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README.md

@@ -1,4 +1,4 @@
-# Repository für Lineare Algebra / Übungsgruppe  #
+# Repository für Lineare Algebra / Übungsgruppe #
 
 In diesem Repository werden Ressourcen hochgeladen,
 zum Beispiel Skripte oder Dokumente für mathematische Argumente.
@@ -9,10 +9,10 @@ Gründe hierfür:
 
 Dieses Repo enthält
 
-1. Code/Codeschnippsel: siehe [/code](./code).
+1. Code/Codeschnippsel: siehe [code](./code).
-2. Dokument inklusive meiner Lösungen zu den Übungsblättern (die nach dem Abgabetermin hochgeladen werden): siehe [/docs](./docs) und [/docs/loesungen.pdf](./docs/loesungen.pdf).
+2. Dokument inklusive meiner Lösungen zu den Übungsblättern (die nach dem Abgabetermin hochgeladen werden): siehe [docs](./docs) und [docs/loesungen.pdf](./docs/loesungen.pdf).
-3. Notizen/Kritzelei für mathematische Argumente, Berechnungen, usw.: siehe [/notes](./notes).
+3. Notizen/Kritzelei für mathematische Argumente, Berechnungen, usw.: siehe [notes](./notes).
-4. Protokolle von den Übungsgruppen: siehe [/protocol](./protocol).
+4. Protokolle von den Übungsgruppen: siehe [protocol](./protocol).
 
 Im Rest dieses Dokuments werden _Einzelheiten zum Kurs_, das Thema _mathematisches Denken_, und Software-Tipps diskutiert.
 
@@ -50,52 +50,42 @@ Klausurzulassung, wenn
 
 ### Klausur ###
 
-Allgemeine Infos:
+Siehe bitte zuerst das **Hinweise**-Blatt auf dem Kurs-Moodle im Beitrag über die Klausurvorbereitung.
+Dies enthält Hinweise über relevante Inhalte sowie nützliche Aufgaben zur Wiederholung.
 
-- am **12.02.2021** zw. **12:00–14:00**.
+**ANMERKUNG:** Folgende Punkte sind _nur_ als weitere Hinweise zu verstehen.
-- Geplante Schreibdauer: **90 min** (30min Pufferzeit eingebaut, damit man Dateien herunter und hochladen kann).
-- 6 Aufgaben
-
-Im folgenden Abschnitt werden empfohlenes Material zur Vorbereitung stichpunktartig aufgelist.
-
-**ANMERKUNG 1:** Siehe bitte zuerst das **Hinweise** Blatt auf dem Kurs-Moodle im Beitrag von Professor Sinn über die Klausurvorbereitung.
-Das enthält Hinweise über relevanten Inhalt sowie nützliche Aufgaben zur Wiederholung.
-
-**ANMERKUNG 2:** Dies ist als Hinweis zu verstehen.
 Generell für eine Klausur muss man den ganzen in der VL behandelten Stoff gemeistert haben.
-Diese sind als minimalistische Listen von Aspekten gedacht,
+Folgendes listet nur minimalistisch Aspekte auf,
 die auf jeden Fall für die Klausur wichtig sind.
 Sie sind nicht unbedingt vollständig.
 
-#### Themen / VL-Materialien ####
-
 - Kapitel 1: Müsst ihr allgemein kennen.
-    - Konkrete Dinge wie Strecken, Ebenen, usw. kommen eher in Geometrie und hier nicht vor.
+  - Konkrete Dinge wie Strecken, Ebenen, usw. kommen eher in Geometrie und hier nicht vor.
-    - Eliminationsverfahren und Lösbarkeit von LGS:
+  - Eliminationsverfahren und Lösbarkeit von LGS:
-        - Lösung des homogenen Systems Ax = 0
+    - Lösung des homogenen Systems Ax = 0
-        - Lösung des inhomogenen Systems Ax = b
+    - Lösung des inhomogenen Systems Ax = b
-        - Die Äquivalenzen in §6.4 fassen einiges hier viel kürzer zusammen.
+    - Die Äquivalenzen in §6.4 fassen einiges hier viel kürzer zusammen.
 - Kapitel 2: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit
-    - Axiomen von (partiellen/totalen) Ordnungsrelationen
+  - Axiomen von (partiellen/totalen) Ordnungsrelationen
-    - Axiomen von Äquivalenzrelationen
+  - Axiomen von Äquivalenzrelationen
-    - Für Funktionen, ƒ : X ⟶ Y
+  - Für Funktionen, ƒ : X ⟶ Y
-        - der Graph von ƒ
+    - der Graph von ƒ
-        - Umkehrabbild ƒ¯¹ (wenn ƒ bijektiv ist).
+    - Umkehrabbild ƒ¯¹ (wenn ƒ bijektiv ist).
-        - ƒ¯¹(B) für B ⊆ Y, d. h. Urbildmengen von B unter ƒ
+    - ƒ¯¹(B) für B ⊆ Y, d. h. Urbildmengen von B unter ƒ
             (!! und dass dies NICHT dasselbe wie das Inverse ƒ¯¹ : Y ⟶ X ist !!)
-        - ƒ(A) für A ⊆ X, d. h. Bild von A unter ƒ
+    - ƒ(A) für A ⊆ X, d. h. Bild von A unter ƒ
-        - Konzepte von Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
+    - Konzepte von Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
             (!! und dass sich diese NICHT gegenseitig ausschließen!!)
-        - Komposition von Funktionen
+    - Komposition von Funktionen
 - Kapitel 3: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit
-    - ℤ/_n_ für konkrete Werte von _n_,
+  - ℤ/_n_ für konkrete Werte von _n_,
-    - Berechnung von Addition, Multiplikation, und Inversen modulo _n_ (for konkrete Werte).
+  - Berechnung von Addition, Multiplikation, und Inversen modulo _n_ (for konkrete Werte).
 - Kapitel 4:
-    - Grundkonzepte wie Inverses in Gruppentheorie.
+  - Grundkonzepte wie Inverses in Gruppentheorie.
-    - Grundkonzepte von Körpern und Ringen.
+  - Grundkonzepte von Körpern und Ringen.
-    - Umgang mit LGS über Vektorräume über einem Körper K (konkreter Umgang mit 𝔽ₚ für _p_ prim):
+  - Umgang mit LGS über Vektorräume über einem Körper K (konkreter Umgang mit 𝔽ₚ für _p_ prim):
-        - genau wie bei ℝ-wertigen Matrizen nur mit Addition/Multiplikation/Inversen in 𝔽ₚ (d. h. ℤ/_p_).
+    - genau wie bei ℝ-wertigen Matrizen nur mit Addition/Multiplikation/Inversen in 𝔽ₚ (d. h. ℤ/_p_).
-        - man muss insbesondere Division durch 0 mod p vermeiden und es hilft,
+    - man muss insbesondere Division durch 0 mod p vermeiden und es hilft,
         die Werte immer als Werte aus {0, 1, 2, ..., p–1} darzustellen.
         Z. B. in 𝔽₅ sollte man eine Matrix
 
@@ -109,49 +99,42 @@ Sie sind nicht unbedingt vollständig.
 
         damit man vor allem den Rang und die Zeilenstufen richtig erkennt.
 - Kapitel 5: Hier müsst ihr generell alles meistern.
-    - dass man aus Vektorräumen andere Vektorräume konstruieren kann (z. B. durch Produkte)
+  - dass man aus Vektorräumen andere Vektorräume konstruieren kann (z. B. durch Produkte)
-    - Unterräume
+  - Unterräume
-    - Lin(A) für A ⊆ V, V ein Vektorraum
+  - Lin(A) für A ⊆ V, V ein Vektorraum
-    - Basis:
+  - Basis:
-        - lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basis.
+    - lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basis.
-            - Überprüfung von linearer Unabhängigkeit
+      - Überprüfung von linearer Unabhängigkeit
-            - Berechnung von Basen:
+      - Berechnung von Basen:
-                - anhand einer Menge von Vektorren:
+        - anhand einer Menge von Vektorren:
-                    - Reduktion einer Menge von Vektoren auf eine (maximale) linear unabhängige Teilmenge
+          - Reduktion einer Menge von Vektoren auf eine (maximale) linear unabhängige Teilmenge
-                    - Erweiterung von Vektoren auf eine Basis
+          - Erweiterung von Vektoren auf eine Basis
-                - Basis des Spaltenraums, Bild(A), für eine Matrix, A:
+        - Basis des Spaltenraums, Bild(A), für eine Matrix, A:
-                    - A ⟶ Zeilenstufenform ⟶ merke Spaltenpositionen j1, j2, ... wo Stufen sind
+          - A ⟶ Zeilenstufenform ⟶ merke Spaltenpositionen j1, j2, ... wo Stufen sind
-                    - Die Spalten j1, j2, ... von der Originalmatrix, A, bilden eine Basis von Bild(A)
+          - Die Spalten j1, j2, ... von der Originalmatrix, A, bilden eine Basis von Bild(A)
-            - Konkrete Fälle:
+      - Konkrete Fälle:
-                - „kanonische Basis“ von ℝⁿ für beliebige konkrete Werte von _n_.
+        - „kanonische Basis“ von ℝⁿ für beliebige konkrete Werte von _n_.
-                - „exotische“ Beispiele von Vektorräume wie der Raum der Polynomen, ℝ\[x\], und deren „kanonische“ Basen.
+        - „exotische“ Beispiele von Vektorräume wie der Raum der Polynomen, ℝ\[x\], und deren „kanonische“ Basen.
-    - Dimension, Dimensionsformel.
+  - Dimension, Dimensionsformel.
-    - Rang:
+  - Rang:
-        - Zeilenrang := #Stufen von A in Zeilenstufenform
+    - Zeilenrang := #Stufen von A in Zeilenstufenform
-        - Spaltenrang := dim(Bild(A))
+    - Spaltenrang := dim(Bild(A))
-        - **Lemma:** Zeilenrang = Spaltenrang
+    - **Lemma:** Zeilenrang = Spaltenrang
-        - **Definition:** Rang := Zeilenrang = Spaltenrang;
+    - **Definition:** Rang := Zeilenrang = Spaltenrang;
 - Kapitel 6 | 6.1–6.4:
-    - lin. Abb
+  - lin. Abb
-    - Kern, Bild
+  - Kern, Bild
-    - Injektivität, Surjektivität, Bijektivität („Isomorphismus“)
+  - Injektivität, Surjektivität, Bijektivität („Isomorphismus“)
-    - Zusammenhang zw. Dimension von U, V und Eigenschaften von einer linearen Abbildung φ : U ⟶ V.
+  - Zusammenhang zw. Dimension von U, V und Eigenschaften von einer linearen Abbildung φ : U ⟶ V.
-    - !! Lineare Ausdehnung !!
+  - !! Lineare Ausdehnung !!
-        - insbes. 6.1.13, nur bekommt ihr eine Situation,
+    - insbes. 6.1.13, nur bekommt ihr eine Situation,
         wo ihr eine Definition auf einer Basis + einem zusätzlichen linear abhängigen Element bekommt
-    - Das Konzept von Darstellungsmatrizen (aber nicht die Berechnung von Basiswechseln)
+  - Das Konzept von Darstellungsmatrizen (aber nicht die Berechnung von Basiswechseln)
-    - Invertierbare Matrizen (musst algebraisch/symbolisch damit umgehen können, aber ihr müsst keine Inversen explizit ausrechnen). Ihr müsst aber Konzepte anwenden wie (AB)¯¹ = B¯¹A¯¹,
+  - Invertierbare Matrizen (musst algebraisch/symbolisch damit umgehen können, aber ihr müsst keine Inversen explizit ausrechnen). Ihr müsst aber Konzepte anwenden wie (AB)¯¹ = B¯¹A¯¹,
     und dass der Raum der invertierbaren Matrizen unter Multiplikation stabil sind.
 - Kapitel 6 | 6.5+: nicht behandelt.
 - Kapitel 7: nicht behandelt
 
-#### Was _anscheindend_ nicht in der Klausur vorkommt ####
-
-- _Räume_ von linearen Operatoren, also die Vektorräume der Form L(V, W). (Aber ihr müsst natürlich mit linearen Operatoren umgehen können!)
-- Basiswechseln
-- Koordinatenwecheln
-- Inverse von Matrizen explizit berechnen.
-
 ## §2. Mathematisches Denken ##
 
 Mathematik ist eine präzise aber abstrakte Kunst.
@@ -216,23 +199,104 @@ Gründlich die Definitionen und Resultate durchgehen.
 
 Unter Mathematikern, Wissenschaftlern, (womöglich auch Ingenieuren), und Informatikern sind folgende Optionen sehr beliebt:
 
+- Markdown (+ rendering software od. Extensions auf Editoren wie VSCode)
+- sehr einfachen "plain" Texteditoren
 - LaTeX
-- Markdown, sowie die verschiedenen Kombinationen mit anderer Software:
+- Zeichenapps wie GoodNotes
-    - Pandocs (kombiniert so ziemlich alles!)
+- die guten alten Stift + Zettel/Heft ... Vorteil: man muss nicht aufladen ; )
-    - Rmd (R Markdown)
-    - pynb/JyPyter (Python notebooks)
-    - online Editors (siehe z. B. [stackedit](https://stackedit.io/editor)).
 
-Am Rechner schreibe ich alles meistens in Markdown oder LaTeX-Dateien.
+Es lohnt sich, einen guten Allzweck-Editor wie [VSCode](https://code.visualstudio.com/download)
-Wenn ich wirklich schnell schreiben will, und mir die Formattierung egal ist,
+zu installieren.
-benutze ich sogar Notepad / TextEditor / rtf.
+Mit so etwas kann man etliche gratis Extensions finden,
-Freunde benutzen Apps, in denen man zeichnen kann. Das ist auch sehr nützlich.
+die bspw. Syntax-Highlighting, Rendering, Code-Schnippsel für LaTeX, md, usw. bieten.
 
 ## Software zwecks Berechnungen und Anschauungen ##
 
 Es gibt einige Hilfsmittel, derer man sich bedienen kann, um entweder Konzepte zu visualisieren oder zu berechnen.
 **Diese Möglichkeiten sind keineswegs verpflichtend!**
 
+### Python ###
+
+[Hier](https://www.python.org/downloads) kann man den Compiler herunterladen.
+Man kann auch ohne Installation python Skripte ausführen:
+einfach nach »python compiler online« googeln (oder z. B. <https://repl.it> -> `<>Start coding` —> Sprache auswählen).
+
+**Vorteile:** Da man kein Memory-Allocation o. Ä., oder Typisierung pflegen muss, kann man mit grundlegenden Programmierkenntnissen sehr leicht in Python einsteigen.
+Es gibt eine immense Community für Python und man kann sehr schnell online durch Foren u. Ä. Hilfe holen.
+Die Python-Dokumentation ist sehr ausführlich und alles ist gut versioniert.
+Möglicherweise werden einige von euch etwas im Bereich Data Science machen.
+Dafür ist python (aktuell) mit das gängigste Tool.
+Generell (nicht nur wegen DS) lohnt es sich, Python (samt Modulen wie **numpy**/**numpy.linalg**, **pandas**, usw.) zu können.
+
+**Nachteile:** Python ist nicht sonderlich schnell, aber bzgl. Geschwindigkeit definitiv besser als Geogebra.
+Für Programmierer gibts an Python viel Grund zu meckern (z. B. keine echten privat/public/protected access modifiers, unsauberer Umgang mit Typing.).
+
+Für Visualisierungen von Vektoren wäre Python nicht die beste Option.
+Für unseren Kurs würde ich dies nur für die Ausführung von Algorithmen Empfehlen.
+
+**Anmerkung:** Um mit komplexen Zahlen in Python umzugehen, muss man `j` statt `i` für die imaginäre Zahl verwenden.
+Diese muss stets mit einem Koeffizienten versehen werden,
+d. h.
+
+```py
+x = 5 + 8j;
+x = 5 + 8*1j;
+x = 5 + 1j;
+x = 5 - 1j;
+x = 5 + 0j;
+x = 5;
+```
+
+usw. sind erlaubt, aber
+
+```py
+x = 5 + 8*j;
+x = 5 + j;
+x = 5 - j;
+```
+
+usw. nicht, weil hier logischerweise `j` als Variable interpretiert wird.
+
+So kann man mit Matrizen umgehen (am besten hierfür ein Skript anlegen und dieses über eine Terminal ausführen):
+
+```py
+import math
+import numpy as np
+import numpy.linalg as la
+
+A = np.asarray([
+    [1, 2, 3, 7],
+    [0.5, 0, 0, 2 + 1j]
+    [0, 0, 0, math.sqrt(2)]
+])
+
+x = np.asarray([10, 100, 0, -1])
+
+print(A)
+print(A.T)
+print(A @ x) # Matrixmultiplikation
+print(la.det(A)) # Determinante
+
+B = A @ A.T # eine quadratische (sogar positive!) Matrix
+values, vectors = la.eig(B)
+
+print(values) # da B "positiv" ist, sind diese Werte alle reellwertig und ≥ 0
+print(vector) # eine Matrix, deren Spalten Eigenvektoren von B sind (entsprechend den Eigenwerten)
+
+Z = np.zeros((4, 2)) # eine 4 x 2 Matrix
+
+print(Z)
+```
+
+Es gibt _etliches_, was man mit den `numpy` (und `scipy`) Bibliothek und Vektoren/Matrizen/Tensoren machen kann.
+Lass dir niemanden sagen, dass man "besser mit MatLab" (oder `R`) mit Matrizen umgehen kann.
+Da _gerade_ diese Sprache für KI optimiert wird, kann man sicher davon ausgehen,
+dass die zugrunde liegenden Bibliotheken mit `C` o. Ä. geschrieben und schnell sind.
+
+Natürlich kann und m. E. sollte man kompilierende Sprachen lernen wie `C++` od. `golang`/`Rustlang`/`vlang`, usw.
+Aber für Prototypen von komplexen Problemen, mit vielen Möglichkeiten für sauberes Programmieren
+bleibt Python unschlagbar.
+
 ### Geogebra ###
 
 Diese App ist ein lustiges aber sehr nützliches Programm, um schnell im 2-d Raum ($\mathbb{R}^{2}$) oder 3-d Raum ($\mathbb{R}^{3}$) geometrische Objekte und Konzepte zu realisieren.
@@ -254,7 +318,7 @@ Hier ein paar Beispiele in der Sprache:
 
 Eingabe von Matrizen und Vektoren:
 
-```
+```bash
 octave:1> A = [1 4; -7.1  3 + i; 0 8];
 octave:2> disp(A);
    1     4
@@ -273,7 +337,7 @@ octave:6> disp(x);
 
 Zeilenoperationen:
 
-```
+```bash
 octave:5> disp(A(2,:));
    4   3 + 1i   8
 octave:6> A(2,:) = A(2,:) - 4*A(1,:);
@@ -284,7 +348,7 @@ octave:7> disp(A);
 
 Matrixmultiplikation:
 
-```
+```bash
 octave:1> A = [1 4 8; 3 6 -9]; x = [1 1 1].';
 octave:2> b = A*x;
 octave:3> disp(b);
@@ -300,6 +364,13 @@ octave:6> disp(A*x_); % wird bis auf machine-Fehler gleich b sein
    1.5543e-15
 ```
 
+**Nachteile:**
+Octave/MatLab fördern einen äußerst schlechten Programmierstil.
+Gut für kurze Berechnungen aber bis heute gibt es Unternehmen,
+die diese Sprache/n für größere Projekte benutzen, was einfach fatal ist.
+Octave/MatLab bieten keinen sauberen Umgang mit Typen od. Modulen an.
+MatLab ist außerdem sehr teuer und **nicht open source**.
+
 ### R ###
 
 Für **R** braucht man
@@ -321,52 +392,6 @@ Für die Logiker und Informatiker unter euch, wird es bspw. nerven, dass in **R*
 Für Programmierer, wird stören, dass **R** keine saubere Implementierung von Klassen, (lokalen) Imports, usw. anbietet
 (diese Dinge existieren, aber sind sehr umständlich).
 
-### Python ###
-
-_„Pfft! Python ist nichts anderes als glorifiziertes Bash!“_ — ein ehem. Arbeitskollege
-
-Von diesem Zitat abgesehen ich persönlich liebe diese Sprache.
-Man kann den Python-Compiler [hier](https://www.python.org/downloads/) herunterladen.
-(ACHTUNG! Version 3.9.0 scheint mit C-libraries Probleme zu haben. Ich persönlich hatte Schwierigkeiten gewisse mathe-Module dafür zu installieren. Ich würde deshalb erstmals v3.8.xx empfehlen.)
-
-Man kann auch ohne Installation python Skripte ausführen: einfach nach »python compiler online« googeln (oder z. B. <https://repl.it> -> `<>Start coding` —> Sprache auswählen).
-
-**Vorteile:** Da man kein Memory-Allocation o. Ä., oder Typisierung pflegen muss, kann man mit grundlegenden Programmierkenntnissen sehr leicht in Python einsteigen.
-Es gibt eine immense Community für Python und man kann sehr schnell online durch Foren u. Ä. Hilfe holen.
-Die Python-Dokumentation ist sehr ausführlich und alles ist gut versioniert.
-Möglicherweise werden einige von euch etwas im Bereich Data Science machen.
-Dafür ist python (aktuell) mit das gängigste Tool.
-Generell (nicht nur wegen DS) lohnt es sich, Python (samt Modulen wie **numpy**/**numpy.linalg**, **pandas**, usw.) zu können.
-
-**Nachteile:** Python ist nicht sonderlich schnell, aber bzgl. Geschwindigkeit definitiv besser als Geogebra.
-Für Programmierer gibts an Python viel Grund zu meckern (z. B. keine echten privat/public/protected access modifiers, unsauberer Umgang mit Typing.).
-
-Für Visualisierungen von Vektoren wäre Python nicht die beste Option.
-Für unseren Kurs würde ich dies nur für die Ausführung von Algorithmen Empfehlen.
-
-**Anmerkung:** Um mit komplexen Zahlen in Python umzugehen, muss man `j` statt `i` für die imaginäre Zahl verwenden.
-Diese muss stets mit einem Koeffizienten versehen werden,
-d. h.
-
-``` python
-x = 5 + 8j;
-x = 5 + 8*1j;
-x = 5 + 1j;
-x = 5 - 1j;
-x = 5 + 0j;
-x = 5;
-```
-
-usw. sind erlaubt, aber
-
-``` python
-x = 5 + 8*j;
-x = 5 + j;
-x = 5 - j;
-```
-
-usw. nicht, weil hier logischerweise `j` als Variable interpretiert wird.
-
 ### Julia ###
 
 Die **Julia**-Programmiersprache soll auch sehr gut sein und kann auf <https://julialang.org> gefunden werden.