master > master: Protokoll W7

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@@ -77,6 +77,7 @@ Unter Mathematikern, Wissenschaftlern, (womöglich auch Ingenieuren), und Inform
     - Pandocs (kombiniert so ziemlich alles!)
     - Rmd (R Markdown)
     - pynb/JyPyter (Python notebooks)
+    - online Editors (siehe z. B. [stackedit](https://stackedit.io/editor)).
 
 Am Rechner schreibe ich alles meistens in Markdown oder LaTeX-Dateien.
 Wenn ich wirklich schnell schreiben will, und mir die Formattierung egal ist,

notes/berechnungen_wk7.md

@@ -0,0 +1,231 @@
+https://stackedit.io/editor
+
+# SKA 7 #
+
+## SKA 7-1 ##
+
+Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (1)**].
+
+**Behauptung.** Seien $n\in\mathbb{N}$ und $K$ ein Körper.
+Dann bildet $K^{n}$, versehen mit _punktweise Addition_
+und vermöge $\alpha\cdot(x_{i})_{i=1}^{n}=(\alpha x_{i})_{i=1}^{n}$
+definierte Skalarmultiplikation
+einen Vektorraum.,
+
+**Beweis.**
+
+1. **Zz**: $(K^{n},+)$ mit punktweise Addition ist eine kommutative Gruppe.
+
+    **Ansatz I.** $(K^{n},+,\mathbf{0})$ ist lediglich die Produktgruppe aus $n$ Kopien von $(K,+,0_{K})$,
+also sofort eine kommutative Gruppe.
+
+    **Ansatz II.** Wir gehen die Axiome durch:
+
+    - **Zz:** $(K^{n},+)$ ist assoziativ:
+
+        ..
+
+    - **Zz:** $(K^{n},+)$ ist kommutativ:
+
+        Seien $\mathbf{u}=(u_{i})_{i=1}^{n},\mathbf{v}=(v_{i})_{i=1}^{n}\in K^{n}$.
+        Zu zeigen ist, dass
+        $(u_{i})_{i}+(v_{i})_{i}=(v_{i})_{i}+(u_{i})_{i}$.
+
+        $$(u_{i})_{i}+(v_{i})_{i}
+        =^{\text{Defn}} (u_{i}+v_{i})_{i}
+        =^{\ast} (v_{i}+u_{i})_{i}
+        =^{\text{Defn}} (v_{i})_{i}+(u_{i})_{i}
+        $$
+
+        Die Gleichung in ($\ast$) gilt, weil $(K,+)$ kommutativ ist.
+
+    - **Zz:** $(K^{n},+)$ hat ein Neutralelement
+
+        ..
+
+    - **Zz:** $(K^{n},+)$ hat Inverse
+
+        ..
+2. **Zz**: Skalarmultiplikation ist assoziativ.
+    - ..
+3. **Zz**: Skalarmultiplikation ist distributiv.
+Seien $\alpha,\beta\in K$ und $\mathbf{u}=(u_{i})_{i}\in K^{n}$.
+Zu zeigen:
+
+    $\begin{array}{rcl}
+        \alpha\cdot(\beta\cdot\mathbf{u}) &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot\mathbf{u}\\
+    \end{array}$
+
+    Es gilt
+
+    $\begin{array}{rcl}
+        \alpha\cdot(\beta\cdot\mathbf{u})
+            &= &\alpha\cdot(\beta\cdot(u_{i})_{i})\\
+            &= &\alpha\cdot(\beta\cdot u_{i})_{i}\\
+            &= &(\alpha\cdot(\beta\cdot u_{i}))_{i}\\
+            &=^{\ast} &((\alpha\cdot\beta)\cdot u_{i}))_{i}\\
+            &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot (u_{i}))_{i}\\
+            &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot \mathbf{u}\\
+    \end{array}$
+
+    Gleichung ($\ast$) gilt weil $(K,\cdot)$ assoziativ ist.
+
+4. **Zz**: $1\cdot\mathbf{u}=\mathbf{u}$ für alle $\mathbf{u}\in K^{n}$
+    - ..
+
+Also ist $K^{n}$ ein Vektorraum.
+**QED**
+
+## SKA 7-2 ##
+
+Einem jeden Element
+
+$$\left(\begin{matrix}
+    x_{1,1} &x_{1,2} &x_{1,3}\\
+    x_{2,1} &x_{2,2} &x_{2,3}
+\end{matrix}\right)$$
+
+aus $M_{2\times 3}(\mathbb{R})$ können wir das Element
+
+$$\left(\begin{matrix}
+    x_{1,1}\\
+    x_{1,2}\\
+    x_{1,3}\\
+    x_{2,1}\\
+    x_{2,2}\\
+    x_{2,3}\\
+\end{matrix}\right)$$
+
+zuordnen. Dies ist eine bijektive, lineare Abbildung
+$M_{2\times 3}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{6}$
+und (am wichtigsten!) preserviert Addition und Skalarmultiplikation.
+
+## SKA 7-3 ##
+
+Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (4)**].
+
+**Ansatz I:** Direkt.
+
+**Ansatz II:** Ist äquivalent (»isomorphisch«) zu $\mathbb{R}^{3}$.
+Aber allgemein (für nicht endliche Mengen, $X$) muss man die Axiome durchgehen.
+
+$f\in\mathop{Abb}(\{a,b,c\},\mathbb{R}) \mapsto v_{f}:=\left(\begin{matrix}f(a)\\f(b)\\f(c)\end{matrix}\right)\in\mathbb{R}^{3}$
+
+Man muss extra zeigen: $v_{f+g}=v_{f}+v_{g}$ und $v_{\alpha\cdot f}=\alpha\cdot v_{f}$ für alle $f,g\in\mathop{Abb}(\{a,b,c\},\mathbb{R})$ und $\alpha\in\mathbb{R}$.
+
+## SKA 7-4 ##
+
+Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (2)+(4)**].
+
+Hinweis: Ein Tuple, $a$, mit Werten in $K$ und Indizes über $\mathbb{N}$
+ist eine Kurzhand für eine Funktion ${a:\mathbb{N}\to K}$.
+Das gilt eigentlich für alle (unendlichen) Mengen.
+(Im endlichen Falle hat man verschiede Alternativen, um Tupeln zu realisieren.)
+
+## SKA 7-5 ##
+
+Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (5)**].
+
+Ansatz I: direkt.
+
+Ansatz II: arbeite mit Basen.
+
+## SKA 7-6 ##
+
+.
+
+## SKA 7-7 + 12 ##
+
+Seien $m,n\in\mathbb{N}$ und $A\in M_{m\times n}(K)$ eine Matrix und $b\in K^{m}$. Und wir betrachten das LGS $Ax = b$.
+
+Homogener Lösungsraum: $V:=\{x\in K^{n}\mid Ax=\mathbf{0}\}$.
+Zu zeigen: $V$ ist ein Untervektorraum.
+
+- **Zz**: $V\neq\emptyset$. Das gilt weil $\mathbf{0}\in V$, weil $A\mathbf{0}=\mathbf{0}$.
+- Seien $u,v\in V$ und $\alpha\in K$. **Zz:** $\alpha u+v\in V$.
+Es gilt
+$A(\alpha u+v)=\alpha Au+Av=\alpha\cdot\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}$, weil $u,v\in V$. Also gilt $\alpha u+v\in V$ per Konstruktion.
+
+
+
+Lösungsraum: $W:=\{x\in K^{n}\mid Ax=b\}$.
+Zu zeigen: $W$ ist ein affiner Unterraum.
+
+- Wenn $Ax=b$ keine Lösung hat, dann gilt $W=\emptyset$ und damit ist $W$ per Definition affin.
+- Wenn $Ax=b$ eine Lösung hat... Fixiere eine Lösung $x_{0}\in K^{n}$. Darum gilt
+
+    $\begin{array}{rcl}
+        W &= &\{x\in K^{n}\mid x=u+x_{0},\, Au=\mathbf{0}\}\\
+        &= &\{x\in K^{n}\mid x=u+x_{0},\, u\in V\}\\
+        &= &x_{0}+V\\
+    \end{array}$
+
+    Also ist $W$ die Summe aus einem Vektor und einem linearen Unterraum (siehe A7-7). Darum ist $W$ affin.
+
+
+
+
+
+
+## SKA 7-8 ##
+
+.
+
+## SKA 7-9 ##
+
+Vgl. [Skript, **Lemma 5.1.6**].
+
+**Behauptung.** Seien $V$ ein Vektorraum über $K$
+und $U_{i}\subseteq V$ Untervektorräume. Dann ist $U:=\bigcap_{i\in I}U_{i}\subseteq V$ wiederum ein Untervektorraum.
+
+**Beweis.**
+Wir gehen die Axiome durch:
+
+(NL) Beachte, dass $0\in U_{i}$ für alle $i\in I$.
+Darum $0\in\bigcap_{i\in I}U_{i}=U$.
+Insbesondere ist $U$ nicht leer.
+
+(LK) Seien $\alpha,\beta\in K$ und $u,v\in U$.
+**Zz:** $\alpha u+\beta v\in U$.
+
+Sei $i\in I$. Dann $u,v\in U_{i}$.
+Da $U_{i}$ ein UVR ist, gilt $\alpha u+\beta v\in U_{i}$.
+
+Da das für alle $i\in I$ gilt, gilt
+$\alpha u+\beta v\in \bigcap_{i\in I}U_{i}=U$.
+
+Darum ist $U$ ein UVR.
+**QED**
+
+
+## SKA 7-10 ##
+
+.
+## SKA 7-11 ##
+
+.
+## SKA 7-13 ##
+
+.
+## SKA 7-14 ##
+
+.
+## SKA 7-15 ##
+
+.
+## SKA 7-16 ##
+
+
+```
+1 5 3 0
+2 4 0 0
+2 4 0 0
+
+1 # # | 0
+0 0 1 | 0
+0 0 0 | 0
+
+==> alle Lösungen sind der Form (0, 0, t), wobei t frei
+
+==> linear abhängig
+```

notes/vorlage.md

@@ -0,0 +1,24 @@
+1. **Zz**: Die additive Struktur ist eine kommutative Gruppe.
+Wir gehen die Axiome durch:
+
+    - **Zz:** Assoziativität
+
+        ..
+
+    - **Zz:** Kommutativität:
+
+        ..
+
+    - **Zz:** additives Neutralelement (Nullelement)
+
+        ..
+
+    - **Zz:** Existenz additiver Inverser.
+
+        ..
+2. **Zz**: Skalarmultiplikation ist assoziativ.
+    - ..
+3. **Zz**: Skalarmultiplikation ist distributiv.
+    - ..
+4. **Zz**: $1\cdot u=u$ für alle Elemente $u$
+    - ..

protocol/woche7/README.md

@@ -2,8 +2,9 @@
 
 ## Ablauf ##
 
-- ( ) allgemeine Ankündigungen
+- (x) allgemeine Ankündigungen
     - Berechnungen —> Beweise?
-- ( ) ÜB5 ?
+- (x) ÜB5 ?
-- ( ) SKA 7
+- (√) ÜB6
-- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)
+- (√) SKA 7
+- (√) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)