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@ -5,7 +5,7 @@ Für die Klausurvorbereitung.
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## Verschiedene Fragen über Dim ## |
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1. Sei V ein Vektorraum und 0 ∈ V der Nullvektor. Was ist dim({0}) ? |
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2. Sei V ein Vektorraum und u1,u2,u3,u4 ∈ V. Was sind mögliche Werte von dim(lin{u1,u2,u3,u4}) ? |
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2. Sei V ein Vektorraum und u₁, u₂, u₃, u₄ ∈ V. Was sind mögliche Werte von dim(lin{u₁, u₂, u₃, u₄}) ? |
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3. Gib die Dimensionsformel für Vektorräume an. |
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4. Seien W ein Vektorraum und U, V ⊆ W lineare Unterräume. |
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Angenommen, dim(W) = 10 und dim(U) = 6 und dim(V) = 8. |
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@ -35,13 +35,15 @@ In jedem der Aufgaben (ohne sie die Beweise komplett auszuführen), bestimme,
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### Aufgabe 1. ### |
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Sei W ein Vektorraum über einem Körper, K. |
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Seien U, V lineare Unterräume von W. |
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Zeige, dass U ∩ V ein lineare Unterraum von W ist. |
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### Aufgabe 2. ### |
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Sei ψ : U ⟶ U eine lineare Abbildung, wobei U ein Vektorraum über Körper K ist. |
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Sei λ ∈ K. |
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Ein Vektor, x, heißt _Eigenvektor_ mit _Eigenwert_ λ, wenn ψ(x) = λx. |
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Ein Vektor, x, heißt Eigenvektor mit Eigenwert λ, wenn ψ(x) = λx. |
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Zeige, dass ρ genau dann einen Eigenvektor mit Eigenwert λ besitzt, wenn dim(Kern(ψ - λ)) > 0. |
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### Aufgabe 2. ### |
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Sei W ein Vektorraum über einem Körper, K. |
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Seien U, V lineare Unterräume von W. |
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Zeige, dass U ∩ V ein lineare Unterraum von W ist. |
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(_Hier bezeichnet ψ - λ die lineare Abbildung V ⟶ V, x ⟼ ψ(x) - λx._) |
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