|
|
|
@ -1,127 +1,127 @@
|
|
|
|
|
(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.) |
|
|
|
|
## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ## |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = lin{u1, u2} |
|
|
|
|
V = lin{v1, v2, v3} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### U ⊆ V ? ### |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#### Beispiel 1 #### |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 = (1 1 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
u1 = (1 1 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 = (4 0 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
v2 = (1 4 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
v3 = (1 0 1 0)ᵀ |
|
|
|
|
v1 = (4 0 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
v2 = (1 4 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
v3 = (1 0 1 0)ᵀ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3} |
|
|
|
|
Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) |
|
|
|
|
---> auf Zeilenstufenform reduzieren |
|
|
|
|
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. |
|
|
|
|
---> ja |
|
|
|
|
---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} |
|
|
|
|
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) |
|
|
|
|
---> auf Zeilenstufenform reduzieren |
|
|
|
|
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. |
|
|
|
|
---> ja |
|
|
|
|
---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#### Beispiel 2 #### |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 = (1 1 0 1)ᵀ |
|
|
|
|
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
u1 = (1 1 0 1)ᵀ |
|
|
|
|
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 = (4 0 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
v2 = (1 4 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
v3 = (1 0 1 0)ᵀ |
|
|
|
|
v1 = (4 0 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
v2 = (1 4 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
v3 = (1 0 1 0)ᵀ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) |
|
|
|
|
---> auf Zeilenstufenform reduzieren |
|
|
|
|
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. |
|
|
|
|
---> nein |
|
|
|
|
---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3} |
|
|
|
|
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) |
|
|
|
|
---> auf Zeilenstufenform reduzieren |
|
|
|
|
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. |
|
|
|
|
---> nein |
|
|
|
|
---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Basis von V/U ### |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
--> Beispiel 1. |
|
|
|
|
--> Beispiel 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 = (1 1 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
u1 = (1 1 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 = (4 0 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
v2 = (1 0 1 0)ᵀ |
|
|
|
|
v3 = (1 4 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
v1 = (4 0 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
v2 = (1 0 1 0)ᵀ |
|
|
|
|
v3 = (1 4 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Schreibweise für Äquivalenzklassen: |
|
|
|
|
[v] = v + U |
|
|
|
|
--> die Elemente in V/U |
|
|
|
|
Schreibweise für Äquivalenzklassen: |
|
|
|
|
[v] = v + U |
|
|
|
|
--> die Elemente in V/U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3) |
|
|
|
|
---> auf Zeilenstufenform reduzieren |
|
|
|
|
---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind |
|
|
|
|
---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen |
|
|
|
|
---> |
|
|
|
|
x3, x5 sind frei |
|
|
|
|
x1, x2, x4 nicht frei |
|
|
|
|
---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis |
|
|
|
|
Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3) |
|
|
|
|
---> auf Zeilenstufenform reduzieren |
|
|
|
|
---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind |
|
|
|
|
---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen |
|
|
|
|
---> |
|
|
|
|
x3, x5 sind frei |
|
|
|
|
x1, x2, x4 nicht frei |
|
|
|
|
---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## SKA 9-5 ## |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Basis für U: |
|
|
|
|
u1 = (1 1 0)ᵀ |
|
|
|
|
u2 = (0 1 1)ᵀ |
|
|
|
|
Basis für V = ℝ^3: |
|
|
|
|
v1 = (1 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
v2 = (0 1 0)ᵀ |
|
|
|
|
v3 = (0 0 1)ᵀ |
|
|
|
|
Basis für U: |
|
|
|
|
u1 = (1 1 0)ᵀ |
|
|
|
|
u2 = (0 1 1)ᵀ |
|
|
|
|
Basis für V = ℝ^3: |
|
|
|
|
v1 = (1 0 0)ᵀ |
|
|
|
|
v2 = (0 1 0)ᵀ |
|
|
|
|
v3 = (0 0 1)ᵀ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = (u1, u2, v1, v2, v3) |
|
|
|
|
---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei |
|
|
|
|
---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U } |
|
|
|
|
und dim(V/U) = 1 |
|
|
|
|
A = (u1, u2, v1, v2, v3) |
|
|
|
|
---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei |
|
|
|
|
---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U } |
|
|
|
|
und dim(V/U) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U) |
|
|
|
|
v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U |
|
|
|
|
Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U) |
|
|
|
|
v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## UB9-2 (Bsp) ## |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Seien |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ |
|
|
|
|
v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ |
|
|
|
|
v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ : ℝ^3 ---> ℝ^5 |
|
|
|
|
sei linear mit |
|
|
|
|
φ(e_i) = v_i für alle i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3 |
|
|
|
|
φ(x1,x2,x3) |
|
|
|
|
= φ(x) |
|
|
|
|
= φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) |
|
|
|
|
= φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3) |
|
|
|
|
= x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3) |
|
|
|
|
= x1·v1 + x2·v2 + x3·v3 |
|
|
|
|
= Ax |
|
|
|
|
wobei A = (v1 v2 v3) |
|
|
|
|
= 1 0 -3 |
|
|
|
|
0 1 0 |
|
|
|
|
0 0 0 |
|
|
|
|
4 8 0 |
|
|
|
|
1 0 1 |
|
|
|
|
Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]). |
|
|
|
|
Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität |
|
|
|
|
von φ zu klassifizieren: |
|
|
|
|
---> A in Zeilenstufenform: |
|
|
|
|
1 0 -3 |
|
|
|
|
0 1 0 |
|
|
|
|
0 0 0 |
|
|
|
|
0 0 12 |
|
|
|
|
0 0 4 |
|
|
|
|
Rang(A) = 3 |
|
|
|
|
---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3 |
|
|
|
|
Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv |
|
|
|
|
Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv |
|
|
|
|
m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv |
|
|
|
|
Seien |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ |
|
|
|
|
v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ |
|
|
|
|
v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ : ℝ^3 ---> ℝ^5 |
|
|
|
|
sei linear mit |
|
|
|
|
φ(e_i) = v_i für alle i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3 |
|
|
|
|
φ(x1,x2,x3) |
|
|
|
|
= φ(x) |
|
|
|
|
= φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) |
|
|
|
|
= φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3) |
|
|
|
|
= x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3) |
|
|
|
|
= x1·v1 + x2·v2 + x3·v3 |
|
|
|
|
= Ax |
|
|
|
|
wobei A = (v1 v2 v3) |
|
|
|
|
= 1 0 -3 |
|
|
|
|
0 1 0 |
|
|
|
|
0 0 0 |
|
|
|
|
4 8 0 |
|
|
|
|
1 0 1 |
|
|
|
|
Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]). |
|
|
|
|
Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität |
|
|
|
|
von φ zu klassifizieren: |
|
|
|
|
---> A in Zeilenstufenform: |
|
|
|
|
1 0 -3 |
|
|
|
|
0 1 0 |
|
|
|
|
0 0 0 |
|
|
|
|
0 0 12 |
|
|
|
|
0 0 4 |
|
|
|
|
Rang(A) = 3 |
|
|
|
|
---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3 |
|
|
|
|
Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv |
|
|
|
|
Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv |
|
|
|
|
m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|