master > master: SKA 4-11 leichte Änderung im ungültigen Argument
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7e53973477
commit
85cc00f853
Binary file not shown.
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@ -1334,7 +1334,7 @@
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\def\phi{\altvarphi}
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\def\varphi{\altphi}
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\def\span{\mathop{\text{\upshape Lin}}}
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\def\vectorspacespan{\mathop{\text{\upshape Lin}}}
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\def\dim{\mathop{\text{\upshape dim}}}
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\def\onematrix{\text{\upshape\bfseries I}}
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\def\zeromatrix{\text{\upshape\bfseries 0}}
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@ -1343,6 +1343,8 @@
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\def\graph{\mathop{\text{\textup Gph}}}
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\def\id{\text{\textup id}}
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\def\modfn{\mathop{\text{\textup mod}}}
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\def\divides{\mathbin{\mid}}
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\def\ggT{\mathop{\text{\upshape ggT}}}
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\makeatother
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\begin{document}
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@ -1578,7 +1580,7 @@ Dies führt zu einem Fallunterschied:
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\right\}
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}$,
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oder etwas kompakter formuliert,
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${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \span\left\{\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
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||||
${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \vectorspacespan\left\{\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
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\end{enumerate}
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%% FALL 2
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@ -1618,7 +1620,7 @@ Dies führt zu einem Fallunterschied:
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\right\}
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}$,
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||||
oder etwas kompakter formuliert,
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||||
${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + \span\left\{\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
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||||
${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + \vectorspacespan\left\{\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
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||||
\end{enumerate}
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Wir fassen die Lösung für alle Fälle zusammen:
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@ -1626,8 +1628,8 @@ Wir fassen die Lösung für alle Fälle zusammen:
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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L_{\alpha,\beta} &= &\begin{cases}[m]{lcl}
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\leer &: &\alpha=4,\,\beta\neq 8\\
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\mathbf{u} + \span\{\mathbf{v},\mathbf{w}\} &: &\alpha=4,\,\beta=8\\
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\mathbf{u} + \frac{\alpha-4}{\beta-8}\mathbf{v} + \span\{\mathbf{w}\} &: &\alpha\neq 4\\
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\mathbf{u} + \vectorspacespan\{\mathbf{v},\mathbf{w}\} &: &\alpha=4,\,\beta=8\\
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\mathbf{u} + \frac{\alpha-4}{\beta-8}\mathbf{v} + \vectorspacespan\{\mathbf{w}\} &: &\alpha\neq 4\\
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\end{cases}
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\end{mathe}
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@ -2283,7 +2285,7 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
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Da $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\neq\zerovector$ bedeutet dies,
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dass $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}$ \emph{linear unabhängig} sind. ($\to$ Warum??)\\
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Also gilt für den Untervektorraum
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$U:=\span\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$,
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$U:=\vectorspacespan\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$,
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dass $\dim(U)=2$.\\
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Da $U\subseteq\reell^{2}$ Vektorräume sind und $\dim(U)=2=\dim(\reell^{2})$,
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folgt hieraus, dass $U=\reell^{2}$. ($\to$ Warum??)\\
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@ -2294,7 +2296,7 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
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\mathbf{\xi} &:= &\mathbf{v}^{\prime}-\mathbf{v}\in\reell^{2}.\\
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\end{mathe}
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Dann $\mathbf{\xi}\in U=\span\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$.
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Dann $\mathbf{\xi}\in U=\vectorspacespan\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$.
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Folglich existieren Skalare $\alpha,\beta\in\reell$,
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so dass $\alpha\mathbf{w}+\beta\mathbf{w}^{\prime}=\mathbf{\xi}$
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gilt.\\
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@ -2623,8 +2625,8 @@ Wir arbeiten im Vektorraum $\reell^{3}$ und betrachten die Vektoren
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\end{mathe}
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\textbf{Zu berechnen:}
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$U:=\span\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
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\cap\span\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}$
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$U:=\vectorspacespan\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
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\cap\vectorspacespan\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}$
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als Untervektorraum von $\reell^{3}$.\\
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Zu diesem Zwecke betrachte einen beliebigen Vektor, $\mathbf{\xi}\in\reell^{3}$.
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Es gilt
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@ -2755,7 +2757,7 @@ Wir können nun \eqcref{eq:0:ueb:3:ex:1} fortsetzen und erhalten
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28\mathbf{v}_{1}+-8\mathbf{v}_{2}
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}_{=:\mathbf{u}}
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)\\
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&\Longleftrightarrow &\mathbf{\xi}\in\span\{\mathbf{u}\}\\
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&\Longleftrightarrow &\mathbf{\xi}\in\vectorspacespan\{\mathbf{u}\}\\
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\end{mathe}
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für alle $\mathbf{\xi}\in\reell^{3}$.\\
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@ -2773,12 +2775,12 @@ Aus \eqcref{eq:1:ueb:3:ex:1} ergibt sich der zu berechnende Untervektorraum
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als
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\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
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\span\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
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\cap\span\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}
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\vectorspacespan\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
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\cap\vectorspacespan\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}
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&= &U
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&= &\span\{\mathbf{u}\}
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&= &\span\{44\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}
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&= &\span\{\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}.\\
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||||
&= &\vectorspacespan\{\mathbf{u}\}
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||||
&= &\vectorspacespan\{44\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}
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&= &\vectorspacespan\{\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}.\\
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\end{mathe}
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%% AUFGABE 3-2
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@ -3473,7 +3475,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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\end{mathe}
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Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
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Also gilt $\Phi(1)$
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Also gilt $\Phi(1)$.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
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Sei $n>1$.
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@ -3708,7 +3710,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
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Seien $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$ beliebige endliche Mengen.
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||||
Seien $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$ beliebige endliche Mengen.\\
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||||
\textbf{Zu zeigen:} $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$ gilt.\\
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Es gilt
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@ -3835,17 +3837,16 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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gilt offensichtlich $\forall{x\in X:~}G(x)$.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
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Sei $n\in\ntrlpos$ mit $n>1$.
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Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
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||||
Sei $n\in\ntrlpos$ mit $n\geq 1$.
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||||
Angenommen, $\Phi(n)$ gilt.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
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Sei $X$ eine $n$-elementige Menge von Fischen.\\
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Sei $X$ eine $n+1$-elementige Menge von Fischen.\\
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Angenommen, ein $x_{0}\in X$ mit $G(x_{0})$ existiere.
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\textbf{Zu zeigen:} Für alle $x\in X$ gilt $G(x)$.\\
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Setze $X_{1}:=X\ohne\{x_{0}\}$, was nicht leer ist, weil $n\geq 2$.\\
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Fixiere einen Fisch $x_{1}\in X_{1}$
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und setze $X_{0}:=X\ohne\{x_{1}\}$.\\
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Da $x_{1}\neq x_{0}$ sind $X_{0},X_{1}$ verschiedene $n-1$-elementige Mengen:
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Fixiere einen anderen Fisch $x_{1}\in X\ohne\{x_{0}\}$, was möglich ist, weil $|X|=n+1\geq 2$.\\
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||||
Setze $X_{0}:=X\ohne\{x_{1}\}$ und $X_{1}:=X\ohne\{x_{0}\}$.\\
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||||
Da $x_{1}\neq x_{0}$, sind $X_{0},X_{1}$ verschiedene $n$-elementige Mengen:
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\hraum
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{\footnotesize
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@ -3862,7 +3863,6 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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\node (X1mid) at (+0.25*\habst,1*\vabst) {};
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\node[label=above:{$x_{0}$}] (x0) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
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||||
\node[label=above:{$x_{1}$}] (x1) at (+1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
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||||
\node[above right = 0.3*\rad and 0.3*\rad of X0mid,label=below:{$\tilde{x}$}] {$\bullet$};
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||||
\node[above left = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X0mid] {$X_{0}$};
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||||
\node[above right = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X1mid] {$X_{1}$};
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@ -3873,21 +3873,17 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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\hraum
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Fokussieren wir uns zunächst auf $X_{0}$ (die schattierte Teilmenge).\\
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Da $X_{0}$ $n-1$-elementig ist und $x_{0}\in X_{0}$ und $G(x_{0})$,
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Da $X_{0}$ $n$-elementig ist und $x_{0}\in X_{0}$ und $G(x_{0})$,
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gilt per IV (\textdagger)~$\forall{x\in X_{0}:~}G(x)$.
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\fbox{Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$, mit $\tilde{x}\neq x_{0}$}
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und setze $X':=X\ohne\{\tilde{x}\}$ .\\
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Dann ist $X'$ eine $n-1$-elementige Menge und $x_{0}\in X_{1}$ und $G(x_{0})$.\\
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Per IV gilt also $\forall{x\in X':~}G(x)$.\\
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Daraus und aus (\textdagger) folgt $\forall{x\in X:~}G(x)$, da ja $X=X_{0}\cup X'$.\footnote{
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Per Wahl gilt $\tilde{x}\in X_{0}=X\ohne x_{1}$.
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Also, $\tilde{x}\neq x_{1}$.
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Also, $x_{1}\in X'$.
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Also, $X=X_{0}\cup\{x_{1}\}\subseteq X_{0}\cup X'\subseteq X$.
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}
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Wähle nun irgendeinen der Fische, $\tilde{x}\in X_{0}$ und setze $X':=X\ohne\{\tilde{x}\}$.
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O.\,E. können wir $\tilde{x}:=x_{0}$ wählen, sodass $X'=X_{1}$ gilt.\\
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||||
Die Teilmenge $X_{1}$ ist nun eine $n$-elementige Menge mit mindestens $n-1$ Goldfischen.\\
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\fbox{Also $\exists{x\in X_{1}:~}G(x)$.}\\
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||||
Per IV gilt also $\forall{x\in X_{1}:~}G(x)$.\\
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Daraus und aus (\textdagger) folgt $\forall{x\in X:~}G(x)$, da ja $X=X_{0}\cup X_{1}$.
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Darum gilt $\Phi(n)$.
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Darum gilt $\Phi(n+1)$.
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\end{kompaktenum}
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Darum gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
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@ -3897,24 +3893,22 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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\begin{quote}
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\itshape
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Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$, mit $\tilde{x}\neq x_{0}$ \ldots
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Also $\exists{x\in X':~}G(x)$.
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\end{quote}
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Im ursprünglichen Text ist dies die problematische Stelle:
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\begin{quote}
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\itshape
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Jetzt können wir aber \uline{auch einen der Goldfische rausnehmen} und haben wieder \ldots
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Jetzt können wir aber \uline{auch einen der Goldfische rausnehmen} und haben wieder ein Aquarium mit $n$ Fischen und \uline{mindestens einem Goldfisch}.
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\end{quote}
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Zurück aber zu unserer Formalisierung:\\
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Diese Stelle im Argument ist nur möglich, wenn $X_{0}\ohne\{x_{0}\}$ nicht leer ist,
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oder äquivalent, wenn $X_{0}\cap X_{1}$ nicht leer ist.
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Das \uline{Diagramm} mag dies andeuten, aber das Diagramm täuscht.
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Denn formal betrachtet muss das Element, $\tilde{x}\in X_{0}\cap X_{1}$,
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verschieden von $x_{0}$ und $x_{1}$ sein.
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Das setzt voraus, dass $n=|X|\geq 3$.
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Aber im Induktionsschritt wurde nur $n>1$ vorausgesetzt!
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Wir haben etwas ausführlicher gezeigt, dass die Menge $X'$ mindestens $n-1$ Goldfische enthält.
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Wenn wir $\tilde{x}:=x_{0}$ wählen entspricht dies der Größe des Schnitts $X_{0}\cap X_{1}$.
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||||
Das \uline{Diagramm} mag andeuten, dass dieser Schnitt nicht leer ist, aber das Diagramm täuscht.
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||||
Im Induktionsschritt setzen wir nur voraus, dass $n\geq 1$.
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Darum ist $n-1>0$ nur garantiert, wenn stattdessen $n'\geq 2$ vorausgesetzt wird.
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Das heißt das Induktionsargument ist faul,
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weil der Schritt $1\rightsquigarrow 2$ implizit übersprungen wird.
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