raj_mathe/linalg2020
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@ -1292,7 +1292,7 @@ gelten.
3 &-6 &1 &13 &2\\ 3 &-6 &1 &13 &2\\
-7 &14 &-1 &-32 &-9\\ -7 &14 &-1 &-32 &-9\\
\end{smatrix}$ \end{smatrix}$
über dem Körper ${K=\reell}$ ist. über dem Körper $\reell$ ist.
\end{exer*} \end{exer*}
\begin{soln*} \begin{soln*}
@ -1389,12 +1389,13 @@ gelten.
\end{soln*} \end{soln*}
\begin{rem*} \begin{rem*}
Es ist empfehlenwert hier zu überprüfen, Es wird hier empfohlen zu verifizieren,
dass $A\mathbf{x}$ wirklich gleich $\zerovector$ für alle Basiselemente gilt. dass $A\mathbf{x}$ wirklich gleich $\zerovector$ für alle Basiselemente gilt,
um zu überprüfen, dass unsere Lösung \emph{nicht offensichtlich falsch} ist.
\end{rem*} \end{rem*}
\begin{exer*} \begin{exer*}
Bestimmen Sie den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über dem Körper $K=\reell$). Bestimmen Sie den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über $\reell$).
\end{exer*} \end{exer*}
\begin{soln*} \begin{soln*}
@ -1436,13 +1437,13 @@ gelten.
\textbf{Zur Kontrolle:} Aus der letzten Teilaufgabe erhielten wir \textbf{Zur Kontrolle:} Aus der letzten Teilaufgabe erhielten wir
eine Basis des Lösungsraums der Länge $2$, eine Basis des Lösungsraums der Länge $2$,
d.\,h. $\dim(\ker(A))=2$, d.\,h. $\dim(\ker(A))=2$,
und hier wurde eine Basis des Spaltenraums der Länge $3$, und hier wurde eine Basis des Spaltenraums der Länge $3$ gefunden,
d.\,h. $\dim(\range(A))=3$. d.\,h. $\dim(\range(A))=3$.
Wir sehen dass $\dim(\ker(A))+\dim(\range(A))=5=\dim(\reell^{5})$, Wir sehen dass $\dim(\ker(A))+\dim(\range(A))=5=\dim(\reell^{5})$,
sodass die Dimensionsformel für lineare Abbildungen erfüllt ist.\footnote{ sodass die Dimensionsformel für lineare Abbildungen erfüllt ist.\footnote{
Das heißt nicht, dass unsere berechneten Basen deswegen richtig ist. Das heißt nicht, dass unsere berechneten Basen deswegen richtig sind.
Dies ist lediglich zu kontrollieren, Dies ist lediglich zu kontrollieren,
dass unsere Basen »nicht offensichtlich falsch« sind. dass unsere Berechnungen \emph{nicht offensichtlich falsch} sind.
} }
\begin{rem*} \begin{rem*}
@ -1466,7 +1467,7 @@ gelten.
3 &-6 &1 &13 &2\\ 3 &-6 &1 &13 &2\\
-7 &14 &-1 &-32 &-9\\ -7 &14 &-1 &-32 &-9\\
\end{smatrix}$ \end{smatrix}$
über dem Körper ${K=\mathbb{F}_{7}}$ ist. über dem Körper $\mathbb{F}_{7}$ ist.
\end{exer*} \end{exer*}
\begin{soln*} \begin{soln*}
@ -1575,33 +1576,34 @@ gelten.
Beachte hier, dass wir modulo $7$ berechnen sollen.\footnote{ Beachte hier, dass wir modulo $7$ berechnen sollen.\footnote{
In \textbf{octave}, \textbf{python}, \textit{etc.} In \textbf{octave}, \textbf{python}, \textit{etc.}
benutzt man \texttt{\%} für Moduloberechnungen. benutzt man \texttt{\%} für Moduloberechnungen.
In \textbf{octave} kann auch direkt In \textbf{octave} gibt man bspw.
\texttt{(A \* [2, 1, 0, 0, 0].') \% 7} {\ttfamily (A \* [2, 1, 0, 0, 0].\textquotesingle) \% 7}
eingeben. ein
In \textbf{python} kann man und in \textbf{python} gibt man
\texttt{(np.matmul(A, [2, 1, 0, 0, 0]) \% 7} {\ttfamily (np.matmul(A, [2, 1, 0, 0, 0]) \% 7}
eingeben (wenn man vorher \textit{numpy} als \textit{np} konventionsgemäß importiert). ein (solange man konventionsgemäß numpy mittels \texttt{import numpy as np;} importiert).
} }
Bei den o.\,s. Lösungen kommen Bei den o.\,s. Lösungen kommen
$%
\begin{mathe}[mc]{rclqcqrclcl}
A\cdot \begin{svector} 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector} A\cdot \begin{svector} 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
=\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector} &= &\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
$ &\text{und}
und &A\cdot \begin{svector} 4\\ 0\\ 3\\ 1\\ 0\\\end{svector}
$% &= &\begin{svector} 14\\ 28\\ -63\\\end{svector}
A\cdot \begin{svector} 4\\ 0\\ 3\\ 1\\ 0\\\end{svector} &= &\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
=\begin{svector} 14\\ 28\\ -63\\\end{svector} \end{mathe}
=\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
$
raus, sodass wir erleichtert sein können, raus, sodass wir erleichtert sein können,
dass unsere Basiselemente richtig sind. dass unsere Basiselemente richtig sind.
(Ob die Größe der Basis stimmt, ist aber nicht damit überprüft.
Ob die Größe der Basis stimmt, ist aber nicht damit überprüft.
Da müssen wir einfach prüfen, dass die Zeilenstufenform richtig berechnet wurde, Da müssen wir einfach prüfen, dass die Zeilenstufenform richtig berechnet wurde,
um die Anzahl der Stufen und freien Variablen zu bestätigen.) um die Anzahl der Stufen und freien Variablen zu bestätigen.
\end{rem*} \end{rem*}
\begin{exer*} \begin{exer*}
Bestimmen den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über dem Körper $K=\mathbf{F}_{7}$). Bestimmen Sie den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über $\mathbb{F}_{7}$).
\end{exer*} \end{exer*}
\begin{soln*} \begin{soln*}