SKA 5
This commit is contained in:
parent
a15f1e32c6
commit
7f0730a578
Binary file not shown.
@ -55,6 +55,8 @@
|
||||
%% |
|
||||
%% — body/ska/ska4.tex;
|
||||
%% |
|
||||
%% — body/ska/ska5.tex;
|
||||
%% |
|
||||
%% — body/quizzes/quiz1.tex;
|
||||
%% |
|
||||
%% — body/quizzes/quiz2.tex;
|
||||
@ -4445,6 +4447,559 @@ für $a,b\in\intgr$.
|
||||
Das heißt das Induktionsargument ist faul,
|
||||
weil der Schritt $1\rightsquigarrow 2$ implizit übersprungen wird.
|
||||
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
%% FILE: body/ska/ska5.tex
|
||||
%% ********************************************************************************
|
||||
|
||||
\setcounternach{chapter}{5}
|
||||
\chapter[Woche 5]{Woche 5}
|
||||
\label{ska:5}
|
||||
|
||||
%% SKA 5-2
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{SKA}
|
||||
\setcounternach{section}{2}
|
||||
\section[Aufgabe 2]{}
|
||||
\label{ska:5:ex:2}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Betrachtet sei die Teilbarkeitsrelation $(\intgr,\divides)$.
|
||||
Wir prüfen, welche Axiome erfüllt sind und beurteilen aufgrund dessen,
|
||||
ob es sich um eine Äquivalenzrelation, partielle Ordnung, Abbildung, usw. handelt.
|
||||
|
||||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Reflexivität:}}]
|
||||
Sei $a\in\intgr$ beliebig.
|
||||
\textbf{Zu prüfen:} $a\divides a$?\\
|
||||
Es gilt $a=1\cdot a$ und $1\in\intgr$.\\
|
||||
Darum gilt $a\divides a$.\\
|
||||
Also ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{reflexiv}.
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Symmetrie:}}]
|
||||
Betrachte bspw. $2,10\in\intgr$.\\
|
||||
Es gilt $2\divides 10$ aber $10\ndivides 2$.\\
|
||||
Darum ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{nicht symmetrisch}.
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Antisymmetrie:}}]
|
||||
Betrachte bspw. $2,-2\in\intgr$.\\
|
||||
Es gelten $2\divides -2$ und $-2\divides 2$, aber $2\neq -2$.\\
|
||||
Darum ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{nicht antisymmetrisch}.
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Transitivität:}}]
|
||||
Seien, $a,b,c\in\intgr$.
|
||||
\textbf{Zu prüfen:} ($a\divides b$ und $b\divides c$) $\Rightarrow$ $a\divides c$?\\
|
||||
Es gilt:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
a\divides b\,\text{und}\,b\divides c
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\exists{k,j\in\intgr:~}c=kb,\,b=ja\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&\exists{k,j\in\intgr:~}c=(kj)a\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&\exists{m\in\intgr:~}c=ma\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&a\divides c.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Also ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{transitiv}.
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Totalität:}}]
|
||||
Betrachte bspw. $5,7\in\intgr$.\\
|
||||
Dann $5\ndivides 7$, $7\ndivides 5$, und $5\neq 7$.\\
|
||||
Darum ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{nicht total}.
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Linkstotalität:}}]
|
||||
Sei $a\in\intgr$.
|
||||
\textbf{Zu prüfen:} $\exists{b\in\intgr:~}a\divides b$?\\
|
||||
Wegen Reflexivität gilt nun $a\divides a$.\\
|
||||
Also ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{linkstotal}.
|
||||
\item[\uwave{{\bfseries Rechtseindeutigkeit:}}]
|
||||
Betrachte bspw. $2,10,100\in\intgr$.\\
|
||||
Es gilt $2\divides 10$ und $2\divides 100$, aber $10\neq 100$.\\
|
||||
Darum ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{nicht rechtseindeutig}.
|
||||
\end{kompaktenum}
|
||||
|
||||
Daraus folgt, dass $(\intgr,\divides)$
|
||||
weder
|
||||
eine Äquivalenzrelation
|
||||
noch
|
||||
eine (lineare) Ordnungsrelation
|
||||
noch
|
||||
eine partielle Ordnungsrelation
|
||||
ist.
|
||||
Und es gibt keine Funktion ${f:\intgr\to\intgr}$,
|
||||
so dass $\graph(f)=\divides$.
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkung:} Man kann aber zeigen, das die Beschränkungen
|
||||
$(\ntrlzero,\divides)$
|
||||
und $(\ntrlpos,\divides)$
|
||||
zusätzlich Antisymmetrie aufweisen,
|
||||
sodass diese partielle Ordnungsrelationen sind.
|
||||
|
||||
%% SKA 5-3
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{SKA}
|
||||
\setcounternach{section}{3}
|
||||
\section[Aufgabe 3]{}
|
||||
\label{ska:5:ex:3}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Seien $a,b\in\intgr$ mit $b>0$.
|
||||
Um $a$ durch $b$ (mit Rest) zu teilen,
|
||||
setzt man
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
q &:= &[a/b] \in\intgr\\
|
||||
r &:= &a-b\cdot q\in\intgr.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
wobei ${[\cdot]:\reell\to\intgr}$ die Gaußklammerfunktion ist,
|
||||
die reelle Zahlen \emph{abrundet}.
|
||||
Per Definition gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||
q &\leq &a/b &< &q+1\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
also
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||
0 &\leq &a-b\cdot q &< &b\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Darum $r\in\{0,1,\ldots,b-1\}$.
|
||||
|
||||
Um dies aber \emph{per Hand} bzw. im Kopf zu machen,
|
||||
verwendet man iterative Algorithmen,
|
||||
die aus Schritten besteht:
|
||||
$a$ und $b$ durch »einfachere« Zahlen ersetzen;
|
||||
mit einfacheren Zahlen teilen;
|
||||
Nachjustieren.
|
||||
|
||||
Welche Methode auch immer man anwendet hat dies mit \fbox{dem Existenz-Teil} des Beweises zu tun.
|
||||
|
||||
%% SKA 5-4
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{SKA}
|
||||
\setcounternach{section}{4}
|
||||
\section[Aufgabe 4]{}
|
||||
\label{ska:5:ex:4}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
\begin{claim}
|
||||
\makelabel{claim:main:ska:5:ex:4}
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{kompaktenum}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab]
|
||||
\item\punktlabel{1}
|
||||
$\ggT(a,b)=\ggT(b,a)$;
|
||||
\item\punktlabel{2}
|
||||
$\ggT(a,b)=\ggT(|a|,|b|)$;
|
||||
\item\punktlabel{3}
|
||||
$\ggT(a,0)=\ggT(0,a)=|a|$, solange $a\neq 0$;
|
||||
\item\punktlabel{4}
|
||||
$\ggT(ca,cb)=|c|\ggT(a,b)$, solange $b,c\neq 0$;
|
||||
\end{kompaktenum}
|
||||
|
||||
für $a,b,c\in\intgr$.
|
||||
\end{claim}
|
||||
|
||||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\uline{\bfseries \punktcref{1}:}
|
||||
Es gilt
|
||||
$\ggT(a,b)
|
||||
=\max\{d\in\ntrlpos\mid d\divides a,b\}
|
||||
=\max\{d\in\ntrlpos\mid d\divides b,a\}
|
||||
=\ggT(b,a)$.
|
||||
|
||||
\uline{\bfseries \punktcref{2}:}
|
||||
Sei $d,x\in\intgr$. Dann ist es einfach zu sehen,
|
||||
dass $d\divides x\Leftrightarrow d\divides|x|$.\\
|
||||
Darum gilt
|
||||
$\ggT(a,b)
|
||||
=\max\{d\in\ntrlpos\mid d\divides a,b\}
|
||||
=\max\{d\in\ntrlpos\mid d\divides |a|,|b|\}
|
||||
=\ggT(|a|,|b|)$.
|
||||
|
||||
\uline{\bfseries \punktcref{3}:}
|
||||
Laut \punktcref{1} reicht es aus \textbf{zu zeigen} $\ggT(a,0)=|a|$.\\
|
||||
Es gilt $\ggT(a,0)=\max D$, wobei $D:=\{d\in\ntrl\mid d\divides a,0\}$.\\
|
||||
(I) Setze $d_{0}:=|a|$. Offensichtlich gilt $d_{0}\divides a,0$.\\
|
||||
(II) Für alle $d\in\ntrlpos$ gilt
|
||||
$d\divides a$
|
||||
$\Rightarrow$ $|\frac{a}{d}|\geq 1$
|
||||
$\Rightarrow$ $d\leq|a|=d_{0}$.\\
|
||||
(III) Für alle $d\in\ntrlpos$ gilt $d\divides 0$.\\
|
||||
Zusammengefasst,
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||||
d_{0}
|
||||
&\textoverset{(I)}{\in}
|
||||
&D
|
||||
&\textoverset{(III)}{=}
|
||||
&\{d\in\ntrlpos\mid d\divides a\}
|
||||
&\textoverset{(II)}{\subseteq}
|
||||
&\{d\in\ntrlpos\mid d\leq d_{0}
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
woraus sich ergibt, dass $d_{0}\leq\max D\leq d_{0}$.
|
||||
Also $\ggT(a,0)=\max D=d_{0}=|a|$.
|
||||
|
||||
\uline{\bfseries \punktcref{4}:}
|
||||
Setze $d_{1}:=\ggT(a,b)$ und $d_{2}:=\ggT(ca,cb)$.
|
||||
\textbf{Zu zeigen:} $d_{2}=|c|d_{1}$.\\
|
||||
Wir zeigen dies durch zwei Ungleichungen.\\
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
d_{1}\divides a,b
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\exists{k,j\in\intgr}a=kd_{1}\,\text{und}\,b=jd_{1}\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\exists{k,j\in\intgr}ca=kcd_{1}\,\text{und}\,cb=jcd_{1}\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\exists{k,j\in\intgr}ca=k|c|d_{1}\,\text{und}\,cb=j|c|d_{1}\\
|
||||
&&\text{da manz.\,B. $k$ durch $-k$ ersetzen kann}\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&|c|d_{1}\divides ca,cb\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Per Maximalität von $d_{2}$ unter den positiven Teilern,
|
||||
folgt \fbox{$|c|d_{1}\leq d_{2}$}.\\
|
||||
Andererseits existieren nach dem \emph{Lemma von B\'ezout}
|
||||
$u,v\in\intgr$, so dass
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
d_{1}=\ggT(a,b) &= &ua+vb\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
woraus sich ergibt, dass
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|
||||
\frac{|c|d_{1}}{d_{2}} &= &\underbrace{%
|
||||
\textstyle\pm u\frac{ca}{d_{2}}+\pm v\frac{cb}{d_{2}}
|
||||
}_{=:w}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Da $d_{2}\divides ca,cb$ ist die rechte Seite von \eqcref{eq:1:\beweislabel} in $\intgr$.
|
||||
Und da $|c|,d_{1},d_{2}>0$, ist die linke Seite von \eqcref{eq:1:\beweislabel} strikt positiv,
|
||||
sodass $w\geq 1$ gilt.
|
||||
Darum \fbox{$|c|d_{1}=w\cdot d_{2}\geq 1\cdot d_{2}$}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{einzug}
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkung.}
|
||||
Ohne das \emph{Lemma von B\'ezout} ist ein Beweis vom Letzten Punkt praktisch unmachbar.
|
||||
|
||||
%% SKA 5-5
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{SKA}
|
||||
\setcounternach{section}{5}
|
||||
\section[Aufgabe 5]{}
|
||||
\label{ska:5:ex:5}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Seien $a=57$ und $b=21$.
|
||||
Dann gilt $a=qb+r$, wobei $q=2$ und \fbox{$r=15$}.
|
||||
Es gilt
|
||||
$\ggT(a,b)=3$\footnote{%
|
||||
weil $r=3\cdot 5$ und $3,5\in\mathbb{P}$ und nur $3\divides 57$ gilt.
|
||||
}
|
||||
und
|
||||
$\ggT(b,r)=3$\footnote{%
|
||||
weil $r=3\cdot 5$ und $3,5\in\mathbb{P}$ und nur $3\divides 21$ gilt.
|
||||
}
|
||||
Also gilt $\ggT(a,b)=\ggT(b,\modfn(a,b))$,
|
||||
genau wie \cite[Lemma 3.4.5]{sinn2020} allgemein besagt.
|
||||
|
||||
%% SKA 5-6
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{SKA}
|
||||
\setcounternach{section}{6}
|
||||
\section[Aufgabe 6]{}
|
||||
\label{ska:5:ex:6}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Für jeden Fall berechnen wir $\ggT(a,b)$ mittels des Euklidischen Algorithmus
|
||||
(siehe \cite[Satz 3.4.7]{sinn2020}).
|
||||
|
||||
\begin{longtable}[mc]{|cc|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
\hline
|
||||
$a$ &$b$ &Restberechnung (symbolisch) &Restberechnung (Werte)\\
|
||||
\hline
|
||||
\endhead
|
||||
$1529$ &$170$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1529 = 170\cdot 8 + 169$\\
|
||||
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$170 = 169\cdot 1 + \boxed{1}$\\
|
||||
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$169 = 1\cdot 169 + 0$\\
|
||||
\hline
|
||||
$13758$ &$21$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$13758 = 21\cdot 655 + \boxed{3}$\\
|
||||
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 3\cdot 7 + 0$\\
|
||||
\hline
|
||||
$210$ &$45$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$210 = 45\cdot 4 + 30$\\
|
||||
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$45 = 30\cdot 1 + \boxed{15}$\\
|
||||
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$30 = 15\cdot 2 + 0$\\
|
||||
\hline
|
||||
$1209$ &$102$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1209 = 102\cdot 11 + 87$\\
|
||||
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$102 = 87\cdot 1 + 15$\\
|
||||
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$87 = 15\cdot 5 + 12$\\
|
||||
&&$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$15 = 12\cdot 1 + \boxed{3}$\\
|
||||
&&$r_{3} = r_{4}\cdot q_{5} + r_{5}$ &$12 = 3\cdot 4 + 0$\\
|
||||
\hline
|
||||
\hline
|
||||
\end{longtable}
|
||||
|
||||
%% SKA 5-7
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{SKA}
|
||||
\setcounternach{section}{7}
|
||||
\section[Aufgabe 7]{}
|
||||
\label{ska:5:ex:7}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
%% SKA 5-8
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{SKA}
|
||||
\setcounternach{section}{8}
|
||||
\section[Aufgabe 8]{}
|
||||
\label{ska:5:ex:8}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Das Lemma von B\'ezout wird mittels des \fbox{Euklidischen Algorithmus} bewiesen.\\
|
||||
Korollar 3.4.10 baut darauf und charakterisiert, wann zwei Zahlen teilerfremd sind.\\
|
||||
Lemma 3.4.12 baut darauf und zeigt $\forall{i:~}b,a_{i}\,\text{teilerfremd}\Rightarrow b,\prod_{i=1}^{n}a\,\text{teilerfremd}$.\\
|
||||
Satz 3.4.14 baut darauf und zeigt $p\divides\prod_{i=1}^{n}a_{i}\Rightarrow \exists{i:~}p\divides a_{i}$ für $p$ prim.
|
||||
|
||||
Dieses letzte Ergebnis wird im Induktionsargument instrumentalisiert,
|
||||
um Primzerlegungen der Länge $k,l$ auf Primfaktorzerlegungen der Länge $k-1,l-1$ zu reduzieren,
|
||||
um das Induktionsargument voranzubringen.
|
||||
|
||||
\begin{rem}
|
||||
In der Algebra gibt es zwei Begriffe, die bei gewöhnlichen Primzahlen, sich anwenden lassen:
|
||||
\emph{Irriduzibilität} und \emph{prim}.
|
||||
Die Definition in abstrakten Kontexten von \emph{prim} entspricht der Eigenschaft in \cite[Satz 3.4.14]{sinn2020},
|
||||
während \emph{Irriduzibilität} eher sich auf die Teilbarkeit bezieht.
|
||||
Etwas »Zufälligerweise« handelt es sich bei $\intgr$ um eine Art von Struktur,
|
||||
in der diese zwei Konzepte zusammenfallen.
|
||||
Wie in fast allen technischen Bereichen sollte man auf solche »Zufälligkeiten« achten:
|
||||
Irgendwann befindet man sich in einer Situation,
|
||||
wo man feiner unterscheiden muss und es nicht mehr selbstverständlich ist,
|
||||
zwei Konzepte als identisch zu behandeln.
|
||||
\end{rem}
|
||||
|
||||
%% SKA 5-10
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{SKA}
|
||||
\setcounternach{section}{10}
|
||||
\section[Aufgabe 10]{}
|
||||
\label{ska:5:ex:10}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Siehe \cite[Satz 3.5.1]{sinn2020}.
|
||||
Hier eine Alternative:\\
|
||||
Für $r=0$ setze man $q_{r}:=1$ und $p_{r}:=0$.
|
||||
Und für alle anderen rationalen Zahlen, $r\in\rtnl\ohne\{0\}$, wähle
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
q_{r} &:= &\min\overbrace{%
|
||||
\{n\in\ntrlpos\mid q_{r}\cdot r\in\intgr\}
|
||||
}^{D(r)}\in\ntrlpos\\
|
||||
p_{r} &:= &q_{r}\cdot r\in\intgr.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Da $r$ ration ist, ist $D(r)$ per Definition nicht leer.
|
||||
Darum ist die Wahl von $q_{r}$ und $p_{r}$ wohldefiniert
|
||||
und per Konstruktion gilt $p_{r}/q_{r}=r$.
|
||||
(Für $r=0$ gilt ebenfalls offensichtlich $p_{r}/q_{r}=r$.)
|
||||
Damit haben wir die Existenz einer kanonischen Darstellung begründet.
|
||||
|
||||
Stimmt dies mit der Konstruktion im \cite[Satz 3.5.1]{sinn2020} überein?
|
||||
|
||||
Für $r=0$ gilt offensichtlich $\ggT(p_{r},q_{r})=1$.
|
||||
Für $r\in\rtnl\ohne\{0\}$ gilt $d:=\ggT(p_{r},q_{r})=1$,
|
||||
denn sonst wäre $\frac{q_{r}}{d}$ eine positive natürliche Zahl in $D(r)$,
|
||||
da $\frac{q_{r}}{d}\cdot r=\frac{q_{r}\cdot r}{d}=\frac{p_{r}}{d}\in\intgr$,
|
||||
während $\frac{q_{r}}{d}<q_{r}$ (strikt),
|
||||
was ein Widerspruch zur Minimalität ist.
|
||||
Darum entspricht unserer Darstellung der im \cite[Satz 3.5.1]{sinn2020}.
|
||||
|
||||
%% SKA 5-12
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{SKA}
|
||||
\setcounternach{section}{12}
|
||||
\section[Aufgabe 12]{}
|
||||
\label{ska:5:ex:12}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
\begin{claim*}[vgl. {\cite[Satz 3.5.3]{sinn2020}}]
|
||||
Sei $p\in\mathbb{P}$ eine Primzahl.
|
||||
Dann $\nexists{x\in\rtnl:~}x^{2}=p$.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Angenommen, dies sei nicht der Fall.
|
||||
Dann existieren $a\in\intgr$ und $b\in\ntrlpos$ mit $(\frac{a}{b})^{2}=p$.
|
||||
Wir konstruieren nun per Rekursion eine Folge
|
||||
$((a_{n},b_{n}))_{n\in\ntrlpos}\subseteq\intgr\times\ntrlpos$
|
||||
mit der Eigenschaft,
|
||||
dass
|
||||
$(\frac{a_{n}}{b_{n}})^{2}=p$
|
||||
und $(b_{n})_{n\in\ntrlpos}$ strikt monoton absteigend ist:
|
||||
|
||||
\begin{kompaktitem}
|
||||
\item
|
||||
Setze $a_{0}:=a$ und $b_{0}=b$.
|
||||
Offensichtlich gilt per Wahl $(\frac{a_{n}}{b_{n}})^{2}=p$.
|
||||
\item
|
||||
Sei $n>0$.
|
||||
Angenommen, wir haben bereits
|
||||
$((a_{k},b_{k}))_{k=0}^{n-1}$
|
||||
konstruiert.
|
||||
Aus $(\frac{a_{n}}{b_{n}})^{2}=p$
|
||||
folgt nun $a_{n}^{2}=pb_{n}^{2}$.
|
||||
Daraus folgt
|
||||
${p\divides a_{n}\cdot a_{n}}$
|
||||
und damit gilt (vgl. \cite[Satz 3.4.14]{sinn2020})
|
||||
${p\divides a_{n}}$,
|
||||
weil $p$ prim ist.
|
||||
Da $b_{n}^{2}=p\cdot(\frac{a_{n}}{p})^{2}$
|
||||
und da $\frac{a_{n}}{p}\in\intgr$,
|
||||
erhalten wir ebenfalls
|
||||
${p\divides b_{n}\cdot b_{n}}$
|
||||
und wiederum ${p\divides b_{n}}$.
|
||||
|
||||
Setze also $a_{n+1}:=\frac{a_{n}}{p}$ und $b_{n+1}:=\frac{b_{n}}{p}$.
|
||||
Dann wie oben gezeigt wurde, gilt $a_{n+1}\in\intgr$
|
||||
und $b_{n+1}\in\ntrlpos$.
|
||||
Offensichtlich gilt $(\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}})^{2}=(\frac{a_{n}}{b_{n}})^{2}=p$.
|
||||
Und, da $p>1$, gilt $b_{n+1}<b_{n}$.
|
||||
\end{kompaktitem}
|
||||
|
||||
Darum funktioniert die rekursive Konstruktion.
|
||||
Da nun $(b_{n})_{n\in\ntrlpos}\subseteq\ntrlpos$
|
||||
eine strikt monoton absteigende Folge ist,
|
||||
haben wir einen Widerspruch erreicht,
|
||||
weil $(\ntrlpos,\leq)$ eine Wohlordnungsrelation ist.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{einzug}
|
||||
|
||||
%% SKA 5-13
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{SKA}
|
||||
\setcounternach{section}{13}
|
||||
\section[Aufgabe 13]{}
|
||||
\label{ska:5:ex:13}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
\begin{claim*}[vgl. {\cite[Satz 3.5.5]{sinn2020}}]
|
||||
Seien $a,b,c\in\reell$ mit $a\neq 0$.
|
||||
Dann existiert eine Nullstelle von $ax^{2}+bx+c$
|
||||
gdw. $\Delta\geq 0$,
|
||||
wobei $\Delta:=b^{2}-4ac$.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
|
||||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Zunächst berechnen wir eine Umformung: Sei $x\in\reell$.
|
||||
Dann
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\eqtag[eq:1:ska:5:ex:13]
|
||||
ax^{2}+bx+c=0
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&4a(ax^{2}+bx+c)=0
|
||||
\quad\text{da $a\neq 0$}\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&(2ax)^{2}+2b(2ax)+b^{2}=b^{2}-4ac\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&(2ax+b)^{2}=\Delta.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Falls $\Delta\geq 0$,
|
||||
so existiert ein $\sqrt{\Delta}\geq 0$ mit $\sqrt{\Delta}^{2}=\Delta$.
|
||||
Darum gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||||
ax^{2}+bx+c=0
|
||||
&\eqcrefoverset{eq:1:ska:5:ex:13}{\Longleftrightarrow}
|
||||
&(2ax+b)^{2}=\Delta
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&2ax+b=\pm\sqrt{\Delta}
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
für alle $x\in\reell$.
|
||||
Das heißt, falls $\Delta\geq 0$, hat das Polynom reellwertige Nullstellen,
|
||||
und zwar sind die Nullstellen durch $\{\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\}$ gegeben.
|
||||
|
||||
Falls $\Delta<0$, so existieren keine Nullstellen.
|
||||
Angenommen, dies sei nicht der Fall.
|
||||
Fixiere eine Lösung $x\in\reell$ und setze $\alpha:=2ax+b\in\reell$.
|
||||
Aus \eqcref{eq:1:ska:5:ex:13} folgt nun $\Delta=\alpha^{2}$.
|
||||
Aber $\alpha^{2}\geq 0$ für alle $\alpha\in\reell$.
|
||||
Dies ist ein Widerspruch.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{einzug}
|
||||
|
||||
%% SKA 5-14
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{SKA}
|
||||
\setcounternach{section}{14}
|
||||
\section[Aufgabe 14]{}
|
||||
\label{ska:5:ex:14}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Die Gruppe von Bijektionen von $\{1,2\}$ auf $\{1,2\}$ entspricht der Permutationsgruppe $S_{2}$.
|
||||
Dies hat $2!=2$ Elemente:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
e &:= &\text{Funktion, die alles fixiert}\\
|
||||
(1\,2) &:= &\text{Funktion, die $1$ und $2$ tauscht}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Die Gruppentafel sieht folgendermaßen aus:
|
||||
|
||||
\begin{longtable}{|CC|CC|}
|
||||
\hline
|
||||
\hline
|
||||
&&\multicolumn{2}{C|}{h}\\
|
||||
&gh &e &(1\,2)\\
|
||||
\hline
|
||||
\multirow{2}{*}{g}
|
||||
&e &e &(1\,2)\\
|
||||
&(1\,2) &(1\,2) &e\\
|
||||
\hline
|
||||
\hline
|
||||
\end{longtable}
|
||||
|
||||
Die Gruppe von Bijektionen von $\{1,2,3\}$ auf $\{1,2,3\}$ entspricht der Permutationsgruppe $S_{3}$.
|
||||
Dies hat $3!=6$ Elemente:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
e &:= &\text{Funktion, die alles fixiert}\\
|
||||
(1\,2) &:= &\text{Funktion, die $1$ und $2$ tauscht}\\
|
||||
(1\,3) &:= &\text{Funktion, die $1$ und $3$ tauscht}\\
|
||||
(2\,3) &:= &\text{Funktion, die $2$ und $3$ tauscht}\\
|
||||
(1\,2\,3) &:= &\text{Funktion, die $1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto 1$ abbildet}\\
|
||||
(1\,3\,2) &:= &\text{Funktion, die $1\mapsto 3\mapsto 2\mapsto 1$ abbildet}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Die Gruppentafel sieht folgendermaßen aus:
|
||||
|
||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
||||
|
||||
%% SKA 5-15
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{SKA}
|
||||
\setcounternach{section}{15}
|
||||
\section[Aufgabe 15]{}
|
||||
\label{ska:5:ex:15}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Die erste Gruppe, $S_{2}$, ist kommutativ (»abelsch«). Das lässt sich daran erkennen, dass die Tafel symmetrisch ist.
|
||||
|
||||
Die zweite Gruppe, $S_{3}$, ist kommutativ (»abelsch«). Das lässt sich daran erkennen, dass die Tafel nicht symmetrisch ist.
|
||||
|
||||
\setcounternach{part}{3}
|
||||
\part{Quizzes}
|
||||
|
||||
|
||||
Loading…
x
Reference in New Issue
Block a user