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@ -65,6 +65,8 @@ |
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%% | |
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%% ---- body/uebung/ueb10.tex; |
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%% | |
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|
|
%% ---- body/uebung/ueb11.tex; |
|
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%% | |
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|
%% ---- body/ska/ska4.tex; |
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|
|
|
%% | |
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|
%% ---- body/ska/ska5.tex; |
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@ -745,6 +747,7 @@ |
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|
\ranewthm{defn}{Definition}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
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|
\ranewthm{conv}{Konvention}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
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|
\ranewthm{obs}{Beobachtung}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
|
|
|
\ranewthm{e.g.}{Beipsiel}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
|
|
|
\ranewthm{fact}{Fakt}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
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|
|
|
\ranewthm{rem}{Bemerkung}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
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|
@ -7154,6 +7157,768 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve |
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|
nähert als ${a\longrightarrow 0}$ in $\reell$, was zu erwarten ist. |
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|
\end{enumerate} |
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%% ******************************************************************************** |
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|
%% FILE: body/uebung/ueb11.tex |
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%% ******************************************************************************** |
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|
\setcounternach{chapter}{11} |
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\chapter[Woche 11]{Woche 11} |
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\label{ueb:11} |
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|
\textbf{ACHTUNG.} |
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Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz. |
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Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird. |
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Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann. |
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%% AUFGABE 11-1 |
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\let\altsectionname\sectionname |
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\def\sectionname{Aufgabe} |
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|
\section[Aufgabe 1]{} |
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|
\label{ueb:11:ex:1} |
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|
\let\sectionname\altsectionname |
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|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)} |
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%% AUFGABE 11-1(a) |
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|
\item |
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|
Sei $A:=\begin{smatrix} |
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|
1 &2 &3 &4\\ |
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|
2 &5 &4 &11\\ |
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|
-1 &-2 &-2 &1\\ |
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|
|
1 &3 &2 &13\\ |
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|
|
\end{smatrix}$, |
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eine ${m\times n}$-Matrix über dem Körper $\rtnl$, |
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mit $m=n=4$. |
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Um zu bestimmen, ob $A$ invertierbar ist, |
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bestimmen wir die Zeilenstufenform. |
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Dabei augmentieren wir $A$ mit der ${4\times 4}$-Identitätsmatrix, |
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|
um im Falle der Invertierbarkeit das Inverse von $A$ mit zu rechnen. |
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|
\begin{longmathe}[mc]{RCL} |
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|
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|
&\begin{matrix}{rrrr|rrrr} |
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|
|
1 &2 &3 &4 &1 &0 &0 &0\\ |
|
|
|
|
2 &5 &4 &11 &0 &1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
-1 &-2 &-2 &1 &0 &0 &1 &0\\ |
|
|
|
|
1 &3 &2 &13 &0 &0 &0 &1\\ |
|
|
|
|
\end{matrix}\\ |
|
|
|
|
\xrightarrow{ |
|
|
|
|
\substack{ |
|
|
|
|
Z_{2}\mapsfrom Z_{2} - 2\cdot Z_{1}\\ |
|
|
|
|
Z_{3}\mapsfrom Z_{3} + Z_{1}\\ |
|
|
|
|
Z_{4}\mapsfrom Z_{4} - Z_{1}\\ |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrrr|rrrr} |
|
|
|
|
1 &2 &3 &4 &1 &0 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &1 &-2 &3 &-2 &1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &1 &5 &1 &0 &1 &0\\ |
|
|
|
|
0 &1 &-1 &9 &-1 &0 &0 &1\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
\xrightarrow{ |
|
|
|
|
\substack{ |
|
|
|
|
Z_{1}\mapsfrom Z_{1} - 2\cdot Z_{2}\\ |
|
|
|
|
Z_{4}\mapsfrom Z_{4} - Z_{2}\\ |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrrr|rrrr} |
|
|
|
|
1 &0 &7 &-2 &5 &-2 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &1 &-2 &3 &-2 &1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &1 &5 &1 &0 &1 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &1 &6 &1 &-1 &0 &1\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
\xrightarrow{ |
|
|
|
|
\substack{ |
|
|
|
|
Z_{1}\mapsfrom Z_{1} - 7\cdot Z_{3}\\ |
|
|
|
|
Z_{2}\mapsfrom Z_{2} + 2\cdot Z_{3}\\ |
|
|
|
|
Z_{4}\mapsfrom Z_{4} - Z_{3}\\ |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrrr|rrrr} |
|
|
|
|
1 &0 &0 &-37 &-2 &-2 &-7 &0\\ |
|
|
|
|
0 &1 &0 &13 &0 &1 &2 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &1 &5 &1 &0 &1 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &0 &1 &0 &-1 &-1 &1\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
\xrightarrow{ |
|
|
|
|
\substack{ |
|
|
|
|
Z_{1}\mapsfrom Z_{1} + 37\cdot Z_{4}\\ |
|
|
|
|
Z_{2}\mapsfrom Z_{2} - 13\cdot Z_{4}\\ |
|
|
|
|
Z_{3}\mapsfrom Z_{3} - 5\cdot Z_{4}\\ |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrrr|rrrr} |
|
|
|
|
1 &0 &0 &0 &-2 &-39 &-44 &37\\ |
|
|
|
|
0 &1 &0 &0 &0 &14 &15 &-13\\ |
|
|
|
|
0 &0 &1 &0 &1 &5 &6 &-5\\ |
|
|
|
|
0 &0 &0 &1 &0 &-1 &-1 &1\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
\end{longmathe} |
|
|
|
|
|
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|
Also gilt ${\rank(A)=4=m=n}$. |
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|
|
|
Darum ist $A$ invertierbar.\\ |
|
|
|
|
Der o.\,s. Berechnung zufolge gilt insbesondere |
|
|
|
|
\fbox{$A^{-1}=\begin{smatrix} |
|
|
|
|
-2 &-39 &-44 &37\\ |
|
|
|
|
0 &14 &15 &-13\\ |
|
|
|
|
1 &5 &6 &-5\\ |
|
|
|
|
0 &-1 &-1 &1\\ |
|
|
|
|
\end{smatrix}$}. |
|
|
|
|
|
|
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|
%% AUFGABE 11-1(b) |
|
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|
|
\item |
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|
|
|
|
|
|
Sei $A:=\begin{smatrix} |
|
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|
|
0 &0 &1\\ |
|
|
|
|
1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &1 &0\\ |
|
|
|
|
\end{smatrix}$. |
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|
|
|
\textbf{Zu bestimmen:} Eine Darstellung von $A$ als Produkt aus Elementarmatrizen des III. Typs. |
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|
\textbf{Ansatz:} |
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|
Wir bestimmen mittels Zeilenoperationen |
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|
Elementarmatrizen, $E_{1},E_{2},\ldots,E_{N}$, vom Typ III |
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|
so dass |
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|
${E_{n}\cdot\ldots \cdot E_{2}\cdot E_{1}\cdot A=\onematrix}$, |
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|
|
wobei {$\onematrix = $ die ${3\times 3}$-Identitätsmatrix}, |
|
|
|
|
und daraus erhalten wir die Darstellung, |
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|
|
|
${A=E_{1}^{-1}\cdot E_{2}^{-1}\cdot\ldots\cdot E_{N}^{-1}}$. |
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|
Man beachte dabei, dass das Inverse einer Elementarmatrix III. Typs |
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|
|
|
wiederum eine Elementarmatrix III. Typs bleibt. |
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|
Zeilenoperationen: |
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\begin{mathe}[mc]{rclclc} |
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|
\begin{matrix}{rrr} |
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|
|
|
0 &0 &1\\ |
|
|
|
|
1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &1 &0\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
&\xrightarrow{E_{1}:=S_{1,2}(+1)} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrr} |
|
|
|
|
1 &0 &1\\ |
|
|
|
|
1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &1 &0\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
&\xrightarrow{E_{2}:=S_{2,1}(-1)} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrr} |
|
|
|
|
1 &0 &1\\ |
|
|
|
|
0 &0 &-1\\ |
|
|
|
|
0 &1 &0\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
&\cdots |
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
\cdots |
|
|
|
|
&\xrightarrow{E_{3}:=S_{1,2}(+1)} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrr} |
|
|
|
|
1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &-1\\ |
|
|
|
|
0 &1 &0\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
&\xrightarrow{E_{4}:=S_{2,3}(+1)} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrr} |
|
|
|
|
1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &1 &-1\\ |
|
|
|
|
0 &1 &0\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
&\cdots |
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
\cdots |
|
|
|
|
&\xrightarrow{E_{5}:=S_{3,2}(-1)} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrr} |
|
|
|
|
1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &1 &-1\\ |
|
|
|
|
0 &0 &1\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
&\xrightarrow{E_{6}:=S_{2,3}(+1)} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrr} |
|
|
|
|
1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &1 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &1\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
.\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Also gilt ${E_{6}\cdot\ldots\cdot E_{2}\cdot E_{1}\cdot A=\onematrix}$. |
|
|
|
|
Daraus erhalten wir die Darstellung: |
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|
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|
|
|
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|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
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|
|
A &= &(E_{6}\cdot\ldots\cdot E_{2}\cdot E_{1})^{-1}\\ |
|
|
|
|
&= &E_{1}^{-1}\cdot E_{2}^{-1}\cdot\ldots\cdot E_{6}^{-1} |
|
|
|
|
\quad\text{(siehe \cite[Lemma~4.3.1(7)~od.~Lemma~6.3.2]{sinn2020})}\\ |
|
|
|
|
&= &S_{1,2}(+1)^{-1}\cdot S_{2,1}(-1)^{-1}\cdot S_{1,2}(+1)^{-1}\cdot S_{2,3}(+1)^{-1}\cdot S_{3,2}(-1)^{-1}\cdot S_{2,3}(+1)^{-1}\\ |
|
|
|
|
&= &\boxed{S_{1,2}(-1)\cdot S_{2,1}(+1)\cdot S_{1,2}(-1)\cdot S_{2,3}(-1)\cdot S_{3,2}(+1)\cdot S_{2,3}(-1)}.\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% AUFGABE 11-2 |
|
|
|
|
\clearpage |
|
|
|
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
|
|
|
\def\sectionname{Aufgabe} |
|
|
|
|
\setcounternach{section}{2} |
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|
|
|
\section[Aufgabe 2]{} |
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|
|
|
\label{ueb:11:ex:2} |
|
|
|
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
|
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|
|
Seien $m,n\in\ntrl$ und $K$ ein Körper und $A$ eine ${m\times n}$-Matrix. |
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|
Wir betrachten die kanonisch definierte lineare Abbildung, |
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|
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|
${\phi_{A}:K^{n}\to K^{m},\,x\mapsto Ax}$, |
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und wollen \cite[Korollar~6.3.15]{sinn2020} hier beweisen. |
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|
Zunächst aber machen wir ein paar allgemeine Beobachtungen. |
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|
\begin{obs} |
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|
|
\makelabel{obs:1:ueb:11:ex:2} |
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|
|
Per Definition und laut \cite[Lemma~5.4.7]{sinn2020} |
|
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|
|
gilt $\rank(A):=\text{Zeilenrang}\textoverset{Lemm}{=}\text{Spaltenrang}$. |
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|
|
|
Somit automatisch $\rank(A)\leq m$ und $\rank(A)\leq n$. |
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|
|
|
Darum gilt stets $\rank(A)\leq\min\{m,n\}$. |
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|
|
|
\end{obs} |
|
|
|
|
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|
|
\begin{obs} |
|
|
|
|
\makelabel{obs:2:ueb:11:ex:2} |
|
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|
|
Seien $w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\in K^{m}$ die Spalten von $A$. |
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|
|
Dann gilt |
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|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
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|
|
\eqtag[eq:1:beob:ueb:11:ex:2] |
|
|
|
|
\range(\phi_{A}) |
|
|
|
|
&\textoverset{Defn}{=} |
|
|
|
|
&\{\phi_{A}(x)\mid x\in K^{n}\}\\ |
|
|
|
|
&= &\{Ax\mid x\in K^{n}\}\\ |
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|
|
|
&= &\{\sum_{i=1}^{n}x_{i}w_{1}\mid x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\in K\}\\ |
|
|
|
|
&= &\underbrace{ |
|
|
|
|
\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\} |
|
|
|
|
}_{\text{Spaltenraum von $A$}}.\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Insbesondere gilt per des Ranges und \cite[Lemma 5.4.7]{sinn2020} |
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|
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|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
\eqtag[eq:2:beob:ueb:11:ex:2] |
|
|
|
|
\rank(A) |
|
|
|
|
&\textoverset{Lemm}{=} |
|
|
|
|
&\text{Spaltenrang}(A)\\ |
|
|
|
|
&\textoverset{Defn}{=} |
|
|
|
|
&\dim(\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\})\\ |
|
|
|
|
&\eqcrefoverset{eq:1:beob:ueb:11:ex:2}{=} |
|
|
|
|
&\dim(\range(\phi_{A})).\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
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|
|
Darum gilt die Behauptung. |
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|
\end{obs} |
|
|
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|
|
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|
|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)} |
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|
%% AUFGABE 11-2(a) |
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|
\item\voritemise |
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|
|
\begin{schattierteboxdunn} |
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|
|
|
\begin{claim*} |
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|
|
|
$\phi_{A}$ ist injektiv $\Leftrightarrow$ $\rank(A)\geq n$. |
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|
|
|
\end{claim*} |
|
|
|
|
\end{schattierteboxdunn} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof} |
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|
|
Für diesen Beweis machen wir von den Berechnungen in \cref{obs:2:ueb:11:ex:2} Gebrauch. |
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|
|
|
Wir inspizieren den linearen Unterraum |
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|
\begin{mathe}[mc]{rcccl} |
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|
W &:= &\range(\phi_{A}) &= &\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\}\subseteq K^{m}\\ |
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|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Offensichtlich ist $\cal{W}:=(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})$ ein Erzeugendensystem für $W$, sodass $\dim(W)\leq n$ gilt. |
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|
Des Weiteren gelten die Implikationen: |
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|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
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|
\eqtag[eq:1:ueb:11:ex:2:a] |
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|
\dim(W)\geq n |
|
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|
|
&\Longrightarrow |
|
|
|
|
&\dim(W)=n\quad\text{(da $\dim(W)\leq n$ sowieso)}\\ |
|
|
|
|
&\Longrightarrow |
|
|
|
|
&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{linear unabhängig}\\ |
|
|
|
|
&&\quad\text{laut \cite[Korollar~5.4.4]{sinn2020}}\\ |
|
|
|
|
&&\quad\text{und da $\cal{W}$ ein Erzsys. aus $n=\dim(W)$ Vektoren}\\ |
|
|
|
|
&\Longrightarrow |
|
|
|
|
&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{eine Basis für $W$}\\ |
|
|
|
|
&&\quad\text{da $\cal{W}$ sowieso ein Erzeugendensystem für $W$ ist}\\ |
|
|
|
|
&\Longrightarrow |
|
|
|
|
&\dim(W)=n\\ |
|
|
|
|
&\Longrightarrow |
|
|
|
|
&\dim(W)\geq n\quad\text{(offensichtlich)}.\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
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Da nun |
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$\rank(A)\eqcrefoverset{eq:2:beob:ueb:11:ex:2}{=}\dim(\range(\phi_{A}))=\dim(W)$, |
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|
erhalten wir |
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\begin{longmathe}[mc]{RCL} |
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\rank(A)\geq n |
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|
&\Longleftrightarrow |
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|
&\dim(W)\geq n\\ |
|
|
|
|
&\eqcrefoverset{eq:1:ueb:11:ex:2:a}{\Longleftrightarrow} |
|
|
|
|
&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{linear unabhängig}\\ |
|
|
|
|
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow} |
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|
|
|
&\forall{c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}\in K:~} |
|
|
|
|
\big( |
|
|
|
|
\sum_{i=1}^{n}c_{i}w_{i}=\zerovector |
|
|
|
|
\Rightarrow |
|
|
|
|
c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}=0_{K} |
|
|
|
|
\big)\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\forall{x\in K^{n}:~} |
|
|
|
|
\big( |
|
|
|
|
\underbrace{ |
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|
|
\sum_{i=1}^{n}x_{i}w_{i} |
|
|
|
|
}_{ |
|
|
|
|
=Ax=\phi_{A}(x) |
|
|
|
|
} |
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|
|
=\zerovector |
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|
|
|
\Rightarrow |
|
|
|
|
x=\zerovector |
|
|
|
|
\big)\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\forall{x\in K^{n}:~} |
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|
|
|
\big( |
|
|
|
|
x\in\ker(\phi_{A})\Rightarrow x\in\{\zerovector\} |
|
|
|
|
\big)\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\ker(\phi_{A})\subseteq\{\zerovector\}\\ |
|
|
|
|
&\textoverset{($\ast$)}{\Longleftrightarrow} |
|
|
|
|
&\ker(\phi_{A})=\{\zerovector\}\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\phi_{A}\,\text{injektiv} |
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|
|
|
\quad\text{(siehe \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}.\\ |
|
|
|
|
\end{longmathe} |
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|
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|
Hierbei gilt ($\ast$), |
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|
weil $\{\zerovector\}\subseteq\ker(\phi_{A})$ immer gilt, |
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|
|
weil wiederum $\phi_{A}(\zerovector)=\zerovector$ stets gilt (siehe \cite[Lemma~6.1.2]{sinn2020}). |
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|
Den o.\,s. doppelten Implikationen zufolge gilt die Behauptung. |
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|
\end{proof} |
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|
%% AUFGABE 11-2(b) |
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|
\item\voritemise |
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|
\begin{schattierteboxdunn} |
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|
|
|
\begin{claim*} |
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|
$\phi_{A}$ ist surjektiv $\Leftrightarrow$ $\rank(A)\geq m$. |
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|
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|
\end{claim*} |
|
|
|
|
\end{schattierteboxdunn} |
|
|
|
|
|
|
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|
|
\begin{proof} |
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|
Da $\phi_{A}$ linear ist, |
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|
|
ist $U:=\range(\phi_{A})$ ein linearer Unterraum von $K^{m}$ |
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|
(siehe \cite[Lemma~6.1.3]{sinn2020}). |
|
|
|
|
Laut \cite[Satz~5.4.3(1)]{sinn2020}, |
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|
|
da $U\subseteq K^{m}$ ein linearer Unterraum eines endlichdimensionalen Vektorraumes ist, |
|
|
|
|
gilt $U=K^{m}$ $\Leftrightarrow$ $\dim(U)=\dim(K^{m})(=m)$. |
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|
|
|
Darum gilt |
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|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
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|
|
\phi_{A}~\text{surjektiv} |
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|
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow} |
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|
|
|
&\range(\phi_{A})=K^{m}\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&U=K^{m}\\ |
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|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\dim(U)=m\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\dim(\range(\phi_{A}))=m\\ |
|
|
|
|
&\eqcrefoverset{eq:2:beob:ueb:11:ex:2}{\Longleftrightarrow} |
|
|
|
|
&\rank(A)=m.\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Da laut \Cref{obs:1:ueb:11:ex:2} $\rank(A)\leq m$ stets gilt, |
|
|
|
|
wissen wir außerdem, dass $\rank(A)=m$ $\Leftrightarrow$ $\rank(A)\geq m$. |
|
|
|
|
Laut der o.\,s. Implikationen gilt also |
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|
$\phi_{A}$ ist surjektiv |
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|
|
|
$\Leftrightarrow$ $\rank(A)=m$ |
|
|
|
|
$\Leftrightarrow$ $\rank(A)\geq m$. |
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|
|
|
Also gilt die Behauptung. |
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|
\end{proof} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% AUFGABE 11-2(c) |
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|
\item\voritemise |
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|
\begin{schattierteboxdunn} |
|
|
|
|
\begin{claim*} |
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|
|
|
$\phi_{A}$ ist bijektiv $\Leftrightarrow$ $\rank(A)=m=n$. |
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|
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|
\end{claim*} |
|
|
|
|
\end{schattierteboxdunn} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof} |
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|
|
\hinRichtung |
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|
|
Angenommen, $\phi_{A}$ sei bijektiv. |
|
|
|
|
Das heißt, $\phi_{A}$ ist injektiv und surjektiv. |
|
|
|
|
Aus den anderen Teilaufgaben folgt |
|
|
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|
$\rank(A)\geq\max\{m,n\}$. |
|
|
|
|
Darum gilt $\max\{m,n\}\rank(A)\leq\min\{m,n\}$ |
|
|
|
|
(siehe \Cref{obs:1:ueb:11:ex:2}). |
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|
|
|
Folglich gelten $m=n$ und $\rank(A)=m=n$. |
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|
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|
|
|
|
\herRichtung |
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|
|
|
Aus $\rank(A)=m=n$ |
|
|
|
|
folgen $\rank(A)\geq m$ und $\rank(A)\geq n$. |
|
|
|
|
Laut der anderen Teilaufgaben ist $\phi_{A}$ |
|
|
|
|
somit injektiv und surjektiv, |
|
|
|
|
also bijektiv. |
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|
|
\end{proof} |
|
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% AUFGABE 11-3 |
|
|
|
|
\clearpage |
|
|
|
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
|
|
|
\def\sectionname{Aufgabe} |
|
|
|
|
\setcounternach{section}{3} |
|
|
|
|
\section[Aufgabe 3]{} |
|
|
|
|
\label{ueb:11:ex:3} |
|
|
|
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)} |
|
|
|
|
%% AUFGABE 11-3(a) |
|
|
|
|
\item\voritemise |
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|
|
|
\begin{schattierteboxdunn} |
|
|
|
|
\begin{claim*} |
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|
|
|
Seien $n\in\ntrl$ und $K$ ein Körper. |
|
|
|
|
Seien $A,B$ ${n\times n}$-Matrizen über $K$. |
|
|
|
|
Falls $AB=\onematrix$, so gilt $BA=\onematrix$. |
|
|
|
|
\end{claim*} |
|
|
|
|
\end{schattierteboxdunn} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof} |
|
|
|
|
Aus $AB=\onematrix$, folgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccl} |
|
|
|
|
\phi_{B}(x)=\phi_{B}(x') |
|
|
|
|
&\Longrightarrow |
|
|
|
|
&Bx=Bx' |
|
|
|
|
&\Longrightarrow |
|
|
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|
&x=Ix=ABx=ABx'=Ix'=x'\\ |
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|
|
|
\end{mathe} |
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|
|
|
|
|
|
|
|
für alle $x,x'\in K^{n}$. |
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|
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|
Darum ist $\phi_{B}$ injektiv. |
|
|
|
|
Da ${\phi_{B}:K^{n}\to K^{n}}$ eine injektive lineare Abbildung |
|
|
|
|
zwischen zwei endlich dimensionalen Räumen der gleichen Dimension, |
|
|
|
|
gilt laut \cite[Korollar~6.1.11]{sinn2020}, |
|
|
|
|
dass $\phi_{B}$ auch surjektiv und somit bijektiv ist. |
|
|
|
|
Darum existiert eine eindeutige (lineare) Abbildung, |
|
|
|
|
${\rho:K^{n}\to K^{n}}$, |
|
|
|
|
so dass ($\dagger$) $\rho\circ\phi_{B}=\phi_{B}\circ\rho=\id$. |
|
|
|
|
Daraus folgt, dass $\phi_{A}=\rho$, da |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rclclclclcl} |
|
|
|
|
\phi_{A} |
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|
|
|
&= &\phi_{A}\circ\id |
|
|
|
|
&\overset{(\dagger)}{=} |
|
|
|
|
&\phi_{A}\circ(\phi_{B}\circ\rho) |
|
|
|
|
&= &(\underbrace{ |
|
|
|
|
\phi_{A}\circ\phi_{B} |
|
|
|
|
}_{=\phi_{AB}=\phi_{\onematrix}=\id} |
|
|
|
|
)\circ\rho |
|
|
|
|
&= &\id\circ\rho |
|
|
|
|
&= &\rho. |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Darum gilt $\phi_{BA}=\phi_{B}\circ\phi_{A}=\phi_{B}\circ\rho\overset{(\dagger)}{=}\id=\phi_{\onematrix}$, |
|
|
|
|
woraus sich $BA=\onematrix$ ergibt. |
|
|
|
|
\end{proof} |
|
|
|
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|
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|
|
%% AUFGABE 11-3(b) |
|
|
|
|
\item\voritemise |
|
|
|
|
\begin{schattierteboxdunn} |
|
|
|
|
\begin{claim*} |
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|
|
|
Seien $r,n\in\ntrl$ und $K$ ein Körper. |
|
|
|
|
Seien $A$ eine ${n\times n}$-Matrix über $K$ mit $A^{r}=\zeromatrix$. |
|
|
|
|
Dann ist $\onematrix-A$ invertierbar. |
|
|
|
|
\end{claim*} |
|
|
|
|
\end{schattierteboxdunn} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof} |
|
|
|
|
Laut Teil (a) reicht es aus, eine ${n\times n}$-Matrix, $B$, zu finden, |
|
|
|
|
so dass $(\onematrix-A)B=\onematrix$. |
|
|
|
|
Wir untersuchen $B:=(\onematrix-A)\sum_{i=0}^{r-1}A^{i}$, |
|
|
|
|
wobei wir hier $A^{0}:=\onematrix$ festlegen.\footnote{ |
|
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|
Diese Definition ist nicht willkürlich, |
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|
sondern zielführend, um algebraische Identitäten |
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|
wie etwa das Additionsgesetz für Exponenten |
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|
zu garantieren. |
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} |
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|
Es gilt |
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|
\begin{longmathe}[mc]{RCL} |
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|
|
AB &= &(\onematrix-A)\sum_{i=0}^{r-1}A^{i}\\ |
|
|
|
|
&= &\sum_{i=0}^{r-1}A^{i}-A\sum_{i=0}^{r-1}A^{i}\\ |
|
|
|
|
&= &\sum_{i=0}^{r-1}A^{i}-\sum_{i=0}^{r-1}AA^{i}\\ |
|
|
|
|
&= &\sum_{i=0}^{r-1}A^{i}-\sum_{i=0}^{r-1}A^{i+1}\\ |
|
|
|
|
&= &\sum_{i=0}^{r-1}A^{i}-\sum_{i=1}^{r}A^{i}\\ |
|
|
|
|
&= &A^{0}-A^{r} |
|
|
|
|
\quad\text{(Teleskopsumme)}\\ |
|
|
|
|
&= &\onematrix-\zeromatrix |
|
|
|
|
\quad\text{(per Voraussetzung)}.\\ |
|
|
|
|
\end{longmathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Darum gilt $(\onematrix-A)B=\onematrix$ |
|
|
|
|
und damit laut Teil (a) $B(\onematrix-A)=\onematrix$. |
|
|
|
|
Insbesondere ist $\onematrix-A$ invertierbar, und zwar durch $B$. |
|
|
|
|
\end{proof} |
|
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% BONUSAUFGABE 11-4 |
|
|
|
|
\clearpage |
|
|
|
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
|
|
|
\def\sectionname{Bonusaufgabe} |
|
|
|
|
\setcounternach{section}{4} |
|
|
|
|
\section[Bonusaufgabe 4]{} |
|
|
|
|
\label{ueb:11:ex:bonus:4} |
|
|
|
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)} |
|
|
|
|
%% BONUSAUFGABE 11-4(a) |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
$f:\reell^{4}\to\reell^{2},\,(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\mapsto(x_{2},x_{4})$ |
|
|
|
|
über dem Körper $\reell$ |
|
|
|
|
ist \fbox{linear}, |
|
|
|
|
da $f=\phi_{A}$ mit $A=\begin{smatrix} |
|
|
|
|
0 &1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &0 &1\\ |
|
|
|
|
\end{smatrix}$. |
|
|
|
|
%% BONUSAUFGABE 11-4(b) |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
$f:\kmplx^{3}\to\kmplx^{3},\,(x_{1},x_{2},x_{3})\mapsto(x_{2},x_{4})$ |
|
|
|
|
über dem Körper $\kmplx$ |
|
|
|
|
ist \fbox{linear}, |
|
|
|
|
da $f=\phi_{A}$ mit $A=\begin{smatrix} |
|
|
|
|
2 &0 &0 &\imageinh\\ |
|
|
|
|
-1 &0 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &3-2\imageinh &1\\ |
|
|
|
|
\end{smatrix}$. |
|
|
|
|
%% BONUSAUFGABE 11-4(c) |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
$f:\rtnl^{2}\to\rtnl^{3},\,(x_{1},x_{2})\mapsto(x_{1}+x_{2},1,x_{1})$ |
|
|
|
|
über dem Körper $\rtnl$ |
|
|
|
|
ist \fbox{nicht linear}, |
|
|
|
|
weil $f(\zerovector)=(0,1,0)\neq\zerovector$, |
|
|
|
|
während $f(\zerovector)=\zerovector$ |
|
|
|
|
für lineare Abbildungen |
|
|
|
|
gelten muss (siehe \cite[Lemma~6.1.2]{sinn2020}). |
|
|
|
|
%% BONUSAUFGABE 11-4(d) |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
$f:\reell\to\reell,\,x\mapsto\sqrt{2}\cdot x$ |
|
|
|
|
über dem Körper $\reell$ |
|
|
|
|
ist \fbox{linear}, |
|
|
|
|
da $f$ hier nichts anders als Skalarmultiplikation ist, |
|
|
|
|
und Skalarmultiplikation ist linear. |
|
|
|
|
%% BONUSAUFGABE 11-4(e) |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
$f:\reell\to\reell,\,x\mapsto x^{2}$ |
|
|
|
|
über dem Körper $\reell$ |
|
|
|
|
ist \fbox{nicht linear}, |
|
|
|
|
da bspw. $f(3)=9\neq 3\cdot 1=3\cdot f(1)$, |
|
|
|
|
d.\,h., das Homogenitätsaxiom ist offensichtlich verletzt. |
|
|
|
|
%% BONUSAUFGABE 11-4(f) |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
$f:\mathbb{F}_{2}\to\mathbb{F}_{2},\,x\mapsto x^{2}$ |
|
|
|
|
über dem Körper $\mathbb{F}_{2}$ |
|
|
|
|
ist gleich der Identitätsabbbildung, |
|
|
|
|
da $x^{2}=x$ für alle $x\in\mathbb{F}_{2}$. |
|
|
|
|
Damit ist $f$ trivialerweise \fbox{linear}. |
|
|
|
|
%% BONUSAUFGABE 11-4(g) |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
$f:\rtnl^{2}\to\rtnl^{2},\,(x_{1},x_{2})\mapsto(x_{1}x_{2},x_{1}+x_{2})$ |
|
|
|
|
über dem Körper $\reell$ |
|
|
|
|
ist \fbox{nicht linear}, |
|
|
|
|
da bspw. $f(3,3)=(9,6)\neq 3\cdot(1,2)=3\cdot f(1,1)$, |
|
|
|
|
d.\,h., das Homogenitätsaxiom ist offensichtlich verletzt. |
|
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% BONUSAUFGABE 11-5 |
|
|
|
|
\clearpage |
|
|
|
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
|
|
|
\def\sectionname{Bonusaufgabe} |
|
|
|
|
\setcounternach{section}{5} |
|
|
|
|
\section[Bonusaufgabe 5]{} |
|
|
|
|
\label{ueb:11:ex:bonus:5} |
|
|
|
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sei $A:=\begin{smatrix} |
|
|
|
|
11 &-5 &4 &6\\ |
|
|
|
|
-15 &7 &-6 &-8\\ |
|
|
|
|
2 &-1 &1 &1\\ |
|
|
|
|
\end{smatrix}$, |
|
|
|
|
eine ${m\times n}$-Matrix über dem Körper $\rtnl$, |
|
|
|
|
mit $m=n=4$. |
|
|
|
|
Unser \textbf{Ziel} besteht darin, |
|
|
|
|
invertierbare Matrizen, |
|
|
|
|
$P\in\rtnl^{m\times m}$ |
|
|
|
|
und |
|
|
|
|
$Q\in\rtnl^{n\times n}$, |
|
|
|
|
zu bestimmen, |
|
|
|
|
so dass $P\cdot A\cdot Q=\begin{smatrix} |
|
|
|
|
\einser_{r} &0\\ |
|
|
|
|
0 &0\\ |
|
|
|
|
\end{smatrix}$ wie in \cite[Satz~6.3.10]{sinn2020}. |
|
|
|
|
Um eine Möglichkeit für $P$ zu bestimmen, |
|
|
|
|
berechnen wir die Zeilenstufenform |
|
|
|
|
der augmentieren Matrix $\left(A \vert \onematrix\right)$, |
|
|
|
|
und entnehmen aus der rechten Hälfte $P$. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{longmathe}[mc]{RCL} |
|
|
|
|
&\begin{matrix}{rrrr|rrr} |
|
|
|
|
11 &-5 &4 &6 &1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
-15 &7 &-6 &-8 &0 &1 &0\\ |
|
|
|
|
2 &-1 &1 &1 &0 &0 &1\\ |
|
|
|
|
\end{matrix}\\ |
|
|
|
|
\xrightarrow{ |
|
|
|
|
\substack{ |
|
|
|
|
Z_{2}\mapsfrom 15\cdot Z_{1} + 11\cdot Z_{2}\\ |
|
|
|
|
Z_{3}\mapsfrom 2\cdot Z_{1} - 11\cdot Z_{3}\\ |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrrr|rrr} |
|
|
|
|
11 &-5 &4 &6 &1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &2 &-6 &2 &15 &11 &0\\ |
|
|
|
|
0 &1 &-3 &1 &2 &0 &-11\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
\xrightarrow{ |
|
|
|
|
\substack{ |
|
|
|
|
Z_{1}\mapsfrom 5\cdot Z_{2} + 2\cdot Z_{1}\\ |
|
|
|
|
Z_{4}\mapsfrom Z_{2} - 2\cdot Z_{3}\\ |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrrr|rrr} |
|
|
|
|
22 &0 &-22 &22 &77 &55 &0\\ |
|
|
|
|
0 &2 &-6 &2 &15 &11 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &0 &0 &11 &11 &22\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
\xrightarrow{ |
|
|
|
|
\substack{ |
|
|
|
|
Z_{1}\mapsfrom Z_{1}:11\\ |
|
|
|
|
Z_{3}\mapsfrom Z_{3}:11\\ |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrrr|rrr} |
|
|
|
|
2 &0 &-2 &2 &7 &5 &0\\ |
|
|
|
|
0 &2 &-6 &2 &15 &11 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &0 &0 &1 &1 &2\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
\end{longmathe} |
|
|
|
|
|
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|
Setze also \fbox{$P:=\begin{smatrix} |
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|
7 &5 &0\\ |
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|
15 &11 &0\\ |
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|
|
1 &1 &2\\ |
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|
|
\end{smatrix}$}. |
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|
Unter dieser Wahl gilt $P\cdot A=$ linke Hälfte der letzten Matrix in der o.\,s. Berechnung. |
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|
Um nun $Q$ zu bestimmen, führen wir den gleichen Ansatz auf $(P\cdot A)^{T}$ aus, |
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|
bis die erwünschte (transponierte) Form erreicht ist. |
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|
D.\,h., wir starten jetzt mit $\left((P\cdot A)^{T}\vert \onematrix\right)$, |
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reduzieren, und zum Schluss entnehmen wir $Q$ als die transponierte rechte Hälfte |
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des Resultates: |
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\begin{longmathe}[mc]{RCL} |
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|
&\begin{matrix}{rrr|rrrr} |
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|
2 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &2 &0 &0 &1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
-2 &-6 &0 &0 &0 &1 &0\\ |
|
|
|
|
2 &2 &0 &0 &0 &0 &1\\ |
|
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|
|
\end{matrix}\\ |
|
|
|
|
\xrightarrow{ |
|
|
|
|
\substack{ |
|
|
|
|
Z_{3}\mapsfrom Z_{3} + Z_{1}\\ |
|
|
|
|
Z_{4}\mapsfrom Z_{4} - Z_{1}\\ |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrr|rrrr} |
|
|
|
|
2 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &2 &0 &0 &1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &-6 &0 &1 &0 &1 &0\\ |
|
|
|
|
0 &2 &0 &-1 &0 &0 &1\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
\xrightarrow{ |
|
|
|
|
\substack{ |
|
|
|
|
Z_{3}\mapsfrom Z_{3} + 3\cdot Z_{2}\\ |
|
|
|
|
Z_{4}\mapsfrom Z_{4} - Z_{2}\\ |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrr|rrrr} |
|
|
|
|
2 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &2 &0 &0 &1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &0 &1 &3 &1 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &0 &-1 &-1 &0 &1\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
\xrightarrow{ |
|
|
|
|
\substack{ |
|
|
|
|
Z_{1}\mapsfrom Z_{1}:2\\ |
|
|
|
|
Z_{2}\mapsfrom Z_{2}:2\\ |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
\begin{matrix}{rrr|rrrr} |
|
|
|
|
1 &0 &0 &1/2 &0 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &1 &0 &0 &1/2 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &0 &1 &3 &1 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &0 &-1 &-1 &0 &1\\ |
|
|
|
|
\end{matrix} |
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
\end{longmathe} |
|
|
|
|
|
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|
|
Setze also \fbox{$Q:=\begin{smatrix} |
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|
1/2 &0 &1 &-1\\ |
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|
0 &1/2 &3 &-1\\ |
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|
|
|
0 &0 &1 &0\\ |
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|
|
|
0 &0 &0 &1\\ |
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|
|
\end{smatrix}$}. |
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|
Der o.\,s. Berechnung zur Folge gilt |
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|
$Q^{T}\cdot(P\cdot A)^{T}=\begin{smatrix} |
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|
\einser_{r} &0\\ |
|
|
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|
0 &0\\ |
|
|
|
|
\end{smatrix}$ |
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|
und damit sollte |
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|
$P\cdot A\cdot Q |
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|
=\begin{smatrix} |
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|
\einser_{r} &0\\ |
|
|
|
|
0 &0\\ |
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|
|
\end{smatrix}^{T} |
|
|
|
|
=\begin{smatrix} |
|
|
|
|
\einser_{r} &0\\ |
|
|
|
|
0 &0\\ |
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|
|
|
\end{smatrix}$ |
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|
gelten. |
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Wir prüfen dies und erhalten: |
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\begin{mathe}[mc]{rcl} |
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|
P\cdot A\cdot Q |
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|
&= &\begin{matrix}{rrrr} |
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|
1 &0 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &1 &0 &0\\ |
|
|
|
|
0 &0 &0 &0\\ |
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|
|
|
\end{matrix}.\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
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Darum sind $P,Q$ in der Tat passende invertierbare Matrizen, |
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so dass $P\cdot A\cdot Q$ der erwünschten Form ist. |
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\setcounternach{part}{2} |
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|
\part{Selbstkontrollenaufgaben} |
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