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4ff3a3f718
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@ -3078,16 +3078,16 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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\label{ska:4:ex:1}
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\let\sectionname\altsectionname
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Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen.
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Einer Abbildung, $f:X\to Y$,
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können wir eindeutig die Relation
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$\graph(f):=\{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=y\}$
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zuordnen. Dies nennt sich der \textbf{Graph von $f$}
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(siehe \cite[\S{}2.3]{sinn2020}---dort wird dies mit $\Gamma_{f}$ bezeichnet).
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Hier ist $\graph(f)$ also eine Relation auf $X\times Y$.
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In der Tat \emph{setzen} manche Werke Funktionen mit ihrem Graphen gleich
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(siehe bspw. \cite[S.11]{jech1997}),
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aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
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Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen.
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Einer Abbildung, $f:X\to Y$,
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||||
können wir eindeutig die Relation
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$\graph(f):=\{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=y\}$
|
||||
zuordnen. Dies nennt sich der \textbf{Graph von $f$}
|
||||
(siehe \cite[\S{}2.3]{sinn2020}---dort wird dies mit $\Gamma_{f}$ bezeichnet).
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||||
Hier ist $\graph(f)$ also eine Relation auf $X\times Y$.
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||||
In der Tat \emph{setzen} manche Werke Funktionen mit ihrem Graphen gleich
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||||
(siehe bspw. \cite[S.11]{jech1997}),
|
||||
aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
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%% SKA 4-2
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\let\altsectionname\sectionname
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@ -3096,7 +3096,67 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
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\label{ska:4:ex:2}
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\let\sectionname\altsectionname
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({\itshape Unter Arbeit})
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\textbf{Hinweis:} Hier scheint im Punkt (ii) etwas verwechselt worden zu sein.
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Seien $M$, $N$ Mengen und $R\subseteq M\times N$.
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\begin{claim}
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\makelabel{claim:main:ska:4:ex:2}
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Angenommen, $R$ erfülle folgende Eigenschaften:
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\begin{kompaktenum}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab]
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\item\punktlabel{1}
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$\forall{x\in M:~}\exists{y\in N:~}(x,y)\in R$
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||||
\item\punktlabel{2}
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||||
$\forall{x\in M:~}\forall{y,y'\in N:~}
|
||||
(x,y),(x,y')\in R
|
||||
\Rightarrow y=y'$
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\end{kompaktenum}
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Dann existiert eine (notwendigerweise eindeutige) Funktion,
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${f:M\to N}$,
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so dass $\graph(f)=R$.
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\end{claim}
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||||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
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\begin{proof}
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Wir definieren ${f:M\to N}$ durch
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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f(x) &= &y\\
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\end{mathe}
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für $(x,y)\in R$.
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Offensichtlich gilt
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$\graph(f)
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=\{(x,y)\in M\times N\mid f(x)=y\}
|
||||
=\{(x,y)\in M\times N\mid (x,y)\in R\}
|
||||
=R$.
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||||
\textbf{Zu zeigen:}
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(1) $f$ ist überall definiert;
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||||
(2) $f$ ist wohldefiniert.
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\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Überall definiert:}}]
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||||
Sei $x\in M$.
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||||
\textbf{Zu zeigen:} $f(x)=y$ für ein $y\in N$.\\
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||||
Eigenschaft \punktlabel{1} besagt, dass ein $y\in M$ existiert,
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so dass $(x,y)\in R$.
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||||
Per Konstruktion erhalten wir, dass $f(x)=y$ gilt.
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||||
\item[\uwave{{\bfseries Wohldefiniertheit:}}]
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||||
Seien $x\in M$ und $y,y'\in N$.
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||||
Angenommen, $f(x)=y$ und $f(x)=y'$.\\
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $y=y'$.\\
|
||||
Aus $f(x)=y$ und $f(x)=y'$
|
||||
folgt $(x,y),(x,y')\in R$ per Konstruktion von $f$.\\
|
||||
Eigenschaft \punktlabel{2} besagt, dass $y=y'$.
|
||||
\end{kompaktenum}
|
||||
|
||||
Darum ist $f$ eine Abbildung zwischen $M$ und $N$
|
||||
und $\graph(f)=R$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{einzug}
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||||
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||||
%% SKA 4-3
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||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
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@ -3105,7 +3165,134 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
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\label{ska:4:ex:3}
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||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
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||||
({\itshape Unter Arbeit})
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||||
Sei $X=\{a,b,c\}$ und betrachte die binäre Relation,
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||||
$(\Pot(X),\leq)$, definiert durch
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||||
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||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
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||||
A\leq B &\Longleftrightarrow &X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
|
||||
\end{mathe}
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||||
|
||||
für $A,B\in\Pot(X)$.
|
||||
|
||||
\begin{claim*}
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||||
$(\Pot(X),\leq)$ ist eine partielle Ordnung (auch »Halbordnung« genannt).
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||||
\end{claim*}
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||||
Es gibt nun 3 Ansätze, um dies zu zeigen.
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||||
\begin{proof}[Ansatz I][Ansatz I]
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||||
Beobachte, dass für $A,B\in\Pot(X)$
|
||||
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||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
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||||
A\leq B
|
||||
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
|
||||
&X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&X\ohne (X\ohne A)\supseteq X\ohne (X\ohne B)\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&A\supseteq B,
|
||||
\,\text{da $A,B\subseteq X$}\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
|
||||
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
|
||||
&A\leq B,\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
also $A\leq B\Leftrightarrow A\supseteq B$.
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||||
Darum kann $(\Pot(X),\leq)$ mit $(\Pot(X),\supseteq)$
|
||||
identifiziert werden.
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||||
Letzteres ist bekanntermaßen eine Halbordnung.
|
||||
\end{proof}
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||||
\begin{proof}[Ansatz II][Ansatz II]
|
||||
Im konkreten Falle von $X=\{a,b,c\}$ können wir die Relation
|
||||
durch ein \emph{Hasse-Diagramm} skizzieren:
|
||||
|
||||
\hraum
|
||||
{\footnotesize
|
||||
\begin{tikzpicture}[node distance=1.5cm, thick]
|
||||
\pgfmathsetmacro\habst{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro\vabst{2}
|
||||
|
||||
\node[label=below:{$X$}] (Set1) at (0*\habst,0*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=left:{$\{a,b\}$}] (SetAB) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=above:{$\{a,c\}$}] (SetAC) at (0*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=right:{$\{b,c\}$}] (SetBC) at (1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=left:{$\{a\}$}] (SetA) at (-1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=below:{$\{b\}$}] (SetB) at (0*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=right:{$\{c\}$}] (SetC) at (1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=above:{$\leer$}] (Set0) at (0*\habst,3*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
|
||||
\draw (Set1) edge [->] (SetAB);
|
||||
\draw (Set1) edge [->] (SetAC);
|
||||
\draw (Set1) edge [->] (SetBC);
|
||||
\draw (SetAB) edge [->] (SetA);
|
||||
\draw (SetAB) edge [->] (SetB);
|
||||
\draw (SetAC) edge [->] (SetA);
|
||||
\draw (SetAC) edge [->] (SetC);
|
||||
\draw (SetBC) edge [->] (SetB);
|
||||
\draw (SetBC) edge [->] (SetC);
|
||||
\draw (SetA) edge [->] (Set0);
|
||||
\draw (SetB) edge [->] (Set0);
|
||||
\draw (SetC) edge [->] (Set0);
|
||||
\end{tikzpicture}}
|
||||
\hraum
|
||||
|
||||
Man sieht, dass dies einen \emph{Verband} und damit insbesondere eine Halbordnung bildet.
|
||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{proof}[Ansatz III][Ansatz III]
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||||
Wir gehen die Axiome einer Halbordnung durch:
|
||||
|
||||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||||
\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
|
||||
Sei $A\in\Pot(X)$ beliebig.
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $A\leq A$.\\
|
||||
Offensichtlich gilt $X\ohne A\subseteq X\ohne A$.\\
|
||||
Per Konstruktion gilt also $A\leq A$.
|
||||
|
||||
\item[\uwave{{\itshape Antisymmetrie:}}]
|
||||
Seien $ A, A'\in\Pot(X)$ beliebig.\\
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $A\leq A'$ und $A'\leq A$ $\Rightarrow$ $A=A'$.\\
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rclql}
|
||||
A\leq A'\,\text{und}\, A'\leq A
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&X\ohne A\subseteq X\ohne A'
|
||||
\,\text{und}\,
|
||||
X\ohne A'\subseteq X\ohne A
|
||||
&\text{(per Konstruktion)}\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&X\ohne A=X\ohne A'
|
||||
&\text{(per Definition von Mengengleichheit)}\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&A=A',
|
||||
&\text{da $A,A'\subseteq X$}.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
\item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}]
|
||||
Seien $A, A',(a'',b'')\in\Pot(X)$ beliebig.\\
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $A\leq A'$ und $A'\leq A''$ $\Rightarrow$ $A\leq A''$.\\
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
A\leq A'\,\text{und}\, A'\leq A''
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&X\ohne A\subseteq X\ohne A'
|
||||
\,\text{und}\,
|
||||
X\ohne A'\subseteq X\ohne A''
|
||||
\,\text{(per Konstruktion)}\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&X\ohne A\subseteq X\ohne A''\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&A\leq A''
|
||||
\,\text{(per Konstruktion)}.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
\end{kompaktenum}
|
||||
|
||||
Darum erfüllt $(\Pot(X),\leq)$ die Axiome einer Halbordnung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
%% SKA 4-4
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
|
|
@ -3114,7 +3301,71 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
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|||
\label{ska:4:ex:4}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
||||
Betrachten wir die Halbordnung aus \cite[Beispiel 2.4.2(2)]{sinn2020}.
|
||||
Es sei also $C=\{a,b,c\}$ und
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||||
die durch folgendes \emph{Hasse-Diagramm} dargestellte Ordnungsrelation auf $Pot(C)$:
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||||
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||||
\hraum
|
||||
{\footnotesize
|
||||
\begin{tikzpicture}[node distance=1.5cm, thick]
|
||||
\pgfmathsetmacro\habst{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro\vabst{2}
|
||||
|
||||
\node[label=above:{$C$}] (Set1) at (0*\habst,3*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=left:{$\{a,b\}$}] (SetAB) at (-1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=below:{$\{a,c\}$}] (SetAC) at (0*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=right:{$\{b,c\}$}] (SetBC) at (1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=left:{$\{a\}$}] (SetA) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=above:{$\{b\}$}] (SetB) at (0*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=right:{$\{c\}$}] (SetC) at (1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=below:{$\leer$}] (Set0) at (0*\habst,0*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
|
||||
\draw (Set0) edge [->] (SetA);
|
||||
\draw (Set0) edge [->] (SetB);
|
||||
\draw (Set0) edge [->] (SetC);
|
||||
\draw (SetA) edge [->] (SetAB);
|
||||
\draw (SetA) edge [->] (SetAC);
|
||||
\draw (SetB) edge [->] (SetAB);
|
||||
\draw (SetB) edge [->] (SetBC);
|
||||
\draw (SetC) edge [->] (SetAC);
|
||||
\draw (SetC) edge [->] (SetBC);
|
||||
\draw (SetAB) edge [->] (Set1);
|
||||
\draw (SetAC) edge [->] (Set1);
|
||||
\draw (SetBC) edge [->] (Set1);
|
||||
\end{tikzpicture}}
|
||||
\hraum
|
||||
|
||||
Wenn wir das Element $\leer$ von $\Pot(C)$ entfernen sieht die Struktur folgendermaßen aus
|
||||
|
||||
\hraum
|
||||
{\footnotesize
|
||||
\begin{tikzpicture}[node distance=1.5cm, thick]
|
||||
\pgfmathsetmacro\habst{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro\vabst{2}
|
||||
|
||||
\node[label=above:{$C$}] (Set1) at (0*\habst,3*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=left:{$\{a,b\}$}] (SetAB) at (-1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=below:{$\{a,c\}$}] (SetAC) at (0*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=right:{$\{b,c\}$}] (SetBC) at (1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=left:{$\{a\}$}] (SetA) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=above:{$\{b\}$}] (SetB) at (0*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
\node[label=right:{$\{c\}$}] (SetC) at (1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||
|
||||
\draw (SetA) edge [->] (SetAB);
|
||||
\draw (SetA) edge [->] (SetAC);
|
||||
\draw (SetB) edge [->] (SetAB);
|
||||
\draw (SetB) edge [->] (SetBC);
|
||||
\draw (SetC) edge [->] (SetAC);
|
||||
\draw (SetC) edge [->] (SetBC);
|
||||
\draw (SetAB) edge [->] (Set1);
|
||||
\draw (SetAC) edge [->] (Set1);
|
||||
\draw (SetBC) edge [->] (Set1);
|
||||
\end{tikzpicture}}
|
||||
\hraum
|
||||
|
||||
Offensichtlich hat $(\Pot(C)\ohne\{\leer\},\subseteq)$ kein kleinstes Element.
|
||||
Die Menge der minimalen Elementen ist $\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$,
|
||||
d.\,h. es gibt $3$ minimale Elemente.
|
||||
|
||||
%% SKA 4-5
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
|
|
@ -3123,7 +3374,35 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
|
|||
\label{ska:4:ex:5}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
||||
Sei $W$ die Menge aller Wörter und $\Sigma$ die Menge aller Buchstaben.
|
||||
O.\,E. können wir annehmen, dass jedes Wort $w\in W$ der Länge $|w|\geq 2$ ist.
|
||||
(In Sprachen wie Englisch, Russisch, usw. ist dies nicht der Fall,
|
||||
aber wir könnten diese trivialen Wörter einfach ausschließen.)
|
||||
|
||||
Betrachten wir die Relation $(W,\sim)$ gegeben durch
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\eqtag[eq:1:ska:4:ex:5]
|
||||
w\sim w' &:\Longleftrightarrow &f(w)=f(w),
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
wobei
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||
f &: &W &\to &\Sigma\\
|
||||
&: &w &\mapsto &\text{1. Buchstabe in $w$}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Dann per Konstruktion \uline{reduziert} $f$
|
||||
die Relation $(W,\sim)$ auf $(\Sigma,=)$.
|
||||
Aufgrund dessen und da $(\Sigma,=)$ eine Äquivalenzrelation ist,
|
||||
ist $(W,\sim)$ automatisch eine Äquivalenzrelation auch.
|
||||
|
||||
Eigentlich spielt est keine Rolle, wie die Funktion, $f$, aussieht.
|
||||
Solange die Reduktion \eqcref{eq:1:ska:4:ex:5} gilt,
|
||||
bleibt $(W,\sim)$ eine Äquivalenzrelation.
|
||||
Dies gilt also insbesondere ebenfalls,
|
||||
wenn $f$ den zweitletzten Buchstaben von Wörtern berechnet.
|
||||
|
||||
%% SKA 4-6
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
|
|
@ -3132,7 +3411,34 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
|
|||
\label{ska:4:ex:6}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
||||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||
%% SKA 4-6a
|
||||
\item
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\sum_{i=2}^{6}(-1)^{i}i^{2}
|
||||
&= &(-1)^{2}\cdot 2^{2}
|
||||
+(-1)^{3}\cdot 3^{2}
|
||||
+(-1)^{4}\cdot 4^{2}
|
||||
+(-1)^{5}\cdot 5^{2}
|
||||
+(-1)^{6}\cdot 6^{2}\\
|
||||
&= &4-9+16-25+36
|
||||
= 22\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
%% SKA 4-6b
|
||||
\item
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\prod_{j=1}^{4}(2j-1)
|
||||
&= &(2\cdot 1 - 1)
|
||||
+(2\cdot 2 - 1)
|
||||
+(2\cdot 3 - 1)
|
||||
+(2\cdot 4 - 1)\\
|
||||
&= &1-3+5-7
|
||||
= -4\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%% SKA 4-7
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
|
|
@ -3141,7 +3447,94 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
|
|||
\label{ska:4:ex:7}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
||||
\begin{claim}
|
||||
\makelabel{claim:main:ska:4:ex:7}
|
||||
Bezeichne mit $\Phi(n)$ die Aussage
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\eqcref{eq:1:\beweislabel}
|
||||
\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2} &= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1).\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Dann gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
|
||||
\end{claim}
|
||||
|
||||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir zeigen \Cref{\beweislabel} stumpf per Induktion.
|
||||
|
||||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
|
||||
Sei $n=1$. Dann
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}
|
||||
&= &(-1)^{1}1^{2} = -1\\
|
||||
(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1)
|
||||
&= &(-1)^{1}\frac{1}{2}\cdot 1\cdot (1+1) = -1\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
|
||||
Also gilt $\Phi(1)$
|
||||
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
|
||||
Sei $n>1$.
|
||||
Angenommen, $\Phi(n-1)$ gilt.
|
||||
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $\Phi(n)$ gilt, d.\,h.
|
||||
Gleichung \eqcref{eq:1:\beweislabel} gilt.\\
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}
|
||||
&= &\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i}i^{2} + (-1)^{n}n^{2}\\
|
||||
&= &(-1)^{n-1}\frac{1}{2}(n-1)(n-1+1) + (-1)^{n}n^{2}\\
|
||||
&&\text{wegen der IV}\\
|
||||
&= &(-1)^{n}\cdot(-\frac{1}{2}n(n-1) + n^{2})\\
|
||||
&= &(-1)^{n}\cdot(-\frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{2}n + n^{2})\\
|
||||
&= &(-1)^{n}\cdot(\frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{2}n)\\
|
||||
&= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1).\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
|
||||
Also gilt $\Phi(n)$.
|
||||
\end{kompaktenum}
|
||||
|
||||
Also gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{einzug}
|
||||
|
||||
Für die Summe $\sum_{i=3}^{n}(-1)^{i}i^{2}$
|
||||
ist der Ausdruck lediglich
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\sum_{i=3}^{n}(-1)^{i}i^{2}
|
||||
&= &\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}-(-1)^{1}\cdot 1-(-1)^{2}2^{2}\\
|
||||
&= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1)-3\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
für alle $n\geq 3$.
|
||||
Sollten wir dies per Induktion beweisen wollen,
|
||||
brauchen wir lediglich im o.\,s. Beweis
|
||||
den \textbf{Induktionsanfang} auf $n=3$ zu ändern.
|
||||
Der Rest bleibt erhalten.
|
||||
|
||||
\begin{rem}
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||||
Induktion hat mit Deduzieren (»Ableiten«) nichts zu tun.
|
||||
Induktion ist nur ein Werkzeug, um Aussagen zu \emph{verifizieren}.
|
||||
Sie hilft uns überhaupt nicht, um \emph{auf die Behauptungen zu kommen}.
|
||||
In diesem konkreten Falle wurde Vorarbeit geleistet
|
||||
und \emph{direkt} argumentiert,
|
||||
um auf den Ausdruck in \eqcref{eq:1:\beweislabel} zu kommen.
|
||||
In dieser Vorarbeit steckt die eigentliche mathematische Arbeit
|
||||
und dies bedarf etwas Kreativität, Intuition, usw.
|
||||
Häufig reicht diese Vorarbeit aber nur,
|
||||
um auf eine sinnvolle Behauptung zu kommen,
|
||||
und zum Schluss runden wir dies mit Induktion ab,
|
||||
um formal die behauptete Aussage zu bestätigen.
|
||||
Das ist die eigentliche Rolle von Induktion als Beweismittel.
|
||||
\end{rem}
|
||||
|
||||
%% SKA 4-8
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
|
|
@ -3150,7 +3543,56 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
|
|||
\label{ska:4:ex:8}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
||||
\uwave{{\bfseries Kurzes Argument:}}\\
|
||||
Wenn jede Farbe jeweils auf maximal $1$ Karte vorkommt,
|
||||
gibt es $\leq 4\cdot 1=4$ Karten.
|
||||
Aber $5$ Karten wurden gewählt.
|
||||
|
||||
\uwave{{\bfseries Ausführliches Argument:}}\\
|
||||
Seien
|
||||
${X:=\{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}}$
|
||||
die Menge der Farben und
|
||||
${Y:=\{1,2,3,4,5\}}$
|
||||
die Indizes der Karten.
|
||||
Sei ${f:X\to\Pot(Y)}$ die Funktion,
|
||||
die der Wahl entspricht, d.\,h.
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
f(x) &= &\{y\in Y\mid\text{Karte $y$ hat Farbe $x$}\}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
für alle Farben $x\in X$.
|
||||
|
||||
Nun, jede Karte, $y\in Y$, hat eine Farbe, sodass $y\in f(x)$ für ein $x\in X$.
|
||||
Also $Y\subseteq\bigcup_{x\in X}f(x)$.
|
||||
Und per Definition $f(x)\subseteq Y$ für alle $x\in X$.
|
||||
Darum $\bigcup_{x\in X}f(x)\subseteq Y$.
|
||||
Also
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
Y &= &\bigcup_{x\in X}f(x)\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Andererseits sind die Mengen $(f(x))_{x\in X}$ paarweise disjunkt,
|
||||
da jede Karte höchstens eine Farbe hat.
|
||||
Also ist $(f(x))_{x\in X}$ eine \emph{Partition} von $Y$.
|
||||
Darum
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{ll}
|
||||
&|Y| = |\bigcup_{x\in X}f(x)|
|
||||
= \sum_{x\in X}|f(x)|
|
||||
\leq |X|\cdot\max_{x\in X}|f(x)|\\
|
||||
\Longrightarrow
|
||||
&\max_{x\in X}|f(x)| \geq |Y|/|X| = 5/4 > 1\\
|
||||
\Longrightarrow
|
||||
&\exists{x\in X:~}|f(x)|>1\\
|
||||
\Longrightarrow
|
||||
&\exists{x\in X:~}|f(x)|\geq 2\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Nach der Definition von $f$ heißt dies,
|
||||
es gibt eine Farbe, $x\in\{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}$,
|
||||
so dass mindestens $2$ der gezogenen Karten die Farbe $x$ haben.
|
||||
|
||||
%% SKA 4-9
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
|
|
@ -3159,7 +3601,58 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
|
|||
\label{ska:4:ex:9}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
||||
\uwave{{\bfseries Kurzes Argument:}}\\
|
||||
Wenn jeder Kalendartag jeweils von maximal $17$ Studierenden gefeiert wird,
|
||||
gibt es $\leq 366\cdot 17=6222$ Studierende.
|
||||
Aber es gibt $\geq 7000$ Studierende.
|
||||
|
||||
\uwave{{\bfseries Ausführliches Argument:}}\\
|
||||
Seien
|
||||
${X=\{\text{1.~Jan},\,\text{2.~Jan},\,\ldots,\,\text{31.~Dez}\}}$
|
||||
die Menge der Kalendartage
|
||||
und
|
||||
${Y=\{x\mid x\,\text{ein/e Studierende/r an der Uni Leipzig}\}}$.
|
||||
Sei ${f:X\to\Pot(Y)}$ die Funktion,
|
||||
die der Wahl entspricht, d.\,h.
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
f(x) &= &\{y\in Y\mid\text{Studierende/r $y$ hat am Tag $x$ Geburtstag}\}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
für alle Kalendartage $x\in X$.
|
||||
|
||||
Nun, jede/r Studierende/r, $y\in Y$, hat einen Geburtstag,
|
||||
sodass $y\in f(x)$ für ein $x\in X$.
|
||||
Also $Y\subseteq\bigcup_{x\in X}f(x)$.
|
||||
Und per Definition $f(x)\subseteq Y$ für alle $x\in X$.
|
||||
Darum $\bigcup_{x\in X}f(x)\subseteq Y$.
|
||||
Also
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
Y &= &\bigcup_{x\in X}f(x)\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Andererseits sind die Mengen $(f(x))_{x\in X}$ paarweise disjunkt,
|
||||
da jede/r Studierende/r höchstens einen Geburtstag hat.
|
||||
Also ist $(f(x))_{x\in X}$ eine \emph{Partition} von $Y$.
|
||||
Darum
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{ll}
|
||||
&|Y| = |\bigcup_{x\in X}f(x)|
|
||||
= \sum_{x\in X}|f(x)|
|
||||
\leq |X|\cdot\max_{x\in X}|f(x)|\\
|
||||
\Longrightarrow
|
||||
&\max_{x\in X}|f(x)| \geq |Y|/|X| \geq 7000/366 > 19\\
|
||||
\Longrightarrow
|
||||
&\exists{x\in X:~}|f(x)|>19\\
|
||||
\Longrightarrow
|
||||
&\exists{x\in X:~}|f(x)|\geq 20\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Nach der Definition von $f$ heißt dies,
|
||||
es gibt einen Kalendartag, ${x\in\{\text{1.~Jan},\,\text{2.~Jan},\,\ldots,\,\text{31.~Dez}\}}$,
|
||||
so dass mindestens $20$ Studierende $x$ als Geburtstag feiern.
|
||||
Insbesondere gibt es $18$ Menschen, die den gleichen Geburtstag feiern.
|
||||
|
||||
%% SKA 4-10
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
|
|
@ -3168,7 +3661,142 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
|
|||
\label{ska:4:ex:10}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
||||
\begin{claim}
|
||||
\makelabel{claim:main:ska:4:ex:10}
|
||||
Bezeichne mit $\Phi(n)$ die Aussage
|
||||
|
||||
\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
|
||||
\item
|
||||
Für alle endlichen Mengen, $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$,
|
||||
gilt $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$.
|
||||
\end{kompaktitem}
|
||||
Dann gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
|
||||
\end{claim}
|
||||
|
||||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir zeigen \Cref{\beweislabel} per Induktion.
|
||||
Als Induktionsanfang widmen wir uns den Fällen $n\leq 2$.
|
||||
|
||||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
|
||||
Sei $n=1$. Dann für alle Mengen, $E_{1}$
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||
|\prod_{i=1}^{1}E_{i}|
|
||||
&= &|E_{1}|
|
||||
&= &\prod_{i=1}^{1}|E_{i}|\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Also gilt $\Phi(1)$.
|
||||
\item[]
|
||||
Sei $n=2$. Dann gilt für alle endlichen Mengen $E_{1},E_{2}$
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||||
|\prod_{i=1}^{2}E_{i}|
|
||||
&= &|E_{1}\times E_{2}|
|
||||
&= &|E_{1}|\cdot|E_{2}|
|
||||
&= &\prod_{i=1}^{2}|E_{i}|.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
(Dieses Resultat haben wir in \Cref{lemm:1:ska:4:ex:10} ausgelagert.)\\
|
||||
Also gilt $\Phi(2)$.
|
||||
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
|
||||
Sei $n>2$.
|
||||
Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
|
||||
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
|
||||
Seien $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$ beliebige endliche Mengen.
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$ gilt.\\
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|
|
||||
&= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}\times E_{n}|\\
|
||||
&= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}|\cdot|E_{n}|\\
|
||||
&&\text{da $\Phi(2)$ gilt}\\
|
||||
&= &\prod_{i=1}^{n-1}|E_{i}|\cdot|E_{n}|\\
|
||||
&&\text{wegen der IV}\\
|
||||
&= &\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Also gilt $\Phi(n)$.
|
||||
\end{kompaktenum}
|
||||
|
||||
Also gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{einzug}
|
||||
|
||||
Wir müssen noch den Fall für $2$ Mengen beweisen.
|
||||
|
||||
\begin{lemm}
|
||||
\makelabel{lemm:1:ska:4:ex:10}
|
||||
Seien $X$, $Y$ beliebige \uline{endliche} Mengen.
|
||||
Dann $|X\times Y|=|X|\cdot |Y|$.
|
||||
\end{lemm}
|
||||
|
||||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir beweisen dies per Induktion über $|Y|$ durchführen.
|
||||
|
||||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
|
||||
Sei $Y$ eine endliche Menge mit $|Y|=0$.
|
||||
Also $Y=\leer$.
|
||||
Darum
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccccccccl}
|
||||
|X\times Y|
|
||||
&= &|X\times\leer|
|
||||
&= &|\leer|
|
||||
&= &0
|
||||
&= &|X|\cdot 0
|
||||
&= &|X|\cdot|Y|.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
\item[]
|
||||
Sei $Y$ eine $1$-elementige Menge.
|
||||
Dann $Y=\{y\}$ für ein Objekt, $y$.
|
||||
Es ist einfach zu sehen, dass
|
||||
${x\in X\mapsto (x,y)\in X\times Y}$
|
||||
eine Bijektion ist.
|
||||
Folglich sind $X$ und $X\times Y$ gleichmächtig.
|
||||
D.\,h. $|X\times Y|=|X|=|X|\cdot 1=|X|\cdot|Y|$.
|
||||
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
|
||||
Sei $n>1$.
|
||||
Angenommen, $|X\times Y'|=|X|\cdot |Y'|$
|
||||
für alle $k$-elementigen Mengen, $Y'$
|
||||
und für alle $k<n$.
|
||||
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
|
||||
Sei $Y$ eine beliebige $n$-elementige Menge.\\
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $|X\times Y|=|X|\times|Y|$ gilt.\\
|
||||
Da $n>0$, können wir ein beliebiges $y_{0}\in Y$ fixieren.\\
|
||||
Setze $Y':=Y\ohne\{y_{0}\}$.
|
||||
Da $Y'$ $n-1$-elementig ist, gilt per Induktionsvoraussetzung
|
||||
$|X\times Y'|=|X|\cdot|Y'|=|X|\cdot(n-1)$.\\
|
||||
Wegen Disjunktheit von $Y'$ und $\{y_{0}\}$,
|
||||
sind $X\times Y'$ und $X\times\{y_{0}\}$ ebenfalls disjunkt.
|
||||
Es folgt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
|X\times Y|
|
||||
&= &|X\times (Y'\cup\{y_{0}\}|\\
|
||||
&= &|(X\times Y')\cup (X\times\{y_{0}\})|\\
|
||||
&= &|X\times Y'| + |X\times\{y_{0}\}|\\
|
||||
&&\text{wegen Disjunktheit}\\
|
||||
&= &|X|\cdot(n-1) + |X|\cdot 1\\
|
||||
&&\text{wegen des Falls für $1$-elementigen Mengen}\\
|
||||
&= &|X|\cdot n\\
|
||||
&&\text{wegen der rekursiven Definition von Multiplikation}\\
|
||||
&= &|X|\cdot |Y|,\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
\end{kompaktenum}
|
||||
|
||||
Darum gilt $|X\times Y|=|X|\cdot|Y|$ für alle Mengen $X,Y$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{einzug}
|
||||
|
||||
%% SKA 4-11
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
|
|
@ -3177,7 +3805,22 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
|
|||
\label{ska:4:ex:11}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
||||
In dem Induktionsschritt
|
||||
|
||||
\begin{quote}
|
||||
Jetzt können wir aber auch einen der Goldfische rausnehmen
|
||||
und haben wieder ein Aquarium mit $n$ Fischen \uline{und mindestens einem} Golfisch.
|
||||
\end{quote}
|
||||
|
||||
Dieser Teil des Arguments voraus, dass unter der zweiten Auswahl von $n$ Fischen
|
||||
ein Goldfisch vorhanden ist.
|
||||
In \emph{dieser} Auswahl kommt aber der zuerst rausgezogene Fisch vor
|
||||
und dieser war kein Goldfisch.
|
||||
Darum muss ein Goldfisch unter den $n-1$ anderen Fischen.
|
||||
Aber das ist nur möglich, wenn $n-1\geq 1$,
|
||||
also wenn $n\geq 2$.
|
||||
|
||||
Das heißt, das Induktionsargument überspringt den Fall $n=2$!
|
||||
|
||||
\setcounternach{part}{3}
|
||||
\part{Quizzes}
|
||||
|
|
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