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notes/berechnungen_wk10.md

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+(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.)
 ## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ##
 
 U = lin{u1, u2}
 V = lin{v1, v2, v3}
 
 ### U ⊆ V ? ###
-
 #### Beispiel 1 ####
 
-u1 = (1 1 0 0)ᵀ
-u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+    u1 = (1 1 0 0)ᵀ
+    u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
 
-v1 = (4 0 0 0)ᵀ
-v2 = (1 4 0 0)ᵀ
-v3 = (1 0 1 0)ᵀ
+    v1 = (4 0 0 0)ᵀ
+    v2 = (1 4 0 0)ᵀ
+    v3 = (1 0 1 0)ᵀ
 
-Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}
+    Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}
 
-Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
----> auf Zeilenstufenform reduzieren
----> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
----> ja
----> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}
+    Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
+    ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
+    ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
+    ---> ja
+    ---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}
 
 #### Beispiel 2 ####
 
-u1 = (1 1 0 1)ᵀ
-u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+    u1 = (1 1 0 1)ᵀ
+    u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
 
-v1 = (4 0 0 0)ᵀ
-v2 = (1 4 0 0)ᵀ
-v3 = (1 0 1 0)ᵀ
+    v1 = (4 0 0 0)ᵀ
+    v2 = (1 4 0 0)ᵀ
+    v3 = (1 0 1 0)ᵀ
 
-Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
----> auf Zeilenstufenform reduzieren
----> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
----> nein
----> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}
+    Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
+    ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
+    ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
+    ---> nein
+    ---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}
 
 ### Basis von V/U ###
 
---> Beispiel 1.
+    --> Beispiel 1.
 
-u1 = (1 1 0 0)ᵀ
-u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+    u1 = (1 1 0 0)ᵀ
+    u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
 
-v1 = (4 0 0 0)ᵀ
-v2 = (1 0 1 0)ᵀ
-v3 = (1 4 0 0)ᵀ
+    v1 = (4 0 0 0)ᵀ
+    v2 = (1 0 1 0)ᵀ
+    v3 = (1 4 0 0)ᵀ
 
-Schreibweise für Äquivalenzklassen:
-    [v] = v + U
---> die Elemente in V/U
+    Schreibweise für Äquivalenzklassen:
+        [v] = v + U
+    --> die Elemente in V/U
 
-Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
----> auf Zeilenstufenform reduzieren
----> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
-     ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
---->
-    x3, x5 sind frei
-    x1, x2, x4 nicht frei
----> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis
+    Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
+    ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
+    ---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
+        ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
+    --->
+        x3, x5 sind frei
+        x1, x2, x4 nicht frei
+    ---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis
 
 
 ## SKA 9-5 ##
 
-Basis für U:
-u1 = (1 1 0)ᵀ
-u2 = (0 1 1)ᵀ
-Basis für V = ℝ^3:
-v1 = (1 0 0)ᵀ
-v2 = (0 1 0)ᵀ
-v3 = (0 0 1)ᵀ
+    Basis für U:
+    u1 = (1 1 0)ᵀ
+    u2 = (0 1 1)ᵀ
+    Basis für V = ℝ^3:
+    v1 = (1 0 0)ᵀ
+    v2 = (0 1 0)ᵀ
+    v3 = (0 0 1)ᵀ
 
-A = (u1, u2, v1, v2, v3)
----> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
----> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
-    und dim(V/U) = 1
+    A = (u1, u2, v1, v2, v3)
+    ---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
+    ---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
+        und dim(V/U) = 1
 
-    Beachte: v2 = u1 - v1      ===> v2 + U = -(v1 + U)
-             v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U
+        Beachte: v2 = u1 - v1      ===> v2 + U = -(v1 + U)
+                v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U
 
 
 
 ## UB9-2 (Bsp) ##
 
-Seien
-
-v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
-v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
-v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ
-
-φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
-sei linear mit
-    φ(e_i) = v_i für alle i
-
-1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
-    φ(x1,x2,x3)
-    = φ(x)
-    = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
-    = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
-    = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
-    = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
-    = Ax
-wobei A = (v1 v2 v3)
-    =   1   0  -3
-        0   1   0
-        0   0   0
-        4   8   0
-        1   0   1
-Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
-Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
-von φ zu klassifizieren:
----> A in Zeilenstufenform:
-        1    0   -3
-        0    1    0
-        0    0    0
-        0    0   12
-        0    0    4
-    Rang(A) = 3
----> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
-        Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
-        Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
-        m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv
+    Seien
+
+    v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
+    v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
+    v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ
+
+    φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
+    sei linear mit
+        φ(e_i) = v_i für alle i
+
+    1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
+        φ(x1,x2,x3)
+        = φ(x)
+        = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
+        = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
+        = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
+        = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
+        = Ax
+    wobei A = (v1 v2 v3)
+        =   1   0  -3
+            0   1   0
+            0   0   0
+            4   8   0
+            1   0   1
+    Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
+    Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
+    von φ zu klassifizieren:
+    ---> A in Zeilenstufenform:
+            1    0   -3
+            0    1    0
+            0    0    0
+            0    0   12
+            0    0    4
+        Rang(A) = 3
+    ---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
+            Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
+            Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
+            m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv