master > master: Quizzes 10+11

docs/loesungen.tex

@@ -90,6 +90,10 @@
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@@ -344,6 +348,7 @@
 
 \newcount\bufferctr
 \newcount\bufferreplace
+\newcounter{columnanzahl}
 
 \newlength\rtab
 \newlength\gesamtlinkerRand
@@ -657,15 +662,15 @@
         \theoremstyle{nonumberplain}
         \theoremseparator{\thmForceSepPt}
         \theoremprework{\ra@pretheoremwork}
-        \@ifundefined{#1@star@basic}{\newtheorem{#1@star@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@basic}[#4]{#2}}
+        \@ifundefined{#1@star@basic}{\newtheorem{#1@star@basic}[Xdisplaynone]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@basic}[Xdisplaynone]{#2}}
         %% FOR \BEGIN{THM*}[...]
         \theoremstyle{nonumberplain}
         \theoremseparator{\thmForceSepPt}
         \theoremprework{\ra@pretheoremwork}
-        \@ifundefined{#1@star@withName}{\newtheorem{#1@star@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@withName}[#4]{#2}}
+        \@ifundefined{#1@star@withName}{\newtheorem{#1@star@withName}[Xdisplaynone]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@withName}[Xdisplaynone]{#2}}
         %% GENERATE ENVIRONMENTS:
         \umbauenenv{#1}{#3}[#4]
-        \umbauenenv{#1@star}{#3}[#4]
+        \umbauenenv{#1@star}{#3}[Xdisplaynone]
         %% TRANSFER *-DEFINITION
         \rathmtransfer{#1@star}{#1*}
     }
@@ -752,6 +757,8 @@
     \ranewthm{fact}{Fakt}{\enndeOnNeutralSign}[X]
     \ranewthm{rem}{Bemerkung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
     \ranewthm{qstn}{Frage}{\enndeOnNeutralSign}[X]
+    \ranewthm{exer}{Aufgabe}{\enndeOnNeutralSign}[X]
+    \ranewthm{soln}{Lösung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
 
         \theoremheaderfont{\itshape\bfseries}
         \theorembodyfont{\upshape}
@@ -10625,6 +10632,226 @@ für alle linearen Unterräume, $U\subseteq V$.
         $\psi\circ\phi$ surjektiv $\Rightarrow$ \eqcref{it:1:quiz:9}+\eqcref{it:2:quiz:9} gelten.
 \end{rem*}
 
+%% ********************************************************************************
+%% FILE: body/quizzes/quiz10.tex
+%% ********************************************************************************
+
+\setcounternach{chapter}{10}
+\chapter[Woche 10]{Woche 10}
+    \label{quiz:10}
+
+Seien
+
+    \begin{mathe}[mc]{cccc}
+        v_{1} = \begin{vector} 3\\ 2\\\end{vector},
+        &v_{2} = \begin{vector} 2\\ 1\\\end{vector},
+        &w_{1} = \begin{vector} 2\\ -1\\\end{vector},
+        &w_{2} = \begin{vector} 0\\ 5\\\end{vector}.
+    \end{mathe}
+
+\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
+%% (a)
+\item
+    \begin{claim*}
+        $\cal{A}:=(v_{1},\,v_{2})$
+        und $\cal{B}:=(w_{1},\,w_{2})$
+        sind jeweils Basen von $\reell^{2}$.
+    \end{claim*}
+
+    \begin{proof}
+        Da $\dim(\reell^{2})=2$, reicht es aus zu zeigen,
+        dass $\cal{A}$ und $\cal{B}$ linear unabhängige Systeme sind.
+        Hierfür reicht es aus \textbf{zu zeigen},
+        das $\rank(A)=2$ und $\rank(B)=2$,
+        wobei
+            ${A:=\left(v_{1}\ v_{2}\right)=\begin{smatrix}
+              3 &2\\
+              2 &1\\
+            \end{smatrix}}$
+        und
+            ${B:=\left(w_{1}\ w_{2}\right)=\begin{smatrix}
+              2 &0\\
+              -1 &5\\
+            \end{smatrix}}$.
+        Zeilenreduktion liefert uns
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                A
+                    &\xrightarrow{
+                        Z_{2}\mapsfrom 3\cdot Z_{2} - 2\cdot Z_{1}
+                    }
+                        &
+                        \begin{smatrix}
+                          3 &2\\
+                          0 &-1\\
+                        \end{smatrix}
+                        \\
+                B
+                    &\xrightarrow{
+                        Z_{2}\mapsfrom 2\cdot Z_{2} + \cdot Z_{1}
+                    }
+                        &
+                        \begin{smatrix}
+                          2 &0\\
+                          0 &10\\
+                        \end{smatrix}
+                        \\
+            \end{mathe}
+
+        Also $\rank(A)=2$ und $\rank(B)=2$,
+        wie zu zeigen war.
+    \end{proof}
+
+%% (b)
+\item
+    Sei $\cal{K}:=(e_{1},\,e_{2})$, die Standardbasis für $\reell^{2}$.
+    Sei $\phi:\reell^{2}\to\reell^{2}$
+    die eindeutige lineare Abbildung,
+    die $\phi(v_{i})=w_{i}$ für $i\in\{1,2\}$ erfüllt.\footnote{
+        Da $\cal{A}$ eine Basis von $\reell^{2}$ ist,
+        definieren laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} diese Bedingungen eine (eindeutige)
+        lineare Abbildung.
+    }
+    \textbf{Zu bestimmen:} die Matrizendarstellung $M:=M_{\cal{K}}^{\cal{K}}(\phi)$.
+
+    \textbf{ANSATZ I}\\
+        Wir versuchen, die Standardbasiselement in Bezug auf $\cal{A}$
+        umzuschreiben, und berechnen die entsprechenden Outputvektoren:
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcccccl}
+                \mathbf{e}_{1}
+                    &\textoverset{Defn}{=}
+                        &\begin{svector} 1\\ 0\\\end{svector}
+                    &= &2\begin{svector} 2\\ 1\\\end{svector}-\begin{svector} 3\\ 2\\\end{svector}
+                    &= &2v_{2}-v_{1}\\
+                \mathbf{e}_{2}
+                    &\textoverset{Defn}{=}
+                        &\begin{svector} 0\\ 1\\\end{svector}
+                    &= &2\begin{svector} 3\\ 2\\\end{svector}-3\begin{svector} 2\\ 1\\\end{svector}
+                    &= &2v_{1}-3v_{2}\\
+            \end{mathe}
+
+        Also gilt wegen Linearität
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
+                \phi(\mathbf{e}_{1})
+                    &= &\phi(2v_{2}-v_{1})
+                    &= &2\phi(v_{2})-\phi(v_{1})
+                    &= &2w_{2}-w_{1}
+                    &= &\begin{svector} -2\\ 11\\\end{svector}\\
+                \phi(\mathbf{e}_{2})
+                    &= &\phi(2v_{1}-3v_{2})
+                    &= &2\phi(v_{1})-3\phi(v_{2})
+                    &= &2w_{1}-3w_{2}
+                    &= &\begin{svector} 4\\ -17\\\end{svector}\\
+            \end{mathe}
+
+        Da diese Outputvektoren schon in Bezug auf die Standardbasis dargestellt sind,
+        erhalten wir
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                M_{\cal{K}}^{\cal{K}}(\phi)
+                    &= &\boxed{\begin{matrix}{rr}
+                      -2 &4\\
+                      11 &-17\\
+                    \end{matrix}}.\\
+            \end{mathe}
+
+    \textbf{ANSATZ II}\\
+        In diesem Ansatz bestimmen wir auf systematische Weise
+        notwendige Bedingungen dafür, dass eine Matrix, $M$, $\phi$ darstellt.
+        Per Konstruktion, und da die Vektoren $v_{1},v_{2},w_{1},w_{2}$ bzgl. $\cal{K}$
+        dargestellt wurden, muss
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcccl}
+                Mv_{i} &= &\phi(v_{i}) &= &w_{i}
+            \end{mathe}
+
+        für alle $i\in\{1,2\}$ gelten.
+        Mit anderen Worten muss $MA=B$ gelten,
+        wobei $A,B$ die o.\,s. definierten Matrizen sind.
+        Also ist eine notwendige Bedingung $M=BA^{-1}$.
+        Darum ist $BA^{-1}$ \textbf{zu berechnen}.
+
+        Hierfür gibt es mehrere Rechenwege.
+        Wir arbeiten mit $\left(A^{T}\vert B^{T}\right)$
+        und reduzieren, bis in der linken Hälfte die Identitätsmatrix, $\onematrix$,
+        steht. In der rechten Hälfte steht dann $(A^{T})^{-1}B^{T}$,
+        also $(BA^{-1})^{T}$.
+        Das Resultat transponiert liefert uns dann $BA^{-1}$, also $M$.\footnote{
+            Wir müssen diesen Umweg gehen, weil das Gaußverfahren uns nur
+            nach linkst multiplizierte Inverse liefern kann und wir schließendlich
+            $BA^{-1}$ berechnen wollen,
+            was eine Rechtsmultiplikation durch das Inverse ist.
+        }
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcl}
+                \left(A^{T}\vert B^{T}\right)
+                =
+                    \begin{matrix}{rr|rr}
+                      3 &2 &2 &-1\\
+                      2 &1 &0 &5\\
+                    \end{matrix}
+                &\xrightarrow{
+                    Z_{2} \mapsfrom 3\cdot Z_{2}-2\cdot Z_{1}
+                }
+                    &
+                    \begin{matrix}{rr|rr}
+                      3 &2 &2 &-1\\
+                      0 &-1 &-4 &17\\
+                    \end{matrix}
+                    \\
+                &\xrightarrow{
+                    Z_{1} \mapsfrom Z_{1} + 2\cdot Z_{2}
+                }
+                    &
+                    \begin{matrix}{rr|rr}
+                      3 &0 &-6 &33\\
+                      0 &-1 &-4 &17\\
+                    \end{matrix}
+                    \\
+                &\xrightarrow{
+                    \substack{
+                        Z_{1} \mapsfrom 3^{-1}\cdot Z_{1}
+                        Z_{1} \mapsfrom -1\cdot Z_{2}
+                    }
+                }
+                    &
+                    \begin{matrix}{rr|rr}
+                      1 &0 &-2 &11\\
+                      0 &1 &4 &-17\\
+                    \end{matrix}
+                    \\
+            \end{mathe}
+
+        Darum gilt notwendigerweise
+
+            \begin{mathe}[mc]{rcccl}
+                M &= &\begin{smatrix}
+                  -2 &11\\
+                  4 &-17\\
+                \end{smatrix}^{T}
+                    &= &\boxed{\begin{matrix}{rr}
+                      -2 &4\\
+                      11 &-17\\
+                    \end{matrix}},\\
+            \end{mathe}
+
+        damit $M$ $\phi$ darstellt.
+        Da es eine eindeutige Darstellungsmatrix für $\phi$ gibt,
+        gilt somit $M_{\cal{K}}^{\cal{K}}(\phi)=M$.
+\end{enumerate}
+
+%% ********************************************************************************
+%% FILE: body/quizzes/quiz11.tex
+%% ********************************************************************************
+
+\setcounternach{chapter}{11}
+\chapter[Woche 11]{Woche 11}
+    \label{quiz:11}
+
+(Siehe Git-Repo $\to$ \textbf{/notes/brerechnungen\_wk12.md}.)
+
 %% ********************************************************************************
 %% FILE: back/index.tex
 %% ********************************************************************************