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@ -5202,9 +5202,9 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
&x_{1}-x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=0 &x_{1}-x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=0
&\Longleftrightarrow &\Longleftrightarrow
&\underbrace{ &\underbrace{
\begin{smatrix} \begin{matrix}{cccc}
1&-1&-2&2\\ 1 &-1 &-2 &2\\
\end{smatrix} \end{matrix}
}_{=:A_{1}} }_{=:A_{1}}
\mathbf{x}=\zerovector\\ \mathbf{x}=\zerovector\\
\mathbf{x}\in U_{2} \mathbf{x}\in U_{2}
@ -5212,9 +5212,9 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
&x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=0 &x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=0
&\Longleftrightarrow &\Longleftrightarrow
&\underbrace{ &\underbrace{
\begin{smatrix} \begin{matrix}{cccc}
1&-1&-1&-1\\ 1 &-1 &-1 &-1\\
\end{smatrix} \end{matrix}
}_{=:A_{2}} }_{=:A_{2}}
\mathbf{x}=\zerovector\\ \mathbf{x}=\zerovector\\
\mathbf{x}\in U_{1}\cap U_{2} \mathbf{x}\in U_{1}\cap U_{2}
@ -5225,10 +5225,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
\end{array} \end{array}
&\Longleftrightarrow &\Longleftrightarrow
&\underbrace{ &\underbrace{
\begin{smatrix} \begin{matrix}{cccc}
1&-1&-2&2\\ 1 &-1 &-2 &2\\
1&-1&-1&-1\\ 1 &-1 &-1 &-1\\
\end{smatrix} \end{matrix}
}_{=:A_{3}} }_{=:A_{3}}
\mathbf{x}=\zerovector\\ \mathbf{x}=\zerovector\\
\end{longmathe} \end{longmathe}
@ -5245,9 +5245,9 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
Zeilenstufenform für $A_{1}$: Zeilenstufenform für $A_{1}$:
\begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{mathe}[mc]{rcl}
A_{1} &= &\begin{smatrix} A_{1} &= &\begin{matrix}{cccc}
1&-1&-2&2\\ 1 &-1 &-2 &2\\
\end{smatrix}\\ \end{matrix}\\
\end{mathe} \end{mathe}
Darum sind $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$ frei und $x_{1}$ wird durch diese bestimmt. Darum sind $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$ frei und $x_{1}$ wird durch diese bestimmt.
@ -5281,12 +5281,12 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
U_{1} U_{1}
&= &\{\mathbf{x}\in V\mid A_{1}\mathbf{x}=\zerovector\} &= &\{\mathbf{x}\in V\mid A_{1}\mathbf{x}=\zerovector\}
&= &\vectorspacespan\underbrace{ &= &\vectorspacespan\underbrace{
\{ \left\{
\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector}, \begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},
\begin{svector}2\\0\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}2\\0\\1\\0\\\end{svector},
\begin{svector}-2\\0\\0\\1\\\end{svector} \begin{svector}-2\\0\\0\\1\\\end{svector}
\} \right\}
}_{=:B}\\ }_{=:B_{1}}\\
\end{mathe} \end{mathe}
und \fbox{$B_{1}$ bildet eine Basis für $U_{1}$}. und \fbox{$B_{1}$ bildet eine Basis für $U_{1}$}.
@ -5295,9 +5295,9 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
Zeilenstufenform für $A_{2}$: Zeilenstufenform für $A_{2}$:
\begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{mathe}[mc]{rcl}
A_{2} &= &\begin{smatrix} A_{2} &= &\begin{matrix}{cccc}
1&-1&-2&2\\ 1 &-1 &-2 &2\\
\end{smatrix}\\ \end{matrix}\\
\end{mathe} \end{mathe}
Darum sind $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$ frei und $x_{1}$ wird durch diese bestimmt. Darum sind $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$ frei und $x_{1}$ wird durch diese bestimmt.
@ -5329,11 +5329,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
U_{2} U_{2}
&= &\{\mathbf{x}\in V\mid A_{2}\mathbf{x}=\zerovector\} &= &\{\mathbf{x}\in V\mid A_{2}\mathbf{x}=\zerovector\}
&= &\vectorspacespan\underbrace{ &= &\vectorspacespan\underbrace{
\{ \left\{
\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector}, \begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},
\begin{svector}1\\0\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}1\\0\\1\\0\\\end{svector},
\begin{svector}1\\0\\0\\1\\\end{svector} \begin{svector}1\\0\\0\\1\\\end{svector}
\} \right\}
}_{=:B_{2}}\\ }_{=:B_{2}}\\
\end{mathe} \end{mathe}
@ -5344,14 +5344,14 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
\begin{mathe}[mc]{rclcl} \begin{mathe}[mc]{rclcl}
A_{3} A_{3}
&= &\begin{smatrix} &= &\begin{matrix}{cccc}
1&-1&-2&2\\ 1 &-1 &-2 &2\\
1&-1&-1&-1\\ 1 &-1 &-1 &-1\\
\end{smatrix} \end{matrix}
&\rightsquigarrow &\begin{smatrix} &\rightsquigarrow &\begin{matrix}{cccc}
1&-1&-2&2\\ 1 &-1 &-2 &2\\
0&0&1&-3\\ 0 &0 &1 &-3\\
\end{smatrix}\\ \end{matrix}\\
\end{mathe} \end{mathe}
Darum sind $x_{2}$, $x_{4}$, frei und $x_{1}$, $x_{3}$ werden durch diese bestimmt. Darum sind $x_{2}$, $x_{4}$, frei und $x_{1}$, $x_{3}$ werden durch diese bestimmt.
@ -5385,10 +5385,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
U_{1}\cap U_{2} U_{1}\cap U_{2}
&= &\{\mathbf{x}\in V\mid A_{3}\mathbf{x}=\zerovector\} &= &\{\mathbf{x}\in V\mid A_{3}\mathbf{x}=\zerovector\}
&= &\vectorspacespan\underbrace{ &= &\vectorspacespan\underbrace{
\{ \left\{
\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector}, \begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},
\begin{svector}4\\0\\3\\1\\\end{svector} \begin{svector}4\\0\\3\\1\\\end{svector}
\} \right\}
}_{=:B_{3}}\\ }_{=:B_{3}}\\
\end{mathe} \end{mathe}
@ -5401,23 +5401,23 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
\begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{mathe}[mc]{rcl}
U_{1}+U_{2} U_{1}+U_{2}
&= &\vectorspacespan\{ &= &\vectorspacespan\big\{
\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector}, \begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},
\begin{svector}2\\0\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}2\\0\\1\\0\\\end{svector},
\begin{svector}-2\\0\\0\\1\\\end{svector} \begin{svector}-2\\0\\0\\1\\\end{svector}
\} \big\}
+\vectorspacespan\{ +\vectorspacespan\big\{
\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector}, \begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},
\begin{svector}1\\0\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}1\\0\\1\\0\\\end{svector},
\begin{svector}1\\0\\0\\1\\\end{svector} \begin{svector}1\\0\\0\\1\\\end{svector}
\}\\ \big\}\\
&= &\vectorspacespan\{ &= &\vectorspacespan\big\{
\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector}, \begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},
\begin{svector}2\\0\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}2\\0\\1\\0\\\end{svector},
\begin{svector}-2\\0\\0\\1\\\end{svector} \begin{svector}-2\\0\\0\\1\\\end{svector}
\begin{svector}1\\0\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}1\\0\\1\\0\\\end{svector},
\begin{svector}1\\0\\0\\1\\\end{svector} \begin{svector}1\\0\\0\\1\\\end{svector}
\}.\\ \big\}.\\
\end{mathe} \end{mathe}
Wir haben nun ein Erzeugendensystem bestimmt. Wir haben nun ein Erzeugendensystem bestimmt.
@ -5433,12 +5433,12 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
Homogenes System: Homogenes System:
\begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{smatrix} \begin{matrix}{ccccc}
1&2&-2&1&1\\ 1 &2 &-2 &1 &1\\
1&0&0&0&0\\ 1 &0 &0 &0 &0\\
0&1&0&1&0\\ 0 &1 &0 &1 &0\\
0&0&1&0&1\\ 0 &0 &1 &0 &1\\
\end{smatrix}\\ \end{matrix}\\
\end{mathe} \end{mathe}
Zeilenoperation Zeilenoperation
@ -5446,12 +5446,12 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
anwenden: anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{smatrix} \begin{matrix}{ccccc}
1&2&-2&1&1\\ 1 &2 &-2 &1 &1\\
0&2&-2&1&1\\ 0 &2 &-2 &1 &1\\
0&1&0&1&0\\ 0 &1 &0 &1 &0\\
0&0&1&0&1\\ 0 &0 &1 &0 &1\\
\end{smatrix}\\ \end{matrix}\\
\end{mathe} \end{mathe}
Zeilenoperation Zeilenoperation
@ -5459,12 +5459,12 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
anwenden: anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{smatrix} \begin{matrix}{ccccc}
1&2&-2&1&1\\ 1 &2 &-2 &1 &1\\
0&2&-2&1&1\\ 0 &2 &-2 &1 &1\\
0&0&2&1&-1\\ 0 &0 &2 &1 &-1\\
0&0&1&0&1\\ 0 &0 &1 &0 &1\\
\end{smatrix}\\ \end{matrix}\\
\end{mathe} \end{mathe}
Zeilenoperation Zeilenoperation
@ -5472,12 +5472,12 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
anwenden: anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{smatrix} \begin{matrix}{ccccc}
1&2&-2&1&1\\ 1 &2 &-2 &1 &1\\
0&2&-2&1&1\\ 0 &2 &-2 &1 &1\\
0&0&2&1&-1\\ 0 &0 &2 &1 &-1\\
0&0&0&1&-3\\ 0 &0 &0 &1 &-3\\
\end{smatrix}\\ \end{matrix}\\
\end{mathe} \end{mathe}
$\Longrightarrow$ nur $x_{5}$ frei. $\Longrightarrow$ nur $x_{5}$ frei.