master > master: ÜB11-2(a) küzerer Beweis mittels Dimensionsformel
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@ -7404,20 +7404,20 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
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}_{\text{Spaltenraum von $A$}}.\\
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\end{mathe}
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Insbesondere gilt per des Ranges und \cite[Lemma 5.4.7]{sinn2020}
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Insbesondere gilt per des Definition des Rangs,
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und da laut \cite[Lemma 5.4.7]{sinn2020} Rang = Spaltenrang,
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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\eqtag[eq:2:beob:ueb:11:ex:2]
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\rank(A)
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&\textoverset{Lemm}{=}
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&\text{Spaltenrang}(A)\\
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&\textoverset{Defn}{=}
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&\dim(\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\})\\
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&\dim(\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\})
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&\eqcrefoverset{eq:1:beob:ueb:11:ex:2}{=}
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&\dim(\range(\phi_{A})).\\
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\end{mathe}
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Darum gilt die Behauptung.
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\nvraum{1}
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\end{obs}
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\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
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@ -7430,80 +7430,32 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
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\end{schattierteboxdunn}
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\begin{proof}
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Für diesen Beweis machen wir von den Berechnungen in \cref{obs:2:ueb:11:ex:2} Gebrauch.
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Wir inspizieren den linearen Unterraum
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\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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W &:= &\range(\phi_{A}) &= &\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\}\subseteq K^{m}\\
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\end{mathe}
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Offensichtlich ist $\cal{W}:=(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})$ ein Erzeugendensystem für $W$, sodass $\dim(W)\leq n$ gilt.
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Des Weiteren gelten die Implikationen:
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\eqtag[eq:1:ueb:11:ex:2:a]
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\dim(W)\geq n
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&\Longrightarrow
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&\dim(W)=n\quad\text{(da $\dim(W)\leq n$ sowieso)}\\
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&\Longrightarrow
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&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{linear unabhängig}\\
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&&\quad\text{laut \cite[Korollar~5.4.4]{sinn2020}}\\
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&&\quad\text{und da $\cal{W}$ ein Erzsys. aus $n=\dim(W)$ Vektoren}\\
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&\Longrightarrow
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&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{eine Basis für $W$}\\
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&&\quad\text{da $\cal{W}$ sowieso ein Erzeugendensystem für $W$ ist}\\
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&\Longrightarrow
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&\dim(W)=n\\
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&\Longrightarrow
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&\dim(W)\geq n\quad\text{(offensichtlich)}.\\
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\end{mathe}
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Da nun
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$\rank(A)\eqcrefoverset{eq:2:beob:ueb:11:ex:2}{=}\dim(\range(\phi_{A}))=\dim(W)$,
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erhalten wir
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Für diesen Beweis machen wir von der Dimensionsformel für lineare Abbildungen
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(siehe \cite[6.1.10 Korollar]{sinn2020})
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Gebrauch.
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Es gilt
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\begin{longmathe}[mc]{RCL}
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\rank(A)\geq n
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\phi_{A}\,\text{injektiv}
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&\Longleftrightarrow
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&\dim(W)\geq n\\
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&\eqcrefoverset{eq:1:ueb:11:ex:2:a}{\Longleftrightarrow}
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&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{linear unabhängig}\\
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&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
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&\forall{c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}\in K:~}
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\big(
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\sum_{i=1}^{n}c_{i}w_{i}=\zerovector
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\Rightarrow
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c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}=0_{K}
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\big)\\
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&\Longleftrightarrow
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||||
&\forall{x\in K^{n}:~}
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||||
\big(
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||||
\underbrace{
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\sum_{i=1}^{n}x_{i}w_{i}
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}_{
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=Ax=\phi_{A}(x)
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}
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=\zerovector
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\Rightarrow
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x=\zerovector
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\big)\\
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&\Longleftrightarrow
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||||
&\forall{x\in K^{n}:~}
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||||
\big(
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||||
x\in\ker(\phi_{A})\Rightarrow x\in\{\zerovector\}
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\big)\\
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&\Longleftrightarrow
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||||
&\ker(\phi_{A})\subseteq\{\zerovector\}\\
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&\ker(\phi_{A})=\{0\}
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\quad\text{(siehe \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}\\
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&\textoverset{($\ast$)}{\Longleftrightarrow}
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&\ker(\phi_{A})=\{\zerovector\}\\
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||||
&\dim(\ker(\phi_{A}))=0\\
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||||
&\textoverset{Dimensionsformel}{\Longleftrightarrow}
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&\dim(K^{n})-\dim(\rank(\phi_{A}))=0\\
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&\Longleftrightarrow
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&\phi_{A}\,\text{injektiv}
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\quad\text{(siehe \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}.\\
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&\dim(\rank(\phi_{A}))=n\\
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&\eqcrefoverset{eq:2:beob:ueb:11:ex:2}{\Longleftrightarrow}
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&\rank(A)=n\\
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&\Longleftrightarrow
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&\rank(A)\geq n.\\
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\end{longmathe}
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Hierbei gilt ($\ast$),
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weil $\{\zerovector\}\subseteq\ker(\phi_{A})$ immer gilt,
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weil wiederum $\phi_{A}(\zerovector)=\zerovector$ stets gilt (siehe \cite[Lemma~6.1.2]{sinn2020}).
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Hierbei gilt ($\ast$), da $\ker(\phi_{A})$ ein linearer Unterraum von $K^{n}$ ist,
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und da $\dim(U)=0\Leftrightarrow U=\{0\}$ für alle linearen Unterräume, $U\subseteq K^{n}$.
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Und die letzte doppelte Implikation gilt,
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weil laut \Cref{obs:1:ueb:11:ex:2} $\rank(A)\leq n$ stets gilt.
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Den o.\,s. doppelten Implikationen zufolge gilt die Behauptung.
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\end{proof}
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@ -7561,7 +7513,7 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
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Das heißt, $\phi_{A}$ ist injektiv und surjektiv.
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Aus den anderen Teilaufgaben folgt
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$\rank(A)\geq\max\{m,n\}$.
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Darum gilt $\max\{m,n\}\rank(A)\leq\min\{m,n\}$
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Darum gilt $\max\{m,n\}\leq\rank(A)\leq\min\{m,n\}$
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(siehe \Cref{obs:1:ueb:11:ex:2}).
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Folglich gelten $m=n$ und $\rank(A)=m=n$.
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