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@ -76,6 +76,10 @@
%% — body/quizzes/quiz5.tex;
%% |
%% — body/quizzes/quiz6.tex;
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%% — body/quizzes/quiz8.tex;
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%% — back/index.tex;
%% |
@ -1386,7 +1390,7 @@
\noindent
\hraum{\footnotesize Raj Dahya}\hraum\\
\hraum{\small \itshape Fakultät für Mathematik und Informatik/Institut für Philosophie}\hraum\\
\hraum{\small \itshape Fakultät für Mathematik und Informatik}\hraum\\
\hraum{\small \itshape Universität Leipzig.}\hraum\\
\hraum{\small Wintersemester 2020/2021 }\hraum
\end{titlepage}
@ -1398,10 +1402,9 @@
\chapter*{Vorwort}
Dieses Dokument enthält Lösungsansätze zu den Übungsserien, Selbstkontrollenaufgaben, und Quizzes.
Diese werden natürlich \emph{nach} Abgabefristen hochgeladen
und dienen \emph{nicht} als Musterlösungen!
Diese werden natürlich \emph{nach} Abgabefristen hochgeladen.
Der Zweck dieser Lösungen ist es vielmehr, Ansätze zu präsentieren,
mit denen man seine \emph{eigenen} Versuche vergleichen kann.
mit denen man seine eigenen Versuche vergleichen kann.
%% ********************************************************************************
%% FILE: front/contents.tex
@ -3076,11 +3079,6 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\chapter[Woche 4]{Woche 4}
\label{ueb:4}
\textbf{ACHTUNG.}
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
%% AUFGABE 4-1
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
@ -3110,13 +3108,13 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
Sei $(a,b)\in X$ beliebig.
Sei $(a,b)\in X$ beliebig.\\
\textbf{Zu zeigen:} $(a,b)\sim(a,b)$.\\
Offensichtlich gilt $ab=ab$.\\
Per Konstruktion gilt also $(a,b)\sim(a,b)$.
\item[\uwave{{\itshape Symmetrie:}}]
Seien $(a,b),(a',b')\in X$ beliebig.
Seien $(a,b),(a',b')\in X$ beliebig.\\
\textbf{Zu zeigen:} ${(a,b)\sim(a',b')\Rightarrow(a',b')\sim(a,b)}$.\\
Es gilt
@ -3185,7 +3183,7 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
für $(a,b),(a',b')\in X$ definiert wird.
\begin{claim*}
$(X,\leq)$ ist ist eine Halbordnung aber \fbox{nicht total}.
$(X,\leq)$ ist eine partielle Ordnung aber \fbox{nicht total}.
\end{claim*}
\begin{proof}
@ -3193,7 +3191,7 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
Sei $(a,b)\in X$ beliebig.
Sei $(a,b)\in X$ beliebig.\\
\textbf{Zu zeigen:} $(a,b)\leq(a,b)$.\\
Offensichtlich gilt $a\leq a$ und $b\leq b$.\\
Per Konstruktion gilt also $(a,b)\leq(a,b)$.
@ -3254,7 +3252,7 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
\end{mathe}
\end{kompaktenum}
Darum erfüllt $(X,\leq)$ die Axiome einer Halbordnung.\\
Darum erfüllt $(X,\leq)$ die einer partiellen Ordnung.\\
Zum Schluss, beachte, dass $(0,1)$ und $(1,0)$ bzgl. $\leq$ unvergleichbar sind.
Darum ist $(X,\leq)$ nicht total.
\end{proof}
@ -3405,8 +3403,10 @@ für $a,b\in\intgr$.
Seien $q\in\intgr$ und $r\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ mit $qn+r=k$.
Da $k,r\in\{0,1,\ldots,n-1\}$,
gilt $qn=k-r\in\intgr\cap(-n,n)$.
Also muss $q=0$ gelten.
Also $r=k$.
Das heißt, $k-r$ ist eine durch $n$ teilbare ganze Zahl
in $(-n,n)$.
Die einzige solche Zahl ist $0$.
Also $k-r=0$.
Also $\modfn(k,n)=r=k$.
}
Also gilt $k\in\rho(\intgr/\lsim)$.
@ -3429,7 +3429,7 @@ für $a,b\in\intgr$.
&= &\{a\in\intgr \mid \modfn(a,n)=\modfn(k,n)\}\\
&= &\{a\in\intgr \mid \modfn(a,n)=k\}\\
&= &\{a\in\intgr \mid \exists{q\in\intgr:~}a=qn+k\}\\
&= &\{qn+r \mid q\in\intgr\}\\
&= &\{qn+k \mid q\in\intgr\}\\
&= &\intgr\cdot n + k.\\
\end{mathe}
@ -6046,11 +6046,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
Wir haben etwas ausführlicher gezeigt, dass die Menge $X'$ mindestens $n-1$ Goldfische enthält.
Wenn wir $\tilde{x}:=x_{0}$ wählen entspricht dies der Größe des Schnitts $X_{0}\cap X_{1}$.
Das \uline{Diagramm} mag andeuten, dass dieser Schnitt nicht leer ist, aber das Diagramm täuscht.
Im Induktionsschritt setzen wir nur voraus, dass $n\geq 1$.
Darum ist $n-1>0$ nur garantiert, wenn stattdessen $n'\geq 2$ vorausgesetzt wird.
Wir brauchen $n\geq 2$, damit der Schnitt nicht leer ist.
Aber im Induktionsschritt wird nur $n\geq 1$ vorausgesetzt.
Das heißt das Induktionsargument ist faul,
weil der Schritt $1\rightsquigarrow 2$ implizit übersprungen wird.
Kurzgesagt, das heißt das Induktionsargument ist faul,
\fbox{weil der Schritt $1\rightsquigarrow 2$ implizit übersprungen wird}.
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/ska/ska5.tex
@ -7612,6 +7612,222 @@ Wir betrachten die Komposition ${g\circ f:X\to Z}$
\end{proof}
\end{enumerate}
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/quizzes/quiz7.tex
%% ********************************************************************************
\setcounternach{chapter}{7}
\chapter[Woche 7]{Woche 7}
\label{quiz:7}
\begin{enumerate}{\bfseries 1.}
\item
\begin{defn*}
Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$.
Seien $\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n}\in V$.
Die Vektoren, $\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n}$,
heißen dann
\textbf{linear unabhängig},
wenn für alle Skalare, $c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}\in K$,
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\sum_{i=1}^{n}c_{i}\cdot\mathbf{v}_{i}=\zerovector
&\Longrightarrow
&\forall{i\in\{1,2,\ldots,n\}:~}c_{i}=0_{K}
\end{mathe}
gilt.
\end{defn*}
\item
\begin{claim*}
Seien
\begin{mathe}[mc]{rclqrclqrcl}
\mathbf{v}_{1} &= &\begin{svector}1\\2\\2\\\end{svector}
&\mathbf{v}_{2} &= &\begin{svector}0\\2\\1\\\end{svector}
&\mathbf{v}_{3} &= &\begin{svector}2\\1\\1\\\end{svector}\\
\end{mathe}
Vektoren im Vektorraum $\mathbb{F}_{5}^{3}$ über dem Körper $\mathbb{F}_{5}$.
Diese Vektoren sind linear unabhängig.
\end{claim*}
\begin{proof}
Laut Satz \cite[Satz~5.2.4]{sinn2020} sind die Vektoren,
$\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}$,
dann linear unabhängig, wenn $A\mathbf{x}=\zerovector$
nur die Triviallösung hat, wobei
\begin{mathe}[mc]{rcl}
A &= &\begin{matrix}{ccc}
1 &0 &2\\
2 &2 &1\\
2 &1 &1\\
\end{matrix}.\\
\end{mathe}
Wir lösen also das homogene System:
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
Zeilenoperationen
${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2} - 2\cdot Z_{1}}$
und
${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} - 2\cdot Z_{1}}$
anwenden:\footnotemark[ft:1:aufg:2:quiz:8]
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{matrix}{ccc}
1 &0 &2\\
0 &2 &2\\
0 &1 &2\\
\end{matrix}.\\
\end{mathe}
Zeilenoperation
${Z_{3}\leftsquigarrow 2\cdot Z_{3} - Z_{2}}$
anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{matrix}{ccc}
1 &0 &2\\
0 &2 &2\\
0 &0 &2\\
\end{matrix}.\\
\end{mathe}
\end{algorithm}
\footnotetext[ft:1:aufg:2:quiz:8]{
Beachte, dass wir im Körper $\mathbb{F}_{5}$ d.\,h. modulo 5 berechnen.
}
Aus der Zeilenstufenform geht hervor,
dass es keine freien unbekannten gibt und insbesondere,
dass das homogene System nur die Triviallösung besitzt.
Darum sind die Vektoren linear unabhängig.
\end{proof}
\end{enumerate}
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/quizzes/quiz8.tex
%% ********************************************************************************
\setcounternach{chapter}{8}
\chapter[Woche 8]{Woche 8}
\label{quiz:8}
\begin{claim*}
Sei $V$ ein Vektorraum über Körper $K$
und seien $U_{1},U_{2}\subseteq V$ lineare Unterräume.
Dann gilt
\begin{mathe}[bc]{rcl}
U_{1}+U_{2} = U_{2}
&\Longleftrightarrow
&U_{1}\subseteq U_{2}.\\
\end{mathe}
\nvraum{1}
\end{claim*}
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
\begin{proof}
\hinRichtung Angenommen,
\begin{mathe}[bc]{rcl}
\eqtag[eq:1:quiz:8]
U_{1}+U_{2} &= &U_{2}.\\
\end{mathe}
\textbf{Zu zeigen:} $U_{1}\subseteq U_{2}$.
Da jeder lineare Unterraum den Nullvektor enthält
(siehe \cite[Lemma~1.4.2]{sinn2020}), gilt
\begin{mathe}[bc]{rcccccl}
U_{1}
&=
&U_{1}
+\underbrace{
\{\zerovector\}
}_{\subseteq U_{2}}
&\subseteq
&U_{1}+U_{2}
&\eqcrefoverset{eq:1:quiz:8}{=}
&U_{2}.\\
\end{mathe}
\herRichtung Angenommen, $U_{1}\subseteq U_{2}$.
\textbf{Zu zeigen:} $U_{1}+U_{2}=U_{2}$.\\
Für Mengengleichheit teilen wir dies in zwei Teile auf:
\BeweisRichtung[$\supseteq$] \textbf{Zu zeigen:} $U_{2}\subseteq U_{1}+U_{2}$.
Da jeder lineare Unterraum den Nullvektor enthält,
\begin{mathe}[bc]{rcccl}
U_{2}
&=
&\underbrace{
\{\zerovector\}
}_{\subseteq U_{1}}
+U_{2}
&\subseteq
&U_{1}+U_{2}\\
\end{mathe}
\BeweisRichtung[$\subseteq$] \textbf{Zu zeigen:} $U_{1}+U_{2}\subseteq U_{2}$.
Es gilt:
\begin{mathe}[bc]{rcl}
U_{1}+U_{2}
&\subseteq &U_{2}+U_{2},
\quad\text{da per Annahme $U_{1}\subseteq U_{2}$}\\
&\subseteq
&U_{2},
\quad\text{da als Vektorraum $U_{2}$ unter Addition stabil ist}.\\
\end{mathe}
\end{proof}
\end{einzug}
\begin{rem*}
In diesem Beweis haben wir mit mengenweise Operationen gearbeitet.
Z.\,B. aus $\{\zerovector\}\subseteq U_{1}$
folgt $\{\zerovector\}+U_{2}\subseteq U_{1}+U_{2}$;
und aus $U_{1}\subseteq U_{2}$
folgt $U_{1}+U_{2}\subseteq U_{2}+U_{2}$.
Diese Implikationen haben nichts mit linearer Algebra zu tun.
Sie sind rein mengentheoretische Ergebnisse und lassen sich
allgemein folgendermaßen zeigen:
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
A\star B
&= &\{a\star b\mid a\in A,\,b\in B\}
&\subseteq &\{a\star b\mid a\in A',\,b\in B\}
&= &A'\star B\\
\end{mathe}
für alle Mengen, $A,A',B$ mit $A\subseteq A'$
und alle Operationen $\star$ definiert auf $A'\times B$.
Gebrauch machten wir auch von
\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
U + \{\zerovector\}
&= &\{u+v\mid u\in U,\,v\in\{\zerovector\}\}
&= &\{u+\zerovector\mid u\in U\}
&= &\{u\mid u\in U\}
&= &U\\
\end{mathe}
für alle Teilmengen, $U\subseteq V$, und von
\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
U+U
&= &\{\underbrace{u+v}_{\in U}\mid u\in U,\,v\in U\}
&\subseteq &U\\
\end{mathe}
für alle linearen Unterräume, $U\subseteq V$.
\end{rem*}
%% ********************************************************************************
%% FILE: back/index.tex
%% ********************************************************************************
@ -7627,12 +7843,7 @@ Wir betrachten die Komposition ${g\circ f:X\to Z}$
%% FILE: ./back/quelle.bib
%% ********************************************************************************
\begin{thebibliography}{EFT18}
\bibitem[EFT18]{ebbinghaus2018}
Heinz-Dieter Ebbinghaus, J\"org Flum, and Wolfgang Thomas.
\newblock {\em {Einf\"uhrung in die mathematische Logik}}.
\newblock 2018.
\begin{thebibliography}{Wal16}
\bibitem[Jec97]{jech1997}
Thomas Jech.

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