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master > master: kürzer Gleichungen

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@ -3365,8 +3365,8 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\hraum
Offensichtlich hat $(\Pot(C)\ohne\{\leer\},\subseteq)$ kein kleinstes Element.
Die Menge der minimalen Elementen ist $\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$,
d.\,h. es gibt $3$ minimale Elemente.
Die Menge der minimalen Elementen ist durch $\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$ gegeben.
Also gibt es $3$ minimale Elemente.
%% SKA 4-5
\let\altsectionname\sectionname
@ -3387,12 +3387,9 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
w\sim w' &:\Longleftrightarrow &f(w)=f(w),
\end{mathe}
wobei
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
f &: &W &\to &\Sigma\\
&: &w &\mapsto &\text{1. Buchstabe in $w$}\\
\end{mathe}
wobei $f:W\to\Sigma$ die Abbildung mit
$f(w)=\text{1. Buchstabe in $w$}$
für alle $w\in W$ ist.
Dann per Konstruktion \uline{reduziert} $f$
die Relation $(W,\sim)$ auf $(\Sigma,=)$.
@ -3712,13 +3709,13 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\textbf{Zu zeigen:} $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$ gilt.\\
Es gilt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{mathe}[mc]{rclql}
|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|
&= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}\times E_{n}|\\
&= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}|\cdot|E_{n}|\\
&&\text{da $\Phi(2)$ gilt}\\
&= &\prod_{i=1}^{n-1}|E_{i}|\cdot|E_{n}|\\
&&\text{wegen der IV}\\
&= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}|\cdot|E_{n}|,
&\text{da $\Phi(2)$ gilt}\\
&= &\prod_{i=1}^{n-1}|E_{i}|\cdot|E_{n}|
&\text{wegen der IV}\\
&= &\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|.\\
\end{mathe}
@ -3781,17 +3778,17 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
sind $X\times Y'$ und $X\times\{y_{0}\}$ ebenfalls disjunkt.
Es folgt
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
\begin{longmathe}[mc]{RCLqL}
|X\times Y|
&= &|X\times (Y'\cup\{y_{0}\}|\\
&= &|(X\times Y')\cup (X\times\{y_{0}\})|\\
&= &|X\times Y'| + |X\times\{y_{0}\}|\\
&&\text{wegen Disjunktheit}\\
&= &|X|\cdot(n-1) + |X|\cdot 1\\
&&\text{wegen des Falls für $1$-elementigen Mengen}\\
&= &|X|\cdot n\\
&&\text{wegen der rekursiven Definition von Multiplikation}\\
&= &|X|\cdot |Y|,\\
&= &|X\times Y'| + |X\times\{y_{0}\}|
&\text{wegen Disjunktheit}\\
&= &|X|\cdot(n-1) + |X|\cdot 1
&\text{wegen Fall für $1$-elem. Mengen}\\
&= &|X|\cdot n
&\text{wegen rekursiver Defn von Multiplikation}\\
&= &|X|\cdot |Y|.\\
\end{longmathe}
\end{kompaktenum}