main > main: README aktualisiert
This commit is contained in:
parent
baef622fc5
commit
75931f67e2
295
README.md
295
README.md
@ -1,4 +1,4 @@
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# Repository für Lineare Algebra / Übungsgruppe #
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# Repository für Lineare Algebra / Übungsgruppe #
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In diesem Repository werden Ressourcen hochgeladen,
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zum Beispiel Skripte oder Dokumente für mathematische Argumente.
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@ -9,10 +9,10 @@ Gründe hierfür:
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Dieses Repo enthält
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1. Code/Codeschnippsel: siehe [/code](./code).
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2. Dokument inklusive meiner Lösungen zu den Übungsblättern (die nach dem Abgabetermin hochgeladen werden): siehe [/docs](./docs) und [/docs/loesungen.pdf](./docs/loesungen.pdf).
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3. Notizen/Kritzelei für mathematische Argumente, Berechnungen, usw.: siehe [/notes](./notes).
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4. Protokolle von den Übungsgruppen: siehe [/protocol](./protocol).
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1. Code/Codeschnippsel: siehe [code](./code).
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2. Dokument inklusive meiner Lösungen zu den Übungsblättern (die nach dem Abgabetermin hochgeladen werden): siehe [docs](./docs) und [docs/loesungen.pdf](./docs/loesungen.pdf).
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3. Notizen/Kritzelei für mathematische Argumente, Berechnungen, usw.: siehe [notes](./notes).
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4. Protokolle von den Übungsgruppen: siehe [protocol](./protocol).
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Im Rest dieses Dokuments werden _Einzelheiten zum Kurs_, das Thema _mathematisches Denken_, und Software-Tipps diskutiert.
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@ -50,52 +50,42 @@ Klausurzulassung, wenn
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### Klausur ###
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Allgemeine Infos:
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Siehe bitte zuerst das **Hinweise**-Blatt auf dem Kurs-Moodle im Beitrag über die Klausurvorbereitung.
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Dies enthält Hinweise über relevante Inhalte sowie nützliche Aufgaben zur Wiederholung.
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- am **12.02.2021** zw. **12:00–14:00**.
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- Geplante Schreibdauer: **90 min** (30min Pufferzeit eingebaut, damit man Dateien herunter und hochladen kann).
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- 6 Aufgaben
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Im folgenden Abschnitt werden empfohlenes Material zur Vorbereitung stichpunktartig aufgelist.
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**ANMERKUNG 1:** Siehe bitte zuerst das **Hinweise** Blatt auf dem Kurs-Moodle im Beitrag von Professor Sinn über die Klausurvorbereitung.
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Das enthält Hinweise über relevanten Inhalt sowie nützliche Aufgaben zur Wiederholung.
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**ANMERKUNG 2:** Dies ist als Hinweis zu verstehen.
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**ANMERKUNG:** Folgende Punkte sind _nur_ als weitere Hinweise zu verstehen.
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Generell für eine Klausur muss man den ganzen in der VL behandelten Stoff gemeistert haben.
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Diese sind als minimalistische Listen von Aspekten gedacht,
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Folgendes listet nur minimalistisch Aspekte auf,
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die auf jeden Fall für die Klausur wichtig sind.
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Sie sind nicht unbedingt vollständig.
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#### Themen / VL-Materialien ####
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- Kapitel 1: Müsst ihr allgemein kennen.
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- Konkrete Dinge wie Strecken, Ebenen, usw. kommen eher in Geometrie und hier nicht vor.
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- Eliminationsverfahren und Lösbarkeit von LGS:
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- Lösung des homogenen Systems Ax = 0
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- Lösung des inhomogenen Systems Ax = b
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- Die Äquivalenzen in §6.4 fassen einiges hier viel kürzer zusammen.
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- Konkrete Dinge wie Strecken, Ebenen, usw. kommen eher in Geometrie und hier nicht vor.
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||||
- Eliminationsverfahren und Lösbarkeit von LGS:
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||||
- Lösung des homogenen Systems Ax = 0
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||||
- Lösung des inhomogenen Systems Ax = b
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- Die Äquivalenzen in §6.4 fassen einiges hier viel kürzer zusammen.
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- Kapitel 2: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit
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- Axiomen von (partiellen/totalen) Ordnungsrelationen
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- Axiomen von Äquivalenzrelationen
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||||
- Für Funktionen, ƒ : X ⟶ Y
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- der Graph von ƒ
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- Umkehrabbild ƒ¯¹ (wenn ƒ bijektiv ist).
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- ƒ¯¹(B) für B ⊆ Y, d. h. Urbildmengen von B unter ƒ
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- Axiomen von (partiellen/totalen) Ordnungsrelationen
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- Axiomen von Äquivalenzrelationen
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||||
- Für Funktionen, ƒ : X ⟶ Y
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- der Graph von ƒ
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- Umkehrabbild ƒ¯¹ (wenn ƒ bijektiv ist).
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- ƒ¯¹(B) für B ⊆ Y, d. h. Urbildmengen von B unter ƒ
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(!! und dass dies NICHT dasselbe wie das Inverse ƒ¯¹ : Y ⟶ X ist !!)
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- ƒ(A) für A ⊆ X, d. h. Bild von A unter ƒ
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- Konzepte von Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
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- ƒ(A) für A ⊆ X, d. h. Bild von A unter ƒ
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||||
- Konzepte von Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
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(!! und dass sich diese NICHT gegenseitig ausschließen!!)
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- Komposition von Funktionen
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||||
- Komposition von Funktionen
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- Kapitel 3: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit
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- ℤ/_n_ für konkrete Werte von _n_,
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- Berechnung von Addition, Multiplikation, und Inversen modulo _n_ (for konkrete Werte).
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||||
- ℤ/_n_ für konkrete Werte von _n_,
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||||
- Berechnung von Addition, Multiplikation, und Inversen modulo _n_ (for konkrete Werte).
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- Kapitel 4:
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- Grundkonzepte wie Inverses in Gruppentheorie.
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||||
- Grundkonzepte von Körpern und Ringen.
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- Umgang mit LGS über Vektorräume über einem Körper K (konkreter Umgang mit 𝔽ₚ für _p_ prim):
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- genau wie bei ℝ-wertigen Matrizen nur mit Addition/Multiplikation/Inversen in 𝔽ₚ (d. h. ℤ/_p_).
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||||
- man muss insbesondere Division durch 0 mod p vermeiden und es hilft,
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||||
- Grundkonzepte wie Inverses in Gruppentheorie.
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- Grundkonzepte von Körpern und Ringen.
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- Umgang mit LGS über Vektorräume über einem Körper K (konkreter Umgang mit 𝔽ₚ für _p_ prim):
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||||
- genau wie bei ℝ-wertigen Matrizen nur mit Addition/Multiplikation/Inversen in 𝔽ₚ (d. h. ℤ/_p_).
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||||
- man muss insbesondere Division durch 0 mod p vermeiden und es hilft,
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die Werte immer als Werte aus {0, 1, 2, ..., p–1} darzustellen.
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Z. B. in 𝔽₅ sollte man eine Matrix
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@ -109,49 +99,42 @@ Sie sind nicht unbedingt vollständig.
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damit man vor allem den Rang und die Zeilenstufen richtig erkennt.
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- Kapitel 5: Hier müsst ihr generell alles meistern.
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||||
- dass man aus Vektorräumen andere Vektorräume konstruieren kann (z. B. durch Produkte)
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- Unterräume
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- Lin(A) für A ⊆ V, V ein Vektorraum
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||||
- Basis:
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||||
- lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basis.
|
||||
- Überprüfung von linearer Unabhängigkeit
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||||
- Berechnung von Basen:
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||||
- anhand einer Menge von Vektorren:
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||||
- Reduktion einer Menge von Vektoren auf eine (maximale) linear unabhängige Teilmenge
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||||
- Erweiterung von Vektoren auf eine Basis
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- Basis des Spaltenraums, Bild(A), für eine Matrix, A:
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||||
- A ⟶ Zeilenstufenform ⟶ merke Spaltenpositionen j1, j2, ... wo Stufen sind
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||||
- Die Spalten j1, j2, ... von der Originalmatrix, A, bilden eine Basis von Bild(A)
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||||
- Konkrete Fälle:
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||||
- „kanonische Basis“ von ℝⁿ für beliebige konkrete Werte von _n_.
|
||||
- „exotische“ Beispiele von Vektorräume wie der Raum der Polynomen, ℝ\[x\], und deren „kanonische“ Basen.
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||||
- Dimension, Dimensionsformel.
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- Rang:
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- Zeilenrang := #Stufen von A in Zeilenstufenform
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- Spaltenrang := dim(Bild(A))
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- **Lemma:** Zeilenrang = Spaltenrang
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- **Definition:** Rang := Zeilenrang = Spaltenrang;
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- dass man aus Vektorräumen andere Vektorräume konstruieren kann (z. B. durch Produkte)
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||||
- Unterräume
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- Lin(A) für A ⊆ V, V ein Vektorraum
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||||
- Basis:
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||||
- lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basis.
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||||
- Überprüfung von linearer Unabhängigkeit
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||||
- Berechnung von Basen:
|
||||
- anhand einer Menge von Vektorren:
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||||
- Reduktion einer Menge von Vektoren auf eine (maximale) linear unabhängige Teilmenge
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||||
- Erweiterung von Vektoren auf eine Basis
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- Basis des Spaltenraums, Bild(A), für eine Matrix, A:
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- A ⟶ Zeilenstufenform ⟶ merke Spaltenpositionen j1, j2, ... wo Stufen sind
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||||
- Die Spalten j1, j2, ... von der Originalmatrix, A, bilden eine Basis von Bild(A)
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- Konkrete Fälle:
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- „kanonische Basis“ von ℝⁿ für beliebige konkrete Werte von _n_.
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||||
- „exotische“ Beispiele von Vektorräume wie der Raum der Polynomen, ℝ\[x\], und deren „kanonische“ Basen.
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||||
- Dimension, Dimensionsformel.
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||||
- Rang:
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- Zeilenrang := #Stufen von A in Zeilenstufenform
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- Spaltenrang := dim(Bild(A))
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- **Lemma:** Zeilenrang = Spaltenrang
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- **Definition:** Rang := Zeilenrang = Spaltenrang;
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- Kapitel 6 | 6.1–6.4:
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- lin. Abb
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- Kern, Bild
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- Injektivität, Surjektivität, Bijektivität („Isomorphismus“)
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- Zusammenhang zw. Dimension von U, V und Eigenschaften von einer linearen Abbildung φ : U ⟶ V.
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- !! Lineare Ausdehnung !!
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- insbes. 6.1.13, nur bekommt ihr eine Situation,
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||||
- lin. Abb
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||||
- Kern, Bild
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||||
- Injektivität, Surjektivität, Bijektivität („Isomorphismus“)
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||||
- Zusammenhang zw. Dimension von U, V und Eigenschaften von einer linearen Abbildung φ : U ⟶ V.
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- !! Lineare Ausdehnung !!
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- insbes. 6.1.13, nur bekommt ihr eine Situation,
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wo ihr eine Definition auf einer Basis + einem zusätzlichen linear abhängigen Element bekommt
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- Das Konzept von Darstellungsmatrizen (aber nicht die Berechnung von Basiswechseln)
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- Invertierbare Matrizen (musst algebraisch/symbolisch damit umgehen können, aber ihr müsst keine Inversen explizit ausrechnen). Ihr müsst aber Konzepte anwenden wie (AB)¯¹ = B¯¹A¯¹,
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- Das Konzept von Darstellungsmatrizen (aber nicht die Berechnung von Basiswechseln)
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- Invertierbare Matrizen (musst algebraisch/symbolisch damit umgehen können, aber ihr müsst keine Inversen explizit ausrechnen). Ihr müsst aber Konzepte anwenden wie (AB)¯¹ = B¯¹A¯¹,
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und dass der Raum der invertierbaren Matrizen unter Multiplikation stabil sind.
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- Kapitel 6 | 6.5+: nicht behandelt.
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- Kapitel 7: nicht behandelt
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#### Was _anscheindend_ nicht in der Klausur vorkommt ####
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- _Räume_ von linearen Operatoren, also die Vektorräume der Form L(V, W). (Aber ihr müsst natürlich mit linearen Operatoren umgehen können!)
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- Basiswechseln
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- Koordinatenwecheln
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- Inverse von Matrizen explizit berechnen.
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## §2. Mathematisches Denken ##
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Mathematik ist eine präzise aber abstrakte Kunst.
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@ -216,23 +199,104 @@ Gründlich die Definitionen und Resultate durchgehen.
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Unter Mathematikern, Wissenschaftlern, (womöglich auch Ingenieuren), und Informatikern sind folgende Optionen sehr beliebt:
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- Markdown (+ rendering software od. Extensions auf Editoren wie VSCode)
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- sehr einfachen "plain" Texteditoren
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- LaTeX
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- Markdown, sowie die verschiedenen Kombinationen mit anderer Software:
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- Pandocs (kombiniert so ziemlich alles!)
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- Rmd (R Markdown)
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- pynb/JyPyter (Python notebooks)
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- online Editors (siehe z. B. [stackedit](https://stackedit.io/editor)).
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- Zeichenapps wie GoodNotes
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- die guten alten Stift + Zettel/Heft ... Vorteil: man muss nicht aufladen ; )
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Am Rechner schreibe ich alles meistens in Markdown oder LaTeX-Dateien.
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Wenn ich wirklich schnell schreiben will, und mir die Formattierung egal ist,
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benutze ich sogar Notepad / TextEditor / rtf.
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Freunde benutzen Apps, in denen man zeichnen kann. Das ist auch sehr nützlich.
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Es lohnt sich, einen guten Allzweck-Editor wie [VSCode](https://code.visualstudio.com/download)
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zu installieren.
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Mit so etwas kann man etliche gratis Extensions finden,
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die bspw. Syntax-Highlighting, Rendering, Code-Schnippsel für LaTeX, md, usw. bieten.
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## Software zwecks Berechnungen und Anschauungen ##
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Es gibt einige Hilfsmittel, derer man sich bedienen kann, um entweder Konzepte zu visualisieren oder zu berechnen.
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**Diese Möglichkeiten sind keineswegs verpflichtend!**
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### Python ###
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[Hier](https://www.python.org/downloads) kann man den Compiler herunterladen.
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Man kann auch ohne Installation python Skripte ausführen:
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einfach nach »python compiler online« googeln (oder z. B. <https://repl.it> -> `<>Start coding` —> Sprache auswählen).
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||||
**Vorteile:** Da man kein Memory-Allocation o. Ä., oder Typisierung pflegen muss, kann man mit grundlegenden Programmierkenntnissen sehr leicht in Python einsteigen.
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||||
Es gibt eine immense Community für Python und man kann sehr schnell online durch Foren u. Ä. Hilfe holen.
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||||
Die Python-Dokumentation ist sehr ausführlich und alles ist gut versioniert.
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||||
Möglicherweise werden einige von euch etwas im Bereich Data Science machen.
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Dafür ist python (aktuell) mit das gängigste Tool.
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||||
Generell (nicht nur wegen DS) lohnt es sich, Python (samt Modulen wie **numpy**/**numpy.linalg**, **pandas**, usw.) zu können.
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||||
**Nachteile:** Python ist nicht sonderlich schnell, aber bzgl. Geschwindigkeit definitiv besser als Geogebra.
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||||
Für Programmierer gibts an Python viel Grund zu meckern (z. B. keine echten privat/public/protected access modifiers, unsauberer Umgang mit Typing.).
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||||
Für Visualisierungen von Vektoren wäre Python nicht die beste Option.
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||||
Für unseren Kurs würde ich dies nur für die Ausführung von Algorithmen Empfehlen.
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**Anmerkung:** Um mit komplexen Zahlen in Python umzugehen, muss man `j` statt `i` für die imaginäre Zahl verwenden.
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Diese muss stets mit einem Koeffizienten versehen werden,
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d. h.
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```py
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x = 5 + 8j;
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x = 5 + 8*1j;
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x = 5 + 1j;
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x = 5 - 1j;
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x = 5 + 0j;
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x = 5;
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```
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usw. sind erlaubt, aber
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```py
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x = 5 + 8*j;
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x = 5 + j;
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x = 5 - j;
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```
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usw. nicht, weil hier logischerweise `j` als Variable interpretiert wird.
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So kann man mit Matrizen umgehen (am besten hierfür ein Skript anlegen und dieses über eine Terminal ausführen):
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```py
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import math
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import numpy as np
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import numpy.linalg as la
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A = np.asarray([
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[1, 2, 3, 7],
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[0.5, 0, 0, 2 + 1j]
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[0, 0, 0, math.sqrt(2)]
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])
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x = np.asarray([10, 100, 0, -1])
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print(A)
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print(A.T)
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print(A @ x) # Matrixmultiplikation
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print(la.det(A)) # Determinante
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B = A @ A.T # eine quadratische (sogar positive!) Matrix
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values, vectors = la.eig(B)
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print(values) # da B "positiv" ist, sind diese Werte alle reellwertig und ≥ 0
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||||
print(vector) # eine Matrix, deren Spalten Eigenvektoren von B sind (entsprechend den Eigenwerten)
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||||
Z = np.zeros((4, 2)) # eine 4 x 2 Matrix
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print(Z)
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||||
```
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Es gibt _etliches_, was man mit den `numpy` (und `scipy`) Bibliothek und Vektoren/Matrizen/Tensoren machen kann.
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Lass dir niemanden sagen, dass man "besser mit MatLab" (oder `R`) mit Matrizen umgehen kann.
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Da _gerade_ diese Sprache für KI optimiert wird, kann man sicher davon ausgehen,
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dass die zugrunde liegenden Bibliotheken mit `C` o. Ä. geschrieben und schnell sind.
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Natürlich kann und m. E. sollte man kompilierende Sprachen lernen wie `C++` od. `golang`/`Rustlang`/`vlang`, usw.
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Aber für Prototypen von komplexen Problemen, mit vielen Möglichkeiten für sauberes Programmieren
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||||
bleibt Python unschlagbar.
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### Geogebra ###
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Diese App ist ein lustiges aber sehr nützliches Programm, um schnell im 2-d Raum ($\mathbb{R}^{2}$) oder 3-d Raum ($\mathbb{R}^{3}$) geometrische Objekte und Konzepte zu realisieren.
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@ -254,7 +318,7 @@ Hier ein paar Beispiele in der Sprache:
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Eingabe von Matrizen und Vektoren:
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```
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```bash
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octave:1> A = [1 4; -7.1 3 + i; 0 8];
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octave:2> disp(A);
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1 4
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@ -273,7 +337,7 @@ octave:6> disp(x);
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||||
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Zeilenoperationen:
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```
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```bash
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||||
octave:5> disp(A(2,:));
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||||
4 3 + 1i 8
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||||
octave:6> A(2,:) = A(2,:) - 4*A(1,:);
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||||
@ -284,7 +348,7 @@ octave:7> disp(A);
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||||
|
||||
Matrixmultiplikation:
|
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||||
```
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||||
```bash
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||||
octave:1> A = [1 4 8; 3 6 -9]; x = [1 1 1].';
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||||
octave:2> b = A*x;
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||||
octave:3> disp(b);
|
||||
@ -300,6 +364,13 @@ octave:6> disp(A*x_); % wird bis auf machine-Fehler gleich b sein
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||||
1.5543e-15
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```
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**Nachteile:**
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Octave/MatLab fördern einen äußerst schlechten Programmierstil.
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Gut für kurze Berechnungen aber bis heute gibt es Unternehmen,
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die diese Sprache/n für größere Projekte benutzen, was einfach fatal ist.
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Octave/MatLab bieten keinen sauberen Umgang mit Typen od. Modulen an.
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||||
MatLab ist außerdem sehr teuer und **nicht open source**.
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### R ###
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Für **R** braucht man
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@ -321,52 +392,6 @@ Für die Logiker und Informatiker unter euch, wird es bspw. nerven, dass in **R*
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Für Programmierer, wird stören, dass **R** keine saubere Implementierung von Klassen, (lokalen) Imports, usw. anbietet
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(diese Dinge existieren, aber sind sehr umständlich).
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||||
### Python ###
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_„Pfft! Python ist nichts anderes als glorifiziertes Bash!“_ — ein ehem. Arbeitskollege
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Von diesem Zitat abgesehen ich persönlich liebe diese Sprache.
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||||
Man kann den Python-Compiler [hier](https://www.python.org/downloads/) herunterladen.
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||||
(ACHTUNG! Version 3.9.0 scheint mit C-libraries Probleme zu haben. Ich persönlich hatte Schwierigkeiten gewisse mathe-Module dafür zu installieren. Ich würde deshalb erstmals v3.8.xx empfehlen.)
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||||
Man kann auch ohne Installation python Skripte ausführen: einfach nach »python compiler online« googeln (oder z. B. <https://repl.it> -> `<>Start coding` —> Sprache auswählen).
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||||
|
||||
**Vorteile:** Da man kein Memory-Allocation o. Ä., oder Typisierung pflegen muss, kann man mit grundlegenden Programmierkenntnissen sehr leicht in Python einsteigen.
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||||
Es gibt eine immense Community für Python und man kann sehr schnell online durch Foren u. Ä. Hilfe holen.
|
||||
Die Python-Dokumentation ist sehr ausführlich und alles ist gut versioniert.
|
||||
Möglicherweise werden einige von euch etwas im Bereich Data Science machen.
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Dafür ist python (aktuell) mit das gängigste Tool.
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||||
Generell (nicht nur wegen DS) lohnt es sich, Python (samt Modulen wie **numpy**/**numpy.linalg**, **pandas**, usw.) zu können.
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||||
|
||||
**Nachteile:** Python ist nicht sonderlich schnell, aber bzgl. Geschwindigkeit definitiv besser als Geogebra.
|
||||
Für Programmierer gibts an Python viel Grund zu meckern (z. B. keine echten privat/public/protected access modifiers, unsauberer Umgang mit Typing.).
|
||||
|
||||
Für Visualisierungen von Vektoren wäre Python nicht die beste Option.
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||||
Für unseren Kurs würde ich dies nur für die Ausführung von Algorithmen Empfehlen.
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||||
|
||||
**Anmerkung:** Um mit komplexen Zahlen in Python umzugehen, muss man `j` statt `i` für die imaginäre Zahl verwenden.
|
||||
Diese muss stets mit einem Koeffizienten versehen werden,
|
||||
d. h.
|
||||
|
||||
``` python
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||||
x = 5 + 8j;
|
||||
x = 5 + 8*1j;
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||||
x = 5 + 1j;
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||||
x = 5 - 1j;
|
||||
x = 5 + 0j;
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||||
x = 5;
|
||||
```
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||||
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||||
usw. sind erlaubt, aber
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||||
``` python
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||||
x = 5 + 8*j;
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||||
x = 5 + j;
|
||||
x = 5 - j;
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||||
```
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||||
usw. nicht, weil hier logischerweise `j` als Variable interpretiert wird.
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||||
### Julia ###
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Die **Julia**-Programmiersprache soll auch sehr gut sein und kann auf <https://julialang.org> gefunden werden.
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