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%% ---- body/quizzes/quiz9.tex;
%% |
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@ -344,6 +348,7 @@
\newcount\bufferctr
\newcount\bufferreplace
\newcounter{columnanzahl}
\newlength\rtab
\newlength\gesamtlinkerRand
@ -657,15 +662,15 @@
\theoremstyle{nonumberplain}
\theoremseparator{\thmForceSepPt}
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
\@ifundefined{#1@star@basic}{\newtheorem{#1@star@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@basic}[#4]{#2}}
\@ifundefined{#1@star@basic}{\newtheorem{#1@star@basic}[Xdisplaynone]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@basic}[Xdisplaynone]{#2}}
%% FOR \BEGIN{THM*}[...]
\theoremstyle{nonumberplain}
\theoremseparator{\thmForceSepPt}
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
\@ifundefined{#1@star@withName}{\newtheorem{#1@star@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@withName}[#4]{#2}}
\@ifundefined{#1@star@withName}{\newtheorem{#1@star@withName}[Xdisplaynone]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@withName}[Xdisplaynone]{#2}}
%% GENERATE ENVIRONMENTS:
\umbauenenv{#1}{#3}[#4]
\umbauenenv{#1@star}{#3}[#4]
\umbauenenv{#1@star}{#3}[Xdisplaynone]
%% TRANSFER *-DEFINITION
\rathmtransfer{#1@star}{#1*}
}
@ -752,6 +757,8 @@
\ranewthm{fact}{Fakt}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{rem}{Bemerkung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{qstn}{Frage}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{exer}{Aufgabe}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\ranewthm{soln}{Lösung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
\theoremheaderfont{\itshape\bfseries}
\theorembodyfont{\upshape}
@ -10625,6 +10632,226 @@ für alle linearen Unterräume, $U\subseteq V$.
$\psi\circ\phi$ surjektiv $\Rightarrow$ \eqcref{it:1:quiz:9}+\eqcref{it:2:quiz:9} gelten.
\end{rem*}
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/quizzes/quiz10.tex
%% ********************************************************************************
\setcounternach{chapter}{10}
\chapter[Woche 10]{Woche 10}
\label{quiz:10}
Seien
\begin{mathe}[mc]{cccc}
v_{1} = \begin{vector} 3\\ 2\\\end{vector},
&v_{2} = \begin{vector} 2\\ 1\\\end{vector},
&w_{1} = \begin{vector} 2\\ -1\\\end{vector},
&w_{2} = \begin{vector} 0\\ 5\\\end{vector}.
\end{mathe}
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
%% (a)
\item
\begin{claim*}
$\cal{A}:=(v_{1},\,v_{2})$
und $\cal{B}:=(w_{1},\,w_{2})$
sind jeweils Basen von $\reell^{2}$.
\end{claim*}
\begin{proof}
Da $\dim(\reell^{2})=2$, reicht es aus zu zeigen,
dass $\cal{A}$ und $\cal{B}$ linear unabhängige Systeme sind.
Hierfür reicht es aus \textbf{zu zeigen},
das $\rank(A)=2$ und $\rank(B)=2$,
wobei
${A:=\left(v_{1}\ v_{2}\right)=\begin{smatrix}
3 &2\\
2 &1\\
\end{smatrix}}$
und
${B:=\left(w_{1}\ w_{2}\right)=\begin{smatrix}
2 &0\\
-1 &5\\
\end{smatrix}}$.
Zeilenreduktion liefert uns
\begin{mathe}[mc]{rcl}
A
&\xrightarrow{
Z_{2}\mapsfrom 3\cdot Z_{2} - 2\cdot Z_{1}
}
&
\begin{smatrix}
3 &2\\
0 &-1\\
\end{smatrix}
\\
B
&\xrightarrow{
Z_{2}\mapsfrom 2\cdot Z_{2} + \cdot Z_{1}
}
&
\begin{smatrix}
2 &0\\
0 &10\\
\end{smatrix}
\\
\end{mathe}
Also $\rank(A)=2$ und $\rank(B)=2$,
wie zu zeigen war.
\end{proof}
%% (b)
\item
Sei $\cal{K}:=(e_{1},\,e_{2})$, die Standardbasis für $\reell^{2}$.
Sei $\phi:\reell^{2}\to\reell^{2}$
die eindeutige lineare Abbildung,
die $\phi(v_{i})=w_{i}$ für $i\in\{1,2\}$ erfüllt.\footnote{
Da $\cal{A}$ eine Basis von $\reell^{2}$ ist,
definieren laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} diese Bedingungen eine (eindeutige)
lineare Abbildung.
}
\textbf{Zu bestimmen:} die Matrizendarstellung $M:=M_{\cal{K}}^{\cal{K}}(\phi)$.
\textbf{ANSATZ I}\\
Wir versuchen, die Standardbasiselement in Bezug auf $\cal{A}$
umzuschreiben, und berechnen die entsprechenden Outputvektoren:
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
\mathbf{e}_{1}
&\textoverset{Defn}{=}
&\begin{svector} 1\\ 0\\\end{svector}
&= &2\begin{svector} 2\\ 1\\\end{svector}-\begin{svector} 3\\ 2\\\end{svector}
&= &2v_{2}-v_{1}\\
\mathbf{e}_{2}
&\textoverset{Defn}{=}
&\begin{svector} 0\\ 1\\\end{svector}
&= &2\begin{svector} 3\\ 2\\\end{svector}-3\begin{svector} 2\\ 1\\\end{svector}
&= &2v_{1}-3v_{2}\\
\end{mathe}
Also gilt wegen Linearität
\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
\phi(\mathbf{e}_{1})
&= &\phi(2v_{2}-v_{1})
&= &2\phi(v_{2})-\phi(v_{1})
&= &2w_{2}-w_{1}
&= &\begin{svector} -2\\ 11\\\end{svector}\\
\phi(\mathbf{e}_{2})
&= &\phi(2v_{1}-3v_{2})
&= &2\phi(v_{1})-3\phi(v_{2})
&= &2w_{1}-3w_{2}
&= &\begin{svector} 4\\ -17\\\end{svector}\\
\end{mathe}
Da diese Outputvektoren schon in Bezug auf die Standardbasis dargestellt sind,
erhalten wir
\begin{mathe}[mc]{rcl}
M_{\cal{K}}^{\cal{K}}(\phi)
&= &\boxed{\begin{matrix}{rr}
-2 &4\\
11 &-17\\
\end{matrix}}.\\
\end{mathe}
\textbf{ANSATZ II}\\
In diesem Ansatz bestimmen wir auf systematische Weise
notwendige Bedingungen dafür, dass eine Matrix, $M$, $\phi$ darstellt.
Per Konstruktion, und da die Vektoren $v_{1},v_{2},w_{1},w_{2}$ bzgl. $\cal{K}$
dargestellt wurden, muss
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
Mv_{i} &= &\phi(v_{i}) &= &w_{i}
\end{mathe}
für alle $i\in\{1,2\}$ gelten.
Mit anderen Worten muss $MA=B$ gelten,
wobei $A,B$ die o.\,s. definierten Matrizen sind.
Also ist eine notwendige Bedingung $M=BA^{-1}$.
Darum ist $BA^{-1}$ \textbf{zu berechnen}.
Hierfür gibt es mehrere Rechenwege.
Wir arbeiten mit $\left(A^{T}\vert B^{T}\right)$
und reduzieren, bis in der linken Hälfte die Identitätsmatrix, $\onematrix$,
steht. In der rechten Hälfte steht dann $(A^{T})^{-1}B^{T}$,
also $(BA^{-1})^{T}$.
Das Resultat transponiert liefert uns dann $BA^{-1}$, also $M$.\footnote{
Wir müssen diesen Umweg gehen, weil das Gaußverfahren uns nur
nach linkst multiplizierte Inverse liefern kann und wir schließendlich
$BA^{-1}$ berechnen wollen,
was eine Rechtsmultiplikation durch das Inverse ist.
}
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\left(A^{T}\vert B^{T}\right)
=
\begin{matrix}{rr|rr}
3 &2 &2 &-1\\
2 &1 &0 &5\\
\end{matrix}
&\xrightarrow{
Z_{2} \mapsfrom 3\cdot Z_{2}-2\cdot Z_{1}
}
&
\begin{matrix}{rr|rr}
3 &2 &2 &-1\\
0 &-1 &-4 &17\\
\end{matrix}
\\
&\xrightarrow{
Z_{1} \mapsfrom Z_{1} + 2\cdot Z_{2}
}
&
\begin{matrix}{rr|rr}
3 &0 &-6 &33\\
0 &-1 &-4 &17\\
\end{matrix}
\\
&\xrightarrow{
\substack{
Z_{1} \mapsfrom 3^{-1}\cdot Z_{1}
Z_{1} \mapsfrom -1\cdot Z_{2}
}
}
&
\begin{matrix}{rr|rr}
1 &0 &-2 &11\\
0 &1 &4 &-17\\
\end{matrix}
\\
\end{mathe}
Darum gilt notwendigerweise
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
M &= &\begin{smatrix}
-2 &11\\
4 &-17\\
\end{smatrix}^{T}
&= &\boxed{\begin{matrix}{rr}
-2 &4\\
11 &-17\\
\end{matrix}},\\
\end{mathe}
damit $M$ $\phi$ darstellt.
Da es eine eindeutige Darstellungsmatrix für $\phi$ gibt,
gilt somit $M_{\cal{K}}^{\cal{K}}(\phi)=M$.
\end{enumerate}
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/quizzes/quiz11.tex
%% ********************************************************************************
\setcounternach{chapter}{11}
\chapter[Woche 11]{Woche 11}
\label{quiz:11}
(Siehe Git-Repo $\to$ \textbf{/notes/brerechnungen\_wk12.md}.)
%% ********************************************************************************
%% FILE: back/index.tex
%% ********************************************************************************

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