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      notes/selbstkontrollenaufgaben.md

@ -5,7 +5,7 @@ Für die Klausurvorbereitung.
## Verschiedene Fragen über Dim ##
1. Sei V ein Vektorraum und 0 ∈ V der Nullvektor. Was ist dim({0}) ?
2. Sei V ein Vektorraum und u1,u2,u3,u4 ∈ V. Was sind mögliche Werte von dim(lin{u1,u2,u3,u4}) ?
2. Sei V ein Vektorraum und u₁, u₂, u₃, u₄ ∈ V. Was sind mögliche Werte von dim(lin{u₁, u₂, u₃, u₄}) ?
3. Gib die Dimensionsformel für Vektorräume an.
4. Seien W ein Vektorraum und U, V ⊆ W lineare Unterräume.
Angenommen, dim(W) = 10 und dim(U) = 6 und dim(V) = 8.
@ -35,13 +35,15 @@ In jedem der Aufgaben (ohne sie die Beweise komplett auszuführen), bestimme,
### Aufgabe 1. ###
Sei W ein Vektorraum über einem Körper, K.
Seien U, V lineare Unterräume von W.
Zeige, dass U ∩ V ein lineare Unterraum von W ist.
### Aufgabe 2. ###
Sei ψ : U ⟶ U eine lineare Abbildung, wobei U ein Vektorraum über Körper K ist.
Sei λ ∈ K.
Ein Vektor, x, heißt _Eigenvektor_ mit _Eigenwert_ λ, wenn ψ(x) = λx.
Ein Vektor, x, heißt Eigenvektor mit Eigenwert λ, wenn ψ(x) = λx.
Zeige, dass ρ genau dann einen Eigenvektor mit Eigenwert λ besitzt, wenn dim(Kern(ψ - λ)) > 0.
### Aufgabe 2. ###
Sei W ein Vektorraum über einem Körper, K.
Seien U, V lineare Unterräume von W.
Zeige, dass U ∩ V ein lineare Unterraum von W ist.
(_Hier bezeichnet ψ - λ die lineare Abbildung V ⟶ V, x ⟼ ψ(x) - λx._)

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