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@ -1292,7 +1292,7 @@ gelten.
3 &-6 &1 &13 &2\\
-7 &14 &-1 &-32 &-9\\
\end{smatrix}$
über dem Körper ${K=\reell}$ ist.
über dem Körper $\reell$ ist.
\end{exer*}
\begin{soln*}
@ -1389,12 +1389,13 @@ gelten.
\end{soln*}
\begin{rem*}
Es ist empfehlenwert hier zu überprüfen,
dass $A\mathbf{x}$ wirklich gleich $\zerovector$ für alle Basiselemente gilt.
Es wird hier empfohlen zu verifizieren,
dass $A\mathbf{x}$ wirklich gleich $\zerovector$ für alle Basiselemente gilt,
um zu überprüfen, dass unsere Lösung \emph{nicht offensichtlich falsch} ist.
\end{rem*}
\begin{exer*}
Bestimmen Sie den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über dem Körper $K=\reell$).
Bestimmen Sie den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über $\reell$).
\end{exer*}
\begin{soln*}
@ -1436,13 +1437,13 @@ gelten.
\textbf{Zur Kontrolle:} Aus der letzten Teilaufgabe erhielten wir
eine Basis des Lösungsraums der Länge $2$,
d.\,h. $\dim(\ker(A))=2$,
und hier wurde eine Basis des Spaltenraums der Länge $3$,
und hier wurde eine Basis des Spaltenraums der Länge $3$ gefunden,
d.\,h. $\dim(\range(A))=3$.
Wir sehen dass $\dim(\ker(A))+\dim(\range(A))=5=\dim(\reell^{5})$,
sodass die Dimensionsformel für lineare Abbildungen erfüllt ist.\footnote{
Das heißt nicht, dass unsere berechneten Basen deswegen richtig ist.
Das heißt nicht, dass unsere berechneten Basen deswegen richtig sind.
Dies ist lediglich zu kontrollieren,
dass unsere Basen »nicht offensichtlich falsch« sind.
dass unsere Berechnungen \emph{nicht offensichtlich falsch} sind.
}
\begin{rem*}
@ -1466,7 +1467,7 @@ gelten.
3 &-6 &1 &13 &2\\
-7 &14 &-1 &-32 &-9\\
\end{smatrix}$
über dem Körper ${K=\mathbb{F}_{7}}$ ist.
über dem Körper $\mathbb{F}_{7}$ ist.
\end{exer*}
\begin{soln*}
@ -1575,33 +1576,34 @@ gelten.
Beachte hier, dass wir modulo $7$ berechnen sollen.\footnote{
In \textbf{octave}, \textbf{python}, \textit{etc.}
benutzt man \texttt{\%} für Moduloberechnungen.
In \textbf{octave} kann auch direkt
\texttt{(A \* [2, 1, 0, 0, 0].') \% 7}
eingeben.
In \textbf{python} kann man
\texttt{(np.matmul(A, [2, 1, 0, 0, 0]) \% 7}
eingeben (wenn man vorher \textit{numpy} als \textit{np} konventionsgemäß importiert).
In \textbf{octave} gibt man bspw.
{\ttfamily (A \* [2, 1, 0, 0, 0].\textquotesingle) \% 7}
ein
und in \textbf{python} gibt man
{\ttfamily (np.matmul(A, [2, 1, 0, 0, 0]) \% 7}
ein (solange man konventionsgemäß numpy mittels \texttt{import numpy as np;} importiert).
}
Bei den o.\,s. Lösungen kommen
$%
\begin{mathe}[mc]{rclqcqrclcl}
A\cdot \begin{svector} 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
=\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
$
und
$%
A\cdot \begin{svector} 4\\ 0\\ 3\\ 1\\ 0\\\end{svector}
=\begin{svector} 14\\ 28\\ -63\\\end{svector}
=\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
$
&= &\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
&\text{und}
&A\cdot \begin{svector} 4\\ 0\\ 3\\ 1\\ 0\\\end{svector}
&= &\begin{svector} 14\\ 28\\ -63\\\end{svector}
&= &\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}
\end{mathe}
raus, sodass wir erleichtert sein können,
dass unsere Basiselemente richtig sind.
(Ob die Größe der Basis stimmt, ist aber nicht damit überprüft.
Ob die Größe der Basis stimmt, ist aber nicht damit überprüft.
Da müssen wir einfach prüfen, dass die Zeilenstufenform richtig berechnet wurde,
um die Anzahl der Stufen und freien Variablen zu bestätigen.)
um die Anzahl der Stufen und freien Variablen zu bestätigen.
\end{rem*}
\begin{exer*}
Bestimmen den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über dem Körper $K=\mathbf{F}_{7}$).
Bestimmen Sie den Spaltenraum von $A$ aus der letzten Aufgabe (noch über $\mathbb{F}_{7}$).
\end{exer*}
\begin{soln*}