raj_mathe/linalg2020
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@ -6903,10 +6903,12 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
Seien $d\in\ntrlpos$ und $a\in\reell$. Seien $d\in\ntrlpos$ und $a\in\reell$.
Betrachet sei die Abbildung Betrachet sei die Abbildung
${\phi:\reell[x]_{\leq d}\to\reell[x]_{\leq d}}$
definiert durch
\begin{mathe}[mc]{rcccl} \begin{mathe}[mc]{rclql}
\phi &: &\reell[x]_{\leq d} &\to &\reell[x]_{\leq d}\\ \phi(f)(t) &:= &f(t+a),
&: &f(x) &\mapsto &f(x+a)\\ &\text{für alle $f\in\reell[x]_{\leq d}$, $t\in\reell$}.\\
\end{mathe} \end{mathe}
Bevor wir die uns den Aufgaben widmen, Bevor wir die uns den Aufgaben widmen,
@ -6914,18 +6916,17 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
und beobachten wir und beobachten wir
für für
$f\in\reell[x]_{\leq d}$ $f\in\reell[x]_{\leq d}$
der Form $f=\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}x^{k}$, der Form $f=\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}x^{k}$
wobei $\alpha_{0},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{d}\in\reell$, mit $\alpha_{0},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{d}\in\reell$,
dass dass
\begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:0:ueb:10:ex:3] \phi(f)(t)
\phi(f)(x) &= &f(t+a)\\
&= &f(x+a)\\ &= &\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}(t+a)^{k}\\
&= &\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}(x+a)^{k}\\ &= &\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}\sum_{i=0}^{k}\choose{k}{i}a^{k-i}t^{i}
&= &\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}\sum_{i=0}^{k}\choose{k}{i}a^{k-i}x^{i}
\quad\text{(Anwendung der bin. Formel)}\\ \quad\text{(Anwendung der bin. Formel)}\\
&= &\sum_{k=0}^{d}\sum_{i=0}^{k}\alpha_{k}\choose{k}{i}a^{k-i}x^{i}\\ &= &\sum_{k=0}^{d}\sum_{i=0}^{k}\alpha_{k}\choose{k}{i}a^{k-i}t^{i}\\
&= &\sum_{i=0}^{d} &= &\sum_{i=0}^{d}
\big( \big(
\underbrace{ \underbrace{
@ -6933,7 +6934,14 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
\choose{k}{i}a^{k-i}\alpha_{k} \choose{k}{i}a^{k-i}\alpha_{k}
}_{=:\alpha'_{i}} }_{=:\alpha'_{i}}
\big) \big)
x^{i}.\\ t^{i}.\\
\end{mathe}
für alle $t\in\reell$ gilt. Folglich gilt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:0:ueb:10:ex:3]
\phi(f) &= &\sum_{i=0}^{d}\alpha'_{i}x^{i}.
\end{mathe} \end{mathe}
Insbesondere ist es zumindest klar, Insbesondere ist es zumindest klar,
@ -7014,24 +7022,22 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
\end{mathe} \end{mathe}
für ${i,j\in\{0,1,\ldots,d\}}$. für ${i,j\in\{0,1,\ldots,d\}}$.
Laut \eqcref{eq:0:ueb:10:ex:3} gilt für alle Für alle
${\mathbf{\alpha}\in\reell^{d+1}}$ ${\mathbf{\alpha}\in\reell^{d+1}}$,
unter Betrachtung des entsprechenden Objekts unter Betrachtung des entsprechenden Objekts
${f=\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}x^{k}\in\reell[x]_{\leq d}}$ ${f=\sum_{i=0}^{d}\alpha_{i}x^{i}\in\reell[x]_{\leq d}}$,
und da laut \eqcref{eq:0:ueb:10:ex:3}
${\phi(f)=\sum_{i=0}^{d}\alpha'_{i}x^{i}}$
mit ${\alpha'_{i}=\sum_{j=i}^{d}\choose{j}{i}a^{j-i}\alpha_{j}}$
für alle ${i\in\{0,1,\ldots,d\}}$,
erhalten wir
\begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{mathe}[mc]{rcccl}
\tilde{\phi}(\mathbf{\alpha}) &= &\mathbf{\alpha}'\\ \tilde{\phi}(\mathbf{\alpha})
&= &\mathbf{\alpha}'
&= &(\sum_{j=i}^{d}\choose{j}{i}a^{j-i}\alpha_{j})_{i=0}^{d+1}.
\end{mathe} \end{mathe}
wobei $\mathbf{\alpha}'\in\reell^{d+1}$ durch
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\mathbf{\alpha}'_{i}
&\eqcrefoverset{eq:0:ueb:10:ex:3}{=}
&\sum_{j=i}^{d}\choose{j}{i}a^{j-i}\alpha_{j}\\
\end{mathe}
für alle ${i\in\{0,1,\ldots,d+1\}}$ gegeben ist.
Beachte nun, dass Beachte nun, dass
\begin{mathe}[mc]{rcccccl} \begin{mathe}[mc]{rcccccl}