master > master: Berechnungen Woche 11

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+## §1. Linear oder nicht? ##
+
+Betrachte φ : ℝ^3 ⟶ ℝ^2 definiert wie folgt
+und bestimme, in jedem Falle, ob φ linear ist.
+
+a)
+    φ(x1, x2, x3) = (  4·x1·x3  )
+                (  10·x2    )
+
+nicht linear
+
+b)
+    φ(x1, x2, x3) = (  x3^2  )
+                    (   0    )
+
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten.
+Aber:
+
+    φ(0, 0, 8)   = (64, 0)^T
+    8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)^T = (8, 0)^T
+
+Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
+
+c)
+    φ(x1, x2, x3) = ( x3 )
+                    (  0 )
+linear
+
+d) φ(x1, x2, x3) = (  0  )
+                (  0  )
+linear
+
+e)
+    φ(x1, x2, x3) = (  4  )
+                    (  0  )
+
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
+Aber φ ist hier niemals der Nullvektor!
+Also ist φ nicht linear.
+
+f)
+    φ(x1, x2, x3) = (  10·x3     )
+                    (   -x2 + x1 )
+
+linear!
+
+f')
+    φ(x1, x2, x3) = (  1 - 10·x3     )
+                    (   -x2 + x1     )
+
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
+Aber φ(0) = (1, 0)^T.
+Also ist φ nicht linear.
+
+g)
+    φ(x1, x2, x3) = (  exp(-(7·x2 + 8·x1))  )
+                    (  0                    )
+
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
+Aber φ(0) = (exp(0), 0)^T = (1, 0)^T.
+Also ist φ nicht linear.
+
+## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ##
+
+Seien A = (u1, u2, u3) und B = (v1, v2),
+wobei
+
+    u1 = (3,  0, 1)^T
+    u2 = (0, -1, 0)^T
+    u3 = (4,  0, 0)^T
+
+    v1 = (4, 5)^T
+    v2 = (0, 1)^T
+
+[√] A bildet eine Basis für ℝ^3
+[√] B bildet eine Basis für ℝ^2
+
+Sei nun φ : ℝ^3 ⟶ ℝ^2 definiert durch
+
+    φ(x1, x2, x3) = (  4·x1 - x3  )
+                    (  10·x2 + x1 )
+
+### Zur Linearität ###
+Seien
+
+    (x1,x2,x3), (x1',x2',x3') ∈ ℝ^3
+    c, c' ∈ ℝ
+
+**Zu zeigen:**
+    φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3')) = c·φ(x1, x2, x3) +c'·φ(x1',x2',x3')
+
+Es gilt
+
+    l. S. = φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3'))
+    = φ(c(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) +c'(x1'·e1 + x2'·e2 + x3'·e3))
+    = φ((c·x1 + c'·x1)·e1 + (c·x2 + c'·x2)·e2 + (c·x3 + c'·x3)·e3)
+    = φ(c·x1 + c'·x1', c·x2 + c'·x2', c·x3 + c'·x3')
+
+    = (  4·(c·x1 + c'·x1') - (c·x3 + c'·x3')    )
+    (  10·(c·x2 + c'·x2') + (c·x1 + c'·x1')   )
+
+    = (  c·(4·x1 - x3)  + c'·(4·x1' - x3') )
+    (  c·(10·x2 + x1) + c'·(10·x2' + x1'))
+
+    = c·(  4·x1 - x3    )
+        (  10·x2 + x1   )
+    + c'·(  4·x1' - x3' )
+        (  10·x2' + x1' )
+    = r. S.
+
+Darum ist φ linear.
+
+### Darstellung ###
+Zunächst beobachten wir:
+
+    φ(x1, x2, x3) = ( 4   0   -1  ) ( x1 )
+                    ( 1   10   0  ) ( x2 )
+                                    ( x3 )
+                  = C·x
+                  = φ_C(x)   siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
+
+wobei C die Matrix
+
+    C = ( 4   0   -1 )
+        ( 1   10   0 )
+
+ist.
+
+**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen:
+Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear.
+
+_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._
+
+Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
+
+- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
+- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ^2
+- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
+
+Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
+
+    B·M·α = φ(A·α)
+
+für alle α ∈ ℝ^3. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
+
+    B·M·α = C·A·α
+
+Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A.
+Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren
+auf folgendes augmentiertes System an
+
+    ( B | C·A )
+
+und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix.
+Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein.
+Es gilt
+
+    C·A = ( 4   0   -1 ) (3   0   4)
+          ( 1   10   0 ) (0  -1   0)
+                         (1   0   0)
+        = ( 11    0   16 )
+          (  3  -10    4 )
+
+Also ist das augmentiere System
+
+    ( B | C·A )
+
+    = ( 4    0  |  11    0   16 )
+      ( 5    1  |   3  -10    4 )
+      Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
+
+    ~> ( 4    0  |   11    0   16 )
+       ( 0    4  |  -43  -40  -64 )
+       Zeile1 <- Zeile1 : 4
+       Zeile2 <- Zeile2 : 4
+
+    ~> ( 1    0  |   11/4    0    4 )
+       ( 0    1  |  -43/4  -10  -16 )
+
+Darum gilt
+
+    M_A^B(φ) = (  11/4    0    4 )
+               ( -43/4  -10  -16 )
+
+
+
+## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
+
+Sei φ : ℝ^5 ⟶ ℝ^3
+
+
+Seien u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis für ℝ^5.
+Definiert werden
+
+    φ(u1) = v1, φ(u2) = v2, φ(u4) = v3
+
+**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
+
+**Antwort:** Ja.
+
+**Beweis:**
+Setze
+        φ(u3) := 0 (Nullvektor)
+        φ(u5) := 0 (Nullvektor)
+
+Da u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis ist,
+können wir für belieges x ∈ ℝ^5
+
+    φ(x) = ∑ c_i · φ(ui)
+
+wobei c_1, c_2, .... die eindeutigen Werte im Körper ℝ sind,
+so dass
+
+    x = ∑ c_i · ui
+
+gilt.
+Dann ist φ linear (zeige die Axiome!!).
+**QED**