master > master: Umstrukturierung
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136
README.md
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README.md
@ -235,3 +235,139 @@ Die **Julia**-Programmiersprache soll auch sehr gut sein und kann auf <https://j
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Es bedarf hier zumindest Grundkenntnisse von Programmiersprachen.
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**Julia** hat den Vorteil von Geschwindigkeit (für kleine Matrixberechnungen irrelevant, aber sobald man mit größeren Datensets umgeht wird dies wichtig sein).
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Hierfür muss man sich den Umgang mit Typen aneignen, was generell zu saubererem Code führt.
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## Einzelheiten über den Kurs ##
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Die URL zum Kurs findet man hier: <http://www.math.uni-leipzig.de/~sinn/lehre/LA1.html>.
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### Wöchentliches Protokoll ###
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Jede Woche wird ein Protokoll in Markdown-Dateien im Ordner [/protocol][./protocol/] festgehalten.
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Beachte, dass wir uns in Wochen 12 + 13 der Wiederholung vor der Klausur widmeten.
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### Übungsgruppen ###
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Die Übungsgruppen sind Pflichtveranstaltungen.
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Jede Woche besteht der Ablauf grob aus folgenden Teilen:
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- allgemeine Ankündigungen
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- Präsentation von SKA von jeder Gruppe (sofern anstehend)
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- Besprechung von ÜB aus vorheriger Woche (sofern korrigiert)
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- Besprechung vom Stoff aus VL
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- Quiz 10min
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- Breakout-Rooms für SKA
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Je nach Zeit und Nachfrage fallen manche Dinge aus, damit wir uns den wichtigeren Teilen widmen können.
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### Leistungen ###
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Klausurzulassung, wenn
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- ~~?/? Quizzes~~ ⟶ keine Voraussetzung mehr. Die Quizzes sind freiwillig!
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- ≥ 50% der Punkte von 11 Übungsblättern (82,5 Punkte).
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- **ACHTUNG:** Es gibt zwar ~~ggf. ein 12. ÜB und~~ mehr Punkte auf einigen Blättern, aber der Schwellwert bleibt bei 82,5 Pkt, so der Professor.
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### Klausur ###
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Allgemeine Infos:
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- am **12.02.2021** zw. **12:00–14:00**.
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- Geplante Schreibdauer: **90 min** (30min Pufferzeit eingebaut, damit man Dateien herunter und hochladen kann).
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- 6 Aufgaben
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Im folgenden Abschnitt werden empfohlenes Material zur Vorbereitung stichpunktartig aufgelist.
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**ANMERKUNG 1:** Siehe bitte zuerst das **Hinweise** Blatt auf dem Kurs-Moodle im Beitrag von Professor Sinn über die Klausurvorbereitung.
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Das enthält Hinweise über relevanten Inhalt sowie nützliche Aufgaben zur Wiederholung.
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**ANMERKUNG 2:** Dies ist als Hinweis zu verstehen.
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Generell für eine Klausur muss man den ganzen in der VL behandelten Stoff gemeistert haben.
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Diese sind als minimalistische Listen von Aspekten gedacht,
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die auf jeden Fall für die Klausur wichtig sind.
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Sie sind nicht unbedingt vollständig.
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#### Themen / VL-Materialien ####
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- Kapitel 1: Müsst ihr allgemein kennen.
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- Konkrete Dinge wie Strecken, Ebenen, usw. kommen eher in Geometrie und hier nicht vor.
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||||
- Eliminationsverfahren und Lösbarkeit von LGS:
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- Lösung des homogenen Systems Ax = 0
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||||
- Lösung des inhomogenen Systems Ax = b
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- Die Äquivalenzen in §6.4 fassen einiges hier viel kürzer zusammen.
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||||
- Kapitel 2: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit
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||||
- Axiomen von (partiellen/totalen) Ordnungsrelationen
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||||
- Axiomen von Äquivalenzrelationen
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||||
- Für Funktionen, ƒ : X ⟶ Y
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||||
- der Graph von ƒ
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- Umkehrabbild ƒ¯¹ (wenn ƒ bijektiv ist).
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||||
- ƒ¯¹(B) für B ⊆ Y, d. h. Urbildmengen von B unter ƒ
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(!! und dass dies NICHT dasselbe wie das Inverse ƒ¯¹ : Y ⟶ X ist !!)
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||||
- ƒ(A) für A ⊆ X, d. h. Bild von A unter ƒ
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||||
- Konzepte von Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
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||||
(!! und dass sich diese NICHT gegenseitig ausschließen!!)
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- Komposition von Funktionen
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- Kapitel 3: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit
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- ℤ/_n_ für konkrete Werte von _n_,
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||||
- Berechnung von Addition, Multiplikation, und Inversen modulo _n_ (for konkrete Werte).
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- Kapitel 4:
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- Grundkonzepte wie Inverses in Gruppentheorie.
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||||
- Grundkonzepte von Körpern und Ringen.
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||||
- Umgang mit LGS über Vektorräume über einem Körper K (konkreter Umgang mit 𝔽ₚ für _p_ prim):
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||||
- genau wie bei ℝ-wertigen Matrizen nur mit Addition/Multiplikation/Inversen in 𝔽ₚ (d. h. ℤ/_p_).
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||||
- man muss insbesondere Division durch 0 mod p vermeiden und es hilft,
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||||
die Werte immer als Werte aus {0, 1, 2, ..., p–1} darzustellen.
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||||
Z. B. in 𝔽₅ sollte man eine Matrix
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||||
A = ( 12 -1 4 1 )
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( 0 80 -17 28 )
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eher darstellen als
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A = ( 2 4 4 1 )
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( 0 0 3 3 ),
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damit man vor allem den Rang und die Zeilenstufen richtig erkennt.
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- Kapitel 5: Hier müsst ihr generell alles meistern.
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||||
- dass man aus Vektorräumen andere Vektorräume konstruieren kann (z. B. durch Produkte)
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- Unterräume
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- Lin(A) für A ⊆ V, V ein Vektorraum
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- Basis:
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- lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basis.
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||||
- Überprüfung von linearer Unabhängigkeit
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||||
- Berechnung von Basen:
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||||
- anhand einer Menge von Vektorren:
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||||
- Reduktion einer Menge von Vektoren auf eine (maximale) linear unabhängige Teilmenge
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||||
- Erweiterung von Vektoren auf eine Basis
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||||
- Basis des Spaltenraums, Bild(A), für eine Matrix, A:
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||||
- A ⟶ Zeilenstufenform ⟶ merke Spaltenpositionen j1, j2, ... wo Stufen sind
|
||||
- Die Spalten j1, j2, ... von der Originalmatrix, A, bilden eine Basis von Bild(A)
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||||
- Konkrete Fälle:
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||||
- „kanonische Basis“ von ℝⁿ für beliebige konkrete Werte von _n_.
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||||
- „exotische“ Beispiele von Vektorräume wie der Raum der Polynomen, ℝ\[x\], und deren „kanonische“ Basen.
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||||
- Dimension, Dimensionsformel.
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||||
- Rang:
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||||
- Zeilenrang := #Stufen von A in Zeilenstufenform
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- Spaltenrang := dim(Bild(A))
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||||
- **Lemma:** Zeilenrang = Spaltenrang
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||||
- **Definition:** Rang := Zeilenrang = Spaltenrang;
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||||
- Kapitel 6 | 6.1–6.4:
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- lin. Abb
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- Kern, Bild
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- Injektivität, Surjektivität, Bijektivität („Isomorphismus“)
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||||
- Zusammenhang zw. Dimension von U, V und Eigenschaften von einer linearen Abbildung φ : U ⟶ V.
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- !! Lineare Ausdehnung !!
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- insbes. 6.1.13, nur bekommt ihr eine Situation,
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wo ihr eine Definition auf einer Basis + einem zusätzlichen linear abhängigen Element bekommt
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||||
- Das Konzept von Darstellungsmatrizen (aber nicht die Berechnung von Basiswechseln)
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||||
- Invertierbare Matrizen (musst algebraisch/symbolisch damit umgehen können, aber ihr müsst keine Inversen explizit ausrechnen). Ihr müsst aber Konzepte anwenden wie (AB)¯¹ = B¯¹A¯¹,
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und dass der Raum der invertierbaren Matrizen unter Multiplikation stabil sind.
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- Kapitel 6 | 6.5+: nicht behandelt.
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- Kapitel 7: nicht behandelt
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#### Was _anscheindend_ nicht in der Klausur vorkommt ####
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- _Räume_ von linearen Operatoren, also die Vektorräume der Form L(V, W). (Aber ihr müsst natürlich mit linearen Operatoren umgehen können!)
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- Basiswechseln
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- Koordinatenwecheln
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- Inverse von Matrizen explizit berechnen.
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@ -1,135 +0,0 @@
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# Kurs #
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Die URL vom Kurs findet man hier: <http://www.math.uni-leipzig.de/~sinn/lehre/LA1.html>.
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## Notizen aus jeder Woche ##
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Jede Woche werden Anmerkungen in Markdown-Dateien hier in den \*.md Dateien festgehalten.
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Beachte, dass wir uns in Wochen 12 + 13 der Wiederholung vor der Klausur widmeten.
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## Übungsgruppen ###
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Die Übungsgruppen sind Pflichtveranstaltungen.
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Jede Woche besteht der Ablauf grob aus folgenden Teilen:
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- allgemeine Ankündigungen
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- Präsentation von SKA von jeder Gruppe (sofern anstehend)
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- Besprechung von ÜB aus vorheriger Woche (sofern korrigiert)
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- Besprechung vom Stoff aus VL
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- Quiz 10min
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- Breakout-Rooms für SKA
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Je nach Zeit und Nachfrage fallen manche Dinge aus, damit wir uns den wichtigeren Teilen widmen können.
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## Leistungen ##
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Klausurzulassung, wenn
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- ~~?/? Quizzes~~ ⟶ keine Voraussetzung mehr. Die Quizzes sind freiwillig!
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- ≥ 50% der Punkte von 11 Übungsblättern (82,5 Punkte).
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- **ACHTUNG:** Es gibt zwar ~~ggf. ein 12. ÜB und~~ mehr Punkte auf einigen Blättern, aber der Schwellwert bleibt bei 82,5 Pkt, so der Professor.
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## Klausur ##
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Allgemeine Infos:
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- am **12.02.2021** zw. **12:00–14:00**.
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- Geplante Schreibdauer: **90 min** (30min Pufferzeit eingebaut, damit man Dateien herunter und hochladen kann).
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- 6 Aufgaben
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Im folgenden Abschnitt werden empfohlenes Material zur Vorbereitung stichpunktartig aufgelist.
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**ANMERKUNG 1:** Siehe bitte zuerst das **Hinweise** Blatt auf dem Kurs-Moodle im Beitrag von Professor Sinn über die Klausurvorbereitung.
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Das enthält Hinweise über relevanten Inhalt sowie nützliche Aufgaben zur Wiederholung.
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**ANMERKUNG 2:** Dies ist als Hinweis zu verstehen.
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Generell für eine Klausur muss man den ganzen in der VL behandelten Stoff gemeistert haben.
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Diese sind als minimalistische Listen von Aspekten gedacht,
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die auf jeden Fall für die Klausur wichtig sind.
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Sie sind nicht unbedingt vollständig.
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### Themen / VL-Materialien ###
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- Kapitel 1: Müsst ihr allgemein kennen.
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- Konkrete Dinge wie Strecken, Ebenen, usw. kommen eher in Geometrie und hier nicht vor.
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- Eliminationsverfahren und Lösbarkeit von LGS:
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- Lösung des homogenen Systems Ax = 0
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- Lösung des inhomogenen Systems Ax = b
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- Die Äquivalenzen in §6.4 fassen einiges hier viel kürzer zusammen.
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- Kapitel 2: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit
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- Axiomen von (partiellen/totalen) Ordnungsrelationen
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- Axiomen von Äquivalenzrelationen
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- Für Funktionen, ƒ : X ⟶ Y
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- der Graph von ƒ
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- Umkehrabbild ƒ¯¹ (wenn ƒ bijektiv ist).
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- ƒ¯¹(B) für B ⊆ Y, d. h. Urbildmengen von B unter ƒ
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(!! und dass dies NICHT dasselbe wie das Inverse ƒ¯¹ : Y ⟶ X ist !!)
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- ƒ(A) für A ⊆ X, d. h. Bild von A unter ƒ
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- Konzepte von Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
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(!! und dass sich diese NICHT gegenseitig ausschließen!!)
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- Komposition von Funktionen
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- Kapitel 3: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit
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- ℤ/_n_ für konkrete Werte von _n_,
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- Berechnung von Addition, Multiplikation, und Inversen modulo _n_ (for konkrete Werte).
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- Kapitel 4:
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- Grundkonzepte wie Inverses in Gruppentheorie.
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- Grundkonzepte von Körpern und Ringen.
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- Umgang mit LGS über Vektorräume über einem Körper K (konkreter Umgang mit 𝔽ₚ für _p_ prim):
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- genau wie bei ℝ-wertigen Matrizen nur mit Addition/Multiplikation/Inversen in 𝔽ₚ (d. h. ℤ/_p_).
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- man muss insbesondere Division durch 0 mod p vermeiden und es hilft,
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die Werte immer als Werte aus {0, 1, 2, ..., p–1} darzustellen.
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Z. B. in 𝔽₅ sollte man eine Matrix
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A = ( 12 -1 4 1 )
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( 0 80 -17 28 )
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eher darstellen als
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A = ( 2 4 4 1 )
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( 0 0 3 3 ),
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damit man vor allem den Rang und die Zeilenstufen richtig erkennt.
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- Kapitel 5: Hier müsst ihr generell alles meistern.
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- dass man aus Vektorräumen andere Vektorräume konstruieren kann (z. B. durch Produkte)
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- Unterräume
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- Lin(A) für A ⊆ V, V ein Vektorraum
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- Basis:
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- lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basis.
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- Überprüfung von linearer Unabhängigkeit
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- Berechnung von Basen:
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- anhand einer Menge von Vektorren:
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- Reduktion einer Menge von Vektoren auf eine (maximale) linear unabhängige Teilmenge
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- Erweiterung von Vektoren auf eine Basis
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- Basis des Spaltenraums, Bild(A), für eine Matrix, A:
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- A ⟶ Zeilenstufenform ⟶ merke Spaltenpositionen j1, j2, ... wo Stufen sind
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- Die Spalten j1, j2, ... von der Originalmatrix, A, bilden eine Basis von Bild(A)
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- Konkrete Fälle:
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- „kanonische Basis“ von ℝⁿ für beliebige konkrete Werte von _n_.
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- „exotische“ Beispiele von Vektorräume wie der Raum der Polynomen, ℝ\[x\], und deren „kanonische“ Basen.
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- Dimension, Dimensionsformel.
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- Rang:
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- Zeilenrang := #Stufen von A in Zeilenstufenform
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- Spaltenrang := dim(Bild(A))
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- **Lemma:** Zeilenrang = Spaltenrang
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- **Definition:** Rang := Zeilenrang = Spaltenrang;
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- Kapitel 6 | 6.1–6.4:
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- lin. Abb
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- Kern, Bild
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- Injektivität, Surjektivität, Bijektivität („Isomorphismus“)
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- Zusammenhang zw. Dimension von U, V und Eigenschaften von einer linearen Abbildung φ : U ⟶ V.
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- !! Lineare Ausdehnung !!
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- insbes. 6.1.13, nur bekommt ihr eine Situation,
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wo ihr eine Definition auf einer Basis + einem zusätzlichen linear abhängigen Element bekommt
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- Das Konzept von Darstellungsmatrizen (aber nicht die Berechnung von Basiswechseln)
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- Invertierbare Matrizen (musst algebraisch/symbolisch damit umgehen können, aber ihr müsst keine Inversen explizit ausrechnen). Ihr müsst aber Konzepte anwenden wie (AB)¯¹ = B¯¹A¯¹,
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und dass der Raum der invertierbaren Matrizen unter Multiplikation stabil sind.
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- Kapitel 6 | 6.5+: nicht behandelt.
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- Kapitel 7: nicht behandelt
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### Was _anscheindend_ nicht in der Klausur vorkommt ###
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- _Räume_ von linearen Operatoren, also die Vektorräume der Form L(V, W). (Aber ihr müsst natürlich mit linearen Operatoren umgehen können!)
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- Basiswechseln
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- Koordinatenwecheln
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- Inverse von Matrizen explizit berechnen.
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