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0eb67ad838
Binary file not shown.
@ -3365,8 +3365,8 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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\hraum
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Offensichtlich hat $(\Pot(C)\ohne\{\leer\},\subseteq)$ kein kleinstes Element.
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Die Menge der minimalen Elementen ist $\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$,
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d.\,h. es gibt $3$ minimale Elemente.
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Die Menge der minimalen Elementen ist durch $\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$ gegeben.
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Also gibt es $3$ minimale Elemente.
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%% SKA 4-5
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\let\altsectionname\sectionname
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@ -3387,12 +3387,9 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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w\sim w' &:\Longleftrightarrow &f(w)=f(w),
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\end{mathe}
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wobei
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\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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f &: &W &\to &\Sigma\\
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&: &w &\mapsto &\text{1. Buchstabe in $w$}\\
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\end{mathe}
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wobei $f:W\to\Sigma$ die Abbildung mit
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$f(w)=\text{1. Buchstabe in $w$}$
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für alle $w\in W$ ist.
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Dann per Konstruktion \uline{reduziert} $f$
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die Relation $(W,\sim)$ auf $(\Sigma,=)$.
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@ -3712,13 +3709,13 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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\textbf{Zu zeigen:} $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$ gilt.\\
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Es gilt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\begin{mathe}[mc]{rclql}
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|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|
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&= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}\times E_{n}|\\
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&= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}|\cdot|E_{n}|\\
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&&\text{da $\Phi(2)$ gilt}\\
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&= &\prod_{i=1}^{n-1}|E_{i}|\cdot|E_{n}|\\
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&&\text{wegen der IV}\\
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&= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}|\cdot|E_{n}|,
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&\text{da $\Phi(2)$ gilt}\\
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&= &\prod_{i=1}^{n-1}|E_{i}|\cdot|E_{n}|
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&\text{wegen der IV}\\
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&= &\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|.\\
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\end{mathe}
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@ -3781,17 +3778,17 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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sind $X\times Y'$ und $X\times\{y_{0}\}$ ebenfalls disjunkt.
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Es folgt
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\begin{longmathe}[mc]{RCL}
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\begin{longmathe}[mc]{RCLqL}
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|X\times Y|
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&= &|X\times (Y'\cup\{y_{0}\}|\\
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&= &|(X\times Y')\cup (X\times\{y_{0}\})|\\
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&= &|X\times Y'| + |X\times\{y_{0}\}|\\
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&&\text{wegen Disjunktheit}\\
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&= &|X|\cdot(n-1) + |X|\cdot 1\\
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&&\text{wegen des Falls für $1$-elementigen Mengen}\\
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&= &|X|\cdot n\\
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&&\text{wegen der rekursiven Definition von Multiplikation}\\
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&= &|X|\cdot |Y|,\\
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&= &|X\times Y'| + |X\times\{y_{0}\}|
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&\text{wegen Disjunktheit}\\
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&= &|X|\cdot(n-1) + |X|\cdot 1
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&\text{wegen Fall für $1$-elem. Mengen}\\
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&= &|X|\cdot n
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&\text{wegen rekursiver Defn von Multiplikation}\\
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&= &|X|\cdot |Y|.\\
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\end{longmathe}
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\end{kompaktenum}
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