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BIN
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122
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@ -5202,9 +5202,9 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
&x_{1}-x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=0
&\Longleftrightarrow
&\underbrace{
\begin{smatrix}
1&-1&-2&2\\
\end{smatrix}
\begin{matrix}{cccc}
1 &-1 &-2 &2\\
\end{matrix}
}_{=:A_{1}}
\mathbf{x}=\zerovector\\
\mathbf{x}\in U_{2}
@ -5212,9 +5212,9 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
&x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=0
&\Longleftrightarrow
&\underbrace{
\begin{smatrix}
1&-1&-1&-1\\
\end{smatrix}
\begin{matrix}{cccc}
1 &-1 &-1 &-1\\
\end{matrix}
}_{=:A_{2}}
\mathbf{x}=\zerovector\\
\mathbf{x}\in U_{1}\cap U_{2}
@ -5225,10 +5225,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
\end{array}
&\Longleftrightarrow
&\underbrace{
\begin{smatrix}
1&-1&-2&2\\
1&-1&-1&-1\\
\end{smatrix}
\begin{matrix}{cccc}
1 &-1 &-2 &2\\
1 &-1 &-1 &-1\\
\end{matrix}
}_{=:A_{3}}
\mathbf{x}=\zerovector\\
\end{longmathe}
@ -5245,9 +5245,9 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
Zeilenstufenform für $A_{1}$:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
A_{1} &= &\begin{smatrix}
1&-1&-2&2\\
\end{smatrix}\\
A_{1} &= &\begin{matrix}{cccc}
1 &-1 &-2 &2\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
Darum sind $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$ frei und $x_{1}$ wird durch diese bestimmt.
@ -5281,12 +5281,12 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
U_{1}
&= &\{\mathbf{x}\in V\mid A_{1}\mathbf{x}=\zerovector\}
&= &\vectorspacespan\underbrace{
\{
\left\{
\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},
\begin{svector}2\\0\\1\\0\\\end{svector},
\begin{svector}-2\\0\\0\\1\\\end{svector}
\}
}_{=:B}\\
\right\}
}_{=:B_{1}}\\
\end{mathe}
und \fbox{$B_{1}$ bildet eine Basis für $U_{1}$}.
@ -5295,9 +5295,9 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
Zeilenstufenform für $A_{2}$:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
A_{2} &= &\begin{smatrix}
1&-1&-2&2\\
\end{smatrix}\\
A_{2} &= &\begin{matrix}{cccc}
1 &-1 &-2 &2\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
Darum sind $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$ frei und $x_{1}$ wird durch diese bestimmt.
@ -5329,11 +5329,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
U_{2}
&= &\{\mathbf{x}\in V\mid A_{2}\mathbf{x}=\zerovector\}
&= &\vectorspacespan\underbrace{
\{
\left\{
\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},
\begin{svector}1\\0\\1\\0\\\end{svector},
\begin{svector}1\\0\\0\\1\\\end{svector}
\}
\right\}
}_{=:B_{2}}\\
\end{mathe}
@ -5344,14 +5344,14 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
\begin{mathe}[mc]{rclcl}
A_{3}
&= &\begin{smatrix}
1&-1&-2&2\\
1&-1&-1&-1\\
\end{smatrix}
&\rightsquigarrow &\begin{smatrix}
1&-1&-2&2\\
0&0&1&-3\\
\end{smatrix}\\
&= &\begin{matrix}{cccc}
1 &-1 &-2 &2\\
1 &-1 &-1 &-1\\
\end{matrix}
&\rightsquigarrow &\begin{matrix}{cccc}
1 &-1 &-2 &2\\
0 &0 &1 &-3\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
Darum sind $x_{2}$, $x_{4}$, frei und $x_{1}$, $x_{3}$ werden durch diese bestimmt.
@ -5385,10 +5385,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
U_{1}\cap U_{2}
&= &\{\mathbf{x}\in V\mid A_{3}\mathbf{x}=\zerovector\}
&= &\vectorspacespan\underbrace{
\{
\left\{
\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},
\begin{svector}4\\0\\3\\1\\\end{svector}
\}
\right\}
}_{=:B_{3}}\\
\end{mathe}
@ -5401,23 +5401,23 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
\begin{mathe}[mc]{rcl}
U_{1}+U_{2}
&= &\vectorspacespan\{
&= &\vectorspacespan\big\{
\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},
\begin{svector}2\\0\\1\\0\\\end{svector},
\begin{svector}-2\\0\\0\\1\\\end{svector}
\}
+\vectorspacespan\{
\big\}
+\vectorspacespan\big\{
\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},
\begin{svector}1\\0\\1\\0\\\end{svector},
\begin{svector}1\\0\\0\\1\\\end{svector}
\}\\
&= &\vectorspacespan\{
\big\}\\
&= &\vectorspacespan\big\{
\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},
\begin{svector}2\\0\\1\\0\\\end{svector},
\begin{svector}-2\\0\\0\\1\\\end{svector}
\begin{svector}1\\0\\1\\0\\\end{svector},
\begin{svector}1\\0\\0\\1\\\end{svector}
\}.\\
\big\}.\\
\end{mathe}
Wir haben nun ein Erzeugendensystem bestimmt.
@ -5433,12 +5433,12 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
Homogenes System:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{smatrix}
1&2&-2&1&1\\
1&0&0&0&0\\
0&1&0&1&0\\
0&0&1&0&1\\
\end{smatrix}\\
\begin{matrix}{ccccc}
1 &2 &-2 &1 &1\\
1 &0 &0 &0 &0\\
0 &1 &0 &1 &0\\
0 &0 &1 &0 &1\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
Zeilenoperation
@ -5446,12 +5446,12 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{smatrix}
1&2&-2&1&1\\
0&2&-2&1&1\\
0&1&0&1&0\\
0&0&1&0&1\\
\end{smatrix}\\
\begin{matrix}{ccccc}
1 &2 &-2 &1 &1\\
0 &2 &-2 &1 &1\\
0 &1 &0 &1 &0\\
0 &0 &1 &0 &1\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
Zeilenoperation
@ -5459,12 +5459,12 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{smatrix}
1&2&-2&1&1\\
0&2&-2&1&1\\
0&0&2&1&-1\\
0&0&1&0&1\\
\end{smatrix}\\
\begin{matrix}{ccccc}
1 &2 &-2 &1 &1\\
0 &2 &-2 &1 &1\\
0 &0 &2 &1 &-1\\
0 &0 &1 &0 &1\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
Zeilenoperation
@ -5472,12 +5472,12 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{smatrix}
1&2&-2&1&1\\
0&2&-2&1&1\\
0&0&2&1&-1\\
0&0&0&1&-3\\
\end{smatrix}\\
\begin{matrix}{ccccc}
1 &2 &-2 &1 &1\\
0 &2 &-2 &1 &1\\
0 &0 &2 &1 &-1\\
0 &0 &0 &1 &-3\\
\end{matrix}\\
\end{mathe}
$\Longrightarrow$ nur $x_{5}$ frei.

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