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      notes/berechnungen_wk12.md

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# Woche 12 #
A = [1, 2, -2, -1; 2, 0, -1, 1; 4, 3, 3, 1; 1, -2, 2, 3];
## Quiz 11 ##
A eine m x m Matrix, m = 4:
Sei m = 4 und _A_ die folgende m x m Matrix über 𝔽₅:
A = 1 2 -2 -1
2 0 -1 1
4 3 3 1
1 -2 2 3
in 𝔽₅.
Zur Bestimmung der Invertierbarkeit: Gaußverfahren auf (A | I):
Zur Bestimmung der Invertierbarkeit führen wir das Gaußverfahren auf (A | I) aus:
1 2 -2 -1 | 1 0 0 0
2 0 -1 1 | 0 1 0 0
4 3 3 1 | 0 0 1 0
1 -2 2 3 | 0 0 0 1
1 2 -2 -1 | 1 0 0 0
2 0 -1 1 | 0 1 0 0
4 3 3 1 | 0 0 1 0
1 -2 2 3 | 0 0 0 1
Zeile 2 <- Zeile 2 - 2·Zeile 1
Zeile 3 <- Zeile 3 - 4·Zeile 1
Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 1
Zeile 2 <- Zeile 2 - 2·Zeile 1
Zeile 3 <- Zeile 3 - 4·Zeile 1
Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 1
1 2 -2 -1 | 1 0 0 0
0 -4 3 3 | -2 1 0 0
0 -5 11 5 | -4 0 1 0
0 -4 4 4 | -1 0 0 1
1 2 -2 -1 | 1 0 0 0
0 -4 3 3 | -2 1 0 0
0 -5 11 5 | -4 0 1 0
0 -4 4 4 | -1 0 0 1
—> modulo 5
—> modulo 5
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 1 4 4 | 4 0 0 1
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 1 4 4 | 4 0 0 1
Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 2
Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 2
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 1 1 | 1 4 0 1
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 1 1 | 1 4 0 1
(hier habe ich sofort mod 5 berechnet)
(hier habe ich sofort mod 5 berechnet)
Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 3
Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 3
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
⟹ Rang(A) = 4 = m
⟹ A invertierbar
_A_ ist invertierbar
Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 2
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1 0 2 3 | 0 3 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
1 0 2 3 | 0 3 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 3
Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 3
Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 3
Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 3
1 0 0 3 | 3 3 3 0
0 1 0 3 | 0 1 2 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
1 0 0 3 | 3 3 3 0
0 1 0 3 | 0 1 2 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
Zeile 1 <- Zeile 1 - 3·Zeile 4
Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 4
Zeile 1 <- Zeile 1 - 3·Zeile 4
Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 4
1 0 0 0 | 3 1 1 2
0 1 0 0 | 0 4 0 2
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
1 0 0 0 | 3 1 1 2
0 1 0 0 | 0 4 0 2
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
⟹ A¯¹ steht in der rechten Hälfte
⟹ Das Produkt der Elementarmatrizen, die A auf I (linke Hälfte) reduziert hat,
steht nun in der rechten Hälfte:
A¯¹ = 3 1 1 2
0 4 0 2
1 0 1 0
0 4 4 1
A¯¹ = 3 1 1 2
0 4 0 2
1 0 1 0
0 4 4 1
## Lineare Ausdehnung ##

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