gamma\notin\{2,-\frac{1}{3}\}
|
|
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|
\,\text{und}\,
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(\gamma-2)=\frac{1}{2}(1+3\gamma)\\
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|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&\gamma\notin\{2,-\frac{1}{3}\}
|
|
|
|
|
|
\,\text{und}\,
|
|
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\gamma=-5\\
|
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|
|
&\Longleftrightarrow
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|
|
&\gamma=-5.\\
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|
|
|
\end{mathe}
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|
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|
|
Also ist der gesuchte Parameterwert eindeutig \fbox{$\gamma=-5$}.
|
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|
\end{enumerate}
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|
|
\end{enumerate}
|
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%% ********************************************************************************
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|
%% FILE: body/uebung/ueb3.tex
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%% ********************************************************************************
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|
\setcounternach{chapter}{3}
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|
\chapter[Woche 3]{Woche 3}
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\label{ueb:2}
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\textbf{ACHTUNG.}
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Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
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Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
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Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
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%% AUFGABE 3-1
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{Aufgabe}
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\section[Aufgabe 1]{}
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|
\label{ueb:3:ex:1}
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\let\sectionname\altsectionname
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Wir arbeiten im Vektorraum $\reell^{3}$ und betrachten die Vektoren
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\begin{mathe}[mc]{rclqrclqrclqrcl}
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\mathbf{v}_{1} &= &\begin{svector}1\\3\\1\\\end{svector}
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&\mathbf{v}_{2} &= &\begin{svector}-2\\5\\-2\\\end{svector}
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&\mathbf{w}_{1} &= &\begin{svector}4\\-3\\-3\\\end{svector}
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|
&\mathbf{w}_{2} &= &\begin{svector}0\\1\\1\\\end{svector}\\
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|
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\end{mathe}
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\textbf{Zu berechnen:}
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$U:=\span\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
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\cap\span\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}$
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als Untervektorraum von $\reell^{3}$.\\
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Zu diesem Zwecke betrachte einen beliebigen Vektor, $\mathbf{\xi}\in\reell^{3}$.
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Es gilt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\eqtag[eq:0:ueb:3:ex:1]
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\mathbf{\xi}\in U
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&\Longleftrightarrow
|
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&\exists{t_{1},t_{2},t_{3},t_{4}\in\reell:~}
|
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|
|
|
|
\mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
|
|
|
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|
\,\text{und}\,
|
|
|
|
|
|
\mathbf{\xi}=t_{3}\mathbf{w}_{1}+t_{4}\mathbf{w}_{2}\\
|
|
|
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|
|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~}
|
|
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|
|
|
\mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
|
|
|
|
|
\,\text{und}\,
|
|
|
|
|
|
t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
|
|
|
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|
=t_{3}\mathbf{w}_{1}+t_{4}\mathbf{w}_{2}\\
|
|
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~}
|
|
|
|
|
|
\mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
|
|
|
|
|
\,\text{und}\,
|
|
|
|
|
|
t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
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|
|
-t_{3}\mathbf{w}_{1}-t_{4}\mathbf{w}_{2}
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|
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|
=\zerovector\\
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|
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|
|
|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~}
|
|
|
|
|
|
\mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
|
|
|
|
|
\,\text{und}\,
|
|
|
|
|
|
t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
|
|
|
|
|
+t_{3}\mathbf{w}_{1}+t_{4}\mathbf{w}_{2}
|
|
|
|
|
|
=\zerovector\\
|
|
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~}
|
|
|
|
|
|
\mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
|
|
|
|
|
\,\text{und}\,
|
|
|
|
|
|
A\mathbf{t}=\zerovector,\\
|
|
|
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|
\end{mathe}
|
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|
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|
wobei
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\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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A &:= &\left(
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\mathbf{v}_{1}~
|
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\mathbf{v}_{2}~
|
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|
|
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\mathbf{w}_{1}~
|
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|
|
\mathbf{w}_{2}
|
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|
|
|
|
\right)
|
|
|
|
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|
&= &\begin{smatrix}
|
|
|
|
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|
1&-2&4&0\\
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|
|
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|
3&5&-3&1\\
|
|
|
|
|
|
1&-2&-3&1\\
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|
|
|
|
|
\end{smatrix}\\
|
|
|
|
|
|
\end{mathe}
|
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|
|
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|
Darum ist es notwendig und hinreichend,
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die \emph{homogenen Lösungen} für $A$ zu finden,
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|
und daraus die Parameter abzulesen.
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\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
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Homogenes Problem für $A$:\\
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Zeilentransformationen
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${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2}-3\cdot Z_{1}}$,
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${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3}-Z_{1}}$
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|
anwenden:
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|
\begin{mathe}[mc]{c}
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\begin{smatrix}
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1&-2&4&0\\
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|
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0&11&-15&1\\
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|
|
|
0&0&-7&1\\
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|
|
|
|
\end{smatrix}\\
|
|
|
|
|
|
\end{mathe}
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wende die Zeilentransformation
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|
${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2}-Z_{3}}$
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|
an:
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|
\begin{mathe}[mc]{c}
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|
|
\begin{smatrix}
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|
1&-2&4&0\\
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|
|
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|
0&11&-8&0\\
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|
|
0&0&-7&1\\
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|
|
|
\end{smatrix}\\
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|
|
|
|
\end{mathe}
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|
Aus der Zeilenstufenform erschließt sich, dass $t_{4}$ frei ist.
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|
Also $t_{4}=\alpha$ für ein frei wählbares $\alpha\in\reell$.
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|
Aus der Stufenform von Gleichungen $3,2,1$ erschließt sich
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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t_{3} &= &\frac{1}{7}t_{4} = \frac{1}{7}\alpha\\
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t_{2} &= &\frac{8}{11}t_{3} = \frac{8}{77}\alpha\\
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|
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t_{1} &= &2t_{2} - 4t_{3}
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= \frac{16}{77}\alpha - \frac{4}{7}\alpha
|
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|
= -\frac{28}{77}\alpha\\
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|
\end{mathe}
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Man kann o.\,E. $\alpha$ durch $\beta:=-77\alpha$ ersetzen.
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Also ist die homogene Lösung gegeben durch
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|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\mathbf{t} &= &\beta\begin{svector}28\\-8\\-11\\-77\\\end{svector},
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|
\quad\text{mit $\beta\in\reell$ frei wählbar}.
|
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\end{mathe}
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|
\end{algorithm}
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Wir können nun \eqcref{eq:0:ueb:3:ex:1} fortsetzen und erhalten
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|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
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|
|
\eqtag[eq:1:ueb:3:ex:1]
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|
\mathbf{\xi}\in U
|
|
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~}
|
|
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|
|
|
\mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
|
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|
\,\text{und}\,
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|
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|
|
A\mathbf{t}=\zerovector\\
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|
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|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~}
|
|
|
|
|
|
\mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
|
|
|
|
|
\,\text{und}\,
|
|
|
|
|
|
\exists{\beta\in\reell:~}
|
|
|
|
|
|
\mathbf{t}=\beta\begin{svector}28\\-8\\-11\\-77\\\end{svector}\\
|
|
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&\exists{\beta\in\reell:~}
|
|
|
|
|
|
\mathbf{\xi}=\beta\cdot(
|
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|
|
\underbrace{
|
|
|
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|
|
28\mathbf{v}_{1}+-8\mathbf{v}_{2}
|
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|
|
}_{=:\mathbf{u}}
|
|
|
|
|
|
)\\
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|
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow &\mathbf{\xi}\in\span\{\mathbf{u}\}\\
|
|
|
|
|
|
\end{mathe}
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|
|
|
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|
für alle $\mathbf{\xi}\in\reell^{3}$.\\
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Es gilt
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\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
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\mathbf{u}
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|
&= &28\begin{svector}1\\3\\1\\\end{svector}
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|
|
|
|
-8\begin{svector}-2\\5\\-2\\\end{svector}
|
|
|
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|
|
&= &\begin{svector}44\\44\\44\\\end{svector}
|
|
|
|
|
|
&= &44\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}.\\
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|
|
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|
\end{mathe}
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Aus \eqcref{eq:1:ueb:3:ex:1} ergibt sich der zu berechnende Untervektorraum
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als
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\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
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|
\span\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
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|
\cap\span\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}
|
|
|
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|
&= &U
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|
&= &\span\{\mathbf{u}\}
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|
&= &\span\{44\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}
|
|
|
|
|
|
&= &\span\{\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}.\\
|
|
|
|
|
|
\end{mathe}
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|
|
|
|
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|
|
|
%% AUFGABE 3-2
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|
\clearpage
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|
\let\altsectionname\sectionname
|
|
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\def\sectionname{Aufgabe}
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\section[Aufgabe 2]{}
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\label{ueb:3:ex:2}
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|
\let\sectionname\altsectionname
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Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
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%% AUFGABE 3-2a
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|
\item
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\begin{claim*}
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|
Die Aussage $\forall{A,B\subseteq X:~}f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$
|
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ist \fbox{\uline{nicht} allgemein gültig}.
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\end{claim*}
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|
\begin{proof}
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Betrachte das Beispiel $X=\{0,1\}$, $Y=\{2\}$, und ${f:X\to Y}$ mit $f(x)=2$ für alle $x\in X$.
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Für $A=\{0\}$ und $B=\{1\}$
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gilt $f(A\cap B)=f(\leer)=\leer$,
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|
während $f(A)\cap f(B)=\{2\}\cap\{2\}=\{2\}$.
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|
Also $f(A\cap B)\neq f(A)\cap f(B)$.
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|
Darum ist dies ein Gegenbeispiel zur Aussage.
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|
\end{proof}
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\text{Bemerkung.} Die Aussage ist eigentlich genau dann wahr, wenn $f$ injektiv ist.
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|
%% AUFGABE 3-2b
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|
\item
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|
|
\begin{claim*}
|
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|
|
|
|
Die Aussage $\forall{A,B\subseteq X:~}f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$
|
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ist \fbox{allgemein gültig}.
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|
\end{claim*}
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Für manche (doppelte) Implikationen hier, nämlich für den Umgang mit Existenzquantoren,
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braucht man Grundkenntnisse in Prädikatenlogik 1. Stufe.
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|
Hierfüg gibt es zahlreiche Einführungswerke in die mathematische Logik,
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bspw. \cite{ebbinghaus2018}.
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\begin{proof}
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Seien $A,B\subseteq X$ beliebige Teilmengen.
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|
Es reicht aus \textbf{zu zeigen},
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dass $y\in f(A\cup B)\Leftrightarrow y\in f(A)\cup f(B)$
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|
für alle $y\in Y$ gilt.\\
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|
Sei also $y\in Y$ beliebig. Es gilt
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\begin{longmathe}[mc]{RCL}
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y\in f(A\cup B)
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|
&\Longleftrightarrow
|
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|
&\exists{x\in A\cup B:~}y=f(x)\\
|
|
|
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|
|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&\exists{x\in X:~}x\in A\cup B\,\text{und}\,y=f(x)\\
|
|
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&\exists{x\in X:~}
|
|
|
|
|
|
(x\in A\,\text{oder}\,x\in B)
|
|
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|
|
|
\,\text{und}\,y=f(x)\\
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|
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&\exists{x\in X:~}
|
|
|
|
|
|
\big(
|
|
|
|
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|
(x\in A\,\text{und}\,y=f(x))
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|
\,\text{oder}\,
|
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|
|
|
(x\in B\,\text{und}\,y=f(x))
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|
|
|
|
\big)\\
|
|
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&\exists{x\in X:~}(x\in A\,\text{und}\,y=f(x))
|
|
|
|
|
|
\,\text{oder}\,
|
|
|
|
|
|
\exists{x\in X:~}(x\in B\,\text{und}\,y=f(x))\\
|
|
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&\exists{x\in A:~}y=f(x)
|
|
|
|
|
|
\,\text{oder}\,
|
|
|
|
|
|
\exists{x\in B:~}y=f(x)\\
|
|
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&y\in f(A)\,\text{oder}\,y\in f(B)\\
|
|
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow
|
|
|
|
|
|
&y\in f(A)\cup f(B).\\
|
|
|
|
|
|
\end{longmathe}
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
Darum gilt $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$ für alle $A,B\subseteq X$.
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|
|
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|
|
\end{proof}
|
|
|
|
|
|
|
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|
%% AUFGABE 3-2c
|
|
|
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|
|
\item
|
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|
|
\begin{claim*}
|
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|
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|
|
Die Aussage $\forall{A\subseteq X:~}f(X\ohne A)=Y\ohne f(A)$
|
|
|
|
|
|
ist \fbox{\uline{nicht} allgemein gültig}.
|
|
|
|
|
|
\end{claim*}
|
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|
|
|
|
|
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|
|
\begin{proof}
|
|
|
|
|
|
Betrachte das Beispiel $X=\{0,1\}$, $Y=\{2\}$, und ${f:X\to Y}$ mit $f(x)=2$ für alle $x\in X$.
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|
Für $A=\{0\}$
|
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|
|
gilt $f(X\ohne A)=f(\{1\})=\{2\}$,
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|
|
während $Y\cap f(A)=\{2\}\ohne\{2\}=\leer$.
|
|
|
|
|
|
Also $f(X\ohne A)\neq Y\cap f(A)$.
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|
|
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|
|
Darum ist dies ein Gegenbeispiel zur Aussage.
|
|
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|
|
\end{proof}
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|
|
|
\text{Bemerkung.} Die Aussage ist eigentlich genau dann wahr, wenn $f$ bijektiv ist.
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|
Und eine leicht modifizierte Aussage,
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|
$\forall{A\subseteq X:~}f(X\ohne A)=f(X)\cap f(A)$,
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|
|
|
ist genau dann wahr, wenn $f$ injektiv ist.
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|
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|
%% AUFGABE 3-2d
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|
|
\item
|
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|
|
|
|
\begin{claim*}
|
|
|
|
|
|
Die Aussage $\forall{A,B\subseteq Y:~}f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$
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ist \fbox{allgemein gültig}.
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\end{claim*}
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\begin{proof}
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Seien $A,B\subseteq Y$ beliebige Teilmengen.
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Es reicht aus \textbf{zu zeigen},
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dass $x\in f^{-1}(A\cap B)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$
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für alle $x\in X$ gilt.\\
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|
Sei also $x\in X$ beliebig. Es gilt
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\begin{longmathe}[mc]{RCL}
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x\in f^{-1}(A\cap B)
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&\Longleftrightarrow
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&f(x)\in A\cap B\\
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&\Longleftrightarrow
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&f(x)\in A\,\text{und}\,f(x)\in B\\
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&\Longleftrightarrow
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&x\in f^{-1}(A)\,\text{und}\,x\in f^{-1}(B)\\
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&\Longleftrightarrow
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|
&x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B).\\
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\end{longmathe}
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Darum gilt $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ für alle $A,B\subseteq Y$.
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\end{proof}
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%% AUFGABE 3-2e
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\item
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\begin{claim*}
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Die Aussage $\forall{A,B\subseteq Y:~}f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$
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ist \fbox{allgemein gültig}.
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\end{claim*}
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\begin{proof}
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Seien $A,B\subseteq Y$ beliebige Teilmengen.
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Es reicht aus \textbf{zu zeigen},
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dass $x\in f^{-1}(A\cup B)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$
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für alle $x\in X$ gilt.\\
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|
|
Sei also $x\in X$ beliebig. Es gilt
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\begin{longmathe}[mc]{RCL}
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x\in f^{-1}(A\cup B)
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&\Longleftrightarrow
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&f(x)\in A\cup B\\
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&\Longleftrightarrow
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&f(x)\in A\,\text{oder}\,f(x)\in B\\
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&\Longleftrightarrow
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|
&x\in f^{-1}(A)\,\text{oder}\,x\in f^{-1}(B)\\
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|
&\Longleftrightarrow
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|
|
&x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B).\\
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|
\end{longmathe}
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|
|
Darum gilt $f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$ für alle $A,B\subseteq Y$.
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|
\end{proof}
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|
\end{enumerate}
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%% AUFGABE 3-3
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|
\clearpage
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{Aufgabe}
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\section[Aufgabe 3]{}
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\label{ueb:3:ex:3}
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\let\sectionname\altsectionname
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|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
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%% AUFGABE 3-3a
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\item
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Seien $n\in\ntrlpos$ und $v\in\reell^{n}$.
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Sei ${f:\reell^{n}\to\reell^{n}}$ durch $f(x)=x+v$ definiert.
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\begin{claim*}
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$f$ ist \fbox{bijektiv}.
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\end{claim*}
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\begin{proof}
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Sei ${g:\reell^{n}\to\reell^{n}}$ durch $g(x)=x-v$ definiert.
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Es ist einfach zu sehen,
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dass $f\circ g=\id_{\reell^{n}}$
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und $g\circ f=\id_{\reell^{n}}$.
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Per Definition ist als $f$ eine Bijektion mit Inversem $g$.
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\end{proof}
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%% AUFGABE 3-3b
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\item
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Seien $n\in\ntrlpos$ und $X=\reell^{n}\times(\reell^{n}\ohne\{\zerovector\}$.
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Sei $Y$ die Menge aller Geraden im $\reell^{n}$.
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Sei ${f:X\to Y}$ durch $f(v,w)=\{v+t\cdot w\mid t\in\reell\}$ definiert.
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\begin{claim*}
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$f$ ist \fbox{surjektiv} aber \fbox{nicht injektiv}.
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\end{claim*}
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\begin{proof}
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\uwave{{\bfseries Surjektivität}}\\
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\textbf{Idee:} Folgt aus der Definition von Geraden durch Parameter.\\
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Sei $L\subseteq\reell^{n}$ eine beliebige Gerade. \textbf{Zu zeigen:} $L\in f(X)$.\\
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Nun, \emph{per Definition} einer Geraden existieren
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$u,v\in\reell^{n}$ mit $w\neq\zerovector$
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und so dass $L=\{u+t\cdot w\mid t\in\reell\}$.
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Offensichtlicht gilt $(v,w)\in X$.
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Darum gilt $L=f((v,w))\in f(X)$.
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\uwave{{\bfseries Nichtinjektivität}}\\
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\textbf{Idee:} Wir wissen, dass verschiedene aber parallele Vektoren dieselbe Gerade definieren.\\
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|
Fixiere beliebiges $v,w\in\reell^{n}$
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und wähle ein $c\in\reell\ohne\{0,1\}$.\\
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Dann sind $w,cw\neq\zerovector$ verschiedene aber parallele Vektoren.\\
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Darum gilt $f((v,w))=\{v+t\cdot w\mid t\in\reell\}=\{v+tc\cdot w\mid t\in\reell\}=f((v,cw))$.\\
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Da $(v,w)\neq(v,cw)$, ist $f$ somit nicht injektiv.
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|
\end{proof}
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%% AUFGABE 3-3c
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\item
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Es sei $X$ die Menge aller Bücher in einem fixierten Kontext.
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Sei $Y$ die Menge alle Autor(inn)en von Büchern.
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Sei ${f:X\to\Pot(Y)}$ definiert durch
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$f(x)=\{y\mid \text{$y$ ein(e) Autor(in) vom Buch $x$}\}$
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für alle $x\in X$.
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\begin{claim*}
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$f$ ist \fbox{nicht im Allgemeinen injektiv} und \fbox{niemals surjektiv}.
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\end{claim*}
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\begin{proof}
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\uwave{{\bfseries Nichtsurjektivität}}\\
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\textbf{Zu zeigen:} Es gibt konstellationen von Autor(inn)en, die kein gemeinsames Buch verfasst haben.\\
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Es gibt \emph{immer} eine(n) Autor(in) eines Buchs,
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sodass $\leer\notin f(X)$ in allen Kontexten.
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Darum ist $f$ niemals surjektiv.
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\uwave{{\bfseries Nichtinjektivität}}\\
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\textbf{Zu zeigen:} Es gibt zwei verschiedene Bücher,
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die von der gleichen Konstellation an Autor(inn)en
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verfasst wurden.
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In unserem Kontext hat bspw. $a=\text{{\itshape JK~Rowling}}$ alleine die Bücher
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${b_{1}:=\text{{\itshape »HP~and~the~Philosopher's~Stone«}}}$
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und
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${b_{2}:=\text{{\itshape »HP~and~the~Goblet~of~Fire«}}}$
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geschrieben.
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Darum $b_{1}\neq b_{2}$ und $f(b_{1})=\{a\}=f(b_{2})$.
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Also ist $f$ in unserem Kontext nicht injektiv.
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\end{proof}
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\textbf{Anmerkung.}
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Falls wir $\leer$ von der Bildmenge $\Pot(Y)$ exludieren,
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dann können wir mindestens dafür argumentieren,
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dass $f$ \fbox{nicht im Allgemeinen surjektiv} ist:
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In unserem konkreten Kontext haben bspw. {\itshape JK~Rowling} und {\itshape Oscar~Wilde} nie am selben Buch gearbeitet,
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also gilt $\{\text{JK Rowling},\,\text{Oscar Wilde}\}\notin f(X)$.
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In der Tat ist ein Kontext kaum vorstellbar,
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in dem sich \emph{alle} Autor(inn)en an einem gemeinsamen Buch beteiligt haben,
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d.\,h. $Y\in f(X)$ sowie alle „große“ Teilmengen sind fast immer ausgeschlossen.
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%% AUFGABE 3-3d
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\item
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Seien $X$ die Menge aller in Deutschland zugelassener Kfz und
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$Y$ die Menge aller amtlicher Kennzeichen.
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Sei ${f:X\to Y}$ die Abbildung, die jedem Kfz sein Kennzeichen zuordnet.
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\begin{claim*}
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$f$ ist \fbox{injektiv} aber \fbox{nicht im Allgemeinen surjektiv}.
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\end{claim*}
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\begin{proof}
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\uwave{{\bfseries Injektivität:}}
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Jedes Kennzeichen darf per Gesetz nur einem Kfz zugehören.
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\uwave{{\bfseries Nichtsurjektivität:}}
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Es besteht zwar die Chance, dass irgendwann alle Kennzeichen aufgebraucht werden,
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aber in der Praxis ist die Menge $Y$ sehr groß,
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dass dies aktuell und für eine lange Zeit nicht vorkommt.
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\end{proof}
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\end{enumerate}
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\setcounternach{part}{2}
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\part{Selbstkontrollenaufgaben}
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\def\chaptername{SKA Blatt}
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: body/ska/ska4.tex
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%% ********************************************************************************
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\setcounternach{chapter}{4}
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\chapter[Woche 4]{Woche 4}
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\label{ska:4}
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%% SKA 4-1
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{SKA}
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\section[Aufgabe 1]{}
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\label{ska:4:ex:1}
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\let\sectionname\altsectionname
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2020-11-21 12:47:38 +01:00
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Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen.
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Einer Abbildung, $f:X\to Y$,
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können wir eindeutig die Relation
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$\graph(f):=\{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=y\}$
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zuordnen. Dies nennt sich der \textbf{Graph von $f$}
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(siehe \cite[\S{}2.3]{sinn2020}---dort wird dies mit $\Gamma_{f}$ bezeichnet).
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Hier ist $\graph(f)$ also eine Relation auf $X\times Y$.
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In der Tat \emph{setzen} manche Werke Funktionen mit ihrem Graphen gleich
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(siehe bspw. \cite[S.11]{jech1997}),
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aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
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2020-11-20 19:54:18 +01:00
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%% SKA 4-2
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{SKA}
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\section[Aufgabe 2]{}
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\label{ska:4:ex:2}
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\let\sectionname\altsectionname
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|
2020-11-21 12:47:38 +01:00
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\textbf{Hinweis:} Hier scheint im Punkt (ii) etwas verwechselt worden zu sein.
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Seien $M$, $N$ Mengen und $R\subseteq M\times N$.
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\begin{claim}
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\makelabel{claim:main:ska:4:ex:2}
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Angenommen, $R$ erfülle folgende Eigenschaften:
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\begin{kompaktenum}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab]
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\item\punktlabel{1}
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$\forall{x\in M:~}\exists{y\in N:~}(x,y)\in R$
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\item\punktlabel{2}
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$\forall{x\in M:~}\forall{y,y'\in N:~}
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(x,y),(x,y')\in R
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\Rightarrow y=y'$
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\end{kompaktenum}
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Dann existiert eine (notwendigerweise eindeutige) Funktion,
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${f:M\to N}$,
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so dass $\graph(f)=R$.
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\end{claim}
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\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
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\begin{proof}
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Wir definieren ${f:M\to N}$ durch
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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f(x) &= &y\\
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\end{mathe}
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für $(x,y)\in R$.
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Offensichtlich gilt
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$\graph(f)
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=\{(x,y)\in M\times N\mid f(x)=y\}
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=\{(x,y)\in M\times N\mid (x,y)\in R\}
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=R$.
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\textbf{Zu zeigen:}
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(1) $f$ ist überall definiert;
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(2) $f$ ist wohldefiniert.
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\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
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\item[\uwave{{\bfseries Überall definiert:}}]
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Sei $x\in M$.
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\textbf{Zu zeigen:} $f(x)=y$ für ein $y\in N$.\\
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Eigenschaft \punktlabel{1} besagt, dass ein $y\in M$ existiert,
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so dass $(x,y)\in R$.
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Per Konstruktion erhalten wir, dass $f(x)=y$ gilt.
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\item[\uwave{{\bfseries Wohldefiniertheit:}}]
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Seien $x\in M$ und $y,y'\in N$.
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Angenommen, $f(x)=y$ und $f(x)=y'$.\\
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\textbf{Zu zeigen:} $y=y'$.\\
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|
Aus $f(x)=y$ und $f(x)=y'$
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folgt $(x,y),(x,y')\in R$ per Konstruktion von $f$.\\
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|
Eigenschaft \punktlabel{2} besagt, dass $y=y'$.
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\end{kompaktenum}
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Darum ist $f$ eine Abbildung zwischen $M$ und $N$
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und $\graph(f)=R$.
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\end{proof}
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\end{einzug}
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2020-11-20 19:54:18 +01:00
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%% SKA 4-3
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{SKA}
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\section[Aufgabe 3]{}
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\label{ska:4:ex:3}
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\let\sectionname\altsectionname
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2020-11-21 12:47:38 +01:00
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Sei $X=\{a,b,c\}$ und betrachte die binäre Relation,
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$(\Pot(X),\leq)$, definiert durch
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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A\leq B &\Longleftrightarrow &X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
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\end{mathe}
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für $A,B\in\Pot(X)$.
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\begin{claim*}
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$(\Pot(X),\leq)$ ist eine partielle Ordnung (auch »Halbordnung« genannt).
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\end{claim*}
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Es gibt nun 3 Ansätze, um dies zu zeigen.
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\begin{proof}[Ansatz I][Ansatz I]
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Beobachte, dass für $A,B\in\Pot(X)$
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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A\leq B
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&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
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&X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
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&\Longrightarrow
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&X\ohne (X\ohne A)\supseteq X\ohne (X\ohne B)\\
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&\Longrightarrow
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&A\supseteq B,
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\,\text{da $A,B\subseteq X$}\\
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&\Longrightarrow
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&X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
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&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
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&A\leq B,\\
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\end{mathe}
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also $A\leq B\Leftrightarrow A\supseteq B$.
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Darum kann $(\Pot(X),\leq)$ mit $(\Pot(X),\supseteq)$
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identifiziert werden.
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Letzteres ist bekanntermaßen eine Halbordnung.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Ansatz II][Ansatz II]
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Im konkreten Falle von $X=\{a,b,c\}$ können wir die Relation
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durch ein \emph{Hasse-Diagramm} skizzieren:
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\hraum
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{\footnotesize
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\begin{tikzpicture}[node distance=1.5cm, thick]
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\pgfmathsetmacro\habst{3}
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\pgfmathsetmacro\vabst{2}
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\node[label=below:{$X$}] (Set1) at (0*\habst,0*\vabst) {$\bullet$};
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\node[label=left:{$\{a,b\}$}] (SetAB) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
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|
\node[label=above:{$\{a,c\}$}] (SetAC) at (0*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
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|
\node[label=right:{$\{b,c\}$}] (SetBC) at (1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
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|
\node[label=left:{$\{a\}$}] (SetA) at (-1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
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|
\node[label=below:{$\{b\}$}] (SetB) at (0*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
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|
\node[label=right:{$\{c\}$}] (SetC) at (1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
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|
\node[label=above:{$\leer$}] (Set0) at (0*\habst,3*\vabst) {$\bullet$};
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\draw (Set1) edge [->] (SetAB);
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\draw (Set1) edge [->] (SetAC);
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\draw (Set1) edge [->] (SetBC);
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\draw (SetAB) edge [->] (SetA);
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\draw (SetAB) edge [->] (SetB);
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\draw (SetAC) edge [->] (SetA);
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|
\draw (SetAC) edge [->] (SetC);
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|
|
\draw (SetBC) edge [->] (SetB);
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|
\draw (SetBC) edge [->] (SetC);
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|
\draw (SetA) edge [->] (Set0);
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|
\draw (SetB) edge [->] (Set0);
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|
|
\draw (SetC) edge [->] (Set0);
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|
\end{tikzpicture}}
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|
\hraum
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Man sieht, dass dies einen \emph{Verband} und damit insbesondere eine Halbordnung bildet.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Ansatz III][Ansatz III]
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Wir gehen die Axiome einer Halbordnung durch:
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\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
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\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
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Sei $A\in\Pot(X)$ beliebig.
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\textbf{Zu zeigen:} $A\leq A$.\\
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Offensichtlich gilt $X\ohne A\subseteq X\ohne A$.\\
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Per Konstruktion gilt also $A\leq A$.
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\item[\uwave{{\itshape Antisymmetrie:}}]
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Seien $ A, A'\in\Pot(X)$ beliebig.\\
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\textbf{Zu zeigen:} $A\leq A'$ und $A'\leq A$ $\Rightarrow$ $A=A'$.\\
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Es gilt
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\begin{mathe}[mc]{rclql}
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A\leq A'\,\text{und}\, A'\leq A
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&\Longleftrightarrow
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&X\ohne A\subseteq X\ohne A'
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\,\text{und}\,
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X\ohne A'\subseteq X\ohne A
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|
&\text{(per Konstruktion)}\\
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&\Longrightarrow
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&X\ohne A=X\ohne A'
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&\text{(per Definition von Mengengleichheit)}\\
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&\Longrightarrow
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&A=A',
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&\text{da $A,A'\subseteq X$}.\\
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\end{mathe}
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\item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}]
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Seien $A, A',(a'',b'')\in\Pot(X)$ beliebig.\\
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\textbf{Zu zeigen:} $A\leq A'$ und $A'\leq A''$ $\Rightarrow$ $A\leq A''$.\\
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|
Es gilt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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A\leq A'\,\text{und}\, A'\leq A''
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|
&\Longleftrightarrow
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|
&X\ohne A\subseteq X\ohne A'
|
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|
\,\text{und}\,
|
|
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|
X\ohne A'\subseteq X\ohne A''
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|
\,\text{(per Konstruktion)}\\
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|
&\Longrightarrow
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|
&X\ohne A\subseteq X\ohne A''\\
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&\Longleftrightarrow
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&A\leq A''
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|
\,\text{(per Konstruktion)}.\\
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\end{mathe}
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\end{kompaktenum}
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Darum erfüllt $(\Pot(X),\leq)$ die Axiome einer Halbordnung.
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\end{proof}
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2020-11-20 19:54:18 +01:00
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%% SKA 4-4
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{SKA}
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|
\section[Aufgabe 4]{}
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\label{ska:4:ex:4}
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|
\let\sectionname\altsectionname
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2020-11-21 12:47:38 +01:00
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|
Betrachten wir die Halbordnung aus \cite[Beispiel 2.4.2(2)]{sinn2020}.
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Es sei also $C=\{a,b,c\}$ und
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die durch folgendes \emph{Hasse-Diagramm} dargestellte Ordnungsrelation auf $Pot(C)$:
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\hraum
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{\footnotesize
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\begin{tikzpicture}[node distance=1.5cm, thick]
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\pgfmathsetmacro\habst{3}
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|
\pgfmathsetmacro\vabst{2}
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\node[label=above:{$C$}] (Set1) at (0*\habst,3*\vabst) {$\bullet$};
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|
\node[label=left:{$\{a,b\}$}] (SetAB) at (-1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
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|
\node[label=below:{$\{a,c\}$}] (SetAC) at (0*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
|
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|
\node[label=right:{$\{b,c\}$}] (SetBC) at (1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
|
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|
\node[label=left:{$\{a\}$}] (SetA) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
|
|
|
|
|
\node[label=above:{$\{b\}$}] (SetB) at (0*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
|
|
|
|
|
\node[label=right:{$\{c\}$}] (SetC) at (1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
|
|
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|
|
\node[label=below:{$\leer$}] (Set0) at (0*\habst,0*\vabst) {$\bullet$};
|
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|
\draw (Set0) edge [->] (SetA);
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\draw (Set0) edge [->] (SetB);
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\draw (Set0) edge [->] (SetC);
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|
\draw (SetA) edge [->] (SetAB);
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|
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|
\draw (SetA) edge [->] (SetAC);
|
|
|
|
|
|
\draw (SetB) edge [->] (SetAB);
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|
|
|
|
|
\draw (SetB) edge [->] (SetBC);
|
|
|
|
|
|
\draw (SetC) edge [->] (SetAC);
|
|
|
|
|
|
\draw (SetC) edge [->] (SetBC);
|
|
|
|
|
|
\draw (SetAB) edge [->] (Set1);
|
|
|
|
|
|
\draw (SetAC) edge [->] (Set1);
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|
|
\draw (SetBC) edge [->] (Set1);
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|
\end{tikzpicture}}
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|
\hraum
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Wenn wir das Element $\leer$ von $\Pot(C)$ entfernen sieht die Struktur folgendermaßen aus
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\hraum
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|
{\footnotesize
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|
|
\begin{tikzpicture}[node distance=1.5cm, thick]
|
|
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|
\pgfmathsetmacro\habst{3}
|
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|
|
|
|
\pgfmathsetmacro\vabst{2}
|
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|
|
\node[label=above:{$C$}] (Set1) at (0*\habst,3*\vabst) {$\bullet$};
|
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|
|
\node[label=left:{$\{a,b\}$}] (SetAB) at (-1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
|
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|
|
\node[label=below:{$\{a,c\}$}] (SetAC) at (0*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
|
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|
|
\node[label=right:{$\{b,c\}$}] (SetBC) at (1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
|
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|
|
\node[label=left:{$\{a\}$}] (SetA) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
|
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|
\node[label=above:{$\{b\}$}] (SetB) at (0*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
|
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|
\node[label=right:{$\{c\}$}] (SetC) at (1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
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|
\draw (SetA) edge [->] (SetAB);
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\draw (SetA) edge [->] (SetAC);
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|
\draw (SetB) edge [->] (SetAB);
|
|
|
|
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|
\draw (SetB) edge [->] (SetBC);
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|
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|
\draw (SetC) edge [->] (SetAC);
|
|
|
|
|
|
\draw (SetC) edge [->] (SetBC);
|
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|
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|
\draw (SetAB) edge [->] (Set1);
|
|
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|
\draw (SetAC) edge [->] (Set1);
|
|
|
|
|
|
\draw (SetBC) edge [->] (Set1);
|
|
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|
|
|
\end{tikzpicture}}
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|
\hraum
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Offensichtlich hat $(\Pot(C)\ohne\{\leer\},\subseteq)$ kein kleinstes Element.
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Die Menge der minimalen Elementen ist $\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$,
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|
d.\,h. es gibt $3$ minimale Elemente.
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2020-11-20 19:54:18 +01:00
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%% SKA 4-5
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{SKA}
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\section[Aufgabe 5]{}
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\label{ska:4:ex:5}
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|
\let\sectionname\altsectionname
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2020-11-21 12:47:38 +01:00
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|
Sei $W$ die Menge aller Wörter und $\Sigma$ die Menge aller Buchstaben.
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O.\,E. können wir annehmen, dass jedes Wort $w\in W$ der Länge $|w|\geq 2$ ist.
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(In Sprachen wie Englisch, Russisch, usw. ist dies nicht der Fall,
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|
aber wir könnten diese trivialen Wörter einfach ausschließen.)
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Betrachten wir die Relation $(W,\sim)$ gegeben durch
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\eqtag[eq:1:ska:4:ex:5]
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w\sim w' &:\Longleftrightarrow &f(w)=f(w),
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\end{mathe}
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wobei
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\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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f &: &W &\to &\Sigma\\
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&: &w &\mapsto &\text{1. Buchstabe in $w$}\\
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\end{mathe}
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Dann per Konstruktion \uline{reduziert} $f$
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die Relation $(W,\sim)$ auf $(\Sigma,=)$.
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Aufgrund dessen und da $(\Sigma,=)$ eine Äquivalenzrelation ist,
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ist $(W,\sim)$ automatisch eine Äquivalenzrelation auch.
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Eigentlich spielt est keine Rolle, wie die Funktion, $f$, aussieht.
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Solange die Reduktion \eqcref{eq:1:ska:4:ex:5} gilt,
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bleibt $(W,\sim)$ eine Äquivalenzrelation.
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Dies gilt also insbesondere ebenfalls,
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wenn $f$ den zweitletzten Buchstaben von Wörtern berechnet.
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2020-11-20 19:54:18 +01:00
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%% SKA 4-6
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{SKA}
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\section[Aufgabe 6]{}
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\label{ska:4:ex:6}
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\let\sectionname\altsectionname
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2020-11-21 12:47:38 +01:00
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\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
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%% SKA 4-6a
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\item
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2020-11-21 13:56:19 +01:00
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\begin{mathe}[tc]{rcl}
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2020-11-21 12:47:38 +01:00
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\sum_{i=2}^{6}(-1)^{i}i^{2}
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&= &(-1)^{2}\cdot 2^{2}
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+(-1)^{3}\cdot 3^{2}
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+(-1)^{4}\cdot 4^{2}
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+(-1)^{5}\cdot 5^{2}
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+(-1)^{6}\cdot 6^{2}\\
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&= &4-9+16-25+36
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= 22\\
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\end{mathe}
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%% SKA 4-6b
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\item
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2020-11-21 13:56:19 +01:00
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\begin{mathe}[tc]{rcl}
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2020-11-21 12:47:38 +01:00
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\prod_{j=1}^{4}(2j-1)
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&= &(2\cdot 1 - 1)
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+(2\cdot 2 - 1)
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+(2\cdot 3 - 1)
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+(2\cdot 4 - 1)\\
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&= &1-3+5-7
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= -4\\
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\end{mathe}
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\end{enumerate}
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2020-11-20 19:54:18 +01:00
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%% SKA 4-7
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{SKA}
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\section[Aufgabe 7]{}
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\label{ska:4:ex:7}
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\let\sectionname\altsectionname
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2020-11-21 12:47:38 +01:00
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\begin{claim}
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\makelabel{claim:main:ska:4:ex:7}
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Bezeichne mit $\Phi(n)$ die Aussage
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\eqcref{eq:1:\beweislabel}
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\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2} &= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1).\\
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\end{mathe}
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Dann gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
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\end{claim}
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\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
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\begin{proof}
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Wir zeigen \Cref{\beweislabel} stumpf per Induktion.
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\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
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Sei $n=1$. Dann
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}
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&= &(-1)^{1}1^{2} = -1\\
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(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1)
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|
&= &(-1)^{1}\frac{1}{2}\cdot 1\cdot (1+1) = -1\\
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|
\end{mathe}
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Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
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Also gilt $\Phi(1)$
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
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Sei $n>1$.
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Angenommen, $\Phi(n-1)$ gilt.
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|
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
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\textbf{Zu zeigen:} $\Phi(n)$ gilt, d.\,h.
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Gleichung \eqcref{eq:1:\beweislabel} gilt.\\
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Es gilt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}
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|
&= &\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i}i^{2} + (-1)^{n}n^{2}\\
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|
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&= &(-1)^{n-1}\frac{1}{2}(n-1)(n-1+1) + (-1)^{n}n^{2}\\
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&&\text{wegen der IV}\\
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|
&= &(-1)^{n}\cdot(-\frac{1}{2}n(n-1) + n^{2})\\
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|
&= &(-1)^{n}\cdot(-\frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{2}n + n^{2})\\
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|
&= &(-1)^{n}\cdot(\frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{2}n)\\
|
|
|
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|
&= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1).\\
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|
\end{mathe}
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Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
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Also gilt $\Phi(n)$.
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|
\end{kompaktenum}
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|
Also gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
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|
\end{proof}
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|
\end{einzug}
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|
Für die Summe $\sum_{i=3}^{n}(-1)^{i}i^{2}$
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ist der Ausdruck lediglich
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\sum_{i=3}^{n}(-1)^{i}i^{2}
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|
&= &\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}-(-1)^{1}\cdot 1-(-1)^{2}2^{2}\\
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|
&= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1)-3\\
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\end{mathe}
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für alle $n\geq 3$.
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Sollten wir dies per Induktion beweisen wollen,
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brauchen wir lediglich im o.\,s. Beweis
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den \textbf{Induktionsanfang} auf $n=3$ zu ändern.
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Der Rest bleibt erhalten.
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\begin{rem}
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Induktion hat mit Deduzieren (»Ableiten«) nichts zu tun.
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Induktion ist nur ein Werkzeug, um Aussagen zu \emph{verifizieren}.
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Sie hilft uns überhaupt nicht, um \emph{auf die Behauptungen zu kommen}.
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In diesem konkreten Falle wurde Vorarbeit geleistet
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und \emph{direkt} argumentiert,
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um auf den Ausdruck in \eqcref{eq:1:\beweislabel} zu kommen.
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In dieser Vorarbeit steckt die eigentliche mathematische Arbeit
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und dies bedarf etwas Kreativität, Intuition, usw.
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Häufig reicht diese Vorarbeit aber nur,
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um auf eine sinnvolle Behauptung zu kommen,
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und zum Schluss runden wir dies mit Induktion ab,
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um formal die behauptete Aussage zu bestätigen.
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|
Das ist die eigentliche Rolle von Induktion als Beweismittel.
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|
\end{rem}
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2020-11-20 19:54:18 +01:00
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%% SKA 4-8
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\let\altsectionname\sectionname
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|
\def\sectionname{SKA}
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\section[Aufgabe 8]{}
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\label{ska:4:ex:8}
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|
\let\sectionname\altsectionname
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2020-11-21 12:47:38 +01:00
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\uwave{{\bfseries Kurzes Argument:}}\\
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|
Wenn jede Farbe jeweils auf maximal $1$ Karte vorkommt,
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gibt es $\leq 4\cdot 1=4$ Karten.
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Aber $5$ Karten wurden gewählt.
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\uwave{{\bfseries Ausführliches Argument:}}\\
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Seien
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${X:=\{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}}$
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die Menge der Farben und
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${Y:=\{1,2,3,4,5\}}$
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die Indizes der Karten.
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Sei ${f:X\to\Pot(Y)}$ die Funktion,
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die der Wahl entspricht, d.\,h.
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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f(x) &= &\{y\in Y\mid\text{Karte $y$ hat Farbe $x$}\}\\
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\end{mathe}
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für alle Farben $x\in X$.
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Nun, jede Karte, $y\in Y$, hat eine Farbe, sodass $y\in f(x)$ für ein $x\in X$.
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|
Also $Y\subseteq\bigcup_{x\in X}f(x)$.
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|
Und per Definition $f(x)\subseteq Y$ für alle $x\in X$.
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Darum $\bigcup_{x\in X}f(x)\subseteq Y$.
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Also
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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Y &= &\bigcup_{x\in X}f(x)\\
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\end{mathe}
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Andererseits sind die Mengen $(f(x))_{x\in X}$ paarweise disjunkt,
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da jede Karte höchstens eine Farbe hat.
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Also ist $(f(x))_{x\in X}$ eine \emph{Partition} von $Y$.
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Darum
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\begin{mathe}[mc]{ll}
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&|Y| = |\bigcup_{x\in X}f(x)|
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= \sum_{x\in X}|f(x)|
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\leq |X|\cdot\max_{x\in X}|f(x)|\\
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|
\Longrightarrow
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|
&\max_{x\in X}|f(x)| \geq |Y|/|X| = 5/4 > 1\\
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|
\Longrightarrow
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|
&\exists{x\in X:~}|f(x)|>1\\
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|
\Longrightarrow
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|
&\exists{x\in X:~}|f(x)|\geq 2\\
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\end{mathe}
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|
Nach der Definition von $f$ heißt dies,
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es gibt eine Farbe, $x\in\{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}$,
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so dass mindestens $2$ der gezogenen Karten die Farbe $x$ haben.
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2020-11-20 19:54:18 +01:00
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%% SKA 4-9
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\let\altsectionname\sectionname
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|
\def\sectionname{SKA}
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|
\section[Aufgabe 9]{}
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\label{ska:4:ex:9}
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|
\let\sectionname\altsectionname
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2020-11-21 12:47:38 +01:00
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|
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|
\uwave{{\bfseries Kurzes Argument:}}\\
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|
Wenn jeder Kalendartag jeweils von maximal $17$ Studierenden gefeiert wird,
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gibt es $\leq 366\cdot 17=6222$ Studierende.
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Aber es gibt $\geq 7000$ Studierende.
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|
\uwave{{\bfseries Ausführliches Argument:}}\\
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Seien
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${X=\{\text{1.~Jan},\,\text{2.~Jan},\,\ldots,\,\text{31.~Dez}\}}$
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die Menge der Kalendartage
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und
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${Y=\{x\mid x\,\text{ein/e Studierende/r an der Uni Leipzig}\}}$.
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Sei ${f:X\to\Pot(Y)}$ die Funktion,
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|
die der Wahl entspricht, d.\,h.
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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f(x) &= &\{y\in Y\mid\text{Studierende/r $y$ hat am Tag $x$ Geburtstag}\}\\
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|
\end{mathe}
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|
für alle Kalendartage $x\in X$.
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Nun, jede/r Studierende/r, $y\in Y$, hat einen Geburtstag,
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sodass $y\in f(x)$ für ein $x\in X$.
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|
|
Also $Y\subseteq\bigcup_{x\in X}f(x)$.
|
|
|
|
|
|
Und per Definition $f(x)\subseteq Y$ für alle $x\in X$.
|
|
|
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|
|
Darum $\bigcup_{x\in X}f(x)\subseteq Y$.
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|
Also
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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Y &= &\bigcup_{x\in X}f(x)\\
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\end{mathe}
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|
Andererseits sind die Mengen $(f(x))_{x\in X}$ paarweise disjunkt,
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|
da jede/r Studierende/r höchstens einen Geburtstag hat.
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|
Also ist $(f(x))_{x\in X}$ eine \emph{Partition} von $Y$.
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|
Darum
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\begin{mathe}[mc]{ll}
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&|Y| = |\bigcup_{x\in X}f(x)|
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= \sum_{x\in X}|f(x)|
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|
\leq |X|\cdot\max_{x\in X}|f(x)|\\
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|
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|
\Longrightarrow
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|
|
&\max_{x\in X}|f(x)| \geq |Y|/|X| \geq 7000/366 > 19\\
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|
|
|
|
|
\Longrightarrow
|
|
|
|
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|
&\exists{x\in X:~}|f(x)|>19\\
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|
|
|
\Longrightarrow
|
|
|
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|
&\exists{x\in X:~}|f(x)|\geq 20\\
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|
|
|
\end{mathe}
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|
Nach der Definition von $f$ heißt dies,
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es gibt einen Kalendartag, ${x\in\{\text{1.~Jan},\,\text{2.~Jan},\,\ldots,\,\text{31.~Dez}\}}$,
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so dass mindestens $20$ Studierende $x$ als Geburtstag feiern.
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|
Insbesondere gibt es $18$ Menschen, die den gleichen Geburtstag feiern.
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2020-11-20 19:54:18 +01:00
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%% SKA 4-10
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\let\altsectionname\sectionname
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|
\def\sectionname{SKA}
|
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|
\section[Aufgabe 10]{}
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|
\label{ska:4:ex:10}
|
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|
\let\sectionname\altsectionname
|
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|
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|
2020-11-21 12:47:38 +01:00
|
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|
\begin{claim}
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|
\makelabel{claim:main:ska:4:ex:10}
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Bezeichne mit $\Phi(n)$ die Aussage
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\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
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\item
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Für alle endlichen Mengen, $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$,
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gilt $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$.
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\end{kompaktitem}
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Dann gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
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\end{claim}
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\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
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\begin{proof}
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Wir zeigen \Cref{\beweislabel} per Induktion.
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Als Induktionsanfang widmen wir uns den Fällen $n\leq 2$.
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\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
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Sei $n=1$. Dann für alle Mengen, $E_{1}$
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\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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|\prod_{i=1}^{1}E_{i}|
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&= &|E_{1}|
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&= &\prod_{i=1}^{1}|E_{i}|\\
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\end{mathe}
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Also gilt $\Phi(1)$.
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\item[]
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Sei $n=2$. Dann gilt für alle endlichen Mengen $E_{1},E_{2}$
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\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
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|\prod_{i=1}^{2}E_{i}|
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&= &|E_{1}\times E_{2}|
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&= &|E_{1}|\cdot|E_{2}|
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&= &\prod_{i=1}^{2}|E_{i}|.\\
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\end{mathe}
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(Dieses Resultat haben wir in \Cref{lemm:1:ska:4:ex:10} ausgelagert.)\\
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Also gilt $\Phi(2)$.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
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Sei $n>2$.
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Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
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Seien $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$ beliebige endliche Mengen.
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\textbf{Zu zeigen:} $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$ gilt.\\
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Es gilt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|
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&= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}\times E_{n}|\\
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&= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}|\cdot|E_{n}|\\
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&&\text{da $\Phi(2)$ gilt}\\
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&= &\prod_{i=1}^{n-1}|E_{i}|\cdot|E_{n}|\\
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&&\text{wegen der IV}\\
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&= &\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|.\\
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\end{mathe}
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Also gilt $\Phi(n)$.
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\end{kompaktenum}
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Also gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
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\end{proof}
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\end{einzug}
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Wir müssen noch den Fall für $2$ Mengen beweisen.
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\begin{lemm}
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\makelabel{lemm:1:ska:4:ex:10}
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Seien $X$, $Y$ beliebige \uline{endliche} Mengen.
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Dann $|X\times Y|=|X|\cdot |Y|$.
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\end{lemm}
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\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
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\begin{proof}
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Wir beweisen dies per Induktion über $|Y|$ durchführen.
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\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
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Sei $Y$ eine endliche Menge mit $|Y|=0$.
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Also $Y=\leer$.
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Darum
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\begin{mathe}[mc]{rcccccccccl}
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|X\times Y|
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&= &|X\times\leer|
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&= &|\leer|
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&= &0
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&= &|X|\cdot 0
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&= &|X|\cdot|Y|.\\
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\end{mathe}
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\item[]
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Sei $Y$ eine $1$-elementige Menge.
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Dann $Y=\{y\}$ für ein Objekt, $y$.
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Es ist einfach zu sehen, dass
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${x\in X\mapsto (x,y)\in X\times Y}$
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eine Bijektion ist.
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Folglich sind $X$ und $X\times Y$ gleichmächtig.
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D.\,h. $|X\times Y|=|X|=|X|\cdot 1=|X|\cdot|Y|$.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
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Sei $n>1$.
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Angenommen, $|X\times Y'|=|X|\cdot |Y'|$
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für alle $k$-elementigen Mengen, $Y'$
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und für alle $k<n$.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
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Sei $Y$ eine beliebige $n$-elementige Menge.\\
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\textbf{Zu zeigen:} $|X\times Y|=|X|\times|Y|$ gilt.\\
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Da $n>0$, können wir ein beliebiges $y_{0}\in Y$ fixieren.\\
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Setze $Y':=Y\ohne\{y_{0}\}$.
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Da $Y'$ $n-1$-elementig ist, gilt per Induktionsvoraussetzung
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$|X\times Y'|=|X|\cdot|Y'|=|X|\cdot(n-1)$.\\
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Wegen Disjunktheit von $Y'$ und $\{y_{0}\}$,
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sind $X\times Y'$ und $X\times\{y_{0}\}$ ebenfalls disjunkt.
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Es folgt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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|X\times Y|
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&= &|X\times (Y'\cup\{y_{0}\}|\\
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&= &|(X\times Y')\cup (X\times\{y_{0}\})|\\
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&= &|X\times Y'| + |X\times\{y_{0}\}|\\
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&&\text{wegen Disjunktheit}\\
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&= &|X|\cdot(n-1) + |X|\cdot 1\\
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&&\text{wegen des Falls für $1$-elementigen Mengen}\\
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&= &|X|\cdot n\\
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&&\text{wegen der rekursiven Definition von Multiplikation}\\
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&= &|X|\cdot |Y|,\\
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\end{mathe}
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\end{kompaktenum}
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Darum gilt $|X\times Y|=|X|\cdot|Y|$ für alle Mengen $X,Y$.
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\end{proof}
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\end{einzug}
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2020-11-20 19:54:18 +01:00
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%% SKA 4-11
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{SKA}
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\section[Aufgabe 11]{}
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\label{ska:4:ex:11}
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\let\sectionname\altsectionname
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2020-11-21 13:55:33 +01:00
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Um ein Argument zurückzuweise, reicht es häufig aus,
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das Argument einfach \emph{ausführlich} aufzuschreiben.
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Wir nehmen die Ausführung und formalisieren diese:
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\begin{claim*}
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Bezeichne mit $G(x)$, dass $x$ ein Goldfisch ist.
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Für $n\in\ntrlpos$ bezeichne mit $\Phi(n)$ folgende Aussage
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\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
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\item
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Für alle $n$-elementigen Mengen, $X$, von Fischen,
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wenn $\exists{x\in X:~}G(x)$,
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dann $\forall{x\in X:~}G(x)$.
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\end{kompaktitem}
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Dann $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$
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\end{claim*}
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\begin{proof}[ungültiges Argument]
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Dies wird per Induktion argumentiert.
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\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
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Betrachte eine $1$-elementige Menge, $X$, von Fischen.\\
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Angenommen, ein $x_{0}\in X$ mit $G(x_{0})$ existiere.\\
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Da $X$ nur dieses eine Element enthält,
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gilt offensichtlich $\forall{x\in X:~}G(x)$.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
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Sei $n\in\ntrlpos$ mit $n>1$.
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Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
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Sei $X$ eine $n$-elementige Menge von Fischen.\\
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Angenommen, ein $x_{0}\in X$ mit $G(x_{0})$ existiere.
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\textbf{Zu zeigen:} Für alle $x\in X$ gilt $G(x)$.\\
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Setze $X_{1}:=X\ohne\{x_{0}\}$, was nicht leer ist, weil $n\geq 2$.\\
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Fixiere einen Fisch $x_{1}\in X_{1}$
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und setze $X_{0}:=X\ohne\{x_{1}\}$.\\
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Da $x_{1}\neq x_{0}$ sind $X_{0},X_{1}$ verschiedene $n-1$-elementige Mengen:
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\hraum
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{\footnotesize
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\begin{tikzpicture}[node distance=1cm, thick]
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\pgfmathsetmacro\habst{1.5}
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\pgfmathsetmacro\vabst{1.5}
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\pgfmathsetmacro\rad{1.5}
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\node (PtBL) at (-1.25*\habst,0*\vabst) {};
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\node (PtTL) at (-1.25*\habst,2*\vabst) {};
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\node (PtBR) at (+1.25*\habst,0*\vabst) {};
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\node (PtTR) at (+1.25*\habst,2*\vabst) {};
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|
\node (X0mid) at (-0.25*\habst,1*\vabst) {};
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|
\node (X1mid) at (+0.25*\habst,1*\vabst) {};
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|
\node[label=above:{$x_{0}$}] (x0) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
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|
\node[label=above:{$x_{1}$}] (x1) at (+1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
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|
\node[above right = 0.4*\rad and 0.4*\rad of X0mid,label=below:{$\tilde{x}$}] {$\bullet$};
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|
\node[above left = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X0mid] {$X_{0}$};
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\node[above right = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X1mid] {$X_{1}$};
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|
\draw [thick, decoration={brace, mirror, raise=1*\vabst}, decorate] node [pos=0.5, anchor=north, yshift=-10pt] {$X$} (PtBL.south) -- (PtBR.south);
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|
\draw[pattern=north west lines] (X0mid) circle[radius=1*\rad];
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\draw (X1mid) circle[radius=1*\rad];
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|
\end{tikzpicture}}
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\hraum
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Fokussieren wir uns zunächst auf $X_{0}$ (die schattierte Teilmenge).\\
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2020-11-21 14:00:21 +01:00
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Da $X_{0}$ $n-1$-elementig ist und $x_{0}\in X_{0}$ und $G(x_{0})$,
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gilt per IV (\textdagger)~$\forall{x\in X_{0}:~}G(x)$.
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2020-11-21 13:55:33 +01:00
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Jetzt betrachten wir die rechte Teilmenge, $X_{1}$.\\
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\fbox{Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$ mit $\tilde{x}\neq x_{0}$.}\\
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Wegen (\textdagger) gilt $G(\tilde{x})$.\\
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Da $\tilde{x}\neq x_{0}$, liegt dieser Fisch nun in der Auswahlmenge $X_{1}$.\\
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Also ist $X_{1}$ eine $n-1$-elementige Menge und $x_{1}\in X_{1}$ und $G(x_{1})$.\\
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2020-11-21 14:00:21 +01:00
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Per IV gilt also $\forall{x\in X_{1}:~}G(x)$.\\
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Daraus folgt $\forall{x\in X:~}G(x)$, da $X=X_{1}\cup\{x_{0}\}$.
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2020-11-21 13:55:33 +01:00
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2020-11-21 14:00:21 +01:00
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Darum gilt $\Phi(n)$.
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2020-11-21 13:55:33 +01:00
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\end{kompaktenum}
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Darum gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
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\end{proof}
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2020-11-21 14:00:21 +01:00
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Das Problem mit diesem Argument steckt im Induktionsschritt an genau dieser Stelle:
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2020-11-21 12:47:38 +01:00
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\begin{quote}
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2020-11-21 13:55:33 +01:00
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Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$ mit $\tilde{x}\neq x_{0}$.
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2020-11-21 12:47:38 +01:00
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|
\end{quote}
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2020-11-21 13:55:33 +01:00
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Im ursprünglichen Text ist dies die problematische Stelle:
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\begin{quote}
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Jetzt können wir aber \uline{auch einen der Goldfische rausnehmen} und haben wieder \ldots
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\end{quote}
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2020-11-21 12:47:38 +01:00
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2020-11-21 13:55:33 +01:00
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Zurück aber zu unserer Formalisierung:\\
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Diese Stelle im Argument ist nur möglich, wenn $X_{0}\ohne\{x_{0}\}$ nicht leer ist,
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oder äquivalent, wenn $X_{0}\cap X_{1}$ nicht leer ist.
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Das \uline{Diagramm} mag dies andeuten, aber das Diagramm täuscht.
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Denn formal betrachtet muss das Element, $\tilde{x}\in X_{0}\cap X_{1}$,
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verschieden von $x_{0}$ und $x_{1}$ sein.
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Das setzt voraus, dass $n=|X|\geq 3$.
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Aber im Induktionsschritt wurde nur $n>1$ vorausgesetzt!
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Das heißt das Induktionsargument ist faul,
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weil der Schritt $1\rightsquigarrow 2$ implizit übersprungen wird.
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2020-11-20 19:54:18 +01:00
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\setcounternach{part}{3}
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\part{Quizzes}
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\def\chaptername{Quiz}
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%% FILE: body/quizzes/quiz1.tex
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\setcounternach{chapter}{1}
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\chapter[Woche 1]{Woche 1}
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\label{quiz:1}
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\begin{claim*}
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Das LGS
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\begin{mathe}[mc]{rcrcr}
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-x &+ &a\cdot y &= &3\\
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a\cdot x &- &4y &= &0\\
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\end{mathe}
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ist genau dann lösbar, wenn $a\in\reell\ohne\{\pm 2\}$.
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\end{claim*}
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\begin{proof}
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Sei $a\in\reell$ beliebig. Wir führen das Gaußverfahren aus:
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\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
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Ursprüngliches LGS $(A_{\alpha}|b_{\beta})$:
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\begin{mathe}[mc]{c}
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\begin{matrix}{cc|c}
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-1 &a &3\\
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a &-4 &0\\
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\end{matrix}\\
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\end{mathe}
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Wende die Zeilentransformationen
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${Z_{2}\leftsquigarrow a\cdot Z_{1}+Z_{2}}$
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an:
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\begin{mathe}[mc]{c}
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\begin{matrix}{cc|c}
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1 &a &3\\
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0 &a^{2}-4 &3a\\
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\end{matrix}\\
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\end{mathe}
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\end{algorithm}
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Wenn $a\in\{\pm 2\}$, ist das LGS unlösbar, da in der 2. Zeile links nur $0$ Einträge stehen und rechts $\pm 6$.\\
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Wenn $a\notin\{\pm 2\}$, gibt es zwei Stufen und damit ist das LGS lösbar.\\
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Also gilt die Behauptung.
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\end{proof}
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: body/quizzes/quiz2.tex
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\setcounternach{chapter}{2}
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\chapter[Woche 2]{Woche 2}
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\label{quiz:2}
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Sei $L$ die Gerade $\{\mathbf{v}+t\mathbf{w}\mid t\in\reell\}\subseteq\reell^{3}$,
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wobei
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\begin{mathe}[mc]{rclqrcl}
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\mathbf{v} &= &\begin{svector}-4\\2\\5\\\end{svector},
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&\mathbf{w} &= &\begin{svector}2\\-6\\12\\\end{svector}.\\
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\end{mathe}
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\begin{enumerate}{\bfseries (1)}
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%% QUIZ 2-a
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\item
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\begin{claim*}
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Der Punkt, $\mathbf{x}=\begin{svector}-3\\-1\\11\\\end{svector}$, liegt in der Geraden, $L$.
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\end{claim*}
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\begin{proof}
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Es gilt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\mathbf{x}\in L
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&\Longleftrightarrow
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&\exists{t\in\reell:~}
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\mathbf{x}=\mathbf{v}+t\mathbf{w}\\
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&\Longleftrightarrow
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&\exists{t\in\reell:~}
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\mathbf{x}-\mathbf{v}=t\mathbf{w}\\
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&\Longleftrightarrow
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&\exists{t\in\reell:~}
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\begin{svector}1\\-3\\6\\\end{svector}=t\begin{svector}2\\-6\\12\\\end{svector}\\
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\end{mathe}
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Nun ist die letzte Aussage wahr,
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da der Ausdruck innerhalb des Existenzquantors offensichtlich unter $t=\frac{1}{2}$ wahr ist.
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Darum gilt $\mathbf{x}\in L$.
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\end{proof}
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%% QUIZ 2-b
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\item
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Fixiere einen Vektor, $\mathbf{w}_{\perp}\in\reell^{3}$,
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der zu $\mathbf{w}$ normal ist.
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Z.\,B. können wir
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\mathbf{w}_{\perp} &= &\begin{svector}3\\-1\\0\\\end{svector}\\
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\end{mathe}
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wählen. Dann gilt $\brkt{\mathbf{w},\mathbf{w}_{\perp}}=0$,
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sodass die Vektoren normal zueinander stehen.
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Nun, für $\mathbf{x}\in L$ setze
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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L_{\mathbf{x}} &:= &\{\mathbf{x}+s\cdot\mathbf{w}_{\perp}\mid s\in\reell\}.\\
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\end{mathe}
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Dann gilt offensichtlich $\mathbf{x}\in L\cap L_{\mathbf{x}}$.\\
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Andererseits, da die Richtungsvektoren in den Geraden nicht linear abhängig sind,
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(da sie normal zueinander stehen),
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gilt $|L\cap L_{\mathbf{x}}|\leq 1$.\\
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Darum gilt $L\cap L_{\mathbf{x}}=\{\mathbf{x}\}$.
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\end{enumerate}
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: body/quizzes/quiz3.tex
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\setcounternach{chapter}{3}
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\chapter[Woche 3]{Woche 3}
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\label{quiz:3}
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\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
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%% QUIZ 3-a
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\item
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\begin{claim*}
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Seien $X$, $Y$ beliebige Mengen und $f:X\to Y$ eine Funktion.
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Sei $B\subseteq Y$ beliebig.
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Dann gilt $f(f^{-1}(B))=f(X)\cap B$.
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Insbesondere gilt $f(f^{-1}(B))\subseteq B$
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\end{claim*}
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\begin{proof}
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Für $y\in Y$ gilt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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y\in f(f^{-1}(B))
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&\Longleftrightarrow
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&\exists{x\in f^{-1}(B):~}f(x)=y\\
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&\Longleftrightarrow
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&\exists{x\in X:~}(x\in f^{-1}(B)\,\text{und}\,f(x)=y)\\
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&\Longleftrightarrow
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&\exists{x\in X:~}(f(x)=y\,\text{und}\,x\in f^{-1}(B))\\
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&\Longleftrightarrow
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&\exists{x\in X:~}(y=f(x)\,\text{und}\,f(x)\in B)\\
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&\Longleftrightarrow
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&\exists{x\in X:~}(y=f(x)\,\text{und}\,y\in B)\\
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&\Longleftrightarrow
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&(\exists{x\in X:~}y=f(x))\,\text{und}\,y\in B\\
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&\Longleftrightarrow
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&y\in f(X)\,\text{und}\,y\in B\\
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&\Longleftrightarrow
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&y\in f(X)\cap B.\\
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\end{mathe}
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Darum gilt $f(f^{-1}(B))=f(X)\cap B\subseteq B$.
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\end{proof}
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%% QUIZ 3-b
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\item
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Aus (a) folgt:
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\begin{kompaktitem}
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\item
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$f$ \uline{surjektiv} $\Longrightarrow$
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$f(f^{-1}(B))=f(X)\cap B=Y\cap B=B$
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für alle $B\subseteq Y$;
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\item
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$f$ \uline{nicht surjektiv} $\Longrightarrow$
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$f(f^{-1}(Y))=f(X)\cap Y=f(X)\subset Y$ (strikt).
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\end{kompaktitem}
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Darum ist es notwendig und hinreichend, eine nicht-surjektive Funktion als Beispiel zu nehmen.
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Hier ein minimales Beispiel $X=\{0\}$ und $Y=\{1,2\}$ und $B=Y$ und $f:X\to Y$ definiert durch $f(0)=1$.
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Dann $f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(Y))=f(X)=\{1\}\subset Y$ (strikt).
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|
\end{enumerate}
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: back/index.tex
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%% ********************************************************************************
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\bibliographystyle{alpha}
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\def\bibname{Literaturverzeichnis}
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\nocite{*}
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\bgroup
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|
\footnotesize
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: ./back/quelle.bib
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|
\begin{thebibliography}{EFT18}
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\bibitem[EFT18]{ebbinghaus2018}
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\newblock {\em {Einf\"uhrung in die mathematische Logik}}.
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\newblock 2018.
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\bibitem[Jec97]{jech1997}
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Thomas Jech.
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\newblock {\em {Set Theory}}.
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\newblock Springer-Verlag, 1997.
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\bibitem[Sin20]{sinn2020}
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Rainer Sinn.
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\newblock {Lineare Algebra I: Skript zur Veranstaltung Universit\"at Leipzig}.
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Stefan Waldmann.
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\newblock Springer Berlin Heidelberg, 2016.
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\end{thebibliography}
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|
\egroup
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|
\end{document}
|
