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edf3c16d5e
@ -1,91 +1,88 @@
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# Woche 12 #
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A = [1, 2, -2, -1; 2, 0, -1, 1; 4, 3, 3, 1; 1, -2, 2, 3];
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## Quiz 11 ##
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A eine m x m Matrix, m = 4:
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Sei m = 4 und _A_ die folgende m x m Matrix über 𝔽₅:
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A = 1 2 -2 -1
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2 0 -1 1
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4 3 3 1
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1 -2 2 3
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in 𝔽₅.
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Zur Bestimmung der Invertierbarkeit führen wir das Gaußverfahren auf (A | I) aus:
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Zur Bestimmung der Invertierbarkeit: Gaußverfahren auf (A | I):
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1 2 -2 -1 | 1 0 0 0
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2 0 -1 1 | 0 1 0 0
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4 3 3 1 | 0 0 1 0
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1 -2 2 3 | 0 0 0 1
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1 2 -2 -1 | 1 0 0 0
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2 0 -1 1 | 0 1 0 0
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4 3 3 1 | 0 0 1 0
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1 -2 2 3 | 0 0 0 1
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1 2 -2 -1 | 1 0 0 0
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0 -4 3 3 | -2 1 0 0
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0 -5 11 5 | -4 0 1 0
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0 -4 4 4 | -1 0 0 1
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1 2 -2 -1 | 1 0 0 0
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0 -4 3 3 | -2 1 0 0
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0 -5 11 5 | -4 0 1 0
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0 -4 4 4 | -1 0 0 1
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—> modulo 5
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—> modulo 5
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1 2 3 4 | 1 0 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 1 4 4 | 4 0 0 1
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1 2 3 4 | 1 0 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 1 4 4 | 4 0 0 1
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1 2 3 4 | 1 0 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 1 1 | 1 4 0 1
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1 2 3 4 | 1 0 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 1 1 | 1 4 0 1
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(hier habe ich sofort mod 5 berechnet)
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(hier habe ich sofort mod 5 berechnet)
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1 2 3 4 | 1 0 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 0 1 | 0 4 4 1
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1 2 3 4 | 1 0 0 0
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||||
0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 0 1 | 0 4 4 1
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⟹ Rang(A) = 4 = m
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⟹ A invertierbar
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⟹ _A_ ist invertierbar
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1 0 2 3 | 0 3 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 0 1 | 0 4 4 1
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1 0 2 3 | 0 3 0 0
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||||
0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 0 1 | 0 4 4 1
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Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 3
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1 0 0 3 | 3 3 3 0
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0 1 0 3 | 0 1 2 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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||||
0 0 0 1 | 0 4 4 1
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1 0 0 3 | 3 3 3 0
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||||
0 1 0 3 | 0 1 2 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 0 1 | 0 4 4 1
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1 0 0 0 | 3 1 1 2
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0 1 0 0 | 0 4 0 2
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 0 1 | 0 4 4 1
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1 0 0 0 | 3 1 1 2
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||||
0 1 0 0 | 0 4 0 2
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 0 1 | 0 4 4 1
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⟹ A¯¹ steht in der rechten Hälfte
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⟹ Das Produkt der Elementarmatrizen, die A auf I (linke Hälfte) reduziert hat,
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steht nun in der rechten Hälfte:
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A¯¹ = 3 1 1 2
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0 4 0 2
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1 0 1 0
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0 4 4 1
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A¯¹ = 3 1 1 2
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0 4 0 2
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1 0 1 0
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0 4 4 1
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## Lineare Ausdehnung ##
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