master > master: ÜB11-2(a) küzerer Beweis mittels Dimensionsformel

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@ -7404,20 +7404,20 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
}_{\text{Spaltenraum von $A$}}.\\
\end{mathe}
Insbesondere gilt per des Ranges und \cite[Lemma 5.4.7]{sinn2020}
Insbesondere gilt per des Definition des Rangs,
und da laut \cite[Lemma 5.4.7]{sinn2020} Rang = Spaltenrang,
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
\eqtag[eq:2:beob:ueb:11:ex:2]
\rank(A)
&\textoverset{Lemm}{=}
&\text{Spaltenrang}(A)\\
&\textoverset{Defn}{=}
&\dim(\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\})\\
&\dim(\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\})
&\eqcrefoverset{eq:1:beob:ueb:11:ex:2}{=}
&\dim(\range(\phi_{A})).\\
\end{mathe}
Darum gilt die Behauptung.
\nvraum{1}
\end{obs}
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
@ -7430,80 +7430,32 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
\end{schattierteboxdunn}
\begin{proof}
Für diesen Beweis machen wir von den Berechnungen in \cref{obs:2:ueb:11:ex:2} Gebrauch.
Wir inspizieren den linearen Unterraum
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
W &:= &\range(\phi_{A}) &= &\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\}\subseteq K^{m}\\
\end{mathe}
Offensichtlich ist $\cal{W}:=(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})$ ein Erzeugendensystem für $W$, sodass $\dim(W)\leq n$ gilt.
Des Weiteren gelten die Implikationen:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:1:ueb:11:ex:2:a]
\dim(W)\geq n
&\Longrightarrow
&\dim(W)=n\quad\text{(da $\dim(W)\leq n$ sowieso)}\\
&\Longrightarrow
&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{linear unabhängig}\\
&&\quad\text{laut \cite[Korollar~5.4.4]{sinn2020}}\\
&&\quad\text{und da $\cal{W}$ ein Erzsys. aus $n=\dim(W)$ Vektoren}\\
&\Longrightarrow
&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{eine Basis für $W$}\\
&&\quad\text{da $\cal{W}$ sowieso ein Erzeugendensystem für $W$ ist}\\
&\Longrightarrow
&\dim(W)=n\\
&\Longrightarrow
&\dim(W)\geq n\quad\text{(offensichtlich)}.\\
\end{mathe}
Da nun
$\rank(A)\eqcrefoverset{eq:2:beob:ueb:11:ex:2}{=}\dim(\range(\phi_{A}))=\dim(W)$,
erhalten wir
Für diesen Beweis machen wir von der Dimensionsformel für lineare Abbildungen
(siehe \cite[6.1.10 Korollar]{sinn2020})
Gebrauch.
Es gilt
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
\rank(A)\geq n
&\Longleftrightarrow
&\dim(W)\geq n\\
&\eqcrefoverset{eq:1:ueb:11:ex:2:a}{\Longleftrightarrow}
&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{linear unabhängig}\\
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
&\forall{c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}\in K:~}
\big(
\sum_{i=1}^{n}c_{i}w_{i}=\zerovector
\Rightarrow
c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}=0_{K}
\big)\\
&\Longleftrightarrow
&\forall{x\in K^{n}:~}
\big(
\underbrace{
\sum_{i=1}^{n}x_{i}w_{i}
}_{
=Ax=\phi_{A}(x)
}
=\zerovector
\Rightarrow
x=\zerovector
\big)\\
\phi_{A}\,\text{injektiv}
&\Longleftrightarrow
&\forall{x\in K^{n}:~}
\big(
x\in\ker(\phi_{A})\Rightarrow x\in\{\zerovector\}
\big)\\
&\Longleftrightarrow
&\ker(\phi_{A})\subseteq\{\zerovector\}\\
&\ker(\phi_{A})=\{0\}
\quad\text{(siehe \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}\\
&\textoverset{($\ast$)}{\Longleftrightarrow}
&\ker(\phi_{A})=\{\zerovector\}\\
&\dim(\ker(\phi_{A}))=0\\
&\textoverset{Dimensionsformel}{\Longleftrightarrow}
&\dim(K^{n})-\dim(\rank(\phi_{A}))=0\\
&\Longleftrightarrow
&\dim(\rank(\phi_{A}))=n\\
&\eqcrefoverset{eq:2:beob:ueb:11:ex:2}{\Longleftrightarrow}
&\rank(A)=n\\
&\Longleftrightarrow
&\phi_{A}\,\text{injektiv}
\quad\text{(siehe \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}.\\
&\rank(A)\geq n.\\
\end{longmathe}
Hierbei gilt ($\ast$),
weil $\{\zerovector\}\subseteq\ker(\phi_{A})$ immer gilt,
weil wiederum $\phi_{A}(\zerovector)=\zerovector$ stets gilt (siehe \cite[Lemma~6.1.2]{sinn2020}).
Hierbei gilt ($\ast$), da $\ker(\phi_{A})$ ein linearer Unterraum von $K^{n}$ ist,
und da $\dim(U)=0\Leftrightarrow U=\{0\}$ für alle linearen Unterräume, $U\subseteq K^{n}$.
Und die letzte doppelte Implikation gilt,
weil laut \Cref{obs:1:ueb:11:ex:2} $\rank(A)\leq n$ stets gilt.
Den o.\,s. doppelten Implikationen zufolge gilt die Behauptung.
\end{proof}
@ -7561,7 +7513,7 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
Das heißt, $\phi_{A}$ ist injektiv und surjektiv.
Aus den anderen Teilaufgaben folgt
$\rank(A)\geq\max\{m,n\}$.
Darum gilt $\max\{m,n\}\rank(A)\leq\min\{m,n\}$
Darum gilt $\max\{m,n\}\leq\rank(A)\leq\min\{m,n\}$
(siehe \Cref{obs:1:ueb:11:ex:2}).
Folglich gelten $m=n$ und $\rank(A)=m=n$.

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