|
|
|
|
@ -1,4 +1,4 @@
|
|
|
|
|
## Woche 8 (KW 51, 14.—20.12.) ## |
|
|
|
|
# Woche 8 (KW 51, 14.—20.12.) # |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Ablauf ## |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ -8,6 +8,31 @@
|
|
|
|
|
für einen einfachen Umgang mit Matrizen am Rechner, bes. über ℂ. |
|
|
|
|
- Klausur? |
|
|
|
|
- ( ) ÜB7 |
|
|
|
|
- ( ) ÜB8 |
|
|
|
|
- evtl. A7-2 kurz zeigen (Gaußverfahren --> wie man Rang und lin. unabh. Vektoren aus Resultat abliest). |
|
|
|
|
- ( ) ÜB8 / Hinweise |
|
|
|
|
- Aufgabe 8-1. |
|
|
|
|
- Beachte: U₁ = {u₁}^⊥ für eine passende Wahl von u₁ ∈ ℝ⁴. |
|
|
|
|
- Berechne Basisergänzungen {u₁} |
|
|
|
|
---> reicht aus, auf (u₁ | e₁ | e₂ | e₃ | e₄) das Gaußverfahren anzuwenden, |
|
|
|
|
um die linear unabhängigen Vektoren zu bestimmen. |
|
|
|
|
- Wende Gram-Schmidt an, um jeweils eine ONB (Orthonomalbasis), {u₁, q₁, q₂, q₃} daraus zu bestimmen. |
|
|
|
|
- Dann ist {q₁, q₂, q₃} eine Basis für U₁ |
|
|
|
|
- Gleicher Vorgang für U₂ --> führt zu einer Basis {r₁, r₂, r₃}. |
|
|
|
|
- U₁∩U₂ = {u₁}^⊥∩{u₂}^⊥ = {u₁,u₂}^⊥ ---> wiederhole das o. s. aber mit (u₁ | u₂ | e₁ | e₂ | e₃ | e₄). |
|
|
|
|
- U₁+U₂ = Lin{q₁, q₂, q₃} + Lin{r₁, r₂, r₃} = Lin{q₁, q₂, q₃, r₁, r₂, r₃} |
|
|
|
|
---> wende Gaußverfahren auf (q₁ | q₂ | q₃ | r₁ | r₂ | r₃) an, |
|
|
|
|
um auf eine linear unabhängig Menge zu reduzieren. |
|
|
|
|
- Aufgabe 8-2. |
|
|
|
|
- [Skript, Bsp. 5.2.5 (7)] |
|
|
|
|
- (†) Insbes. gilt dim(ℝ[x]_d) = d+1 |
|
|
|
|
- (††) {1, x, x^2, ..., x^d} eine Basis |
|
|
|
|
- [Skript, Korollar 5.4.4] |
|
|
|
|
- (*) Angenommen, man zeigt, dass A:={1, (x-1), (x-1)^2, ..., (x-1)^d} sei lin. unabhängig. |
|
|
|
|
- Da |A|=d+1=dim(ℝ[x]_d) ist A eine Basis. |
|
|
|
|
- ---> darum reicht es aus, (*) **zu zeigen**. |
|
|
|
|
Dabei können wir (††) ausnutzen. |
|
|
|
|
- Aufgabe 8-3. Alles genau das, was man erwartet. Bei (c) beachte, dass im Vektorraum, W, die Zahl ι kein Skalar ist. |
|
|
|
|
- ( ) SKA 8 |
|
|
|
|
- 4,7,8,10 |
|
|
|
|
- Th. 5,9,11 |
|
|
|
|
- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest) |
|
|
|
|
|
