master > master: ÜB7
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5e8068a589
commit
58b9a4f581
Binary file not shown.
@ -57,6 +57,8 @@
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%% — body/uebung/ueb6.tex;
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%% |
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%% — body/uebung/ueb7.tex;
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%% |
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%% — body/ska/ska4.tex;
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%% |
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%% — body/ska/ska5.tex;
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@ -72,6 +74,8 @@
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%% — body/quizzes/quiz4.tex;
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%% |
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%% — body/quizzes/quiz5.tex;
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%% |
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%% — body/quizzes/quiz6.tex;
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%% |
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%% — back/index.tex;
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%% |
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@ -1334,6 +1338,7 @@
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\def\vectorspacespan{\mathop{\text{\upshape Lin}}}
|
||||
\def\dim{\mathop{\text{\upshape dim}}}
|
||||
\def\rank{\mathop{\text{\upshape Rank}}}
|
||||
\def\onematrix{\text{\upshape\bfseries I}}
|
||||
\def\zeromatrix{\text{\upshape\bfseries 0}}
|
||||
\def\zerovector{\text{\upshape\bfseries 0}}
|
||||
@ -1341,6 +1346,7 @@
|
||||
\def\graph{\mathop{\text{\textup Gph}}}
|
||||
\def\domain{\mathop{\text{\textup dom}}}
|
||||
\def\range{\mathop{\text{\textup ran}}}
|
||||
\def\functionspace{\mathop{\text{\textup Abb}}}
|
||||
\def\id{\text{\textup id}}
|
||||
\def\modfn{\mathop{\text{\textup mod}}}
|
||||
\def\divides{\mathbin{\mid}}
|
||||
@ -4508,8 +4514,12 @@ Um \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} zu beweisen, brauchen wir zunächst folgendes Zwisch
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||||
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||||
für alle $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in F$, ist dies erfüllt.
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||||
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||||
Anhand der o.\,s. Erkenntnisse darüber, welchen Axiomen $(F,+,\cdot)$ bereits genügt,
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||||
erhalten wir, dass $(F,+,\cdot)$ genau dann ein Körper, wenn in $(F,\cdot)$ jedes Element ein Inverses hat.
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||||
Darum erfüllt $(F,+,\cdot)$ jedes Axiom eines Körpers,
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||||
evtl. bis auf das Axiom für multiplikative Inverse.
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||||
Darum gilt:
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||||
$(F,+,\cdot)$ bildet einen Körper
|
||||
$\Leftrightarrow$
|
||||
jedes Element in $F\ohne\{0_{F}\}$ hat ein multiplikatives Inverses.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{einzug}
|
||||
|
||||
@ -4534,7 +4544,7 @@ Jetzt können wir uns dem Beweis von \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} widmen
|
||||
}
|
||||
|
||||
\herRichtung
|
||||
Angenommen, $a^{2}+b^{2}\neq 0$ für alle $(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$.
|
||||
Angenommen, $a^{2}+b^{2}\neq 0$ für alle $(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$.\\
|
||||
Sei $(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$ beliebig.
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $(a,b)$ sei innerhalb $F$ invertierbar.\\
|
||||
Per Annahme gilt nun $r:=a^{2}+b^{2}\neq 0$ und somit ist $r$ innerhalb $K$ invertierbar.
|
||||
@ -4579,10 +4589,601 @@ Jetzt können wir uns dem Beweis von \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} widmen
|
||||
woraus sich $a^{2}+b^{2}\neq 0$ ergibt.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\setcounternach{part}{2}
|
||||
\part{Selbstkontrollenaufgaben}
|
||||
%% ********************************************************************************
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||||
%% FILE: body/uebung/ueb7.tex
|
||||
%% ********************************************************************************
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||||
|
||||
\def\chaptername{SKA Blatt}
|
||||
\setcounternach{chapter}{7}
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||||
\chapter[Woche 7]{Woche 7}
|
||||
\label{ueb:7}
|
||||
|
||||
\textbf{ACHTUNG.}
|
||||
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
|
||||
Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
|
||||
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 7-1
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||||
\section[Aufgabe 1]{}
|
||||
\label{ueb:7:ex:1}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Betrachte den Vektorraum $V:=\functionspace(\reell,\reell)$ über dem Körper $\reell$.
|
||||
Wir bezeichnen mit $0(\cdot)$ die konstante Funktion, die überall gleich $0$ ist.
|
||||
Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||
%% AUFGABE 7-1a
|
||||
\item
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Seien $a,b\in\reell$ beliebig.
|
||||
Dann \fbox{ist} $U_{1}:=\{f\in V\mid f(a)=f(b)\}$ ein Untervektorraum (»linearer Unterraum«).
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir gehen die Axiome aus der Definition durch:
|
||||
|
||||
\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
|
||||
\item[{\bfseries (NL)}]
|
||||
Offensichtlich gilt $0(\cdot)\in U_{1}$, da diese Funktion überall und damit insbesondere auf $\{a,b\}$ gleich ist.
|
||||
Also, $U_{1}\neq\leer$.
|
||||
|
||||
\item[{\bfseries (LK)}]
|
||||
Seien $\alpha,\beta\in\reell$ und $f,g\in U_{1}$.
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $\alpha\cdot f+\beta\cdot g\in U_{1}$\\
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
(\alpha\cdot f+\beta\cdot g)(a)
|
||||
&= &\alpha\cdot f(a)+\beta\cdot g(a)\\
|
||||
&\overset{(\ast)}{=}
|
||||
&\alpha\cdot f(b)+\beta\cdot g(b)\\
|
||||
&= &(\alpha\cdot f+\beta\cdot g)(b)\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Hier gilt $(\ast)$, weil $f,g\in U_{1}$.\\
|
||||
Darum gilt per Konstruktion, dass $\alpha\cdot f+\beta\cdot g\in U_{1}$.
|
||||
\end{kompaktitem}
|
||||
|
||||
Darum bildet $U_{1}$ einen Untervektorraum.
|
||||
\end{proof}
|
||||
%% AUFGABE 7-1b
|
||||
\item
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Seien $a,b\in\reell$ beliebig.
|
||||
Dann ist $U_{2}:=\{f\in V\mid f(a)=f(b)=1\}$ genau dann ein Untervektorraum, wenn $a=b$.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\herRichtung
|
||||
Falls $a=b$,
|
||||
dann gilt offensichtlich $f(a)=f(b)$ für alle $f\in V$,
|
||||
sodass $U_{2}=V$,
|
||||
woraus sich trivialerweise ergibt,
|
||||
dass $U_{2}$ ein Untervektorraum ist.
|
||||
|
||||
\hinRichtung
|
||||
Offensichtlich ist der Nullvektor, $0(\cdot)$, nicht in $U_{2}$.
|
||||
Darum kann $U_{2}$ kein Untervektorraum sein.
|
||||
(Siehe \cite[Lemma~5.1.3]{sinn2020}.)
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Alternativ für die $\Rightarrow$-Richtung kann man folgendermaßen argumentieren:
|
||||
die konstante Funktion $1(\cdot)$ liegt in $U_{2}$,
|
||||
aber $0\cdot 1(\cdot)\notin U_{2}$,
|
||||
sodass $U_{2}$ nicht unter Skalarmultiplikation stabil ist.
|
||||
%% AUFGABE 7-1c
|
||||
\item
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Die Teilmenge $U_{3}:=\{f\in V\mid f\,\text{injektiv}\}$ \fbox{ist kein Untervektorraum} von $V$.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Offensichtlich ist der Nullvektor, $0(\cdot)$, nicht in $U_{3}$,
|
||||
weil diese konstante Funktion nicht injektiv ist.
|
||||
Darum kann $U_{3}$ kein Untervektorraum sein.
|
||||
(Siehe \cite[Lemma~5.1.3]{sinn2020}.)
|
||||
\end{proof}
|
||||
%% AUFGABE 7-1d
|
||||
\item
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Die Teilmenge $U_{4}:=\{f\in V\mid f\,\text{surjektiv}\}$ \fbox{ist kein Untervektorraum} von $V$.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Offensichtlich ist der Nullvektor, $0(\cdot)$, nicht in $U_{4}$,
|
||||
weil die konstante Funktion nicht surjektiv ist.
|
||||
Darum kann $U_{4}$ kein Untervektorraum sein.
|
||||
(Siehe \cite[Lemma~5.1.3]{sinn2020}.)
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 7-2
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||||
\section[Aufgabe 2]{}
|
||||
\label{ueb:7:ex:2}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||
%% AUFGABE 7-2a
|
||||
\item
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Sei $K=\rtnl$. Dann sind
|
||||
${\mathbf{v}_{1}=\begin{svector}1\\2\\2\\\end{svector}}$,
|
||||
${\mathbf{v}_{2}=\begin{svector}3\\2\\1\\\end{svector}}$, und
|
||||
${\mathbf{v}_{3}=\begin{svector}2\\1\\-1\\\end{svector}}$
|
||||
über $K$ \fbox{linear unabhängig}.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es reicht aus, den (Zeilen)rang der Matrix
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
A &:= &\begin{matrix}{ccc}
|
||||
1 &3 &2\\
|
||||
2 &2 &1\\
|
||||
2 &1 &-1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
zu untersuchen. Wir berechnen
|
||||
|
||||
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
|
||||
Reduktion der Matrix, $A$, mittels des Gaußverfahrens:\\
|
||||
Zeilentransformationen
|
||||
${Z_{2} \leftsquigarrow 3\cdot Z_{1}-Z_{2}}$
|
||||
und
|
||||
${Z_{3} \leftsquigarrow 2\cdot Z_{1}-Z_{3}}$
|
||||
anwenden:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||||
\begin{matrix}{ccc}
|
||||
1 &2 &2\\
|
||||
0 &4 &5\\
|
||||
0 &3 &5\\
|
||||
\end{matrix}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Zeilentransformation
|
||||
${Z_{3} \leftsquigarrow 4\cdot Z_{3}-3\cdot Z_{2}}$
|
||||
anwenden:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||||
\begin{matrix}{ccc}
|
||||
1 &2 &2\\
|
||||
0 &4 &5\\
|
||||
0 &0 &5\\
|
||||
\end{matrix}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
\end{algorithm}
|
||||
|
||||
Der Zeilenstufenform entnimmt man, $\rank(A)=3$.
|
||||
Darum sind alle $3$ Vektoren,
|
||||
$\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}\}$,
|
||||
linear unabhängig.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 7-2b
|
||||
\item
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Sei $K=\mathbb{F}_{5}$. Dann sind
|
||||
${\mathbf{v}_{1}=\begin{svector}1\\2\\2\\\end{svector}}$,
|
||||
${\mathbf{v}_{2}=\begin{svector}3\\2\\1\\\end{svector}}$, und
|
||||
${\mathbf{v}_{3}=\begin{svector}2\\1\\4\\\end{svector}}$
|
||||
über $K$ \fbox{nicht linear unabhängig}.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es reicht aus, den (Zeilen)rang der Matrix
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
A &:= &\begin{matrix}{ccc}
|
||||
1 &3 &2\\
|
||||
2 &2 &1\\
|
||||
2 &1 &4\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
zu untersuchen. Wir berechnen
|
||||
|
||||
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
|
||||
Reduktion der Matrix, $A$, mittels des Gaußverfahrens:\footnote{
|
||||
Wir achten hier besonders darauf,
|
||||
niemals mit einem Vielfach von $5$ zu multiplizieren!
|
||||
}\\
|
||||
Zeilentransformationen
|
||||
${Z_{2} \leftsquigarrow 3\cdot Z_{1}-Z_{2}}$
|
||||
und
|
||||
${Z_{3} \leftsquigarrow 2\cdot Z_{1}-Z_{3}}$
|
||||
anwenden:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||||
\begin{matrix}{ccl}
|
||||
1 &2 &2\\
|
||||
0 &4 &5(=0)\\
|
||||
0 &3 &0\\
|
||||
\end{matrix}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Zeilentransformation
|
||||
${Z_{3} \leftsquigarrow 4\cdot Z_{3}-3\cdot Z_{2}}$
|
||||
anwenden:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||||
\begin{matrix}{ccc}
|
||||
1 &2 &2\\
|
||||
0 &4 &0\\
|
||||
0 &0 &0\\
|
||||
\end{matrix}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
\end{algorithm}
|
||||
|
||||
Der Zeilenstufenform entnimmt man, $\rank(A)=2$.
|
||||
Darum sind nur $2$ der Vektoren, und zwar
|
||||
$\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}$,
|
||||
linear unabhängig.
|
||||
Der Vektor, $\mathbf{v}_{3}$, hingegen, hängt linear von diesen ab.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 7-2c
|
||||
\item
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Sei $K=\kmplx$. Dann sind
|
||||
${\mathbf{v}_{1}=\begin{svector}1\\\imageinh\\0\\\end{svector}}$,
|
||||
${\mathbf{v}_{2}=\begin{svector}1+\imageinh\\-\imageinh\\1-2\imageinh\\\end{svector}}$, und
|
||||
${\mathbf{v}_{3}=\begin{svector}\imageinh\\1-\imageinh\\2-\imageinh\\\end{svector}}$
|
||||
über $K$ \fbox{nicht linear unabhängig}.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es reicht aus, den (Zeilen)rang der Matrix
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
A &:= &\begin{matrix}{ccc}
|
||||
1 &1+\imageinh &\imageinh\\
|
||||
\imageinh &-\imageinh &1-\imageinh\\
|
||||
0 &1-2\imageinh &2-\imageinh\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
zu untersuchen. Wir berechnen
|
||||
|
||||
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
|
||||
Reduktion der Matrix, $A$, mittels des Gaußverfahrens:\\
|
||||
Zeilentransformation
|
||||
${Z_{2} \leftsquigarrow \imageinh\cdot Z_{2}+Z_{1}}$
|
||||
anwenden:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||||
\begin{matrix}{ccc}
|
||||
1 &1+\imageinh &\imageinh\\
|
||||
0 &2+\imageinh &1+2\imageinh\\
|
||||
0 &1-2\imageinh &2-\imageinh\\
|
||||
\end{matrix}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Zeilentransformation
|
||||
${Z_{3} \leftsquigarrow \imageinh\cdot Z_{3}-Z_{2}}$
|
||||
anwenden:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||||
\begin{matrix}{ccc}
|
||||
1 &1+\imageinh &\imageinh\\
|
||||
0 &2+\imageinh &1+2\imageinh\\
|
||||
0 &0 &0\\
|
||||
\end{matrix}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
\end{algorithm}
|
||||
|
||||
Der Zeilenstufenform entnimmt man, $\rank(A)=2$.
|
||||
Darum sind nur $2$ der Vektoren, und zwar
|
||||
$\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}$,
|
||||
linear unabhängig.
|
||||
Der Vektor, $\mathbf{v}_{3}$, hingegen, hängt linear von diesen ab.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Wir betrachten nun dieselbe Aufgabe, nur über $\reell$ statt $\kmplx$:
|
||||
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Sei $K=\reell$. Dann sind
|
||||
${\mathbf{v}_{1}=\begin{svector}1\\0\\0\\1\\0\\0\\\end{svector}}$,
|
||||
${\mathbf{v}_{2}=\begin{svector}1\\1\\0\\-1\\1\\-2\\\end{svector}}$, und
|
||||
${\mathbf{v}_{3}=\begin{svector}0\\1\\1\\-1\\2\\-1\\\end{svector}}$
|
||||
über $K$ \fbox{linear unabhängig}.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es reicht aus, den (Zeilen)rang der Matrix
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
A &:= &\begin{smatrix}
|
||||
1&1&0\\
|
||||
0&1&1\\
|
||||
0&0&1\\
|
||||
1&-1&-1\\
|
||||
0&1&2\\
|
||||
0&-2&-1\\
|
||||
\end{smatrix}
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
zu untersuchen. Wir berechnen
|
||||
|
||||
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
|
||||
Reduktion der Matrix, $A$, mittels des Gaußverfahrens:\\
|
||||
Zeilentransformation
|
||||
${Z_{4} \leftsquigarrow \imageinh\cdot Z_{1}-Z_{4}}$
|
||||
anwenden:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||||
\begin{smatrix}
|
||||
1&1&0\\
|
||||
0&1&1\\
|
||||
0&0&1\\
|
||||
0&2&1\\
|
||||
0&1&2\\
|
||||
0&-2&-1\\
|
||||
\end{smatrix}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Zeilentransformation
|
||||
${Z_{3} \leftrightsquigarrow Z_{6}}$
|
||||
anwenden:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||||
\begin{smatrix}
|
||||
1&1&0\\
|
||||
0&1&1\\
|
||||
0&-2&-1\\
|
||||
0&2&1\\
|
||||
0&1&2\\
|
||||
0&0&1\\
|
||||
\end{smatrix}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Zeilentransformationen
|
||||
${Z_{3} \leftrightsquigarrow 2\cdot Z_{2}+Z_{3}}$,
|
||||
${Z_{4} \leftrightsquigarrow 2\cdot Z_{2}-Z_{4}}$,
|
||||
und
|
||||
${Z_{5} \leftrightsquigarrow -1\cdot Z_{2}+Z_{5}}$
|
||||
anwenden:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||||
\begin{smatrix}
|
||||
1&1&0\\
|
||||
0&1&1\\
|
||||
0&0&1\\
|
||||
0&0&1\\
|
||||
0&0&1\\
|
||||
0&0&1\\
|
||||
\end{smatrix}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Zeilentransformationen
|
||||
${Z_{4} \leftrightsquigarrow Z_{4}-Z_{3}}$,
|
||||
${Z_{5} \leftrightsquigarrow Z_{5}-Z_{3}}$,
|
||||
und
|
||||
${Z_{6} \leftrightsquigarrow Z_{6}-Z_{3}}$
|
||||
anwenden:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||||
\begin{smatrix}
|
||||
1&1&0\\
|
||||
0&1&1\\
|
||||
0&0&1\\
|
||||
0&0&0\\
|
||||
0&0&0\\
|
||||
0&0&0\\
|
||||
\end{smatrix}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
\end{algorithm}
|
||||
|
||||
Der Zeilenstufenform entnimmt man, $\rank(A)=3$.
|
||||
Darum sind alle $3$ Vektoren,
|
||||
$\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}\}$,
|
||||
linear unabhängig.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 7-3
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||||
\section[Aufgabe 3]{}
|
||||
\label{ueb:7:ex:3}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Seien $K$ ein Körper und $V$ ein Vektorraum über $K$.
|
||||
Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||
%% AUFGABE 7-3a
|
||||
\item
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Die folgende Aussage ist \fbox{gültig}:\\
|
||||
Angenommen es existieren linear unabhängige Vektoren,
|
||||
$\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2},\ldots,\mathbf{w}_{n}\in V$
|
||||
und Skalare $c_{i}\in K\ohne\{0\}$,
|
||||
so dass $\mathbf{v}_{i}=c_{i}\mathbf{w}_{i}$
|
||||
für alle $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
|
||||
Dann bilden
|
||||
$\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n}$
|
||||
ein linear unabhängiges System.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir zeigen dies direkt.
|
||||
Sei $\alpha_{i}\in K$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$
|
||||
und so dass
|
||||
mit $\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\cdot\mathbf{v}_{i}=\zerovector$.\\
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $\forall{i\in\{1,2,\ldots,n\}:~}\alpha_{i}=0$.\\
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|
||||
\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\cdot\mathbf{v}_{i}=\zerovector
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\cdot(c_{i}\mathbf{w}_{i})=\zerovector\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\sum_{i=1}^{n}(\alpha_{i}c_{i})\cdot\mathbf{w}_{i}=\zerovector\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&\forall{i\in\{1,2,\ldots,n\}:~}\alpha_{i}c_{i}=0,\\
|
||||
&&\text{da $\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2},\ldots,\mathbf{w}_{n}$ linear unabhängig}\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\forall{i\in\{1,2,\ldots,n\}:~}\alpha_{i}=0\,\text{oder}\,c_{i}=0,
|
||||
\quad\text{da $K$ ein Körper ist}\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\forall{i\in\{1,2,\ldots,n\}:~}\alpha_{i}=0,
|
||||
\quad\text{da $c_{i}\neq 0$ für alle $i$}.\\
|
||||
\end{longmathe}
|
||||
|
||||
Darum ist gilt $\alpha_{i}=0$ für alle $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
|
||||
Folglich sind
|
||||
$\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n}$
|
||||
linear unabhängig.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 7-3b
|
||||
\item
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Die folgende Aussage ist \fbox{ungültig}:\\
|
||||
Angenommen,
|
||||
$\mathbf{v}_{n}\notin\vectorspacespan(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n-1})$.
|
||||
Dann ist
|
||||
$\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n}$
|
||||
linear unabhängig.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Folgendes ist ein Gegenbeispiel.
|
||||
Sei $n\geq 3$ beliebig.
|
||||
Sei $V=K^{2}$
|
||||
und betrachte die Vektoren
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rclqrcl}
|
||||
\mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}_{2}=\ldots=\mathbf{v}_{n-1} &:= &\begin{svector}1\\0\\\end{svector}
|
||||
&\mathbf{v}_{n} &:= &\begin{svector}0\\1\\\end{svector}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Dann gilt $\mathbf{v}_{n}\notin\vectorspacespan(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n-1})$,
|
||||
weil $\vectorspacespan(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n-1})
|
||||
=\vectorspacespan(\mathbf{v}_{1})
|
||||
=\{\begin{svector}t\\0\\\end{svector}\mid t\in K\}\notni \begin{svector}0\\1\\\end{svector}$.
|
||||
Andererseits sind die $n-1\geq 2$ Vektoren,
|
||||
$\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n}$
|
||||
per Wahl nicht linear unabhängig (weil die alle gleich sind).
|
||||
Also sind die Vektoren,
|
||||
$\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n}$
|
||||
ebenfalls nicht linear unabhängig.
|
||||
Darum gilt die behauptete Implikation nicht im Allgemeinen.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 7-3c
|
||||
\item
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Die folgende Aussage ist \fbox{ungültig}:\\
|
||||
Das System
|
||||
$\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n}$
|
||||
ist genau dann linear unabhängig,
|
||||
wenn jedes echte Teilsystem linear unabhängig ist.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Der $\Rightarrow$-Teil ist offensichtlich wahr.
|
||||
Es kann also nur die $\Leftarrow$-Richtung schiefgehen.
|
||||
Wir betrachten ein Gegenbeispiel mit $n=3$ Vektoren.
|
||||
Sei $V=K^{2}$ und betrachte
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rclqrclqrcl}
|
||||
\mathbf{v}_{1} &:= &\begin{svector}0\\1\\\end{svector},
|
||||
&\mathbf{v}_{2} &:= &\begin{svector}1\\0\\\end{svector},
|
||||
&\mathbf{v}_{3} &:= &\begin{svector}1\\1\\\end{svector}.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Es ist einfach zu sehen, dass die echten Teilsysteme
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{cccccc}
|
||||
(\mathbf{v}_{1}),
|
||||
&(\mathbf{v}_{2}),
|
||||
&(\mathbf{v}_{3}),
|
||||
&(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2})
|
||||
&(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{3})
|
||||
&(\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3})\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
linear unabhängig sind. Aber (vor allem weil $V$ nur $2$-dimensional ist)
|
||||
$\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}$
|
||||
ist nicht linear unabhängig, da
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
1\cdot\mathbf{v}_{1}
|
||||
+1\cdot\mathbf{v}_{2}
|
||||
+-1\cdot\mathbf{v}_{3}
|
||||
&= &\zerovector.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Darum ist gilt die behauptete Implikation nicht im Allgemeinen.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 7-3d
|
||||
\item
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Die folgende Aussage ist \fbox{gültig}:\\
|
||||
Angenommen,
|
||||
$\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n}$
|
||||
sei linear unabhängig.
|
||||
Dann für alle $i\in\{1,2,\ldots,n\}\ohne\{1\}$
|
||||
und $c\in K$
|
||||
bilden
|
||||
$\mathbf{u},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n}$
|
||||
ein linear unabhängiges System,
|
||||
wobei ${\mathbf{u}:=\mathbf{v}_{1}+c\mathbf{v}_{i}}$.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir zeigen dies direkt.
|
||||
Sei $\alpha_{j}\in K$ für $j\in\{1,2,\ldots,n\}$
|
||||
und so dass
|
||||
mit $\alpha_{1}\mathbf{u}+\sum_{j=2}^{n}\alpha_{j}\cdot\mathbf{v}_{j}=\zerovector$.\\
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $\forall{j\in\{1,2,\ldots,n\}:~}\alpha_{j}=0$.\\
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|
||||
\alpha_{1}\mathbf{u}+\sum_{j=2}^{n}\alpha_{j}\cdot\mathbf{v}_{j}=\zerovector
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\alpha_{1}\mathbf{v}_{1}
|
||||
+\alpha_{1}c\mathbf{v}_{i}
|
||||
+\sum_{j=2}^{n}\alpha_{j}\cdot\mathbf{v}_{j}=\zerovector\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&c\alpha_{1}\mathbf{v}_{i}
|
||||
+\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\cdot\mathbf{v}_{j}=\zerovector\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\sum_{j=1}^{n}\beta_{j}\mathbf{v}_{j}=\zerovector,\\
|
||||
&&\text{%
|
||||
wobei $\beta_{j}=\alpha_{j}$ für $j\in\{1,2,\ldots,n\}\ohne\{i\}$
|
||||
und $\beta_{i}=c\alpha_{1}+\alpha_{i}$
|
||||
}\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&\forall{j\in\{1,2,\ldots,n\}:~}\beta_{j}=0,\\
|
||||
&&\text{da $\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n}$ linear unabhängig}\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&c\alpha_{1}+\alpha_{i}=0
|
||||
\,\text{und}\,
|
||||
\forall{j\in\{1,2,\ldots,n\}\ohne\{i\}:~}\alpha_{j}=0\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&c\cdot 0+\alpha_{i}=0
|
||||
\,\text{und}\,
|
||||
\forall{j\in\{1,2,\ldots,n\}\ohne\{i\}:~}\alpha_{j}=0\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\forall{j\in\{1,2,\ldots,n\}:~}\alpha_{j}=0\\
|
||||
\end{longmathe}
|
||||
|
||||
Darum ist gilt $\alpha_{i}=0$ für alle $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
|
||||
Folglich sind
|
||||
$\mathbf{u},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n}$
|
||||
linear unabhängig.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
%% FILE: body/ska/ska4.tex
|
||||
@ -6643,11 +7244,6 @@ Sind $n,m\in\intgr$ teilerfremd, dann ist $[m]$ innerhalb $\intgr/n\intgr$ inver
|
||||
Falls $n$ nicht prim ist, muss man sich allerdings bei der Injektivitätsargumentation mehr bemühen.
|
||||
Einfacher ist also natürlich die Anwendung von dem Lemma von B\'ezout.
|
||||
|
||||
\setcounternach{part}{3}
|
||||
\part{Quizzes}
|
||||
|
||||
\def\chaptername{Quiz}
|
||||
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
%% FILE: body/quizzes/quiz1.tex
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
@ -6957,6 +7553,78 @@ Wir betrachten die Komposition ${g\circ f:X\to Z}$
|
||||
Das heißt, $p\divides\begin{svector}2n\\n\\\end{svector}$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
%% FILE: body/quizzes/quiz6.tex
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
|
||||
\setcounternach{chapter}{6}
|
||||
\chapter[Woche 6]{Woche 6}
|
||||
\label{quiz:6}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}{\bfseries 1.}
|
||||
\item
|
||||
Seien $n\in\ntrlpos$.
|
||||
Man bezeichne mit $(\intgr/n\intgr)^{\times}$
|
||||
die Menge der bzgl. Multiplikation modulo $n$
|
||||
invertierbaren Elemente in $\intgr/n\intgr$.
|
||||
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Für $a\in\intgr$
|
||||
gilt
|
||||
$[a]\in(\intgr/n\intgr)^{\times}$
|
||||
gdw. $\exists{u,v\in\intgr:~}ua+vn=1$
|
||||
gdw. $\ggT(a,n)=1$
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
[a]\in(\intgr/n\intgr)^{\times}
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\exists{u\in\intgr:~}\overbrace{[u]\cdot [a]}^{[u\cdot a]=}=[1]\\
|
||||
&\Longleftrightarrow &\exists{u\in\intgr:~}u\cdot a\equiv 1\mod n\\
|
||||
&\Longleftrightarrow &\exists{u\in\intgr:~}\exists{v\in\intgr:~}ua+vn=1\\
|
||||
&\Longleftrightarrow &\ggT(a,n)=1
|
||||
\quad\text{(wegen des Lemmas von B\'ezout).}
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Also gilt
|
||||
$[a]\in(\intgr/n\intgr)^{\times}$
|
||||
$\Leftrightarrow$
|
||||
$\exists{u,v\in\intgr:~}ua+vn=1$
|
||||
$\Leftrightarrow$
|
||||
$\ggT(a,n)=1$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\item
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Sei $n=9$. Dann gilt $(\intgr/n\intgr)^{\times}=\{[1],[2],[4],[5],[7],[8]\}$.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Da
|
||||
|
||||
\hraum
|
||||
\begin{tabular}[mc]{|L|CCCCCCCCC|}
|
||||
\hline
|
||||
\hline
|
||||
a &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\
|
||||
\hline
|
||||
\ggT(a,n=9) &9 &1 &1 &3 &1 &1 &3 &1 &1\\
|
||||
\hline
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\hraum
|
||||
|
||||
gilt der letzten Aufgabe zufolge
|
||||
$%
|
||||
(\intgr/n\intgr)^{\times}
|
||||
=\{[a]\mid a\in\{0,1,2,\ldots,n-1\},\,\ggT(a,n)=1\}
|
||||
=\{[1],[2],[4],[5],[7],[8]\}%
|
||||
$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
%% FILE: back/index.tex
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
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