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@ -1292,7 +1292,7 @@ gelten.
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3 &-6 &1 &13 &2\\ |
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-7 &14 &-1 &-32 &-9\\ |
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\end{smatrix}$ |
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über dem Körper ${K=\reell}$ ist. |
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über dem Körper $\reell$ ist. |
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\end{exer*} |
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\begin{soln*} |
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@ -1389,12 +1389,13 @@ gelten.
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\end{soln*} |
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\begin{rem*} |
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Es ist empfehlenwert hier zu überprüfen, |
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dass $A\mathbf{x}$ wirklich gleich $\zerovector$ für alle Basiselemente gilt. |
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Es wird hier empfohlen zu verifizieren, |
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dass $A\mathbf{x}$ wirklich gleich $\zerovector$ für alle Basiselemente gilt, |
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um zu überprüfen, dass unsere Lösung \emph{nicht offensichtlich falsch} ist. |
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\end{rem*} |
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\begin{exer*} |
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Bestimmen Sie den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über dem Körper $K=\reell$). |
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Bestimmen Sie den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über $\reell$). |
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\end{exer*} |
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\begin{soln*} |
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@ -1436,13 +1437,13 @@ gelten.
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\textbf{Zur Kontrolle:} Aus der letzten Teilaufgabe erhielten wir |
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eine Basis des Lösungsraums der Länge $2$, |
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d.\,h. $\dim(\ker(A))=2$, |
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und hier wurde eine Basis des Spaltenraums der Länge $3$, |
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und hier wurde eine Basis des Spaltenraums der Länge $3$ gefunden, |
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d.\,h. $\dim(\range(A))=3$. |
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Wir sehen dass $\dim(\ker(A))+\dim(\range(A))=5=\dim(\reell^{5})$, |
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sodass die Dimensionsformel für lineare Abbildungen erfüllt ist.\footnote{ |
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Das heißt nicht, dass unsere berechneten Basen deswegen richtig ist. |
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Das heißt nicht, dass unsere berechneten Basen deswegen richtig sind. |
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Dies ist lediglich zu kontrollieren, |
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dass unsere Basen »nicht offensichtlich falsch« sind. |
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dass unsere Berechnungen \emph{nicht offensichtlich falsch} sind. |
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} |
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\begin{rem*} |
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@ -1466,7 +1467,7 @@ gelten.
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3 &-6 &1 &13 &2\\ |
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-7 &14 &-1 &-32 &-9\\ |
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\end{smatrix}$ |
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über dem Körper ${K=\mathbb{F}_{7}}$ ist. |
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über dem Körper $\mathbb{F}_{7}$ ist. |
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\end{exer*} |
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\begin{soln*} |
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@ -1575,33 +1576,34 @@ gelten.
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Beachte hier, dass wir modulo $7$ berechnen sollen.\footnote{ |
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In \textbf{octave}, \textbf{python}, \textit{etc.} |
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benutzt man \texttt{\%} für Moduloberechnungen. |
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In \textbf{octave} kann auch direkt |
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\texttt{(A \* [2, 1, 0, 0, 0].') \% 7} |
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eingeben. |
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In \textbf{python} kann man |
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\texttt{(np.matmul(A, [2, 1, 0, 0, 0]) \% 7} |
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eingeben (wenn man vorher \textit{numpy} als \textit{np} konventionsgemäß importiert). |
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In \textbf{octave} gibt man bspw. |
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{\ttfamily (A \* [2, 1, 0, 0, 0].\textquotesingle) \% 7} |
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ein |
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und in \textbf{python} gibt man |
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{\ttfamily (np.matmul(A, [2, 1, 0, 0, 0]) \% 7} |
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ein (solange man konventionsgemäß numpy mittels \texttt{import numpy as np;} importiert). |
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} |
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Bei den o.\,s. Lösungen kommen |
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$% |
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\begin{mathe}[mc]{rclqcqrclcl} |
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A\cdot \begin{svector} 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector} |
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=\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector} |
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$ |
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und |
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$% |
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A\cdot \begin{svector} 4\\ 0\\ 3\\ 1\\ 0\\\end{svector} |
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=\begin{svector} 14\\ 28\\ -63\\\end{svector} |
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=\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector} |
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|
$ |
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&= &\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector} |
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&\text{und} |
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&A\cdot \begin{svector} 4\\ 0\\ 3\\ 1\\ 0\\\end{svector} |
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&= &\begin{svector} 14\\ 28\\ -63\\\end{svector} |
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&= &\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector} |
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\end{mathe} |
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raus, sodass wir erleichtert sein können, |
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dass unsere Basiselemente richtig sind. |
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(Ob die Größe der Basis stimmt, ist aber nicht damit überprüft. |
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Ob die Größe der Basis stimmt, ist aber nicht damit überprüft. |
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Da müssen wir einfach prüfen, dass die Zeilenstufenform richtig berechnet wurde, |
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um die Anzahl der Stufen und freien Variablen zu bestätigen.) |
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um die Anzahl der Stufen und freien Variablen zu bestätigen. |
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\end{rem*} |
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\begin{exer*} |
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Bestimmen den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über dem Körper $K=\mathbf{F}_{7}$). |
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Bestimmen Sie den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über $\mathbb{F}_{7}$). |
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\end{exer*} |
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\begin{soln*} |
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