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master > master: Protokoll W7

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5e8068a589
  1. 1
      README.md
  2. 231
      notes/berechnungen_wk7.md
  3. 24
      notes/vorlage.md
  4. 9
      protocol/woche7/README.md

1
README.md

@ -77,6 +77,7 @@ Unter Mathematikern, Wissenschaftlern, (womöglich auch Ingenieuren), und Inform
- Pandocs (kombiniert so ziemlich alles!)
- Rmd (R Markdown)
- pynb/JyPyter (Python notebooks)
- online Editors (siehe z. B. [stackedit](https://stackedit.io/editor)).
Am Rechner schreibe ich alles meistens in Markdown oder LaTeX-Dateien.
Wenn ich wirklich schnell schreiben will, und mir die Formattierung egal ist,

231
notes/berechnungen_wk7.md

@ -0,0 +1,231 @@
https://stackedit.io/editor
# SKA 7 #
## SKA 7-1 ##
Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (1)**].
**Behauptung.** Seien $n\in\mathbb{N}$ und $K$ ein Körper.
Dann bildet $K^{n}$, versehen mit _punktweise Addition_
und vermöge $\alpha\cdot(x_{i})_{i=1}^{n}=(\alpha x_{i})_{i=1}^{n}$
definierte Skalarmultiplikation
einen Vektorraum.,
**Beweis.**
1. **Zz**: $(K^{n},+)$ mit punktweise Addition ist eine kommutative Gruppe.
**Ansatz I.** $(K^{n},+,\mathbf{0})$ ist lediglich die Produktgruppe aus $n$ Kopien von $(K,+,0_{K})$,
also sofort eine kommutative Gruppe.
**Ansatz II.** Wir gehen die Axiome durch:
- **Zz:** $(K^{n},+)$ ist assoziativ:
..
- **Zz:** $(K^{n},+)$ ist kommutativ:
Seien $\mathbf{u}=(u_{i})_{i=1}^{n},\mathbf{v}=(v_{i})_{i=1}^{n}\in K^{n}$.
Zu zeigen ist, dass
$(u_{i})_{i}+(v_{i})_{i}=(v_{i})_{i}+(u_{i})_{i}$.
$$(u_{i})_{i}+(v_{i})_{i}
=^{\text{Defn}} (u_{i}+v_{i})_{i}
=^{\ast} (v_{i}+u_{i})_{i}
=^{\text{Defn}} (v_{i})_{i}+(u_{i})_{i}
$$
Die Gleichung in ($\ast$) gilt, weil $(K,+)$ kommutativ ist.
- **Zz:** $(K^{n},+)$ hat ein Neutralelement
..
- **Zz:** $(K^{n},+)$ hat Inverse
..
2. **Zz**: Skalarmultiplikation ist assoziativ.
- ..
3. **Zz**: Skalarmultiplikation ist distributiv.
Seien $\alpha,\beta\in K$ und $\mathbf{u}=(u_{i})_{i}\in K^{n}$.
Zu zeigen:
$\begin{array}{rcl}
\alpha\cdot(\beta\cdot\mathbf{u}) &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot\mathbf{u}\\
\end{array}$
Es gilt
$\begin{array}{rcl}
\alpha\cdot(\beta\cdot\mathbf{u})
&= &\alpha\cdot(\beta\cdot(u_{i})_{i})\\
&= &\alpha\cdot(\beta\cdot u_{i})_{i}\\
&= &(\alpha\cdot(\beta\cdot u_{i}))_{i}\\
&=^{\ast} &((\alpha\cdot\beta)\cdot u_{i}))_{i}\\
&= &(\alpha\cdot\beta)\cdot (u_{i}))_{i}\\
&= &(\alpha\cdot\beta)\cdot \mathbf{u}\\
\end{array}$
Gleichung ($\ast$) gilt weil $(K,\cdot)$ assoziativ ist.
4. **Zz**: $1\cdot\mathbf{u}=\mathbf{u}$ für alle $\mathbf{u}\in K^{n}$
- ..
Also ist $K^{n}$ ein Vektorraum.
**QED**
## SKA 7-2 ##
Einem jeden Element
$$\left(\begin{matrix}
x_{1,1} &x_{1,2} &x_{1,3}\\
x_{2,1} &x_{2,2} &x_{2,3}
\end{matrix}\right)$$
aus $M_{2\times 3}(\mathbb{R})$ können wir das Element
$$\left(\begin{matrix}
x_{1,1}\\
x_{1,2}\\
x_{1,3}\\
x_{2,1}\\
x_{2,2}\\
x_{2,3}\\
\end{matrix}\right)$$
zuordnen. Dies ist eine bijektive, lineare Abbildung
$M_{2\times 3}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{6}$
und (am wichtigsten!) preserviert Addition und Skalarmultiplikation.
## SKA 7-3 ##
Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (4)**].
**Ansatz I:** Direkt.
**Ansatz II:** Ist äquivalent (»isomorphisch«) zu $\mathbb{R}^{3}$.
Aber allgemein (für nicht endliche Mengen, $X$) muss man die Axiome durchgehen.
$f\in\mathop{Abb}(\{a,b,c\},\mathbb{R}) \mapsto v_{f}:=\left(\begin{matrix}f(a)\\f(b)\\f(c)\end{matrix}\right)\in\mathbb{R}^{3}$
Man muss extra zeigen: $v_{f+g}=v_{f}+v_{g}$ und $v_{\alpha\cdot f}=\alpha\cdot v_{f}$ für alle $f,g\in\mathop{Abb}(\{a,b,c\},\mathbb{R})$ und $\alpha\in\mathbb{R}$.
## SKA 7-4 ##
Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (2)+(4)**].
Hinweis: Ein Tuple, $a$, mit Werten in $K$ und Indizes über $\mathbb{N}$
ist eine Kurzhand für eine Funktion ${a:\mathbb{N}\to K}$.
Das gilt eigentlich für alle (unendlichen) Mengen.
(Im endlichen Falle hat man verschiede Alternativen, um Tupeln zu realisieren.)
## SKA 7-5 ##
Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (5)**].
Ansatz I: direkt.
Ansatz II: arbeite mit Basen.
## SKA 7-6 ##
.
## SKA 7-7 + 12 ##
Seien $m,n\in\mathbb{N}$ und $A\in M_{m\times n}(K)$ eine Matrix und $b\in K^{m}$. Und wir betrachten das LGS $Ax = b$.
Homogener Lösungsraum: $V:=\{x\in K^{n}\mid Ax=\mathbf{0}\}$.
Zu zeigen: $V$ ist ein Untervektorraum.
- **Zz**: $V\neq\emptyset$. Das gilt weil $\mathbf{0}\in V$, weil $A\mathbf{0}=\mathbf{0}$.
- Seien $u,v\in V$ und $\alpha\in K$. **Zz:** $\alpha u+v\in V$.
Es gilt
$A(\alpha u+v)=\alpha Au+Av=\alpha\cdot\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}$, weil $u,v\in V$. Also gilt $\alpha u+v\in V$ per Konstruktion.
Lösungsraum: $W:=\{x\in K^{n}\mid Ax=b\}$.
Zu zeigen: $W$ ist ein affiner Unterraum.
- Wenn $Ax=b$ keine Lösung hat, dann gilt $W=\emptyset$ und damit ist $W$ per Definition affin.
- Wenn $Ax=b$ eine Lösung hat... Fixiere eine Lösung $x_{0}\in K^{n}$. Darum gilt
$\begin{array}{rcl}
W &= &\{x\in K^{n}\mid x=u+x_{0},\, Au=\mathbf{0}\}\\
&= &\{x\in K^{n}\mid x=u+x_{0},\, u\in V\}\\
&= &x_{0}+V\\
\end{array}$
Also ist $W$ die Summe aus einem Vektor und einem linearen Unterraum (siehe A7-7). Darum ist $W$ affin.
## SKA 7-8 ##
.
## SKA 7-9 ##
Vgl. [Skript, **Lemma 5.1.6**].
**Behauptung.** Seien $V$ ein Vektorraum über $K$
und $U_{i}\subseteq V$ Untervektorräume. Dann ist $U:=\bigcap_{i\in I}U_{i}\subseteq V$ wiederum ein Untervektorraum.
**Beweis.**
Wir gehen die Axiome durch:
(NL) Beachte, dass $0\in U_{i}$ für alle $i\in I$.
Darum $0\in\bigcap_{i\in I}U_{i}=U$.
Insbesondere ist $U$ nicht leer.
(LK) Seien $\alpha,\beta\in K$ und $u,v\in U$.
**Zz:** $\alpha u+\beta v\in U$.
Sei $i\in I$. Dann $u,v\in U_{i}$.
Da $U_{i}$ ein UVR ist, gilt $\alpha u+\beta v\in U_{i}$.
Da das für alle $i\in I$ gilt, gilt
$\alpha u+\beta v\in \bigcap_{i\in I}U_{i}=U$.
Darum ist $U$ ein UVR.
**QED**
## SKA 7-10 ##
.
## SKA 7-11 ##
.
## SKA 7-13 ##
.
## SKA 7-14 ##
.
## SKA 7-15 ##
.
## SKA 7-16 ##
```
1 5 3 0
2 4 0 0
2 4 0 0
1 # # | 0
0 0 1 | 0
0 0 0 | 0
==> alle Lösungen sind der Form (0, 0, t), wobei t frei
==> linear abhängig
```

24
notes/vorlage.md

@ -0,0 +1,24 @@
1. **Zz**: Die additive Struktur ist eine kommutative Gruppe.
Wir gehen die Axiome durch:
- **Zz:** Assoziativität
..
- **Zz:** Kommutativität:
..
- **Zz:** additives Neutralelement (Nullelement)
..
- **Zz:** Existenz additiver Inverser.
..
2. **Zz**: Skalarmultiplikation ist assoziativ.
- ..
3. **Zz**: Skalarmultiplikation ist distributiv.
- ..
4. **Zz**: $1\cdot u=u$ für alle Elemente $u$
- ..

9
protocol/woche7/README.md

@ -2,8 +2,9 @@
## Ablauf ##
- ( ) allgemeine Ankündigungen
- (x) allgemeine Ankündigungen
- Berechnungen —> Beweise?
- ( ) ÜB5 ?
- ( ) SKA 7
- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)
- (x) ÜB5 ?
- (√) ÜB6
- (√) SKA 7
- (√) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)

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